专题22.4 图形的位似（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级上册

本讲义聚焦“图形的位似”核心知识点，衔接相似图形基础，系统梳理位似图形定义（相似且对应顶点连线交于一点）、性质（对应边比等即位似比，面积比为位似比平方）及坐标系中坐标变换规律，通过即学即练与题型分类构建阶梯式学习支架。 资料特色在于结合视力表等生活实例培养数学眼光，通过性质推理（如面积比计算）发展数学思维，坐标系中位似作图强化数学语言表达。课中助力分层教学，课后练习题帮助学生巩固，有效弥补知识盲点。

专题22.4 图形的位似 教学目标 1.知道位似图形及其有关概念，知道位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； 2.利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在有关的学习和运用过程中发展自己的数学应用意识和动手操作能力。 3.能熟练地利用平面直角坐标系中，多边形坐标变化与其位似图形的关系，将一个图形放大或缩小 教学重难点 1.重点 利用定义能判断两个图形是否是位似图形及位似图形的性质的运用；通过探究得到平面直角坐标系中多边形坐标变化与其位似图形的关系，并能应用该结论将一个多边形放大或缩小。 2.难点 判断位似图形和根据条件画位似图形；通过位似的相关概念和性质判断直角坐标系中两个多边形是否位似；比较放大或缩小 后的图形与原图形的坐标与相似比，总结规律。 知识点01 位似图形的定义 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意： ①成位似的两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形 ②位似图形对应点的连线都经过同一个点； ③位似图形对应边平行． 【即学即练】 1.视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 2.下列相似图形不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 3.如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，与位似的位置有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个及个以上 知识点02 位似图形的性质 位似图形是特殊的相似图形，因此，具有所有相似图形的性质，特别要注意以下几点： ①对应角相等，对应边之比等于位似比； ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． ③位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的平方． 【即学即练】 1.如图，与位似，点O为位似中心，已知，则AC与DF的比是（　　） A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5 2.如图，与位似，点为位似中心．已知，，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 3.如图，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A（2，1），则点C的坐标为（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（2，4） D．（4，2） 题型01 确定位似中心 【典例1】把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（      ）    A．点A B．点 C．点 D．点 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【变式3】如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 题型02 求位似图形中的线段长度 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（    ）      A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】如图，与关于点位似，位似比为，已知， 则的长等（　）    A． B． C． D． 【变式2】以点为位似中心，将缩小后得到如图所示的，且．若，则线段的长为 ． 【变式3】如图，与位似，点为位似中心，与的面积之比为，若，则的长为 ． 题型03 求位似图形的周长及面积 【典例3】如图，与位似，位似中心为点O．已知，若的周长等于4，则的周长等于 ． 【变式1】如图，已知与位似，位似中心为点O，若，则与的周长之比为（     ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，点O是五边形和五边形的位似中心，若，则五边形和五边形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为 题型04 坐标系中的位似图形 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在坐标原点，边在轴上，已知点的坐标为，如果与关于点成位似图形，且的面积等于的面积的倍，则点的坐标可能是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示． (1)将绕点O顺时针旋转 得到，作出，并写出点的坐标 ． (2)将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比． 【变式2】如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为 ． 【变式3】如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形且顶点均在格点上．    (1)请在图中画出位似中心的位置，位似中心的坐标为______． (2)与的位似比为______，面积比为______． (3)若通过平移，使点与点重合，直接写出平移的最短路程． 1.如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（　　） A． B． C． D． 2.如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的位似比为2：1．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证，则下列说法正确的是（　　） A．只有珍珍正确 B．只有明明正确 C．两个人都正确 D．两个人都不正确 3.如图，与是位似图形，位似中心为O，，，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．21 D．49 4.如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 5.如图， 与是关于轴上一点的位似图形，若，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 6.如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 7.如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝　 　． 8.在平面直角坐标系中， 和 的相似比等于 ，并且是关于原点 的位似图形，若点 的坐标为 ，则其对应点 的坐标是　 　． 9.在平面直角坐标系中，已知点，．以原点O为位似中心，把放大，使得放大前后对应线段的比为，则点E的对应点的坐标为　 　． 10.作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形； （2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标． 11.如图，小方格都是边长为1的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上. （1）画出位似中心点； （2）求出与的周长比与面积比. 12.如图，在直角坐标系中，矩形与矩形位似，矩形的边在y轴上，点B的坐标为，矩形的两边都在坐标轴上，且点F的坐标为，则矩形与的位似中心的坐标是　 　． 13.如图①②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上． （1）在图①中，以格点为顶点，画出一个△DCE与△ACB成位似图形，且位似比为1：2 （2）在图②中找出AB的一个三等分点点P．辅助线用虚线． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.4 图形的位似 教学目标 1.知道位似图形及其有关概念，知道位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； 2.利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在有关的学习和运用过程中发展自己的数学应用意识和动手操作能力。 3.能熟练地利用平面直角坐标系中，多边形坐标变化与其位似图形的关系，将一个图形放大或缩小 教学重难点 1.重点 利用定义能判断两个图形是否是位似图形及位似图形的性质的运用；通过探究得到平面直角坐标系中多边形坐标变化与其位似图形的关系，并能应用该结论将一个多边形放大或缩小。 2.难点 判断位似图形和根据条件画位似图形；通过位似的相关概念和性质判断直角坐标系中两个多边形是否位似；比较放大或缩小 后的图形与原图形的坐标与相似比，总结规律。 知识点01 位似图形的定义 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意： ①成位似的两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形 ②位似图形对应点的连线都经过同一个点； ③位似图形对应边平行． 【即学即练】 1.视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】B 【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意； B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意； C、①和④是位似图形，则此项不符合题意； D、②和④是位似图形，则此项不符合题意； 故选：B． 2.下列相似图形不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念判断即可． 【详解】解：D中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形， A、B、C中的图形符合位似变换的定义，是位似图形， 故选：D． 3.如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，与位似的位置有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个及个以上 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，结合图像找出符合条件的位置即可求解。 【详解】解：旋转的过程中，只有当点落在线段和线段的延长线上时，与位似， ∴有两个位置， 故答案为： 知识点02 位似图形的性质 位似图形是特殊的相似图形，因此，具有所有相似图形的性质，特别要注意以下几点： ①对应角相等，对应边之比等于位似比； ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． ③位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的平方． 【即学即练】 1.如图，与位似，点O为位似中心，已知，则AC与DF的比是（　　） A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5 【答案】B 【分析】根据位似的性质可得结合已知条件，即可求解. 【详解】与位似， ， 故答案为：B. 2.如图，与位似，点为位似中心．已知，，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似比等于对应边的比，面积比等于位似比的平方，可以得到结果 【详解】因为OA和OD是对应边，其比为1:2，因此与的面积比为，故选B 3.如图，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A（2，1），则点C的坐标为（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（2，4） D．（4，2） 【答案】D 【分析】根据位似变换的性质将点A的横、纵坐标乘以2即可得出结论. 【详解】△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A（2，1）， 则点C的坐标为（22，12），即 （4，2） ， 故答案为：D. 题型01 确定位似中心 【典例1】把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点， 故选： 【变式1】如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（      ）    A．点A B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，据此即可求解． 【详解】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点A、B为对应点， 位似中心在A、B所在的直线上， 点D在直线上， 点D为位似中心． 故选：D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【变式3】如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（9，0） 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 题型02 求位似图形中的线段长度 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（    ）      A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查坐标与位似，根据两个位似三角形一定相似，且相似比等于位似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【变式1】如图，与关于点位似，位似比为，已知， 则的长等（　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解： 与关于点位似，位似比为， ， ， ， 则． 故选：D． 【变式2】以点为位似中心，将缩小后得到如图所示的，且．若，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵和是位似图形，点为位似中心， ∴，又，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式3】如图，与位似，点为位似中心，与的面积之比为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质计算即可． 本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键． 【详解】解：与位似， ，， ， ， 与的面积之比为， ， ， ， 故答案为：． 题型03 求位似图形的周长及面积 【典例3】如图，与位似，位似中心为点O．已知，若的周长等于4，则的周长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长：的周长， ∵的周长等于4， ∴的周长， 故答案为：12． 【变式1】如图，已知与位似，位似中心为点O，若，则与的周长之比为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵与位似， ， ， ， 与的周长之比为， 故选：A． 【变式2】如图，点O是五边形和五边形的位似中心，若，则五边形和五边形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】∵五边形和五边形是位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴五边形和五边形的面积比为：， 故选：D． 【变式3】如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为 【答案】/ 【分析】此题考查了位似的性质，相似三角形的判定和性质．连接，根据平行四边形的性质先求出，由证得，求出，据此求解即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形，面积为20， ∴， ∵和是以B为位似中心的位似图形， ∴点A、P、C在同一条直线上，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴与的面积之和为． 故答案为：． 题型04 坐标系中的位似图形 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在坐标原点，边在轴上，已知点的坐标为，如果与关于点成位似图形，且的面积等于的面积的倍，则点的坐标可能是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查主要考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据题意可得，过A作轴于C，再根据等边三角形的性质可得，，即可确定点，再根据题意可得与位似为2比1，然后根据位似变换的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵等边三角形的顶点， ∴， 过A作轴于C，    ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍， ∴与位似比为2比1， ∴点A的对应点的坐标是或． 故选：C． 【变式1】在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示． (1)将绕点O顺时针旋转 得到，作出，并写出点的坐标 ． (2)将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析，与位似，位似中心为原点，相似比为 【分析】本题考查的是画旋转图形，位似图形的含义； （1）分别确定绕点O顺时针旋转 后的对应点，再顺次连接即可；再根据的位置可得其坐标； （2）先将的三个顶点坐标分别乘以，描出对应的点、、，再顺次连接，结合位似图形的含义可得答案； 【详解】（1）解：如图，即为所求做的三角形； ∴ （2）解：由题意得：， 如图，即为所要求做的三角形． 与位似，位似中心为原点，相似比为． 【变式2】如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】 本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识，利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可（注意有两种情形）．解题的关键是掌握位似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】 解：如图所示： 或即为所求， 的坐标为或， 故答案为：或． 【变式3】如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形且顶点均在格点上．    (1)请在图中画出位似中心的位置，位似中心的坐标为______． (2)与的位似比为______，面积比为______． (3)若通过平移，使点与点重合，直接写出平移的最短路程． 【答案】(1)作图见解析，； (2)， (3) 【分析】（1）连接、，两线相交于点D，根据位似中心的概念、结合图形解答即可； （2）根据，，即可得出相似比和面积比． （3）根据勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：如图，位似中心的坐标为：．    （2）解：∵，， ∴与的位似比为：， 与的面积比为：． 故答案为：，． （3）解：由图可知，， ∴通过平移，使点与点重合，平移的最短路程为． 1.如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似中心的定义求得坐标为（-3，-1），从而得出结论. 【详解】和是位似图形， 位似中心的坐标是 （-3，-1）， 故答案为：A. 2.如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的位似比为2：1．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证，则下列说法正确的是（　　） A．只有珍珍正确 B．只有明明正确 C．两个人都正确 D．两个人都不正确 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质作图即可． 【详解】解：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和顶点；根据相似比，确定对应点的位似图形的点；顺次连接各点，得到位视图形；而珍珍和明明画的位似图形，对应边满足比值等于位似比，则珍珍和明明都正确． 故选：C． 3.如图，与是位似图形，位似中心为O，，，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．21 D．49 【答案】D 【分析】直接利用位似的性质，然后得出位似比，再求出相似三角形的面积比，求出答案即可. 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为O，AO：AD=3：4， ∴OA：OD=3：7 ∴ ∴△DEF的面积为：49 故答案为：D. 4.如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】利用位似变换判断即可。 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接OB、OA、OC， 则图形②的三个顶点与△ABC的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与△ABC位似． 故答案为：B 5.如图， 与是关于轴上一点的位似图形，若，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点，先证出可得求出，再求出，可得位似中心到点的距离是1，再求出位似中心的坐标即可. 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵对应点和的坐标分别为，， ∴，，，，， 由题意可得：， ∴， ∴， 解得：， ∴位似中心到点的距离是1， ∴位似中心的坐标为， 故选：B． 6.如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上点（x，y）对应的位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此解答即可. 【详解】解：∵ 以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， A的坐标为， ∴点A'坐标（-2×，4×）或（-2×（-），4×（-）） 即 或 . 故答案为：B. 7.如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝　 　． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质即可求出答案. 【详解】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD ∴ 故答案为： 8.在平面直角坐标系中， 和 的相似比等于 ，并且是关于原点 的位似图形，若点 的坐标为 ，则其对应点 的坐标是　 　． 【答案】 或 【分析】利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以和-即可得到答案。 【详解】解：∵ 和 的相似比等于 ，并且是关于原点 的位似图形，而点 的坐标为 ， 点 对应点 的坐标为 或 ， 即点 的坐标为 或 ． 故答案为： 或 ． 9.在平面直角坐标系中，已知点，．以原点O为位似中心，把放大，使得放大前后对应线段的比为，则点E的对应点的坐标为　 　． 【答案】 【分析】以原点为位似中心，对图形进行位似放大k倍，点P(x，y)的对应点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【详解】解：以原点O为位似中心，把放大，使得放大前后对应线段的比为， 点，则点E'的横坐标为-4×2=8，纵坐标为2×2=4，即E'(-8，4) 或点E'的横坐标为-4×(-2)=8，纵坐标为2×(-2)=-4，即E'(8，-4) 故答案为：(-8，4)或(8，-4). 10.作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形； （2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标． 【答案】（1）见详解；（2）B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2） 【分析】（1）延长BO到点B′，使OB′=2OB，则B′就是B点的对应点，延长CO到点C′，使OC′=2OC，则C′就是C点的对应点，顺次连接OB′，OC′，B′C′，则三角形OB′C′就是所求的三角形； （2）根据图形再平面直角坐标系中的位置，直接写出B′、C′点的坐标即可。 【详解】（1）解：△OB′C′是所求的三角形； （2）解：B′的坐标是（﹣6，2），C′的坐标是（﹣4，﹣2）． 11.如图，小方格都是边长为1的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上. （1）画出位似中心点； （2）求出与的周长比与面积比. 【答案】（1）见详解；（2）周长比为，面积比为 【分析】（1）连接B′B，A'A并延长相交于一点，此点即为位似中心点O； （2）利用勾股定理算出AB及A'B'的长，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案. 【详解】（1）解：连接，并延长相交于一点，此点即为位似中心点， （2）解：由图形得，， 与的周长比为，面积比为. 12.如图，在直角坐标系中，矩形与矩形位似，矩形的边在y轴上，点B的坐标为，矩形的两边都在坐标轴上，且点F的坐标为，则矩形与的位似中心的坐标是　 　． 【答案】(0，2)或(4，-4) 【分析】分两种情况：①连接交y轴于点P，②连接，，并延长，交点为点P，再分别求解即可。 【详解】解：连接交y轴于点P， ∵B和F是对应点， ∴点P为位似中心， 由题意得，，，， ∵， ∴∽， ∴，即， 解得：， ∴， ∴位似中心的坐标是； 连接，，并延长，交点为点P，如图所示： 则点P为位似中心， 由题意得：，， ∵， ∴∽， ∴，即， ∴， ∴， ∵点C为：，点E为：， ∴点P的坐标为：； 故答案为：或． 13.如图①②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上． （1）在图①中，以格点为顶点，画出一个△DCE与△ACB成位似图形，且位似比为1：2 （2）在图②中找出AB的一个三等分点点P．辅助线用虚线． 【答案】见详解 【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求出答案. （2）根据线段三等分点的性质即可求出答案. 【详解】（1）解：如图所示，△DCE即为所求 （2）解：如图所示，点P即为所求 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $