2026届高三数学高考复习回归教材讲义：10.计数原理、概率、随机变量及其分布

该高中数学高考复习讲义围绕计数原理、概率、随机变量及其分布核心考点，按“原理探究-方法应用-真题对接”逻辑整合排列组合、二项式定理、古典概型、分布列等知识，通过教材探究梳理、典题方法指导、真题实战训练环节，帮助学生构建知识体系，突破分类分步、期望方差计算等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学思维与数学语言培养，以17个教材探究问题引导学生抽象计数原理、推理概率关系，如用先选后排策略解决排列组合问题，结合二项式定理通项分析真题，强化模型意识。设置分层练习与即时总结，助力学生高效掌握高考题型，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升学生应考能力。

计数原理、概率、随机变量及其分布 教材宏观把控系统知识、明确方向 宏观把控 两 排列 排列概念 排列数公式 个 与 原 组合 组合概念 组合数公式 应用 原 组合数性质 项 二项展开 通项公式 定 式的性质 二项式系数的性质 概率、概率的 随机事件 频率 性质与意义 古典概型 随机数与 应用概率 解决实际 随机模拟 问题 率 分布列 离散型 随机变量 期望 方差 正态分布 命题方向 计数原理作为高考的必考内容，在2023年的高考中预计仍会以“一小（选择题或填空题)”的格局呈 现.小题考查方向主要体现在以下两方面：一是以分类加法计数原理和分步乘法计数原理为基础的排列组合 问题，要理解分类和分步的思想；二是以二项式定理为主体的问题，主要考查二项展开式的通项公式，求 特定项的系数、参数的值、系数和等 概率作为高考的必考内容选择、填空常考查古典概型，时而考查对立事件、相互独立事件、概率及独立重 复试验的概率；解答题常以频率分布直方图、折线图为载体考查随机变量的分布列及期望、方差，考查数 据处理能力、应用意识与创新能力， 教材探究思考挖掘内涵、探究本质 探究1（人教A版选择性必修第三册P3) (1)如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方 案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ (2)如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？ 探究2（人教A版选择性必修第三册P3) (1)如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3 步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ (2)如果完成一件事情需要个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？ 探究3（人教A版选择性必修第三册P1z)从n个不同元素中取出m个元素的排列数A(m≤n)是多少？ 探究4（人教A版选择性必修第三册P23)前面己经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系， 由排列数A来求组合数C呢？ 探究5（人教A版选择性必修第三册P29)我们知道，(a+b)P=a+2ab+b2, (a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 (1)观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ (2)根据你发现的规律，你能写出(a+b)4的展开式吗？ (3)进一步地，你能写出(a+b)”的展开式吗？ ………… 100000”014400 ………………………… ……………… 探究6（人教A版必修第二册P239)设事件A与事件B互斥，和事件AUB的概率与事件A,B的概率之间 具有怎样的关系？ 探究7（人教A版必修第二册P246)下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B,你觉得事件A发生与 否会影响事件B发生的概率吗？ 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”. 试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中 依次任意摸出两球设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3” 分别计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现？ 探究8（人教A版必修第二册P247)互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事件B 相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例，分别验证A与B,A与B,A与 B是否独立，你有什么发现？ 探究9（人教A版选择性必修第三册P56)考察下列随机试验及其引入的变量： 试验1：从100个电子元件（至少含3个以上次品）中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的 次品数： 试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数 这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变量X,Y有哪些共同的特 征？ 探究10（人教A版选择性必修第三册P64)如果X是一个离散型随机变量，将X进行平移或伸缩后，其均 值会怎样变化？即E(X+b)和E(aX)(其中a,b为常数)分别与E(X)有怎样的关系？ 探究11（人教A版选择性必修第三册P69)离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散 型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 探究12（人教A版选择性必修第三册P2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续3次射击，中 靶次数X的概率分布列是怎样的？ 探究13（人教A版选择性必修第三册P76)假设随机变量X服从二项分布B(n,p),那么X的均值和 方差各是什么？ 教材典题重温重温典题、追本溯源 典题1（人教A版选择性必修第三册P12T1、T12)(1)在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假 期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法？ (2)2160有多少个不同的正因数？ 典题2（人教A版选择性必修第三册P16例2）(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每 人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ (2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ ……… … 典题3（人教A版选择性必修第三册P19例4）用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位 数？ 典题4（人教A版选择性必修第三册P27T12)(1)从0,2,4,6中任取3个数字，从1,3,5中任取2 个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ (2)由数字0,1,2,3,4,5,6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数？ 真题再现从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成个没 有重复数字的四位数（用数字作答）· 点评本题考查排列组合及简单的计数问题，先选后排是解决问题的关键，且此题命题角度与课本习题类 似，属于改编题 典题5（人教A版选择性必修第三册P8T3)(1)求(1-2x(1+3x)4的展开式按x的升幂排列的第3项； (2)求/9x+118 3x 的展开式的常数项： (3)求(1+x+x2)(1-x的展开式中x的系数： (4)求(x2+x+y)的展开式中xy的系数， 真题再现 (1)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为() A.12 B.16 C.-10 D.10 16 (2) (2020全国Ⅲ卷) x2+2 的展开式中常数项是 (用数字作答). y (3) (2020全国I卷) X+ (x+y卢的展开式中x3y3的系数为() X A.5 B.10 C.15 D.20 点评以上三题考查二项式定理的应用、二项式展开式的通项公式及二项式系数的性质，命题角度与课本 习题类似， 典题6（人教A版必修第二册P28例4）如图，一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常， 也可能失效把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常 (1)写出试验的样本空间： (2)用集合表示下列事件：M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”. 典题7（人教A版必修第二册P248例1）一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其 他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次 摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？ 真题再现 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次 取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是T',则() A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 点评本题考查相互独立事件的应用，判断是否独立事件的方法是检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立，与 课本例题命题角度类似 典题8（人教A版选择性必修第三册P61T5)老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规 定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列： (2)他能及格的概率」 典题9（人教A版选择性必修第三册P61T6)某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦 某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会李明 决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8，且每次考试是否通过相互独立，试 求： (1)李明在一年内参加考试次数X的分布列： (2)李明在一年内领到资格证书的概率 典题10（人教A版选择性必修第三册P65例4）根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大 洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失 10000元.为保护设备，有以下3种方案： 方案1运走设备，搬运费为3800元： 方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水： 方案3不采取措施。 工地的领导该如何决策呢？ … 。00.0。。。0.0。。。 真题再现某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中 选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再 随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束A类问题中的每个问题回答正确得20分， 否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分. 己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率 与回答次序无关， (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列： (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由 ...................................................... … … .</p 典题11（人教A版选择性必修第三册P69例6)投资A,B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2 所示 表1股票A收益的分布列 收益X/元 -1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2股票B收益的分布列 收益Y1元 0 概率 0.3 0.4 0.3 (1)投资哪种股票的期望收益大？ (2)投资哪种股票的风险较高？ 100000”014400 典题12（人教A版选择性必修第三册P4例2)如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相 互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶 端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中格子 从左到右分别编号为0,1,2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列， 典题13（人教A版选择性必修第三册Ps例3）甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率 为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ 典题14（人教A版选择性必修第三册P91Tg)已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现在门大炮同时对 某一目标各射击一次 (1)当n=10时，求恰好击中目标3次的概率（精确到0.001）： (2)如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？ 典题15（人教A版选择性必修第三册P91T12)某城市高中数学会考，假设考试成绩服从正态分布 N(75,82).如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩分为A,B,C,D四个等级，试确定各 等级的分数线（精确到1） 典题16（人教A版选择性必修第三册Pg1T10)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出， 每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求次传球后球在甲手中的概率， 典题17（人教A版选择性必修第三册P91T11)某单位有10000名职工，想通过验血的方 法筛查乙肝病毒携带者.假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需 要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组 5个人的血样混合再化验如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样 呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次 (1)按照这种化验方法能减少化验次数吗？ (2)如果携带病毒的人只占2%，按照k个人一组，k取多大时化验次数最少？ 0。。0。 … … 第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 教材探究思考 探究1 提示：(1)m1+m2+m3 (2)假设第1类方案中有m1种不同方法，第2类方案中有m2种不同方法，·，第”类方案有mn种不同方 法，则一共有m1+m2+…+mn种不同方法。 探究2 提示：（1)m1m2m3. （2)假设做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第步有mn种不同的方法， 则一共有m1m2m3·mn种不同的方法. 探究3 提示：求排列数A,可以按依次填m个空位来考虑： 假定有排好顺序的m个空位，如图所示，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素， 每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数A. 第1位第2位第3位 第m位 n种(n-1)种(n-2)种 (n-m+1)种 填空可以分为m个步骤完成： 第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1位，有卫种选法： 第2步，从剩下的(n-1)个元素中任选1个填在第2位，有n-1)种选法： 第3步，从剩下的n-2)个元素中任选1个填在第3位，有n-2)种选法； … 第m步，从剩下的[n-(m-1)]个元素中任选1个填在第m位，有(n-m+1)种选法. 根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为 nn-1)(n-2)…(n-m+1). 这样，我们就得到公式 A=nn-1)(n-2)-(n-m+1). 这里，m,n∈N,并且m≤n,这个公式叫做排列数公式. 探究4提示：求“从n个元素中取出m个元素的排列数A,”,可以看作由以下两个步骤得到： 第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，共有C”种不同的取法： 第2步，将取出的m个元素作全排列，共有Am种不同的排法. 根据分步乘法计数原理，有A,=CAm 因此，C= _n(n-1n-2j-(n-m+1 Am m! 这里n,m∈N,并且m≤n.这个公式叫做组合数公式. 探究5提示：(1)我们先来分析(a+b尸的展开过程. 根据多项式乘法法则， (a+b2=(a+b:(a+b)=aa+b)+b(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2」 可以看到，(a+b尸是2个(a+b)相乘，只要从一个(a+b)中选一项（选或b),再从另一个(a+b)中选 一项（选或），就得到展开式的一项。 于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，（a+b的展开式共有C2×C=2项，而且每一项都是 a2-kb(k=0,1,2)的形式， 下面我们再来分析一下形如a2-kb的同类项的个数 当k=0时，a2-kb*=a2,这是由2个(a+b)中都不选b得到的. 因此，a出现的次数相当于从2个(a+b)中取0个b(即都取a)的组合数C,即a 只有1个. 当k=l时，a2-kb=ab,这是由1个(a+b)中选a,另1个(a+b)中选b得到的.由于b选定后，a的选法 也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个(a+b)中取1个b的组合数C2,即ab共有2个. 当k=2时，a2-*b*=b2,这是由2个(a+b)中都选b得到的.因此，b2出现的次数相当于从2个(a+b)中 取2个b的组合数C2,即b只有1个. 由上述分析可以得到a+bP=Ca2+C2ab+Cb2. (2)(a+b)4=C4a4+C4a3b+Ca2b2+Cab3+C4b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (3)(a+bP=C9a”+Cam-1b+…+C*a"-kb+…+Cb,n∈N 探究6提示：因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(AUB)=n(A)+n(B),这 等价于P(AUB)=P(A)+P(B) 探究7提示：对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相 不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率。 对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生 与否也不影响事件B发生的概率。 在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为 2={(1,1),（1,0),（0,1),（0,0)},包含4个等可能的样本点.而A={(1,1),（1,0)},B={（1,0),(0,0)}, 所以AB={(1,0)}」 由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)P(AB)=子 于是P(AB)=P(A)P(B). 积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积. 在试验2中，样本空间2={(m,n川m,n∈{1,2,3,4}，而 A={(1,1),（1,2),（1,3),(1,4),（2,1),（2,2),（2,3),（2,4)}, B={1,1),(1,2),（2,1),（2,2),(3,1),（3,2),（4,1),（4,2)},AB={（1,1),（1,2),（2,1),（2,2)}, 所以P(A=P(B)=P(AB)=A 于是也有P(AB)=P(A)P(B)」 积事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘积 探究8提示：对于A与B,因为A=ABUAB,而且AB与AB互斥，所以 P(A)=P(ABU AB)=P(AB)+P(AB=P(AP(B+P(AB), 所以P(AB)=PA)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)=P(A)P(B)。 由事件的独立性定义，A与B相互独立。 类似地，可以证明事件A与B,A与B也都相互独立。 探究9提示：对于试验1， 如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点， 则样本空间 21={000,001,010,011,100,101,110,111}。 2 X 000 0 001 010 011 2 100 101 110 2 111 各样本点与变量的值的对应关系如图所示。 对于试验2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用h表示第3次才出现“正面朝 上”，则样本空间22={h,th,th,tth,…}, 22包含无穷多个样本点。 各样本点与变量'的值的对应关系如图所示。 在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应。变量X,Y有如下共同点： 2 h th 2 tth 3 ttth (1)取值依赖于样本点； (2)所有可能取值是明确的。 探究10提示： 设X的分布列为P(X=x=p,i=1,2,…,n。 根据随机变量均值的定义， E(X+b)=(x1+b)p+(x2+b)p2++(xn+b)pn =(x1p1+x2p2++xnPn)+b(p1+p2++Pn) =E(X)+b: 类似地，可以证明E(aX)=aE(X)。 E(ax)=axp1+ax2 p2++axn Pn =ax1p1+X2P2+…+Xnpn)=aE(X)。 同理，E(aX+b)=aE(X)+b。 探究11提示：离散型随机变量X加上一个常数b,仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值 的离散程度，方差保持不变，即D(X+b)=D(X)。 而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍，即D(aX)=aD(X)。 一般地，可以证明下面的结论成立：D(aX+b)=aD(X)。 而期望性质中E(X+b)=E(X)+b,E(aX)=aE(X), E(aX+b)=aE(X)+b。 探究12提示：用A,表示“第1次射击中靶”(i=1,2,3),用如图的树状图表示试验的可能结果。 试验结果X的值 8： -AA2A3—2 02区—A,AA—1 0.2 心@%是 @等- 由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有2=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互 独立事件的积。 由概率的加法公式和乘法公式得 P(X=0)=P(A1A2A3)=0.23, P(X=1)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3+P(A1A2A3)=3×0.8×0.2, P(X=2)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3) =3×0.82×0.2, P(X=3)=P(A1A2A3)=0.8。 为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表 示为011,110,101，这三个结果发生的概率都相等，均为0.8×0.2，并且与哪两次中靶无关。 因此，3次射击恰好2次中靶的概率为C3×0.8×0.2。同理可求中靶0次、1次、3次的概率。 于是，中靶次数X的分布列为P(X=k)=C×0.8“×0.23-k,k=0,1,2,3。 探究13提示：X均值为E(X)=np,X的方差为D(X)=np(1-p). 教材典题重温 典题1解(1)7×6×6×6×6×6×6=326592 (2)令N=2160=24×33×51, ∴.2160的正因数为P=2×3×5', 其中a=0,1,2,3,4,B=0,1,2,3,y=0,1, ∴.2160的正因数共有5×4×2=40个 典题2解(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩 下的3盘菜中取1盘给同学丙， 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×4×3=60」 (2)可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法： 再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法： 最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的选法种数为 5×5×5=125 典题3解如图所示，由于三位数的百位上的数字不能是0， 百位十位个位 A,种A种 所以可以分两步完成：第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个，有Ag种取法： 第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中按顺序取出2个，有A种取法 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为A。×A。=9×9×8=648 典题4解(1)①0,2,4,6中不选时，有C种选法，从1,3,5中任取2个数字，有C种选法，共 有C×C×A=360(个)：②0,2,4,6中选时，有C种选法，从1,3,5中任取2个数字，有C 种选法，0不能放首位，共有C3×C号×C1×A=864(个)，综上，一共可以组成360+864=1224个没 有重复数字的五位数， (2)要求数字比5000000大，当首位数字从5,6选一位，其他的任意排 故有C2A8=1440种， 真题再现1260[若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CC3A4；若取的4个数字包括 0,则可以组成的四位数的个数为CCC;A.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为 CC3A4+CCC3A3=720+540 =1260.] 典题5解(1)(1-2x3(1+3x)4的展开式按x的升幂排列的第3项，即展开式中含的项为 C4(3x2+C(-2x2+C(-2x小C(3x)=-26x2 1 118 (2)9x+ 3灰 展开式的通项公式为 T,+1=C1g(9x18-r. 1 18-2 3x =326-3.C18 令18-3r=0可得r=12, 故展开式的常数项为C1设=Ca (3)展开式中含x项的来源是：第1个因式取1，第2个因式取C10(-x)；第1个因式取x,第2个因式 取C(-x户：第1个因式取x2,第2个因式取Co(-x2. 故C10(-x)+xC(-x)3+x2.C(-x)2=135x, 故x的系数为135. (4)(x2+x+y5=[(x2+x)+y]5 展开式的通项公式为T+1=C5(x2+x5y,取r=2,即T3=C(x2+x)3y (x2+x)乃展开式的通项公式为Tk+1=C(x2)3-*x=Cx-k, 取k=1,T2=Cx3=3x, .xy的系数为3C=30 真题再现（①）A(2)240(3)C[(1)展开式中含x的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x的系数 为1×C3+2C1=12 +2 (2) 的展开式的通项为 T+1=C6(x2)-. =C62x2-3 令12-3r=0,解得r=4,得常数项为C624=240。 (3》当+上中取x时，Xy的系数为C, 当x+兰中取士时，父y的系数为C, X .x2y的系数为C+C3=10+5=15,] 典题6解(1)分别用X1,X2和X3表示元件A,B和C的可能状态，则这个电路 的工作状态可用x1,X2,X3表示 进一步地，用表示元件的“正常”状态，用表示“失效”状态，则样本空间 2={(0,0,0),（1,0,0,（0,1,0),0,0,1),1,1,0),（1,0,1),(0,1,1),(1,1,1}. 如图，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果。 元件A元件B元件C可能结果 0------000 0 1-----001 0------010 011 0------100 1-----101 0-----110 1------111 (2)“恰好两个元件正常”等价于X1,X2,x3)∈2，且X1,X2,X3中恰有两个为1，所以 M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1} “电路是通路”等价于x1,X2,x3)∈2，X1=1,且X2,X3中至少有一个是1，所以 N={（1,1,0),(1,0,1),（1,1,1)}. 同理，“电路是断路”等价于X1,X2,X3)∈2，X1=0,或X1=1,X2=X3=0.所以 T={(0,0,0),(0,1,0),0,0,1),(0,1,1),（1,0,0)}. 典题7解因为样本空间2={(m,n)川m,n∈{1,2,3,4}，且m≠n}, A={(1,2),(1,3),(1,4),（2,1),（2,3),（2,4)}, B={(1,2),(2,1),3,1),（3,2),（4,1),（4,2)}, 所PA=PB8子P是- 此时P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立. 真题再现B[事件甲发牛的新率P(甲)合亭件乙发生的概率P(乙) ,事件丙发生的概率 6×636,事件丁发生的概率P(丁)=6=1 P(丙)=、5 6×66事件甲与事件丙是互斥事件，不是相互独立 11 事件，放A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为6×66P(甲丁)=P(甲)P(丁)，故B正确：事 件乙与事件丙同时发生的概率为6k6=36,P P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互 斥事件， 不是相互独立事件，故D错误.] 典题8解(1)设从10篇课文中随机抽3篇该同学能背诵的篇数为X,则X可取0,1,2,3，且服从超几 何分布. C6C3 CC0 P(X-1 P(X=0)= 10 P(X=2)= CC-1.p(X=3= 2c-1 2 .X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 30 1 1-2 6 （2)该同学能及格， 表示他能背诵2篇或3篇，故概率为P(X≥2=P(X=2)+P(X=3)=+1-2 2631 典题9解(1)X的取值分别为1,2,3， P(X=1)=0.6,P(X=2)=1-0.6)×0.7=0.28,P(X=3)=1-0.6)×(1-0.7)=0.12, .X的分布列为 X 1 P 0.6 0.28 0.12 (2)李明在一年内领到资格证书的概率为1-（(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.976. 典题10解各种方案在不同状态下的总损失如下表所示 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 方案1 3800 3800 3800 总损失/元 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3. 采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元. 因此，P(X1=3800)=1. 采用方案2，遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元：没有大洪水时， 总损失为2000元. 因此，P(X2=62000)=0.01,P(X2=2000)=0.99. 采用方案3，P(X3=60000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74. 于是，E(X1)=3800,E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600, E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100. 因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2. 真题再现解(1)由题意得，X的所有可能取值为0,20,100， P(X=0)=1-0.8=0.2, P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32 P(X=100)=0.8×0.6=0.48, 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得 E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4. 当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0,80,100， P(Y=0)=1-0.6=0.4, P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12, P(Y=100)=0.6×0.8=0.48, 所以Y的分布列为 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 E(Y）=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6. 因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X),所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题. 典题11解(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为 E(X)=（-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1, E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1. 因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大 (2)股票A和股票B投资收益的方差分别为 D(X)=(-12×0.1+02×0.3+22×0.6-1.12=1.29, D(Y）=0×0.3+12×0.4+22×0.3-12=0.6 因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以投资股票A比投资股票B的风险高. 典题12解设A=“向右下落”，则A=“向左下落”，且P(A)=P(A)=0.5 因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以 X~B10,0.5). 于是，X的分布列为P(X=k)=C×0.50,k=0,1,2,…,10 典题13解采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3,0.6). 甲最终获胜的概率为p1=P(X=2)+P(X=3)=C3×0.62×0.4+C3×0.63=0.648」 采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X~B(5,0.6). 甲最终获胜的概率为 p2=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C3×0.63×0.42+C×0.64×0.4+C3×0.6=0.68256」 因为P2>P1,所以5局3胜制对甲有利. 实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利 典题14解(1)记X为击中目标的次数，则X~B(10,0.3),恰好击中目标3次的概率为 P(X=3)=C3×0.33×0.7≈0.267 (2)目标被击中的次数X~B(n,0.3), 目标至少被击中一次可以表示为X>0},它的对立事件是{X=0}, 所以“目标至少被击中一次”的概率为 P(X>0)=1-P(X=0)=1-（1-0.3)” 为使目标被击中的概率超过95%，需使1-（1-0.3”>95%，解得n>8.4 根据实际意义，至少需要9门大炮才能使目标至少被击中一次的概率超过95%： 典题15解因为μ=75,0=8， P(x>4+0)=1-PI-05X≤+o≈1-0.6827≈0.16=16%， 2 所以A等级的分数线为μ+0=75+8=83分以上. P(μ≤X≤μ+0)=P(X≥μ)-P(X≥μ+0)≈0.5-0.16=0.34=34%， 所以B等级的分数线为μ，！+O), 即[75,83). 同理可得，C等级分数线为67,75)，D等级的分数线为67分以下. 典题16解记第n次传球后球在甲手中的概率为P(n),则第n-1次传球后球在甲手中的概率为P(n-1), 开始时球在甲手中，则P(0)=1. 若第”次传球后球在甲手中，则第n-1次传球后球不在甲手中，即第n-1次传球后球在乙或丙手中，所以第 n-1次传球后球不在甲手中的概率为1-P(n-1), 1 又乙或丙在第”次把球传到甲手上的概率为2 于是有[1-p(n-1]=P(n, 即Pn)=Pa-1+2 所以P(n号Pn-1小 所以Pn心号引是首项为P1-1小号专公比为方的等比装列， 所以P(n)-33 典题17解(1)设每个人需要的化验次数为X 若褪合血特呈阴性，则X- 若混合血样呈阳性，则X二。. 因此，X的分布列为P(X=吉)=0.95， E(X)=3[0.95+6×(1-0.953]≈0.4262. 说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次，10000个人大约需要化验4 262次，新的化验方法能减少化验次数、 (2)假设k个人一组，设每个人需要的化验次数为Y. 若混合血样呈阴性，则Y=衣： 1 若混合血样呈阳性，则了=1+ 因此.Y的分布列为PX==09。 PX=1+2=1-0.98 Er-098+k+11-09g川-1.09g. k 俐用计算器或计算机对k取1,2,3，…逐一计算十1-0.98发现当K取8 时，E(Y)取到最小值0.2742. 此时，10000个人大约需要化验2742次.