专题02 一定是直角三角形吗《典例全解·题型通关》（五大题型20道题）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以勾股定理逆定理为核心，通过五大知识点20道题构建从概念到拓展的递进训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股树（数）问题|4题（含勾股数识别、规律探究）|以数为载体，考查勾股数概念及规律|概念生成层：从勾股数定义到规律探究| |判断三边能否构成直角三角形|4题（含代数条件判断）|直接应用逆定理，结合代数变形|基础应用层：逆定理直接应用| |在网格中判断直角三角形|4题（含格点作图）|依托网格背景，强化几何直观|几何直观层：空间观念与数形结合| |利用勾股定理的逆定理求解|4题（含实际场景计算）|解决四边形、阴影面积等综合问题|综合应用层：实际问题转化与推理| |勾股定理逆定理的拓展问题|4题（含锐角/钝角判断）|延伸至非直角三角形及动态问题|拓展提升层：知识迁移与创新意识|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题02 一定是直角三角形吗（五大题型20道题） 目录 知识点一勾股树（数）问题 1 知识点二判断三边能否构成直角三角形 2 知识点三在网格中判断直角三角形 3 知识点四利用勾股定理的逆定理求解 4 知识点五勾股定理逆定理的拓展问题 5 知识点一勾股树（数）问题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．1，，2 D．，， 2．“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 3．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 4．阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． (1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； (2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 知识点二判断三边能否构成直角三角形 5．以下列长度的三条线段为三边的三角形，是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．若是的三边长，且满足，则下列结论正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法判断 7．如图，在中，，，，则的面积是___________． 8．如图，在中，，E是上的一点，，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 知识点三在网格中判断直角三角形 9．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 10．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 11．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 12．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，小正方形的顶点叫作格点，我们把顶点均在格点上的三角形称为格点三角形． (1)在图①中画格点三角形，使其三边长分别为3，． (2)在图②中画格点三角形，使其三边长分别为5，，． 知识点四利用勾股定理的逆定理求解 13．如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 14．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 15．如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 16．如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 知识点五勾股定理逆定理的拓展问题 17．ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定 18．边长为6，8，10的内有一点到三边的距离均为，则的值为________． 19．如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为_____． 20．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题02 一定是直角三角形吗（五大题型20道题） 目录 知识点一勾股树（数）问题 1 知识点二判断三边能否构成直角三角形 4 知识点三在网格中判断直角三角形 6 知识点四利用勾股定理的逆定理求解 8 知识点五勾股定理逆定理的拓展问题 11 知识点一勾股树（数）问题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．1，，2 D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义，勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：勾股数要求三个数均为正整数，选项A中三个数为小数，选项C中不是正整数，∴排除A,C； 对选项D：，，，不符合要求，排除D； 对选项B：，且三个数均为正整数，符合勾股数定义，因此选B． 2．“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 3．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 4．阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． (1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； (2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 【答案】(1) ∵都是正整数， 且，， ∴， ∴是一组勾股数； (2) ∵表示大于1的整数， ∴，，都是正整数， ∵，， ∴， ∴、、是一组勾股数． 【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）得到即可得到这是一组勾股数． 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 知识点二判断三边能否构成直角三角形 5．以下列长度的三条线段为三边的三角形，是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】验证三角形中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则该三角形为直角三角形． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为，，的三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为，，的三角形是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴三边长为，，的三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴三边长为，，的三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； 6．若是的三边长，且满足，则下列结论正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵，由勾股定理逆定理知为斜边，． 7．如图，在中，，，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断 为直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，且 ， ． 8．如图，在中，，E是上的一点，，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即． (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，即可得出． （2）由（1）得出，设，则，在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴是直角三角形． 设， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即． 知识点三在网格中判断直角三角形 9．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判断求解． 【详解】解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 10．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定，根据网格的特点，分为斜边，以及分别为直角顶点，分类讨论，即可求解． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选：A． 11．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，小正方形的顶点叫作格点，我们把顶点均在格点上的三角形称为格点三角形． (1)在图①中画格点三角形，使其三边长分别为3，． (2)在图②中画格点三角形，使其三边长分别为5，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）网格中每个小正方形边长为1，利用勾股定理可求出格点间距离为与即可作图； （2）网格中每个小正方形边长为1，利用勾股定理可求出格点间距离为与即可作图． 【详解】（1）解：如图①所示． （2）解：如图②所示． 【点睛】本题考查了网格中画格点三角形，利用勾股定理判断格点间距离是解题的关键． 知识点四利用勾股定理的逆定理求解 13．如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ∴AC2+CD2=52+122=169=132=AD2 ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 14．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再结合勾股定理逆定理求出即可． 【详解】解：，，， ， ，， ，， ， ． 15．如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】24 【分析】在中，利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，然后根据图中阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴AC2=132=169，BC2+AB2=122+52=144+25=169 ∴， ∴为直角三角形，且， ∴图中阴影部分的面积为． 16．如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【答案】符合标准，理由如下： ，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 该零件符合标准． 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明，即可得出结论． 【详解】略 知识点五勾股定理逆定理的拓展问题 17．ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定 【答案】A 【分析】先分析三角形是直角三角形的情况，通过比较第三边平方确定三角形形状. 【详解】解：当边长为4cm、5cm的两边为直角三角形的直角边时， 由勾股定理可知42+52=41>36=62 可知当第三边为6cm时，三角形为锐角三角形. 故应选A 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答时是要通过数形结合分析当第三边小于斜边时三角形形状的变化趋势. 18．边长为6，8，10的内有一点到三边的距离均为，则的值为________． 【答案】2 【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵62+82=102， ∴△ABC是直角三角形， ∵△ABC内有一点P到三边的距离均为m， ∴×6×m+×8×m+×10×m＝×6×8， ∴m=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形解答． 19．如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为_____． 【答案】1或或． 【分析】根据勾股定理求出AC，再分三种情况：当点P在这AB边上时，当点P在这AD边上时，当点P在这AC边上时，进行讨论即可求解． 【详解】∵Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4， ∴AC＝BD＝＝5， 当点P在这AB边上时，∵，AB＝4， ∴PA＝1； 当点P在这AD边上时，∵， ∴PA2+42＝PB2，即PA2+42＝（3PA）2， 解得PA＝； 当点P在这AC边上时， PE＝AP，AE＝AP，BE＝4﹣AP， ∵， ∴， ∴5PA2+4PA﹣10＝0， 解得PA＝（舍去），PA＝． 故PA的长为1或或． 故答案为：1或或． 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．注意分类思想的应用． 20．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1) 证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $