考点05 二次函数的简单应用（3考点+4题型+能力强化）（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以“解析式选择-五步解题-最值判定”为核心方法体系，系统覆盖几何面积、销售利润等四大中考高频题型，通过典例变式实现知识迁移与能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解析式应用|3类|一般式（面积/利润）、顶点式（轨迹）、交点式（已知交点）|从工具选择到场景适配，建立“形式-功能”对应关系| |解题流程|5步|审题→设元→列式（标定义域）→求解（区间判最值）→检验|形成标准化解题闭环，培养数学思维的严谨性| |几何面积|1典例+5变式|篱笆/靠墙模型，关注墙体限制与定义域|从图形抽象到函数建模，发展几何直观与空间观念| |销售利润|2典例+5变式|销量-价格关系，单件与总利润转化|通过实际经济问题，强化数据意识与模型观念| |抛物线轨迹|3典例+3变式|顶点/交点式设参，坐标符号与宽度双解|结合运动轨迹，提升用数学语言表达现实世界的能力| |增长率模型|1典例+3变式|通用公式（初始量×(1±率)²）|建立变化率与二次函数的关联，培养抽象能力|

考点05 二次函数的简单应用 考点一：二次函数三种解析式及适用场景 1. 一般式： 适用场景：几何面积、销售利润等常规列式题型，可通过配方或公式法求解对称轴与最值。 核心公式：对称轴，函数最值。 2. 顶点式： 适用场景：抛物线轨迹问题（拱桥、抛球、喷水），顶点可直接对应运动轨迹的最高点、最低点。 3. 交点式： 适用场景：已知抛物线与x轴两个交点坐标，快速设参求解解析式。 考点二：二次函数应用题标准解题五步（满分答题模板） 第一步：审题：梳理题干已知条件、隐藏限制条件，找准变量之间的等量关系，区分自变量和目标变量。 第二步：设元：合理设出自变量，用字母表示所求的目标量（面积、利润、高度等）。 第三步：列式：根据等量关系列出二次函数解析式，必须标注符合实际的自变量取值范围。 第四步：求解：通过配方或公式法求出顶点、对称轴，结合自变量取值区间判断最值： 顶点横坐标在取值区间内：顶点处取函数最值； 顶点横坐标不在取值区间内：最值取自变量区间的左右端点。 第五步：检验作答：验证结果符合实际意义（长度、销量、价格不为负数），规范书写答案并带单位。 考点三：最值判定核心规则 1. ，抛物线开口向上，顶点为函数最小值点； 2. ，抛物线开口向下，顶点为函数最大值点； 3. 纯代数无定义域限制：顶点为唯一最值点； 4. 实际应用题有定义域限制：严禁直接套用顶点求最值，必须结合区间判断。 题型一：几何面积最值问题（单元测高频） 篱笆隔断数量统计错误、忽略墙体长度限制、未判断定义域直接用顶点求最值。 【典例1-1】（24-25九年级上·上海静安·阶段检测）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 【详解】（1）解：由题意得： ； ∵， ∴； ∴S关于的函数关系式为；定义域为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当直道为100米时，足球场的面积最大． 【典例1-2】如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边的长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米． (1)当米时， ___________米， ___________平方米； (2)求S与x之间的函数表达式； (3)围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：当米时，米，， 平方米， 故答案为：40，400； （2）解：由题意得：， ，， ，， 解得：， S与x之间的函数表达式为； （3）解：， ， 当时，S取得最大值，最大值为450， 即围成的矩形花圃存在最大面积，这个最大面积是450平方米，此时x的值为15． 【变式1-1】如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．    (1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； (2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：∵， ∴当时，y最大，最大值为32， ∴当时，长方形的面积最大，最大值为32． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【详解】（1）解：， ； 由矩形面积公式得： ， ， ， ； （2）解：， ， 当时，S随的增大而增大， ， 当时，S有最大值为， 答：当时，面积有最大值为． 【变式1-3】如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为45平方米的花圃，的长是多少米？ (2)如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为56平方米的花圃，的长是多少米？ (3)在（1）的条件下，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得：， 解得 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ∴的长是3米或5米； （2）解：设的长为m米，则的长为米， 根据题意得：， 解得， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意； ∴的长是米或4米； （3）解：能围成面积比45平方米更大的花圃，理由如下： 设AB的长为米，围成面积为平方米， ∵墙的最大可用长度为a为15米， ∴， 解得， 根据题意得， ∵， ∴时，w取最大值，最大值为48平方米， 此时， 答：当时，能围成面积比45平方米更大的花圃，最大面积是48平方米． 题型二：销售利润最值问题（期中、一模必考） 销量为负数未舍去、单件利润与总利润混淆、价格涨跌与销量变化关系写反。 【典例2-1】红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元．经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：设甲种灯笼每对的进价为元，则乙种灯笼每对的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴， 答：甲种灯笼每对的单价为30元，乙种灯笼每对的单价为45元； （2）解：设该商店一天通过乙种灯笼获得利润元，乙种灯笼每对的销售单价为元， 则 ∵， ∴函数有最大值，该二次函数图象的对称轴为：， ∴时，随的增大而增大， ∵物价部门规定其销售单价不高于每对70元， ∴， ∴当时，（元） 答：当乙种灯笼每对的销售单价为70元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元． 【典例2-2】为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 【变式2-1某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得：，， ， 当时，， ． 故答案为：100； （2）解：由（1）知，当时， 当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得，， 与的关系式为． 综上所述，与之间的函数关系式为； （3）解：设商品的成本与时间的关系式为． 将代入得：， ， ， 当时，取最大值为100， 元． 答：从5月1日开始的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元． 【变式2-2】排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 【详解】（1）解：设每罐降价x元，则平均每天多销售罐， 因此每天的销售量y与x之间的关系式为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得或， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 为了让消费者获得更多实惠， 则每罐排骨藕汤的定价为元； （3）解：根据题意得：， 解得， 设商店销售排骨藕汤的总利润为w元， 则， 由于， 则抛物线开口向下， 由于对称轴为直线，且x为整数， 当或时，w取最大，w的最大值为元， 则该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润为900元． 【变式2-3】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300件，据市场调查发现，这种服装售价每提高1元，销量就减少5件，如果商场将售价定为元． (1)当售价为60元时，每件能赚 元，每天能卖　　件，所以，每天的销售利润为　　元． (2)当售价为元时， ①每件能赚　　元； ②相对于原售价50元来说，每件涨价　　元； ③相对于每天销售300件来说，销量减少了　　件； ④当售价为元时，每天销售　　件； (3)请你写出每天销售利润（元）与售价（元）的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (4)当售价定为多少元时，每天的销售利润是6000元？ (5)（求最值，用配方法）当售价定为多少元时，每天的销售利润达到最大？ 【详解】（1）解：当售价为60元时，每件能赚元， 每天能卖件， 所以每天的销售利润为元． （2）解：当售价为元时， ①每件能赚元； ②相对于原售价50元来说，每件涨价元； ③相对于每天销售300件来说，销量减少了件； ④当售价为元时，每天销售件． （3）解：， 由， 解得：， ∴的取值范围是． （4）解：当利润为6000元时，， 整理得，， 解得，． 答：当售价定为70或80元时，每天的销售利润是6000元． （5）解： ， ， 当，即售价定为75元时，每天的销售利润达到最大为6125元． 题型三：抛物线轨迹问题（拱桥、投篮、喷水） 1. 轨迹顶点在原点：设（开口向下）； 2. 图形中点为原点，顶点在y轴上：设； 3. 已知轨迹与x轴两个交点：优先使用交点式。 坐标符号出错、求解对应高度的宽度时遗漏正负两个解。 【典例3-1】如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 【答案】B 【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝ax2， ∵O点到水面AB的距离为4米， ∴A、B点的纵坐标为﹣4， ∵水面AB宽为20米， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 将A代入y＝ax2， ﹣4＝100a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为﹣1， ∴﹣1＝﹣x2， ∴x＝±5， ∴CD＝10， 故选：B． 【典例3-2】广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（  ） A．1米 B．2米 C．5米 D．6米 【答案】B 【详解】解：∵y=-x2+6x=-（x2-4x）=-[（x-2）2-4]=-（x-2）2+6， ∴当x=2时，y有最大值， ∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2． 故选B． 【典例3-3】（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 【详解】解：∵小明铅球出手的高度为米，成绩为6米， ∴过，， ∴， ∴， ∴铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为， 当时，函数有最大值为， ∴铅球在运行中的高度最高大约为2米， 故答案为：2． 【变式3-1】（2023·上海松江·一模）公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是________米． 【答案】 【详解】∵， ∴时，y取最大值， 即水珠的高度达到最大米时，水珠与喷头的水平距离是2米， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴小普把球脱手时，球的高度是米； （2）解：当时，， 整理得， 解得，（舍）， ∵铅球扔出10米的得分为100分， ∴小普得分100分； （3）解：变小，可以不变（答案不唯一）， 假设落地距离为米，保持， 将代入， 则， 解得，此时 作图如图： 【变式3-3】（25-26九年级上·上海杨浦·期末）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米． (1)如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ (2)如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 【详解】（1）解：①由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线为， 将代入， 得， 解得 ∴． ②当时，， ∴抛物线与y轴交点为，即球出手时离地面的高度为米， ∴他跳离地面的高度为：（米）． （2）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线为， 将代入， 得， 解得， ∴． 当时，， ∵， ∴不能投进． 题型四：增长率/降价二次模型（选择填空高频） 通用公式： 参数含义：为初始数量，为单次变化率，增长用“+”，下降、降价用“-”。 适用场景：两次产值增长、商品连续降价、产量变化等二次变化问题。 【典例4】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【变式4-1】（23-24九年级上·上海奉贤·期中）印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式__________． 【答案】 【详解】根据题意，得y关于x的函数解析式为：． 故答案为： 【变式4-2】（23-24九年级上·上海青浦·期中）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是_____． 【答案】 【详解】解：根据题意可得，， 故答案为：． 【变式4-3】（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域） 【答案】 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 【答案】6 【详解】解：对于函数，令，得， 整理可得， 解得， 对应喷头位置，可知水珠落地时水平距离为6米． 故答案为：6． 2．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球运行过程中离地面最高的高度是______米． 【答案】3 【详解】解：由题意可得，当时，，代入解析式得： ， 解得， ∴函数解析式为，即， ∴函数图象的顶点坐标为， ∴铅球运行过程中离地面最高的高度是3米． 故答案为：3． 3．据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为_________． 【答案】 【详解】解：根据题意可得：2020年的蔬菜产量为， 2021年的蔬菜产量为， ∴， 故答案为： ． 4．在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是______． 【答案】 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： y=4-(2-2x)²=-4x2+8x（0＜x＜1）， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为______． 【答案】4 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴投掷距离为； 故答案为：4． 6．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）某汽车的紧急刹车距离（米）与车速（千米/小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过_______千米/小时． 【答案】50 【详解】解：∵， ∴当时，解得（负值舍去）； 故该车车速不超过50千米/小时． 故答案为：50 7．（25-26九年级上·上海·期末）如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度增加__米． 【答案】 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，则抛物线的顶点C的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线解析式为，则，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴水面下降2米时，水面的宽度为， ∴水面下降2米时，水面的宽度增加， 故答案为：． 8．（2025九年级上·上海·专题练习）某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的关系如下表： 销售价格x/（元/个） 销售量y/万个 (1)求该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式； (2)销售价格定为多少时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）当时，； 当时，． 故该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式为 ； （2）当时，， 所以当时，w取得最大值50； 当时，． 因为，所以w随x的增大而增大， 所以当时，w取得最大值50． 所以销售价格定为50元/个或80元/个时，该公司获得的利润最大，最大利润是50万元． 9．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形花圃面积为平方米． (1)求与的函数关系式，写出函数的定义域； (2)围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时的值与面积的最大值． 【详解】（1）解：依据题意，， ∴． ∵，且， ∴； （2）解：由（1）得，， 又∵，且， ∴当时，S取最大值为800． 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时x的值为20． 10.垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过套时．每套费用元；超过套后，超出的部分折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为元套 (1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？ (2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为/套时，平均每天可售出套；售价每降低元．平均每天可多售出套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 【详解】（1）设该超市定制了这款垃圾桶套， ∵， ∴， ∴， 解得：， 答：该超市定制了这款垃圾桶套． （2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元， ∴， ， ∵且， ∴当时，有最大值， 答：售价下降元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大． 11.某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价 y（元）与一次性批发量 x（件）（x为正整数）之间满 足如图所示的函数关系． （1）直接写出 y与 x之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围； （2）若一次性批发量不低于 20 且不超过 60 件时，求获得的利润 w 与 x 的函数 关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）当且x为整数时，； 当且x为整数时，； 当且x为整数时，； （2）当且x为整数时，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴当x=34时，w最大，最大值为578 答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元． 12．掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：）可近似看作水平距离x（单位：）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 ． (2)求满足条件的抛物线的解析式． (3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【详解】（1）解：∵当 与 时实心球在同一高度， ∴抛物线的对称轴为直线 ∴当时，实心球在空中的高度最大， ∴实心球在空中的最大高度是， 故答案为: ； （2）设抛物线的解析式为，把, 代入得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：王阳在此次投掷中得到满分.理由如下： 令则 解得 (不合题意，舍去). ∴王阳在此次投掷中得到满分. 13.投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． (1)求关于的函数表达式； (2)根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． (3)实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【详解】（1）解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得：， 解得：， 关于的函数表达式为：； （2）解：该生在此项考试中未得满分，理由如下： 令， 则， 解得：舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分； （3）解：①如图，当时，， ∴， ∴， 解得或； 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，， ∴， ∴， 解得或 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点05 二次函数的简单应用 考点一：二次函数三种解析式及适用场景 1. 一般式： 适用场景：几何面积、销售利润等常规列式题型，可通过配方或公式法求解对称轴与最值。 核心公式：对称轴，函数最值。 2. 顶点式： 适用场景：抛物线轨迹问题（拱桥、抛球、喷水），顶点可直接对应运动轨迹的最高点、最低点。 3. 交点式： 适用场景：已知抛物线与x轴两个交点坐标，快速设参求解解析式。 考点二：二次函数应用题标准解题五步（满分答题模板） 第一步：审题：梳理题干已知条件、隐藏限制条件，找准变量之间的等量关系，区分自变量和目标变量。 第二步：设元：合理设出自变量，用字母表示所求的目标量（面积、利润、高度等）。 第三步：列式：根据等量关系列出二次函数解析式，必须标注符合实际的自变量取值范围。 第四步：求解：通过配方或公式法求出顶点、对称轴，结合自变量取值区间判断最值： 顶点横坐标在取值区间内：顶点处取函数最值； 顶点横坐标不在取值区间内：最值取自变量区间的左右端点。 第五步：检验作答：验证结果符合实际意义（长度、销量、价格不为负数），规范书写答案并带单位。 考点三：最值判定核心规则 1. ，抛物线开口向上，顶点为函数最小值点； 2. ，抛物线开口向下，顶点为函数最大值点； 3. 纯代数无定义域限制：顶点为唯一最值点； 4. 实际应用题有定义域限制：严禁直接套用顶点求最值，必须结合区间判断。 题型一：几何面积最值问题（单元测高频） 篱笆隔断数量统计错误、忽略墙体长度限制、未判断定义域直接用顶点求最值。 【典例1-1】（24-25九年级上·上海静安·阶段检测）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 【典例1-2】如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边的长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米． (1)当米时， ___________米， ___________平方米； (2)求S与x之间的函数表达式； (3)围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由． 【变式1-1】如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．    (1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； (2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【变式1-2】（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【变式1-3】如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为45平方米的花圃，的长是多少米？ (2)如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为56平方米的花圃，的长是多少米？ (3)在（1）的条件下，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 题型二：销售利润最值问题（期中、一模必考） 销量为负数未舍去、单件利润与总利润混淆、价格涨跌与销量变化关系写反。 【典例2-1】红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元．经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【典例2-2】为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【变式2-1】某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 【变式2-2】排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 【变式2-3】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300件，据市场调查发现，这种服装售价每提高1元，销量就减少5件，如果商场将售价定为元． (1)当售价为60元时，每件能赚 元，每天能卖　　件，所以，每天的销售利润为　　元． (2)当售价为元时， ①每件能赚　　元； ②相对于原售价50元来说，每件涨价　　元； ③相对于每天销售300件来说，销量减少了　　件； ④当售价为元时，每天销售　　件； (3)请你写出每天销售利润（元）与售价（元）的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (4)当售价定为多少元时，每天的销售利润是6000元？ (5)（求最值，用配方法）当售价定为多少元时，每天的销售利润达到最大？ 题型三：抛物线轨迹问题（拱桥、投篮、喷水） 1. 轨迹顶点在原点：设（开口向下）； 2. 图形中点为原点，顶点在y轴上：设； 3. 已知轨迹与x轴两个交点：优先使用交点式。 坐标符号出错、求解对应高度的宽度时遗漏正负两个解。 【典例3-1】如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 【典例3-2】广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（  ） A．1米 B．2米 C．5米 D．6米 【典例3-3】（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 【变式3-1】（2023·上海松江·一模）公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是________米． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 【变式3-3】（25-26九年级上·上海杨浦·期末）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米． (1)如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ (2) 如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 题型四：增长率/降价二次模型（选择填空高频） 通用公式： 参数含义：为初始数量，为单次变化率，增长用“+”，下降、降价用“-”。 适用场景：两次产值增长、商品连续降价、产量变化等二次变化问题。 【典例4】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24九年级上·上海奉贤·期中）印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式__________． 【变式4-2】（23-24九年级上·上海青浦·期中）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是_____． 【变式4-3】（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域） 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 2．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球运行过程中离地面最高的高度是______米． 3．据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为_________． 4．在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是______． 5．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为______． 6．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）某汽车的紧急刹车距离（米）与车速（千米/小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过_______千米/小时． 7．（25-26九年级上·上海·期末）如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度增加__米． 8．（2025九年级上·上海·专题练习）某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的关系如下表： 销售价格x/（元/个） 销售量y/万个 (1)求该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式； (2)销售价格定为多少时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？ 9．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形花圃面积为平方米． (1)求与的函数关系式，写出函数的定义域； (2)围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时的值与面积的最大值． 10.垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过套时．每套费用元；超过套后，超出的部分折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为元套 (1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？ (2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为/套时，平均每天可售出套；售价每降低元．平均每天可多售出套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 11.某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价 y（元）与一次性批发量 x（件）（x为正整数）之间满 足如图所示的函数关系． （1）直接写出 y与 x之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围； （2）若一次性批发量不低于 20 且不超过 60 件时，求获得的利润 w 与 x 的函数 关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 12．掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：）可近似看作水平距离x（单位：）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 ． (2)求满足条件的抛物线的解析式． (3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 13.投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． (1)求关于的函数表达式； (2)根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． (3)实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $