第一章勾股定理基础卷2026-2027学年八年级数学上册北师大版

**基本信息** 立足勾股定理单元核心，融合“赵爽弦图”等文化素材与台风影响、蚂蚁爬行等现实情境，通过基础巩固与能力提升梯度设计，适配八年级单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|勾股数（1）、直角三角形判定（2）、网格线段关系（3）|结合“勾股弦定理”历史背景（6），考查几何直观| |填空|5/15|直角三角形网格找点（12）、赵爽弦图面积（13）、中线与高计算（14）|设计开放性网格问题（12），培养空间观念| |解答|8/75|勾股定理应用（17村庄修路）、逆定理证明（16）、定义新运算（23勾股分割点）|融合台风影响海港（21）等现实情境，通过“总统证法”推导（22）提升推理能力|

保密★启用前 八年级数学第一学期第一章勾股定理 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，1，2 B．2.5，4.5，4 C．6，7，8 D．9，12，15 2.下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）． A. CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CF、EF D.GH、AB、CD 4．若直角三角形中，斜边的长为17，一条直角边长为15，则另一条直角边长为（ ） A．7 B．8 C．20 D．65 5．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　　 A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 6.“勾股定理”是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最早的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 7.如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）尺． A．7.5 B．8 C． D．9 8．下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（　）． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）。 A． B． C． D．76 10．勾股定理是几何学上一颗璀璨的明珠，在几何问题中有着广泛的应用。在直线l上依次摆放着五个正方形（如图所示）．已知斜放置的两个正方形的面积分别是2、3，正放置的三个正方形的面积依次是S1、S2、S3，则S1+2S2+S3＝（ ）　． A 4 B 5 C 6 D 7 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．已知,则由此为边的三角形是 三角形. 12如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有　 　个． 13．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，则正方形的面积为____． 14．如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D，且AB＝5，BC＝4，AC＝6，则DE的长　 　． 15．在△ABC中，AB＝25，AC＝26，BC边上的高AD＝24，则△ABC的周长为　 　． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12 （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC的长． 17.本小题分如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB＝4km，AC＝3km，BC＝5km，要从A修一条公路AD直达BC，已知公路的造价为26000元/km，求这条公路的最低造价是多少万元？ 18.本小题8分如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3) 19.本小题8分如图，一根26m长的竹竿AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m，杆子的顶端A沿墙下滑14m（AC＝14m）． （1）求竹竿底端B与墙角O的距离BO； （2）求梯子底端B外移的距离（BD的长）； 20本小题10分某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的，两站之间点修建一个土特产加工基地，使点到，两村的距离相等．如图，于点，于点，，，土特产加工基地应建在距离站多少千米的地方？ 21.本小题10分今年第9号台风“巴威”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“巴威”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域． （1）求∠ACB的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ 22本小题12分（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ． (3) 试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． 23本小题12分定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点. （1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长. 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 八年级数学第一学期第一章勾股定理 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，1，2 B．2.5，4.5，4 C．6，7，8 D．9，12，15 解：A、∵12+12≠22，，∴不是勾股数，不符合题意； B、∵不全是正整数，∴不是勾股数，不符合题意； C、∵62+72≠82，∴不是勾股数，不符合题意； D、∵92+122＝152，∴是勾股数，符合题意． 故选：D． 2.下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　） A． B． C． D． 答案C 解： 故不符合题意； 故不符合题意； 故符合题意； 故不符合题意； 故选： 3．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）． 　 A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CF、EF D.GH、AB、CD 【答案】B 【解析】AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，所以AB2+EF2=GH2． 4．若直角三角形中，斜边的长为17，一条直角边长为15，则另一条直角边长为（ ） A．7 B．8 C．20 D．65 【答案】B 【详解】解：∵直角三角形中，斜边的长为17，一条直角边长为15， ∴另一条直角边2，∴另外一边为8．故选：B． 5．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　　 A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 【答案】B 【解答】解：如图，设大树高为， 小树高为， 过点作于，则是矩形， 连接， ，，， 在中，， 故选： 6.“勾股定理”是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最早的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 四个图形都可由面积相等法列出等式， A.，化简可得，A选项可证明勾股定理； B. ，此图可证明完全平方公式，B选项不能证明勾股定理； C. ，化简可得，C选项可证明勾股定理； D.，化简可得，D选项可证明勾股定理； 故选：B. 7.如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）尺． A．7.5 B．8 C． D．9 解：设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2， 即：， 解得：x＝， 即芦苇的长度为：尺， 故选：C． 8．下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（　）． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【解析】（1）根据勾股定理的逆定理，若a2+c2=b2，则△ABC也为直角三角形，故错误； （2）符合勾股定理，故正确；（3）符合勾股定理的逆定理，故正确；（4）首先根据勾股定理计算其斜边是13，再根据面积计算其斜边上的高，该高等于两条直角边的乘积除以斜边，故正确． 9．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）。 A． B． C． D．76 【答案】D 【详解】 解：依题意∠ACB为直角，AD=6， ∴CD=6+6=12， 由勾股定理得，BD2=BC2+CD2， ∴BD2=122+52=169， 所以BD=13， 所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76． 10．勾股定理是几何学上一颗璀璨的明珠，在几何问题中有着广泛的应用。在直线l上依次摆放着五个正方形（如图所示）．已知斜放置的两个正方形的面积分别是2、3，正放置的三个正方形的面积依次是S1、S2、S3，则S1+2S2+S3＝（ ）　． A 4 B 5 C 6 D 7 【答案】 B 【解答】解：如图，∵都是正方形， ∴∠CAE＝90°，AC＝AE， ∵∠ACB+∠BAC＝90°， ∠BAC+∠DAE＝90°， ∴∠ACB＝∠DAE， 在△ABC和△EDA中，， ∴△ABC≌△EDA（AAS）， ∴AB＝DE， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC2+AB2＝AC2， 所以，BC2+DE2＝AC2， ∵S1＝BC2，S2＝DE2，AC2＝2， ∴S1+S2＝2， 同理可得，S2+S3＝3， ∴S1+2S2+S3＝2+3＝5． 故答案为：5．故选B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．已知,则由此为边的三角形是 三角形. 【答案】直角； 【解析】已知，可得，可得52=32+42 可得由此为边的三角形是直角三角形. 12如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有　 　个． 【答案】4； 【解析】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形． 故答案为：4． 13．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，则正方形的面积为____． 【答案】4 【详解】 解：直角三角形直角边的较短边的平方为-=36，即较短边长为6， 正方形EFGH的面积=10×10-8×6÷2×4=100-96=4． 故答案为：4． 14．如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D，且AB＝5，BC＝4，AC＝6，则DE的长　2　． 【解答】解：设BD＝x，则AD＝5﹣x， 在Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2， 在Rt△BCD中，CD2＝BC2﹣BD2， ∴AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即62﹣（5﹣x）2＝42﹣x2， 解得，x＝， 则BD＝， ∴DE＝BE﹣BD＝2， 贵答案为：2． 15．在△ABC中，AB＝25，AC＝26，BC边上的高AD＝24，则△ABC的周长为　68或54　． 【解答】解：①如果角B是锐角，此时高AD在三角形的内部， 在Rt△ABD中，BD2＝AB2-AD２＝４９.故BD＝７；在Rt△ACD中，CD2＝AC2-AD２＝100.故CD＝10 ∴BC＝7+10＝17，此时△ABC的周长＝AB+AC+BC＝68； ②如果角B是钝角， 在Rt△ABD中，BD2＝AB2-AD２＝４９.故BD＝７； 在Rt△ACD中，CD2＝AC2-AD２＝100.故CD＝10； ∴BC＝10﹣7＝3，此时△ABC的周长＝AB+AC+BC＝54； 综上可得△ABC的周长为68或54． 故答案为：68或54． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12 （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC的长． 证明：（1） （2） 设 则 17.本小题分如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB＝4km，AC＝3km，BC＝5km，要从A修一条公路AD直达BC，已知公路的造价为26000元/km，求这条公路的最低造价是多少万元？ 解：如图，由垂线段最短可知，当AD⊥BC时，这条公路的造价最低， ∵AB＝4km，AC＝3km，BC＝5km， ∴AB2+AC2＝25＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°， ∴， 即， 解得． 则这条公路的最低造价为（元）＝6.24（万元）， 答：这条公路的最低造价是6.24万元． 18.本小题8分如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3) 解：如图②所示，由题意可得： ， 在Rt△AA′B中，根据勾股定理得： 则AB＝15． 所以需要爬行的最短路程是15． 19.本小题8分如图，一根26m长的竹竿AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m，杆子的顶端A沿墙下滑14m（AC＝14m）． （1）求竹竿底端B与墙角O的距离BO； （2）求梯子底端B外移的距离（BD的长）； 解：（1）在Rt△AOB中，AO＝24m，AB＝26m， 由勾股定理得：， （2）∵AC＝10m， ∴OC＝AO﹣AC＝24﹣14＝10m， 在Rt△COD中，CD＝AB＝5m， 由勾股定理得： ∴． 答：梯子底端B外移的距离为． 20本小题10分某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的，两站之间点修建一个土特产加工基地，使点到，两村的距离相等．如图，于点，于点，，，土特产加工基地应建在距离站多少千米的地方？ 解：设，则． 在中，， 在中，． ∵， ∴， ∴， 解得． 21.本小题10分今年第9号台风“巴威”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“巴威”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域． （1）求∠ACB的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ 解：（1）∵AC＝600km，BC＝800km，AB＝1000km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC＝CD×AB， ∴600×800＝1000×CD， ∴CD＝480（km）， ∵以台风中心为圆心周围500km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； 22本小题12分（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ． (3) 试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． 【分析】 （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高； （3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形． 解:（1）S梯形ABCD=，S梯形ABCD= ∴a2＋ab＋b2=2×ab＋c2 即a2＋b2=c2； （2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4， ∴斜边为=5， ∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h， ∴h＝ 故答案为； （3）∵图形面积为：（a−2b）2＝a2−4ab＋4b2， ∴边长为a−2b， 由此可画出的图形如下： 23本小题12分定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点. （1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长. 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可判断点M，N是线段AB的勾股分割点； （2）设BN=x，则MN=30-AM-BN=25-x，分3种情况，分类讨论：①当MN是最长边时，，②当BN是最长边时，，③当AM是最长边时，这种情况不存在；分别进行求解，即可. 【详解】(1)点M，N是线段AB的勾股分割点，理由如下： ∵， 又∵ ，∴， ∴以AM，BN，MN为边的三角形是直角三角形， ∴点M，N是线段AB的勾股分割点； (2)设BN=x，则MN=30-AM-BN=25-x， ①当MN是最长边时， ∵点M，N是线段AB的勾股分割点， ∴，∴，解得：x=12； ②当BN是最长边时， ∵点M，N是线段AB的勾股分割点， ∴，∴，解得：x=13； —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第一学期第一章勾股定理 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B B B C B D B 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 直角 12. 4 13． 4 14． 2 15．　68或54　 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 证明：（1） ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2） 设 则 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 17.本小题分) 解：如图，由垂线段最短可知，当AD⊥BC时，这条公路的造价最低， ∵AB＝4km，AC＝3km，BC＝5km， ∴AB2+AC2＝25＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 ∴， 即， 解得．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 则这条公路的最低造价为（元）＝6.24（万元），┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 答：这条公路的最低造价是6.24万元．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 18.本小题分解：如图②所示，由题意可得： ，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 在Rt△AA′B中，根据勾股定理得： ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 则AB＝15．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 所以需要爬行的最短路程是15．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 19.本小题8分解：解：（1）在Rt△AOB中，AO＝24m，AB＝26m， 由勾股定理得：．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 ，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 （2）∵AC＝10m， ∴OC＝AO﹣AC＝24﹣14＝10m， 在Rt△COD中，CD＝AB＝5m， 由勾股定理得：┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 答：梯子底端B外移的距离为． 20本小题10分 解：设，则． 在中，，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 在中，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∵， ∴，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2V ∴，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 解得．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 21.本小题10分） 解：（1）∵AC＝600km，BC＝800km，AB＝1000km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC＝CD×AB， ∴600×800＝1000×CD，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴CD＝480（km），┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∵以台风中心为圆心周围500km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 22.本小题12分解:（1）S梯形ABCD=，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 S梯形ABCD=┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 ∴a2＋ab＋b2=2×ab＋c2┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 即a2＋b2=c2；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 （2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4， ∴斜边平方为 + =25，即斜边长为5， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h， ∴h＝ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 故答案为； （3）∵图形面积为：（a−2b）2＝a2−4ab＋4b2， ∴边长为a−2b，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 由此可画出的图形如下：┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 23本小题12分 解:(1)点M，N是线段AB的勾股分割点，理由如下： ∵， 又∵ ，∴，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴以AM，BN，MN为边的三角形是直角三角形， ∴点M，N是线段AB的勾股分割点；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 (2)设BN=x，则MN=30-AM-BN=25-x， ①当MN是最长边时， ∵点M，N是线段AB的勾股分割点， ∴，∴，解得：x=12；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 ②当BN是最长边时， ∵点M，N是线段AB的勾股分割点， ∴，∴，解得：x=13；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 八年级数学第一学期 第一章 勾股定理 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，1，2 B．2.5，4.5，4 C．6，7，8 D．9，12，15 2.下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）． A. CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CF、EF D.GH、AB、CD 4．若直角三角形中，斜边的长为17，一条直角边长为15，则另一条直角边长为（ ） A．7 B．8 C．20 D．65 5．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　　 A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 6.“勾股定理”是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最早的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 7.如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）尺． A．7.5 B．8 C． D．9 8．下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（　）． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）。 A． B． C． D．7 10．勾股定理是几何学上一颗璀璨的明珠，在几何问题中有着广泛的应用。在直线l上依次摆放着五个正方形（如图所示）．已知斜放置的两个正方形的面积分别是2、3，正放置的三个正方形的面积依次是S1、S2、S3，则S1+2S2+S3＝（ ）　． A 4 B 5 C 6 D 7 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．已知,则由此为边的三角形是 三角形. 12如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有　 　个． 13．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，则正方形的面积为____． 14．如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D，且AB＝5，BC＝4，AC＝6，则DE的长　 　． 15．在△ABC中，AB＝25，AC＝26，BC边上的高AD＝24，则△ABC的周长为　 　． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12 （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC的长． 17.本小题分如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB＝4km，AC＝3km，BC＝5km，要从A修一条公路AD直达BC，已知公路的造价为26000元/km，求这条公路的最低造价是多少万元？ 18.本小题8分如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3) 19.本小题8分如图，一根26m长的竹竿AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m，杆子的顶端A沿墙下滑14m（AC＝14m）． （1）求竹竿底端B与墙角O的距离BO； （2）求梯子底端B外移的距离（BD的长）； 20本小题10分某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的，两站之间点修建一个土特产加工基地，使点到，两村的距离相等．如图，于点，于点，，，土特产加工基地应建在距离站多少千米的地方？ 21.本小题10分今年第9号台风“巴威”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“巴威”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域． （1）求∠ACB的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ 22本小题12分（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ． (3) 试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． 23本小题12分定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点. （1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长. —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $