2026届高三数学高考复习回归教材讲义：3.一元函数的导数及其应用

该高中数学讲义聚焦一元函数的导数及其应用，覆盖导数几何意义、单调性判断、极值最值、不等式证明、实际应用等高考核心考点，按“教材探究-典题重温-真题再现”逻辑架构梳理知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破压轴题难点。 资料以数学眼光引导学生观察导数与函数性质的内在联系，通过对比教材典题与高考真题培养数学思维，如总结不等式链提升证明效率，设置分层练习强化模型意识，能在有限时间内提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

一元函数的导数及其应用 教材宏观把控系统知识、明确方向 丨宏观把控 导数的 平均变化率 概念及 瞬时速度 其意义 导数的几 曲线的割线斜 函数 何意义 率、切线斜率 尊 导数的 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 数 运算 及 简单复合函数的导数 导数在研 函数的单调性 用 究函数中 函数的极值与最大（小）值 的应用 丨命题方向 (1)本章内容是高考的热点，一般考查“两小一大”或“一小一大”，分值一般为20 分，解答题一般作为压轴题出现，选择、填空题也有可能作为压轴小题出现，难度较大 (2)高考重点考查利用导数判断函数的图象、导数的几何意义、求曲线的切线方程、利用 导数判断或证明函数的单调性、函数的极值和最值问题，或由以上考查内容为基础，考查 利用导数证明不等式、解决恒成立问题及有解问题、函数的零点问题 教材探究思考挖掘内涵、探究本质 探究1（人教A版选择性必修第二册P4)画出函数y=1的图象，根据图象，描述它的 变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. 探究2（人教A版选择性必修第二册P)对于高台跳水问愿，函数ht) 的单调性与 h')的正负有内在联系，那么，我们能否由h't)的正负来判断函数h)的单调性 呢？ 探究3（人教A版选择性必修第二册P87)请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在 某个区间上单调的函数y=fx)的平均变化率的几何意义与f(x)的正负关系. 探究4（人教A版选择性必修第二册P）研究对数函数y=x与幂函数y=x在区间 (0,+o0)上增长快慢的情况 探究5（人教A版选择性必修第二册P91)导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 教材典题重温重温典题、追本溯源 典题1（人教A版选择性必修第二册Pa习题5.2T,)求曲线y=sinx在点M(几，0处的切 X 线方程 真题再现 曲线y=2x-1 X+2 在点(-1，-3)处的切线方程为 点评本题和教材习题非常类似，给出的函数都是分式函数，都属于简单的求切线方程问题 典题2（人教A版选择性必修第二册Po例4）设x>0,fx)=lx,g(x)=1-1,两个函 数的图象如图所示判断f(x),g(x)的图象与C1,C2之间的对应关系 y C, 典慰3（人教A版选择性必修第二册p,例7）给定函数fx=(x+1)e (1)判断函数fx)的单调性，并求出f(x)的极值： (2)画出函数f(x)的大致图象： (3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数： 典题4（人教A版选择性必修第二册P96例8）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料， 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料， 制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 典题5（人教A版选择性必修第二册Pg4练习T2)证明不等式：X-1≥lx,x∈(0，+oo). 二 典题6（人教A版选择性必修第二册Pg7习题5.3T12)利用函数的单调性，证明下列不等式， 并通过函数图象直观验证， (1)e>1+x,x≠0：(2)lnx<x<e,x>0. 点评1.问题源于求曲线y=e在(0,1)处的切线及曲线y=lnx在(1,0)处的切线，通过观察 函数图象间的位置关系可得到以上结论，可构造函数fx=e-X-1与g(x)=x-x-1对 以上结论进行证明 2.两题从本质上看是一致的，第(2)题可以看作第（1)题的推论，在第(1)题中，用“ x”替换“X”，立刻得到x>1+lnXX>0且x≠1y进而得到一组重要的不等式链： e'>x+1>x-1>nx(x>0且x≠1 3.利用函数的图象，不难验证上述不等式链成立 真题再现(1)设a=21n1.01,b=ln1.02,c=1.04-1,则() A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b (2)已知a>0:且a≠1函数f(x)=Y（x>0)若曲线y=f(x与直线y=1有且仅有两个 0 交点，求a的取值范围 点评以上两个高考题的基本解法都利用构造函数解不等式，和教材习题的解法同出一脉， 其中教材习题的两个不等式用处广泛，在甲卷21题的解答过程中已应用.另外，这些不等 式变式众多，这就需要我们独具一双慧眼，仔细观察，以发现它为我所用. 下面是几个关于lnx的重要不等式： (1)1-1≤lnx≤x-1(x>0). (2)1 (0<xs1,n X (3)lnx≥ 2(x-1) x≥1；lnx x+1 2x-10<x≤1 x+1 (4) 血(x+1≥x之，x20 (5)lnx≤x-1,x≥1. (6) xx5X<(X产X,X>0,x≥0 Inx1-Inx2 2 典题7（人教A版选择性必修第二册P,练习工，）利用导数讨论二次函数 f(x)=ax2+bx+ 的单调区间. 真题再现 已知函数fx)=X-X+x+1讨论fx)的单调性 点评本题是教材习题的深化的改编，第(1)问的难度比教材习题的难度要大，都是研究 分类讨论求函数的单调性，解答时首先要求得导函数，然后分类讨论导函数的符号即可确 定原函数的单调性 典题8（人教A版选择性必修第二册P1复习参考题5T,)已知函数f代x=XX-c在 104 X=2处有极大值，求的值 真题再现设a≠0若X=a为函数fx=a(x-a(X-b)的极大值点，则(） A.a<b B.a>b "ab<a? D.abzd 点评本题和教材习题考查的都是三次函数，考查角度相同，不同之处是高考试题在教材 习题的基础上添加了一个参数，解答本题要先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函 数值是否变号，结合极大值点的性质，对a进行分类讨论，画出f(x)图象，即可得到a,b 所满足的关系，由此确定正确选项。 典题9（人教A版选择性必修第二册P1o4复习参考题5T1)如图，直线l和圆乙，当l从lo开 始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影 部分的面积S是时间t的函数这个函数的图象大致是() 典腿10（人教A版选择性必修第二册Pn复习参考题5T,）已知曲线y=X+x在点 (1,1处的切线与曲线y=aX+(2a+3)x+1只有一个公共点，求。的值 真惠科现若直线与曲线y=R和图《+y广都相切，则1的方程为《) A.y=2x+1 B.y=2x+ 2 Cy-7x+1 y+ 典题11（人教A版选择性必修第二册P1o4复习参考题5T15)用半径为R的圆形铁皮剪出一 个圆心角为Q的扇形，制成一个圆锥形容器.扇形的圆心角α为多大时，容器的容积最大？ 典题12（人教A版选择性必修第二册P1o4复习参考题5T16)已知A,B两地的距离是130km 根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在50~100km/h.假设油价是7元/L,以 m/h的速度行驶时，汽车的耗油率为 3*2 Lh:司机每小时的工资是35元那么最 360 经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？ 典盟13（人教A版选择性必修第二册P复习参考题5T1)作函数y=e(2x:1)的大 x-1 致图象 典慰14（人教A版选择性必修第二册P复习参考思5T,8）已知函数 fx)=e-ln(x+m当m≤2时，求证fx)>0 典题15（人教A版选择性必修第二册P复习参考图5T,）已知函数 104 f(x)=ae2*+(a-2)e"-x (1)讨论fx)的单调性； (2)若fx)有两个零点，求a的取值范围 、 第三章一元函数的导数及其应用 教材探究思考 探究1提示：函数y=上的图象如图所示，结合函数图象及其 X 1 导数y'=- 发现，当X<0时，随着x的增加，函数y=文减 少得越来越快： 当X>0时，随着x的增加，函数减少得越来越慢， 点11处切线的斜率就是号数y"L==山，故斜车为1，过点1,1的切 线方程为X+y-2=0. 探究2 提示：可以发现： 当t∈(0，a)时，h'(t)>0,函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0，a)上单调 递增； 当t∈(a,b)时，h'(t)<0,函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a,b)上单调 递减。 探究3 提示：一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间P上 的任意两个自变量的值1，x2,当x1<x2时，都有f(x1)f(x2),那么就 说函数在区间D上是增（减）函数如果一个函数在某区间上是增函数或是减函数， 那就说这个函数在该区间上具有单调性.上述定义也可以理解为：在区间D上，当 fx,-fx>0时，函数是增函数：当fx-fx1<0时，函数在区间 X2-X1 X2-X1 D上是减函数，而fx-fx是函数在区间[X,x,]上的平均变化率，其几何 X2-X1 意义是指曲线fx)过点(x,fx儿(X,f(x,)的制线的斜率.由此可见，当区间(X, x)的长度很小时，平均变化率就可以近似啪反映函数yx在这个区间上的单调 性，而当x2→X1时，平均变化率的极限是函数y=f(x)在X=X1处的导数故当函数 在某个区间内的导数大于零时，函数在此区间内单调递增：当导数小于零时，函 数在此区间内单调递减 探究4 提示：对数函数y=lnx的导数为y'=1>0(X∈(0，+o儿，所以y=lnx X 在区间0，+oo)上单调递增.当x越来越大时，y'=二越来越小，所以函数y=lx y= -4 -2 4 递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”（如图(1）). y ly=x y=In x (1) (2) 幂函数 y=X的导数为y'=3X>0(x∈0，+∞》所以y=X在区间(0，+o0上单 调递增当×越来越大时，y'=3X越来越大，函数y=X递增得越来越快，图象上升 得越来越“陡峭”（如图(2)). 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较 快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得 较慢，函数的图象就比较“平缓”。 探究5 提示：导数值为0的点不一定是函数的极值点例如，对于函数f代x=x,我们有 f(x)=3x2虽然f'(0)=0但由于无论x0还是x<0恒有fx>0:即函数 fX=父是消函数，所以0不是函数fX=父的极值点一般泡，函数y=fK在 点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件. 教材典题重温 典题1 解求导得y'=osx-sinx 六切线方程的斜率k=y'kx=上 则切线方程为y=-（x-π，即y=.￥+1 π π 真题再现 y=5x+2y'= 2x-1, X+2 2x+2小-2x-万my25 (x+22 (x+2)2 所以切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2] 典题2 解因为f(x)=nx,g(x=1.1 所以f"刘归是gx是 当x=1时，f'(x)=g'(x)=1: 当0<x<1时，g'(x)>f'(x)>1: 当x>1时，0<g'(x)<f'(x)<1。 所以f(x),g(x)在(0，+∞)上都是增函数。在区间0,1)上，g(x)的图象比f(x)的图象要 “陡峭”；在区间1，+∞)上，gx)的图象比fx的图象要“平缓”。 所以fx),g(x的图象依次是图中的C2,C1。 由此图象，还可以得到一个常用的不等式： 1.1≤lnx≤x-1(x>0). X 典题3解(1)函数的定义域为X∈R。 f'(x)=(x+1)'e+(x+1)(e)'=e*+(x+1)e=(x+2)ex 令f'(x)=0,解得x=-2。 f'(x)'f(x)的变化情况如表所示。 -00,-2） -2 (-2,+0) f'(x) 0 + f(x) 单调递减 e 单调递增 所以f(x)在区间(-∞，-2)上单调递减，在区间-2，+∞)上单调递增。 当X=-2时，f(x)有极小值(-2= 1 (2)令f(x=0, 解得x=-1。 当x<-1时，f(x)<0:当x>-1时，fx>0。 所以，fx)的图象经过特殊点 Aa-2,8-10.c101 当X,0时，与一次函数相比，指数函数y=e星爆炸性增长，从而 fx=0,时.fx-+,f"x∞ f(x)=(x+1)e* f(x) -2-/ -291 我们画出 的大致图象如图所示。 (3)方程f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数。 由1)及图可得，当x=-2时，f(x)有最小值-2)=。· 所以，关于方程f(x=a(a∈R)的解的个数有如下结论： 当a<. e时，解为0个；当a=. 2或a≥0时，解为1个： 1 当。<a<0时，解为2个 典题4解由题意可知，每瓶饮料的利润是y=f(r)=0.2× 3nr3-0.8m 08a肾r0srs6 所以fr)=0.8πr2-2r小令f(r)=0:解得r=2 当r∈(0,2)时，f'(r)<0:当r∈(2,6)时，f'(r)>0 因此，当半径r>2时，f'(r)>0,f(r)单调递增，即半径越大，利润越高：当半径 r<2时fr)<0'fr单调递减，即半径越大，利润越低 (1)半径为6cm时，利润最大. (2)半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶 子的成本，此时利润是负值 典题5证明设f(x)=x-1-lnx, 则r1=1-号，x0. 由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1, 故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以fx)≥f(1)=0,即x-1≥lnx 典题6证明(1)设fx=e-1-x则f(x)=e-1 由f'(x)>0,得x>0,由f'(x)<0,得x<0, 则f(x)在(-oo,0)上单调递减，在(0，+oo)上单调递增， 故f(x)>e-1-0=0'故e>1+x (2)设f(x)=lnx-x, 则f'(x)=1-1=1-x 由f'(x)>0,得0<x<1, 由f'(x<0,得x>1, 则f(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，+∞)上单调递减， v=In x 所以f(x)≤f(1)=-1<0,即lnx<x: 由(1)知e>1+x,又1+x>x,故e>x, 所以lnx<x<e,x>0。 利用如图所示可验证不等式成立。 真题再现(1)B[法一.a=2ln1.01=ln1.0201 b=ln1.02'∴.a>b 令f(x)=2ln(1+x)-(V1+4x-1),0<x<1, 令V1+4x=t,则1<t<5, =1 4, ..g(t)=2In +3-t+1=2ln2+3-t+1-2n4 4 ∴g'(t)=4t-1=4t--3 t2+31t2+3 =1-tt-3>0 t+3 ∴g(t)在(1,5)上单调递增。 .∴.gt)>g(1)=2n4-1+1-2ln4=0 .f(x)>0'∴.a>c 同理令h(x)=ln(1+2x)-(V1+4x-1), 再令1+4x=t,则1<t<5,x=:1 =lnt2+1)-t+1-ln2 pj=2t-1=t-1<0 t+1t2+1 p(t)在(1,5上单调递减， ∴.p(t)<p(1)=ln2-1+1-ln2=0 h(x)<0'c>b'a>c>b°故选B。 [法二：a=2n1.01=ln1.0201>b=ln1.02,则排 需判断，C的大小， 故设f(x)=2ln(1+x)-1+4x+1, f1 =2×+4x1+X[0≤X<1 (1+x/1+4x 又：(/1+4x-(1+x2=2x-x =x(2-x)>0' .1+4x>1+x.f(x)>0 ∴f(x在(0,1上单调递增， .f(0.01)>f0)=0 ∴.2n1.01>1.04-1' a>c'故选B] (2)解法一令g(x)=f(x)-1(x>0), g(x)a-xna), a 当0<a<1时，g(x)>0°g(x)至多-个零点，故合去： 当a>1时，g×-0得x品 “gx)在0，上单调递增，在a,+0 上单调递减。 ’lna Ina 又当x一0时，g(x)一-1<0，x→+0o时，g(x)→-1<0， gx-g品>0则品”a0>高 Ina Ina Ina 两边取以e为底的对数得1na>na, Ina .lna-ln(na>1·lna=l, Ina 令lna=t,得t-lnt>1, 即t-1>lnt①， 又t-1≥lnt(证明略)，当且t=1时取等号， 故①式的解为t≠1，即lna≠1，.∴.a≠e, .a的取值范围是(1，e)U(e,+oo. 法二曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点， 可转化为方程弋-1(x>0)有两个不同的解，即方程x-0有两个不同的解。 陵gxx0.则gx1x0. 令g(x=1-mx=0,得x=e, 当0<x<e时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增， 当x>e时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减， 故g(xm=g(e) e 又g(1)=0 所以0<na<,由以上步骤知a>1且a≠e, ae 即a的取值范围为(1，e)U(e,+o)。 典题7解f'(x)=2ax+b, (1)若a>0,当f(x>0,即X>为时，函数单调递增： 2a 当f(x)<0,即X<6时，函数单调递减。 2a ·y=f(x)的单调递增区间为 b 单调递减区间为 b -00,20 (2)若a<0,当f'(x>0,即x<- 时，函数单调递增； 2a 当f'(x)<0,即x>.b 时，函数单调递减， ∴y=f(x)的单调递增区间为 -00, 6 单调递减区间为 2a 真题再现解由题态知fx)的定义域为R,f'(x=3X-2x+口对于f(x)=0△ =(-22-4×3a=4(1-3a)° ①当2号时，4≤0，f'(x≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调选增： ②当a<写时，令fx)=0.即3X-2x+a=0,解得X=1上：-3@ 3 x=1+1-30 3 令f'(x)>0,则x<x1或x>x2: 令f'(x<0,则1<x<x2 所以f(x)在（-∞，x1)上单调递增，在（x1,X2)上单调递减，在(x2,+∞)上单调递 增。 综上，当a号时，x)在R上单调造墙： 当a号时fx布 1-V1-3a 上单调递增，在1-1-3a1+/1-3a 上 -00, 3 单调递减， 在 1+1-3a +00 上单调递增。 3 典题8解 因为fx=xx-c=x2-2cX+c2x 所以f'(x=3X2-4cx+c2=(3x-cx-c 当f(x)=0,即X=号或X=c时， 函数f代x=Xx-cP有极值。 由愿意知，当x=2时，函数f(x=XX-c2有极大值，所以c>0° 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： -00, 3 uIm 3.c C c,+∞) f'(x) + 0 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，当X= 3 时，函数f(x)=x(x-c2有极大值，此时， 号2，故c=6 真题再现D [若a=b则fx)=ax-a?为单调函数，无极值点，不符合题意，故a≠b°fx 有x=a和x=b两个不同零点，且在X=a左右附近是不变号，在x=b左右附近是变 号的。依腿意，X=a为函数fx)=ax-aP(x-b)的极大值点，∴在x=a左右附近 都是小于零的。当a<0时，由x>b,f(x)≤0，画出f(x)的图象如图(1)所示， (1) 由图可知b<a,a<0,故ab>a2.当a>0时，由x>b时，f(x)>0,画出f(x)的图 象如图(2)所示.由图可知b>a,a>0,故ab>a (2) 综上所述，ab>a成立] 典题9D[开始面积增加幅度越来越大，到经过圆心时到达最大，然后增加 幅度越来越小.故选D.] 典题10解y=x+lnx,∴.y'=1+1 六曲线y=X+lnx在点(1,1)处的切线斜率k=2 “切线方程为y-1=2(x-1少即y=2x-1 切线与曲线y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点，将y=2x-1代入 y=aX2+(2a+3)x+1得aX2+(2a+1)x+2=0 直4=0狗a=分放所求a的值为号 真题再现D易知直线的斜率存在，设直线的方程y=收+b则b一5 Vk2+15 白线与鱼线y=到切点标为%，x20别yZ克女 ①， -2x0 %60.意-书0-2z六队0 ②， =1或x0=- （含去），所以k=b号放直线的方程为yx+ 1 典题11解设圆锥的底面半径为，高为血，体积为V,那么，2+=R, 因此V-gurh-ga(R-b-gnR'k:,0sKR 3 3 令V'=rR-π=0，解得h=R 3 3 容易知道，h=5R是雨数V的极大值点，也是最大值点。 3 所以，当h=R时，容积最大。 3 把h5R代入广+R=R,得r运R 3 3 由Ra=2nr,得a=26 。 3 即圆心角&= 2V6 3 时，容器的容积最大。 典题12解设这次行车的总费用是y元，依题意有 y=35+73+ 130 56+ 7x2 130 360 X 360 十 =910 8+x 50≤x≤100)° X 360 y'=910 8 1 360 令y'=0解得x=245≈53.7° 即当车速约为53.7kmh时，行车总费用最少， 总费用最少为 56+ 7×(2452 130 360 2495 N271(元)° 典题13解f'(x)=e2x-3x, (x-12 由f'(x>0,得x<0或x心 3N 由rx刘<0得xe(o,1u1,2}引 所以fx)在（←o,0r3+∞ 上单调递增， 在(or, 上单调递减， 则f(x)的极大值为f(0)=1, 极小值为 人o fx>0阳x或x>1, 1 f(x<0得2x<1, 由以上分析，f(x)的图象如图所示。 典题14证明法一构造“左凹右凸”的两个函数（函数 m≤2时，e'-ln(x+mj>0se-ln(x+2>0 当m=2时，f(x)=e.1 +2 在(-2，+o∞)上单调递增 f-1)是-1<0.f0)-12分0 所以f(x)=0在(-2，+∞)上有唯一实根x。且1<x,<0 于是y=f(x)在x=x处取到最小值， 又f(x,)=0,得e=1 X,+2 两边取对数得n(x,+2=-xo, 故f(x)≥fx=e-ln(x,+2)=1 +=。*1 ->0 Xo+ X0+2 综上可知，当m≤2时，f(x)>0成立. 法二只需证e≥x+1≥n(x+2) 令g(x)=e-(x+1y则g1x)=e-1 令gx=0:解得x=0 当x<0时，g(x)<0当x>0时，g(x)>0 因此，g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增 故g(x)≥g(0)=0,即e≥x+1,且等号成立，当且仅当x=0. hX刻=x+1-ax+2.b)-艾号 令h(x=0解得x=-1 当x<-1时，h(x<0当x>-1时，h(x)>0 因此，h(x)在(-2，-1)上单调递减，在(-1，+o∞)上单调递增. 故h(x)2h(-1)=0, 即x+1≥ln(x+2),且等号成立，当且仅当x=-1 综上，有e≥x+1≥1n(x+2》且两处等号不同时成立， 故e>1n(x+2,原命题得证 典题15解1)由于f(x)=ae2+(a-2)e-x 故f(x)=2ae2+(a-2)e-1=(ae-12e+1 ①当a≤0时，ae-1<0,2e+1>0, 从而f'(x<0恒成立.f(x在R上单调递减， ②当a>0时，令f'(x)=0, 从而ae-1=0,得x=-lna. (-oo,-Ina) -Ina (-Ina,+oo) f'(x) 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 综上，当Q≤0时，f(x)在R上单调递减； 当a>0时，fx)在(-∞，-lna)上单调递减， 在(-lna,+o)上单调递增 (2)由(1)知，当a≤0时，f(x在R上单调递减，故fx)在R上至多一个零点，不满足 条件。 当a>0时，f(xmn=f-lna)=1-1+na, 令g(a)=1-+naa>0,则g'(a)=是+20， 从而g(a在(0，+oo)上单调递增，而g(1)=0. 故当0<a<1时，g(a)<0 当a=1时，ga)=0.当a>1时，ga)>0. ①若a>1,则f(xnm=1.上+1na>0, a 从而f(x)无零点，不满足条件 ②若a=1,则fx)m=1-+1na=0,不满足条件. ③若0<a<1,则f(x)mm=1-+lna<0, 注意到1na>0,f-1)=9+9+1-2>0。 e2 ee 故f(x)在(-1，-lna)上有一个实根。 面n2-hgha g小e2hg -3a*a-2n2 00。 产加，县小L有个银， 所以f(x)在(-1，-lna） 及-na,ln3-i 上均有一个实数根， a 故fx)在R上恰有两个实根， 所以实数a的取值范围为0,1)。