22.5.1 位似图形的概念与性质 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦位似图形的概念、性质及按比例放大缩小的作图方法。课堂导入从生活中图形放大缩小实例（如放映机、照相机）入手，通过回顾相似三角形的性质与判定搭建前导知识支架，引导学生从相似过渡到对位似的探究。 该资料亮点在于融合数学眼光、思维与语言的培养。以生活情境激发兴趣体现数学眼光，结合物理小孔成像启发作图培养推理意识与空间观念，实际测绘小区平面图的应用强化模型意识与应用意识。为教师提供清晰流程与实例，助力学生提升空间观念和动手实践能力。

第1课时　位似图形的概念与性质 课题 第1课时　位似图形的概念与性质 授课人 教 学 目 标 1.理解位似多边形的定义及相关性质. 2.理解相似多边形与位似多边形的联系与区别. 3.掌握判断两个多边形是不是位似多边形的方法,并能准确指出位似中心和相似比.初步掌握把多边形按照一定比例放大或缩小的绘图方法. 4.基于学生对图形学习的兴趣,锻炼学生勤于动手实践的品质,培养学生从多个角度、不同思路解决问题的思维习惯和严谨的数学学习态度,增强学生学习数学的信心. 教学 重点 　　掌握判断两个多边形是不是位似多边形的方法,并能准确指出位似中心和相似比. 教学 难点 　　初步掌握把多边形按照一定比例放大或缩小的绘图方法. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　我们学习了相似三角形的性质和判定,它们分别包含什么内容? 　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 在日常生活中,有时需要把一个图形放大或缩小.例如,在放映机上放映幻灯片时,把幻灯片上的图像放大到屏幕上;在照相馆里,摄影师通过照相机把实物的图像缩小在底片上,我们把形状相同的两个图形称为相似形.我们能否利用相似把一个图形放大或者缩小呢? 　 从发生在学生身边的事件入手,让学生体会数学来源于生活.通过观察图形发现位似图形来源于相似图形,同时又特殊于相似图形.采取小组合作交流的方式,让学生充分研究,感受位似图形的独特位置特性.引发学生初步感知位似图形,思考位似图形的特征,激发学生的求知欲及学习兴趣. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】位似图形的概念 图22-5-8 教师结合上面课堂引入的问题,先让学生思考再出示下面具体实例. 问题情境:把任意一个四边形ABCD放大为原来的2倍(即新图与原图的相似比为2). 教师阐述给出实例.提示可以通过测量边长、角度来画,也可以先画一个方格网辅助画,如图22-5-8,同时思考这个画法的缺点. 　　通过最简单的测量方法让学生尝试画图,巩固相似的判定定理. 教师引导:我们在物理学科中学了小孔成像,从中你能得到什么启示呢? 图22-5-9 教师带领学习解答过程如下:作法一: 如图22-5-10. 图22-5-10 (1)在四边形ABCD所在平面内任取一点O; (2)以点O为端点作射线OA,OB,OC,OD; (3)分别在射线OA,OB,OC,OD上取点A',B',C',D',使====2; (4)连接A'B',B'C',C'D',D'A'. 所得四边形A'B'C'D'即为所求. 教师提问还有其他方法吗?小组讨论后指定学生回答. 作法二: 如图22-5-11. 图22-5-11 (1)在四边形ABCD所在平面内任取一点O; (2)分别以点A,B,C,D为端点作射线AO,BO,CO,DO; (3)分别在射线AO,BO,CO,DO上取点A',B',C',D',使====2; (4)连接A'B',B'C',C'D',D'A'. 所得四边形A'B'C'D'即为所求. 教师引导:大家从这两个作法的图中能找出什么共同特征呢?所得的两个四边形相似吗?你能说出其中的道理吗? 总结: 图形位置上:两个图形的对应点所在的直线都经过同一点. 数量上:每组对应点到这个交点的距离的比值都相等. 　　通过物理现象中的相似图形启发学生作图. 概括新知:一般地,如果一个图形上的点A1,B1,…,P1,…和另一个图形上的点A,B,…,P,…分别对应,并且满足下面两点: (1)直线AA1,BB1,…,PP1,…都经过同一点O; (2)==…==…=k(k为大于0的常数). 那么,这两个图形叫作位似图形,点O叫作位似中心. 如果平面内的两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点O,那么这两个多边形是位似多边形,点O是位似中心. 图形的位似,不仅可用于把图形放大,也可用于把图形缩小,如用小平板仪测绘小范围区域图时,就是这样做的. 思考:在上面的作法得到的图中,任意一对对应点到位似中心的距离比与相似比有什么关系? 总结:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比. 即=======. 　　从形上和数上让学生观察归纳,真正让学生掌握本质. 【应用举例】 例1　如图22-5-12,已知△ABC,以点O为位似中心画△DEF,使它与△ABC位似,且相似比为2. 图22-5-12 解:画法一:△ABC与△DEF在点O同侧. 如图22-5-13,画射线OA,OB,OC; 在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F, 使OD=2OA,OE=2OB,OF=2OC,顺次连接DE,EF,FD; 则△DEF即为所求. 图22-5-13 画法二:△ABC与△DEF在点O异侧. 如图22-5-14,画射线AO,BO,CO; 在射线AO,BO,CO上分别取点D,E,F, 使OD=2OA,OE=2OB,OF=2OC,顺次连接DE,EF,FD; 则△DEF即为所求. 图22-5-14 变式 如图22-5-15,已知点O在△ABC内,以点O为位似中心画一个三角形,使它与△ABC位似,且相似比为. 图22-5-15 [答案:略] 例2　已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1.请判断图22-5-16中每组两个图形是不是位似图形.若是,请指出位似中心. 图22-5-16 [答案:略] 教师总结: 1.画位似图形的一般步骤:①确定位似中心; ②分别作经过图形各顶点和位似中心的射线; ③在射线上,根据相似比确定新图形的各个对应顶点; ④顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形. 2.利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点. 3.符合要求的图形不唯一,因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关,并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形. 图22-5-17 例3　如图22-5-17,四边形ABCD是一个待测绘的小区.在区内选一个测绘点O(图中已被图板遮住),将图板上测绘图纸的点O1对准测绘点O,再由点O1分别对准点A,B,C,D在纸上作射线,分别测得点O到点A,B,C,D的距离,并按同一比例缩小,在图纸的对应射线上定出点A1,B1,C1,D1,依次连接A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,即得该小区缩小的平面图. 　　学生审题是解题的关键,通过运用位似的性质,学会解决简单的实际问题,让学生认识到数学在现实世界中有着广泛的应用,培养了学生的应用意识.采取启发式教学,发挥学生的潜能,培养学生一题多解的思想. 通过练习让学生理解位似图形,能应用位似知识解决相似图形中的相关问题. 【拓展提升】 例4　如图22-5-18,正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上,正方形A'B'C'D'与正方形ABCD是以AC的中点O'为位似中心的位似图形,已知AC=3,若点A'的坐标为(1,2),则正方形A'B'C'D'与正方形ABCD的相似比是(　　) 图22-5-18 A.　　 　B.　　 　C.　　 　D. 例5　在如图22-5-19所示的图案中,最外圈的8个三角形组成的图形和次外圈的8个三角形组成的图形是位似图形吗?如果是,相似比是多少? 图22-5-19 　　1.学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高. 　　2.通过知识的综合与拓展,提高学生的应考能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.如图22-5-20所示,请指出下列图形哪些是位似三角形. 图22-5-20 [答案:①] 2.有下列关于位似图形的表述: ①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形; ②位似图形一定有位似中心; ③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形; ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比. 其中正确命题的序号是 (A) A.②③　　　　B.①②　　　　C.③④　　　　D.②③④ 3.如图22-5-21,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=2∶3,则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为 (A) 图22-5-21 A.4∶9　　　　　　　　　　 　B.2∶5　　 C.2∶3　　　　　　　　　　 　D.3∶2 　　及时反馈检验,巩固课堂所学. 4.如图22-5-22,分别按下列要求作出四边形ABCD以点O为位似中心的位似四边形. (1)沿AO方向放大为原图的2倍; (2)沿OA方向放大为原图的2倍. 解:(1)如图,四边形A1B1C1D1即为所求. (2)四边形A2B2C2D2即为所求. 图22-5-22 【课堂总结】 请同学们回顾以下问题: (1)什么是位似图形、位似中心?位似中心的意义是什么? (2)作位似图形的步骤是什么?应注意什么问题? 　　通过问题的形式回顾所学基本知识,能够使学生获得整体认知. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 设置大量的位似图形的图片,体现数学来源于生活,让学生通过实际感悟位似图形的概念,找出规律,从而确定位似图形的性质,掌握位似图形的画法. ②[讲授效果反思] 本节课为学生提供了一个探索的空间,使每个学生得到了实践、体验的机会.因为是自己动手,所以每个同学都在实践活动中亲自体验到利用位似放大或缩小图形的方法.通过学生研究性的学习,整个教学过程基本达到了将知识融入个体的整体体验中的目的. ③[师生互动反思] 　　 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　 　　④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　  　　错题题号　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　  　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $