2026届高三数学高考复习回归教材讲义：1.集合与常用逻辑用语、不等式

**基本信息** 以教材探究为基础，通过典题重温与真题再现，系统构建集合运算、逻辑判断、不等式应用的解题方法体系，强化知识内在逻辑与高考考法的衔接，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |教材探究思考|5个探究|集合关系推广、逻辑条件多解性、基本不等式几何解释|从概念本质（如集合包含关系）到原理推导（如不等式性质），构建“概念-几何-代数”转化链条| |教材典题重温|14道典题|集合交并补运算技巧、充分必要条件定义法、基本不等式“一正二定三相等”|以题型为载体（如集合与不等式综合题、逻辑判断题），形成“典题-真题-方法迁移”应用路径|

集合与常用逻辑用语、不等式 教材宏观把控系统知识、明确方向 宏观把控 集合的有关概念 集合 集合 集合的基本关系子集、真子集 常用 集合的基本运算交集、并集、补集 充分条件、必要条件关系判断 常用逻 用 辑用语 全称量词、 含有量词命 存在量词 题的否定 不等式的性质 不等式 基本不等式 求最值 元二次不等式 解法及应用 命题方向 (1)集合是高考的必考内容，一般以选择题的形式出现，试题较为简单，属于送分题，命 题的热点为集合的基本运算，常结合一元二次不等式的解法进行考查！ (2)高考对常用逻辑用语的考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、 必要条件的判断，全称量词命题、存在量词命题的否定，题目难度中等或偏下，以选择题 或填空题为主 (3)高考在不等式部分的命题点有：①不等式的性质及应用，不等式常与函数相结合；② 不等式的解法，常与集合的基本运算相结合；③利用基本不等式求最值、证明不等式等难 度一般不大，常与其他知识相结合。 教材探究思考挖掘内涵、探究本质 探究1（人教A版必修第一册P11、P12)下列关系式成立吗？ )AUA=A:2)AUg=A:3AnA=A:④AnO=② 探究2（人教A版必修第一册P15) 对于有限集合A,B,C,你能发现card(AUBUC),card(A),card(B),card(C) ,card(AnB,card(BnC),card(AnC),card(AnBnC)之间的关系吗？通过一 个具体的例子，算一算 探究3（人教A版必修第一册P18)例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一 个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那 么你能再给出几个不同的充分条件吗？ 探究4（人教A版必修第一册P39)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表 中国人民热情好客你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 真题再现 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明弦图是由四个全等的直角 三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），若直角三角形直角边的长 分别是3,4，记大正方形的面积为S,:小正方形的面积为S,:则 、 探究5（人教A版必修第一册P)如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a' BC=b过点C作垂直于AB的弦DE:连接AD'BD你能利用这个图形，得出基本不等式 的几何解释吗？ B 真题再现（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是西 方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实 现证明，称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a,BC=b, O为AB的中点，以AB为直径作半圆过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD, BD,过点C作OD的垂线，垂足为E则利用该图形可以完成的证明为() Aa+ 2≥Vab B.a2+b2≥2ab cabs2 +1 n” 2 a b 教材典题重温重温典题、追本溯源 典题1（人教A版必修第一册Pg习题1.2T口4）在平面直角坐标系中，集合C={(x,y川y=x) 表示直线y=X,从这个角度看，集合D={《(x,y(2XY二1}表示什么？集合C,D之 x+4y=5 间有什么关系？ 典题2（人教A版必修第一册Pg习题1.2T口5） (1)设a,b∈R,P={1,a,Q={-1,-b},若P=Q,求a-b的值； (2)已知集合A={x0<x<a,B={x1<x<2,若BcA,求实数a的取值范围 典题3（人教A版必修第一册P,例6设全集U={xX是三角序， A={xx是锐角三角：B={《xx是钝角三角，求AnB'cu(AUB 真题再现 己知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则Cu(MUN)=() A{5} B.{1,2} c.{3,4} D.{1,2,3,4} 点评本题主要考查集合的并集与补集运算，与教材例题角度相同，只不过换了更容易理解 的集合 典题4（人教A版必修第一册P习题1.3T,)集合A=x2≤X<4' B={x3x-7≥8-2x求AUB'AnB 直腿再现设架合M=X0<x<4)N=x}≤x≤5，则MnN=0 Ax0<x≤ Bx号x4到 C{x4≤x<5} D.{x0<x≤5} 点评本题主要考查集合的交集运算，与教材习题的考查角度完全相同，对于此类问题一定 要注意不等式中端点的取舍。 典题5（人教A版必修第一册p4习题1.3T,)设集合A=x(x-3(x-a=0,a∈R B={xl(x-4)(x-1)=0'AU B'AOB 典题6（人教A版必修第一册P14习题1.3T6)已知全集U=AUB={x∈IN|0≤x≤10}， An(cuB)={1,35,7}试求集合B 。000”。。 典题7（人教A版必修第一册P22习题1.4T2)在下列各题中，判断p是q的什么条件（请用 “充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)： (1)P:三角形是等腰三角形，q:三角形是等边三角形： (2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，q:b2-4ac≥0： (3)p:a∈PnQ,q:a∈P; (4)p:a∈PUQ,q:a∈P: (5)p:x>y,q:x>y。 … 真题再现 设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 点评本题主要考查利用充分、必要条件的意义判断命题间的充分、必要性，与教材习题角 度完全一致，且难度小于教材习题。 典题8（人教A版必修第一册p习题1,4T。)设。bc分别是AABC的三条边，且 a≤b≤c我们知道，如果AABC为直角三角形，那么有。+b=C(勾股定理).反过来， 如果a+b=c2,那么△ABC为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知，△ABC为直 角三角形的充要条件是a+b2=c2. 请利用边长a,b,C分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明： 典题9（人教A版必修第一册P31例5）写出下列命题的否定，并判断真假： （1)任意两个等边三角形都相似； (2)x∈R,x2-x+1=0. 典题10（人教A版必修第一册P复习参考题1T,）已知集合A={(x,y)川2x-y=0 B=(x,y)13x+y=0'C=(x,y)川2x-y=3求AnB'AnC并解释它们的几 何意义 典题11（人教A版必修第一册P46例3） (1)用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最 短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面 积最大？最大面积是多少？ 典题12（人教A版必修第一册P6练习T)已知x,y都是正数，且X≠y,求证： 1)+>2,(2)2y<y y X x+y 真题再现下列函数中最小值为4的是() Ay=x2+2x+4 B.y=|sinx|+ 4 sinx C.y=2+22-x D.y=Inx+4 Inx 点评本题考查利用基本不等式求最值以及等号成立的条件，与教材习题非常类似 典题13（人教A版必修第一册P58复习参考题2T5)若a,b>0,且ab=a+b+3, 求ab的取值范围， 真题再现（多选）已知a>0,b>0,且a+b=1,则() Aa2+b'≥ B.2a-b八1 C.logzq+log2bz-2 D.qla+bsV2 点评本题与教材习题都是条件求最值问题，都涉及到ā+b与αb的转化及不等关系， 掌握基本不等式的应用是解题的关键 典题14（人教A版必修第一册P58复习参考题2T10)两次购买同一种物品，可以用两 种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种 是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定哪种购物方式比较经济？你 能把所得结论作一些推广吗？ 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 教材探究思考 探究1提示：都成立.其推广结论为：ACBA∩B=A~AUB=B,以此为条件的试 题很多，解题时注意集合A是否为空集 探究2提示： card(A U B U C)=card(A)+card(B)+card(C)-card (An B)-card(BnC)-card(AnC)+card(An B 探究3提示：不唯一常见的充分条件还有： (1)四边形的两组对边分别相等： (2)四边形的两组对边分别平行： (3)四边形的一组对边平行且相等： (4)四边形的两条对角线互相平分. 以上是判断一个四边形为平行四边形的充分条件，在立体几何中证明线、面的位置关系时 经常用到： 探究4提示：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形 设每个直角三角形的两条直角边的长分别为。b(a≠b]那么正方形的边长为a+b, 则4个直角三角形的面积和为2ab,正方形的面积为a+b2,由于正方形ABCD的面积大 D a2+b2>2ab A H a2+b2 于4个直角三角形的面积和，即可得到不等式 当直角三角 形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2+b2=2ab, 综上，对任意的a,b∈R,都有a+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立. 真题再现25[由题意，可得大正方形的边长a=3+4=5:则其面积s,=52=25小正 方形的面积S,=25-4×日×3×4=1从而S=25=25] 2 S21 探究5提示：易证△ACD一△DCB,因而CD=ab,由于CD小于或等于圆的半径，用 不等式表示为a6≤中，显然，当且仅当点C与风心重合，即当a=b时，等号成立 真题再现AC[由AC+CB=a+b,由射影定理可知CD=Vab,又OD≥CD, `.Qb≥ab(a>0,b>0,A正确 由射影定理可知CD=DE·OD, 即DE=GDb。2 OD a+b 1,1, 2 a b 又CD≥DE,即 2(a>0,b>0) abz 1.1 C正确.故选AC] a b 教材典题重温 典题1解集合D表示直线2x-y=1和直线x+4y=5的交点， +4y6 y=1 ,即D={（1,1)}. 显然(1,1)在直线y=x上，即D一C 典题2解(1)由于P=Q,所以a=-1,且-b=1,故a-b=0. (2)如图所示，.BCA,∴.a≥2 典题3解根据三角形的分类可知AnB=☑， AUB={xx是锐角三角形或钝角三角形1 Cv(AUB)={x|x是直角三角形 真题再现A[法一因为集合M={1,2},N={3,4}, 所以MUN={1,2,3,4} 又全集U={1,2,3,4,5},所以Cu(MUN)={5}.故选A 法=因为Cu(MUN)=(cuM)n(cuN),cuM={3,4,5},cuN={1,2,5}, 所以cu(MUN)={3,45}n{1,2,5}={5}.故选A] 典题4解解不等式3x-7≥8-2x得x≥3， 故B={xx≥3}， 所以AUB={xx≥2}，AnB={x|3≤x<4} 典题5解B={1,4}, 当a=3时，A={3},则AUB={1,3,4},AnB=0: 当a=1时，A={1,3},则AUB={1,3,4},AnB={1}: 当a=4时，A={3,4},则AUB={1,3,4},AnB={4}； 当a≠3且a≠1且a≠4时，A={3,a}, 则AUB={1,3,4,a},AnB=g。 典题6解U=AUB={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. An(Cu B)=(1,3,5,7'Cu BCA' cB=1,35,7故B=cu(cuB=0,246,89,10 典题7解(1)必要不充分条件： （2)充要条件： (3)充分不必要条件： (4)必要不充分条件： (5)既不充分也不必要条件。 真题再现A[由a2>a,得a2-a>0,解得a>1或a<0, :“aQ>1”是“g>0”的充分不必要条件。 故选A。] 典题8解(1)△ABC为锐角三角形的充要条件是a+b2>c2, 证明如下：必要性，在△ABC中，∠C是锐角， 故由余弦定理得c0sC=Q+C>0. 2ab 则a2+b2-c2>0,即a2+b2>c2。 充分性：由余弦定理可知c0sC=-Q+b-c 2ab, a2+b2>c2’∴.c0sC>0 0<c又a≤bscA,B∈0， “2 即△ABC是锐角三角形。 (2)△ABC为钝角三角形的充要条件是a2+b2<c2。 同理可以证明。 典题9解 (1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似 因为任意两个等边三角形的三边成比例， 所以任意两个等边三角形都相似， 因此这是一个假命题， (2)该命题的否定：Vx∈R,x2-x+1≠0 1+3>0 因为对任意x∈RX2-x+1=X~2+4 所以这是一个真命题 典题10解 AnB=x1号x-y-0 -0x,yj10-@o以 Anc-x. :AnB的几何意义是直线2X-y=0与3x+y=0相交于点(0,0 AnC的几何意义是直线2x-y=0与2X-y=3平行，无交点 典题11解 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm,ym, 篱笆的长度为2(x+y)m (1)由已知得xy=100. 由*y≥/9，可得x+y≥2Vy=20, 2 所以2(x+y)≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的 长度为40m (2)由已知得2(x+y)=36,矩形菜园的面积为xym2, 由VwsX+y=8=9,可得y≤81， 22 当且仅当x=y=9时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为9的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是 81m2. 典题12证明(1)：x>0,y>0,.X>0,Y>0, X+义≥2X.=2, y X yy 当且仅当= y x ,即x=y时取等号， 但x≠y,因此不能取等号，X+Y>2. (2)x>0,y>0,.x+y≥2Vxy, :2型≤2y=灯， ≤ ·x+y2Vxy 当且仅当x=y时取等号，但x≠y, 因此不能取等号，2y</. X+y 真题再现C[A中，因为y=X+2x+4=(x+1}+3所以当x=-1时，y取得 最小值，且ymin=3,不符合题意； B中，设six=t,t∈0,1]，根据函数y=t+4在(0,1]上单调递减可得ymn=1 t +4=5.不符合题意： C中，因为 y=2+2-≥2V227=4当且仅当2=2，即x=2-X即X=1 时取等号，所以ymin=4,符合题意： D中，当0<X<1时，x<0,y=lx+4<0,不符合题意] Inx 典题13解.a,b>0,∴.a+b≥2Vab .ab=a+b+3≥2Vab+3' ∴.ab-2Vab-3≥0'∴.(ab+1)(√ab-3)≥0. .ab+1>0'∴.ab-3≥0'∴.ab≥9 当且仅当a=b,即a=b=3时，ab取得最小值9， 故ab的取值范围是[9，+o)· 真题再现ABD[因为a>0,b>0,a+b=1,所以a+b≥2Vab,当且仅当a -b,等号成立，即有b≤好 对于A,d+6=u+b-2ab=1-2ab≥1-2×号分放A正瑞 对于B,2”=201×2,因为a>0,所以2>1，即2放B正瑞： 2 对于c,1og:a+lg:b=log:ub)≤log4-2,故c错误 对于D,由(a+b}=a+b+2ab=1+2ab≤2得a+6≤2故D正确] 典题14解按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为P1元/kg,购nkg, 第二次购物时的价格为卫元/g,仍购kg,两次购物的平均价格为Pn+P,n_P,+卫 2n 2 m 若按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购。kg物品，第二次仍花m元钱， P 2m 2 m 能购。kg物品，两次购物的平均价格为m+m1+1 p1 P1 P2 P P2 P1+P2 ,2=P1+p2.2pp2=（p1+pP-4pP2 比较两次购物的平均价格：+工2p+p,2P+p: P1P2 =pp≥0 2(P1+P2) 所以第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济 推广：一般地，如果是多次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济