专题01三角形内角和定理易错必刷题型专项训练(16大题型共计48道题)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题01三角形内角和定理易错必刷题型专项训练 本专题汇总三角形内角和定理章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01与平行线有关的内角和问题 题型02.与角平分线有关的内角和问题 题型03.三角形内角和定理的应用 题型04.三角形折叠中的角度问题 题型05.三角形的外角定义及性质 题型06.多边形截角后的边数问题 题型07.多边形对角线的条数问题 题型08.对角线分成三角形个数问题 题型09.多边形内角和问题 题型10.正多边形的内角问题 题型11.多(少)算一个角问题 题型12.多边形截角后的内角和问题 题型13.复杂图形的内角和 题型14.正多边形的外角问题 题型15.多边形外角和的实际应用 题型16.多边形内角和与外角和综合 易错必刷题型01与平行线有关的内角和问题 典题特征：三角形一边与平行线结合，求未知角度，或证明角度关系 易错点：平行线的内错角/同位角/同旁内角转化错误，忽略三角形内角和180°的隐含条件 1．已知如图，，，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 2．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 3．如图，若，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）由全等三角形的性质可得出，由三角形内角和定理可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 易错必刷题型02.与角平分线有关的内角和问题 典题特征：三角形内有角平分线（或内外角平分线），求角度、推导角的数量关系 易错点：角平分线定义用错（漏乘2/漏除2），多角推导时漏算某个角，混淆内外角平分线的性质 4．如图，在中，，点O为和角平分线的交点，则_________． 【答案】 /76度 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和计算即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在中，、的平分线，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质与三角形内角和性质即可求出的值． 【详解】解：由题意可知：， ∵在中，、的平分线是，， ∴， ∴． 故选：B． 6．综合与实践 已知直线，直线分别交、于点A、B．点C在直线上且在点B的左侧，点D在直线上且在点A的右侧，E是直线上的动点，且不与A、B重合．连接，设，． (1)如图1，当点E在线段上，且，时，求的值． (2)如图2，当点E在线段的延长线上，且时，请写出，之间的数量关系，并证明． (3)如图3，分别作和的平分线相交于点G，则________．（用含，的代数式表示） 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）利用三角形内角和定理求得，再利用平行线的性质即可求解； （2）利用平行线的性质得到，再利用三角形内角和定理即可求解； （3）利用角平分线的定义求得，，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：．证明如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 易错必刷题型03.三角形内角和定理的应用 典题特征：复杂三角形图形（含多个小三角形）、结合高/中线/角平分线，求角度 易错点：拆分角度时遗漏部分角，忽略直角三角形两锐角互余的隐含条件 7．如图，与相交于点，已知，，，则的度数为____． 【答案】/30度 【分析】利用全等三角形对应角相等得到，再根据和三角形内角和定理求出 ． 【详解】解：， ， ， ． 8．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A， 展开等式得，整理得，根据勾股定理逆定理，是直角三角形，故选项A不符合题意． 选项B，∵三角形内角和为，， ，代入内角和得，即，是直角三角形，故选项B不符合题意． 选项C ，设，，， ， ，解得， ，是直角三角形，故选项C不符合题意． 选项D ， ， ， ， 不是直角三角形，故选项D符合题意． 9．如图，中，，点在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)若，且比小，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，利用平行线的性质可知，已知，等量代换得，故可证与平行； （2）根据三角形内角和求出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ． （2）解：，， ， ． 由（1）知， ， ． 易错必刷题型04.三角形折叠中的角度问题 典题特征：三角形沿某条线折叠，求折叠后对应角的度数 易错点：忘记折叠前后对应角相等，漏算折叠后新增的角度关系，计算时重复/遗漏角度 10．如图，将一角折叠，若，则_______． 【答案】/144度 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂线的定义和平角的定义得到，，再由折叠的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴． 12．如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质及折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）由可得，由折叠得，等量代换可得，即可证明； （2）由折叠得，，结合，，，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 由折叠得， ， ； （2）解：由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 易错必刷题型05.三角形的外角定义及性质 典题特征：利用三角形外角求角度、证明角的大小关系 易错点：忽略外角“等于不相邻两内角和”的“不相邻”条件，误将外角等于相邻内角和，概念混淆（认为三角形外部的角都是外角） 13．五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（，，，，）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为__________． 【答案】 /36度 【分析】设，利用三角形外角的性质将转化到与所在的三角形中，构建关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设， 设与的交点为F，与的交点为G，如图所示， 则，， 在中，由三角形内角和定理得， 即，解得， 那么这个角的度数应为． 14．如图，把一张三角形纸片的三个顶角向内折叠（3个顶点不重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角性质，折叠性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据折叠得，运用三角形的外角性质得，故，，又因为，故． 【详解】解：连接，如图所示： ∵折叠 ∴ 依题意，， ∵， ∴， 同理得， 同理得， ∵， ∴． 15．如图，在中，，于点，的角平分线交于点，交于点，于M，的延长线交于点N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先证明，由角平分线定义得，再根据三角形外角性质得 ，,故可得，由等角对等边可得结论； （2）由勾股定理求出，证明和 得，利用面积关系得，可求． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵平分 又 ， ∴ （2）解：在中，， 连接， ∵， ∴， ∵的平分线交于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ． 易错必刷题型06.多边形截角后的边数问题 典题特征：一个多边形截去一个角后，求新多边形的边数 易错点：未分类讨论（截线过顶点、过1个顶点、过2个顶点三种情况），漏算其中1-2种情况 16．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 17．若一个多边形截去一个角后，变成七边形，则原来的多边形的边数不可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】多边形截去一个角共有三种不同截法，对应截后边数分别比原多边形多1，不变，少1，根据截后得到七边形，反向推导原多边形的可能边数即可得到答案． 【详解】解：多边形截去一个角，存在三种情况： （1）截线不经过原多边形的另外两个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数， ∵ 截后多边形为七边形，边数为7， ∴ 原多边形边数为； （2）截线经过原多边形的1个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数 ∴ 原多边形边数为； （3）截线经过原多边形的2个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数， ∴ 原多边形边数为； 综上，原多边形的边数可能为6，7，8，不可能为5． 18．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 易错必刷题型07.多边形对角线的条数问题 典题特征：已知多边形边数求对角线条数，已知对角线条数求多边形边数 易错点：混淆“从一个顶点出发的对角线条数（n-3）”和“总对角线条数，总条数公式漏除以2 19．如果从多边形的一个顶点出发的对角线有5条，那么它的边数是__________ 【答案】 8 【分析】从边形的一个顶点出发，可以引条对角线，根据题目条件列方程求解边数． 【详解】解：设多边形的边数为． 从边形的一个顶点出发的对角线条数为， ， 解得 ． 20．一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先利用多边形内角和公式与外角和定理求出多边形的边数，再代入对角线条数公式计算，即可得到结果； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 21．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 【答案】这个多边形的边数是7，总对角线条数是14 【分析】本题考查了多边形的内角和公式、外角和定理及对角线条数公式，掌握多边形内角和公式、外角和为、对角线条数公式​是解题的关键． 先利用多边形外角和为的定理，结合内角和公式，根据内角和是外角和的倍少列方程求边数；再用多边形对角线条数公式计算总对角线条数． 【详解】解：设这个多边形的边数为． 由题意，得， 解得，即这个多边形的边数为． 总对角线条数为． 易错必刷题型08.对角线分成三角形个数问题 典题特征：从多边形一个顶点出发引对角线，求分成的三角形个数；或已知三角形个数求多边形边数 易错点：记错分成的三角形个数为n-2，和对角线条数n-3混淆 22．从六边形的一个顶点出发，可以引_________条对角线，将六边形分成_________个三角形，六边形共有_________条对角线． 【答案】 3 4 9 【分析】根据多边形对角线的相关规律，先确定从六边形一个顶点出发引出的对角线条数，再推导得到分成三角形的个数，最后计算六边形对角线的总条数． 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为，本题中六边形，因此引出对角线条数为， 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为， 边形对角线总条数公式为， 将代入得：． 23．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 24．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【分析】本题考查多边形对角线与三角形分割规律、角平分线性质、角度和差运算及方程思想在几何角度问题中的应用，利用角的倍数关系、平分线性质建立方程或利用多边形规律是解题的关键。 （1）通过多边形从一个顶点出发的对角线数量规律和三角形分割规律，代入五边形边数即可得出结果； （2）通过角度的和差计算即可得出的度数； （3）通过设未知数表示角的倍数与平分关系，结合已知角建立方程，再利用角度和差运算整体代换，最终求出的度数； 【详解】解：（1）时， 从一个顶点出发的对角线数量为， 三角形分割数量为． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得， ∴， 故小路与小路的夹角（即）的度数为． 易错必刷题型09.多边形内角和问题 典题特征：已知多边形边数求内角和，已知内角和求边数 易错点：内角和公式(n-2)×180°漏写-2，和外角和（恒为360°）混淆 25．如图①是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图②是其简化示意图．若，则的度数为_____． 【答案】/135度 【分析】先求出，再根据四边形的内角和求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴． 26．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质可得，再根据多边形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵五边形中，，， ∴． 27．如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点． (1)若，，求的度数； (2)已知四边形中，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义和角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案； （2）根据四边形内角和为360度推出，由平角的定义和角平分线的性质得到，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形中，，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴． 易错必刷题型10.正多边形的内角问题 典题特征：已知正多边形边数求每个内角度数，已知正多边形内角度数求边数 易错点：内角公式记错（如用时计算错误），和外角公式混淆 28．如图，已知两个边长相同的正八边形和正六边形的一边重合，且正六边形在正八边形的内部，则图中的度数为______． 【答案】/15度 【分析】先根据多边形的内角和公式和正多边形的性质求出，，然后根据求出答案即可． 【详解】解：如图所示： ∵正八边形的每个内角为：， 正六边形的每个内角为：， ∴，， ∴， ∴图中的度数为． 29．如图，五边形是正五边形，且．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，交于点F，则．根据正多边形内角和公式求出，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图，作，交于点F． ， ， 五边形是正五边形， ， ， ， ． ， ． 30．如图，点、分别在正五边形的边、上，连结、相交于点，且．求的度数． 【答案】108° 【分析】本题考查了多边形的内角和、三角形的外角、全等三角形的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式和正五边形的内角相等，得到，再由得到，利用三角形的外角性质可得，等量代换即可求出的度数 【详解】解：正五边形的内角和为， ， ， ， ， ． 易错必刷题型11.多(少)算一个角问题 典题特征：计算多边形内角和时，多算/少算一个内角，得到错误结果，求正确内角和或多边形边数 易错点：忽略多边形内角的范围（0°<内角<180°），导致求出的角度不符合实际，边数计算错误 31．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°， 则：（n-2）•180+x=1960， ∴x=2320-180n． ∵0°＜x＜180°， ∴0＜2320-180n＜180， 解得 ∵n为正整数， ∴n=12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 32．小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键． (1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解； (2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解． 【详解】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件， 得． 因为n为自然数，，且， 故取， 得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． （2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为， 则由条件，得． 因为n为自然数，，且， 故取，得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． 33．（1）已知的三边长为3，5，x，且的周长为偶数，求x的值； （2）已知小明在计算一个多边形的内角和时，不小心多加了一个外角的度数，计算结果为，求该多边形的边数及多加的外角度数． 【答案】（1）或6；（2）该多边形的边数为14，多加的外角度数为 【分析】（1）先根据三角形三边之间的关系，求出x的取值范围，再根据的周长为偶数，即可求解； （2）设该多边形的边数为n，多加的外角度数为y，列出方程，整理得：，根据为整数，推出，即可求出n的值． 【详解】（1）解：∵的三边长为3，5，x， ∴，即， ∵，的周长为偶数， ∴x为偶数， ∴或6； （2）解：设该多边形的边数为n，多加的外角度数为y， ， 整理得：， ∵y为多边形的外角度数， ∴， ∴， ∵n为整数， ∴为整数， ∴，解得：， ∴，解得：， 综上：该多边形的边数为14，多加的外角度数为． 【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，多边形的内角和，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；多边形的内角和为． 易错必刷题型12.多边形截角后的内角和问题 典题特征：一个多边形截去一个角后，求新多边形的内角和 易错点：未分类讨论截角后边数的三种变化（n-1、n、n+1），漏算对应内角和的情况 34．一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是__． 【答案】17，18或19 【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可． 【详解】解：设新多边形的边数为， 则， 解得：， 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为19， 若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为18， 则多边形的边数是17，18或19， 故答案为：17，18或19． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式（且是整数），注意要分情况进行讨论，避免漏解． 35．在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为_____． 【答案】7或8或9 【分析】根据多边形的内角和公式列方程求出切下一个三角形后多边形的边数，再分新多边形的边数比原多边形的边数增加1，减少1，不变三种情况求解． 【详解】解：设切下一个三角形后多边形的边数x， 由题意得，（x﹣2）×180°＝1080°， 解得x＝8， 所以，n＝8﹣1＝7， n＝8+1＝9， 或n＝x＝8． 故答案为：7或8或9． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，难点在于熟悉切下一个三角形后多边形边数与原多边形的边数有三种情况. 36．已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 【答案】(1)，； (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为，解题的关键是剪角时注意分类讨论． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变，由此即可求出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； ∴对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是，它的对角线的条数是． （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， ①当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， ②当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为， ③当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 综上所述：新多边形可能是条或条或条边． 易错必刷题型13.复杂图形的内角和 典题特征：由多个多边形组成的复杂组合图形，求图形的总内角和 易错点：拆分图形时漏算/重复计算部分内角，不会用外角和简化计算 37．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 38．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 39．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 易错必刷题型14.正多边形的外角问题 典题特征：已知正多边形边数求每个外角度数，已知正多边形外角度数求边数 易错点：忘记外角和恒为360°，用内角公式推导时出错，和内角公式混淆 40．中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图是颐和园小长廊五角夹堂窗，其轮廓是一个正五边形，如图是它的示意图，它的一个外角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用外角和除以外角个数即可求解． 【详解】解：∵该窗型轮廓是一个正五边形， ∴它的外角和为，且每个外角相等， ． 41．如图，小新将若干个与全等的三角形进行摆放． （1）若小新取6个这样的三角形按照如图1所示的方法拼接起来，恰好能够围成正六边形；若取9个这样的三角形按照如图2所示的方法拼接起来，恰好能够围成正九边形，则______； （2）小新取3个这样的三角形按如图3的形式摆放，则______． 【答案】 /80度 /180度 【分析】本题考查了多边形的外角和，以及三角形的内角和． （1）根据图1可求出的度数，根据图2可求出的度数，进而可得答案； （2）利用的外角和是，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）由图1可知，恰好是正六边形的一个外角，则， 由图2可知，恰好是正九边形的一个外角，则， ∴， 故答案为：； （2）如图， ∵的外角和是， ∴， ∴． 故答案为：． 42．如图1，图2，在四边形中，是四边形的一个外角． (1)四边形的外角和为________度； (2)如图1，图2，已知． ①如图1，求证：； ②如图2，若，平分，交于点G，平分，且与相交于点F，试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)360 (2)①见解析；②．理由见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，多边形的外角和，邻补角，对顶角，角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用多边形的外角和定理即可作答； （2）①利用，是四边形，得到，再利用，即可证明； ②由①可知：，利用角平分线得到，进一步得到：，再利用，，证明，即． 【详解】（1）解：四边形的外角和为； 故答案为：360； （2）①证明：∵，是四边形， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下， 假设和交于点H，如图， 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 易错必刷题型15.多边形外角和的实际应用 典题特征：结合实际场景（如绕多边形行走、正多边形铺地），利用外角和求角度/边数 易错点：实际场景中找错对应外角，忽略外角和360°的性质，用内角和增加计算量导致错误 43．如图，五边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】任何多边形的外角和都是，利用多边形外角和进行角度运算即可． 【详解】解：， 故选：C． 44．如图，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）______． 【答案】/160度 【分析】延长交于点F，求出，再利用五边形的外角和计算即可． 【详解】解：延长交于点F，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 45．规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【答案】(1)正九边形； (2)18； (3)． 【分析】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键． （1）该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，即可求得正多边形的边数； （2）求出多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间； （3）求出n次的路径长减去4即可． 【详解】（1）解：由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形， 多边形的边数为：， 所以，该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是正九边形， 故答案为：正九边形； （2）解：该机器人所走的路程是：， 则所用时间是：． 故答案为：18； （3）解：已知机器人n次回到原点的路程为：， 还差，即：． 故答案为：． 易错必刷题型16.多边形内角和与外角和综合 典题特征：结合内角和、外角和两个知识点，求多边形边数、角度的综合题 易错点：混淆内角和与外角和的性质，不会灵活用外角和360°简化计算，综合推导时逻辑混乱 46．一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】利用多边形外角和为固定值，结合多边形内角和公式列方程求解边数，即可得到答案. 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∵任意多边形的外角和恒为，且该多边形内角和是外角和的倍， ∴该多边形内角和为 ， 又∵边形的内角和公式为， ∴列方程得 ， 解得 ，因此这个多边形是正六边形. 47．一个多边形的内角和比其外角和大，则它的边数是____． 【答案】8 【分析】n边形的内角和为，任意多边形的外角和为，根据题意内角和比外角和大，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为， 根据题意，得， 移项整理得， ∴， 解得， 即该多边形的边数为． 48．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 【答案】（1）平，180；（2）， 两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；（3）4，720 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平角的性质解决问题即可； 利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可； 利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于 故答案为：平，180； 如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同位角相等， 因为 所以 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，； 如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和． 故答案为：4，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形内角和定理易错必刷题型专项训练 本专题汇总三角形内角和定理章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01与平行线有关的内角和问题 题型02.与角平分线有关的内角和问题 题型03.三角形内角和定理的应用 题型04.三角形折叠中的角度问题 题型05.三角形的外角定义及性质 题型06.多边形截角后的边数问题 题型07.多边形对角线的条数问题 题型08.对角线分成三角形个数问题 题型09.多边形内角和问题 题型10.正多边形的内角问题 题型11.多(少)算一个角问题 题型12.多边形截角后的内角和问题 题型13.复杂图形的内角和 题型14.正多边形的外角问题 题型15.多边形外角和的实际应用 题型16.多边形内角和与外角和综合 易错必刷题型01与平行线有关的内角和问题 典题特征：三角形一边与平行线结合，求未知角度，或证明角度关系 易错点：平行线的内错角/同位角/同旁内角转化错误，忽略三角形内角和180°的隐含条件 1．已知如图，，，，则的度数为_____． 2．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，若，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 易错必刷题型02.与角平分线有关的内角和问题 典题特征：三角形内有角平分线（或内外角平分线），求角度、推导角的数量关系 易错点：角平分线定义用错（漏乘2/漏除2），多角推导时漏算某个角，混淆内外角平分线的性质 4．如图，在中，，点O为和角平分线的交点，则_________． 5．如图，在中，、的平分线，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 6．综合与实践 已知直线，直线分别交、于点A、B．点C在直线上且在点B的左侧，点D在直线上且在点A的右侧，E是直线上的动点，且不与A、B重合．连接，设，． (1)如图1，当点E在线段上，且，时，求的值． (2)如图2，当点E在线段的延长线上，且时，请写出，之间的数量关系，并证明． (3)如图3，分别作和的平分线相交于点G，则________．（用含，的代数式表示） 易错必刷题型03.三角形内角和定理的应用 典题特征：复杂三角形图形（含多个小三角形）、结合高/中线/角平分线，求角度 易错点：拆分角度时遗漏部分角，忽略直角三角形两锐角互余的隐含条件 7．如图，与相交于点，已知，，，则的度数为____． 8．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 9．如图，中，，点在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)若，且比小，求的度数． 易错必刷题型04.三角形折叠中的角度问题 典题特征：三角形沿某条线折叠，求折叠后对应角的度数 易错点：忘记折叠前后对应角相等，漏算折叠后新增的角度关系，计算时重复/遗漏角度 10．如图，将一角折叠，若，则_______． 11．如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 12．如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 易错必刷题型05.三角形的外角定义及性质 典题特征：利用三角形外角求角度、证明角的大小关系 易错点：忽略外角“等于不相邻两内角和”的“不相邻”条件，误将外角等于相邻内角和，概念混淆（认为三角形外部的角都是外角） 13．五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（，，，，）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为__________． 14．如图，把一张三角形纸片的三个顶角向内折叠（3个顶点不重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，于点，的角平分线交于点，交于点，于M，的延长线交于点N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 易错必刷题型06.多边形截角后的边数问题 典题特征：一个多边形截去一个角后，求新多边形的边数 易错点：未分类讨论（截线过顶点、过1个顶点、过2个顶点三种情况），漏算其中1-2种情况 16．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 17．若一个多边形截去一个角后，变成七边形，则原来的多边形的边数不可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 18．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 易错必刷题型07.多边形对角线的条数问题 典题特征：已知多边形边数求对角线条数，已知对角线条数求多边形边数 易错点：混淆“从一个顶点出发的对角线条数（n-3）”和“总对角线条数，总条数公式漏除以2 19．如果从多边形的一个顶点出发的对角线有5条，那么它的边数是__________ 20．一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 21．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 易错必刷题型08.对角线分成三角形个数问题 典题特征：从多边形一个顶点出发引对角线，求分成的三角形个数；或已知三角形个数求多边形边数 易错点：记错分成的三角形个数为n-2，和对角线条数n-3混淆 22．从六边形的一个顶点出发，可以引_________条对角线，将六边形分成_________个三角形，六边形共有_________条对角线． 23．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 24．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 易错必刷题型09.多边形内角和问题 典题特征：已知多边形边数求内角和，已知内角和求边数 易错点：内角和公式(n-2)×180°漏写-2，和外角和（恒为360°）混淆 25．如图①是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图②是其简化示意图．若，则的度数为_____． 26．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点． (1)若，，求的度数； (2)已知四边形中，，，求的度数． 易错必刷题型10.正多边形的内角问题 典题特征：已知正多边形边数求每个内角度数，已知正多边形内角度数求边数 易错点：内角公式记错（如用时计算错误），和外角公式混淆 28．如图，已知两个边长相同的正八边形和正六边形的一边重合，且正六边形在正八边形的内部，则图中的度数为______． 29．如图，五边形是正五边形，且．若，则（   ） A． B． C． D． 30．如图，点、分别在正五边形的边、上，连结、相交于点，且．求的度数． 易错必刷题型11.多(少)算一个角问题 典题特征：计算多边形内角和时，多算/少算一个内角，得到错误结果，求正确内角和或多边形边数 易错点：忽略多边形内角的范围（0°<内角<180°），导致求出的角度不符合实际，边数计算错误 31．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 32．小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 33．（1）已知的三边长为3，5，x，且的周长为偶数，求x的值； （2）已知小明在计算一个多边形的内角和时，不小心多加了一个外角的度数，计算结果为，求该多边形的边数及多加的外角度数． 易错必刷题型12.多边形截角后的内角和问题 典题特征：一个多边形截去一个角后，求新多边形的内角和 易错点：未分类讨论截角后边数的三种变化（n-1、n、n+1），漏算对应内角和的情况 34．一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是__． 35．在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为_____． 36．已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 易错必刷题型13.复杂图形的内角和 典题特征：由多个多边形组成的复杂组合图形，求图形的总内角和 易错点：拆分图形时漏算/重复计算部分内角，不会用外角和简化计算 37．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 39．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 易错必刷题型14.正多边形的外角问题 典题特征：已知正多边形边数求每个外角度数，已知正多边形外角度数求边数 易错点：忘记外角和恒为360°，用内角公式推导时出错，和内角公式混淆 40．中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图是颐和园小长廊五角夹堂窗，其轮廓是一个正五边形，如图是它的示意图，它的一个外角的度数为（　　） A． B． C． D． 41．如图，小新将若干个与全等的三角形进行摆放． （1）若小新取6个这样的三角形按照如图1所示的方法拼接起来，恰好能够围成正六边形；若取9个这样的三角形按照如图2所示的方法拼接起来，恰好能够围成正九边形，则______； （2）小新取3个这样的三角形按如图3的形式摆放，则______． 42．如图1，图2，在四边形中，是四边形的一个外角． (1)四边形的外角和为________度； (2)如图1，图2，已知． ①如图1，求证：； ②如图2，若，平分，交于点G，平分，且与相交于点F，试判断与之间的位置关系，并说明理由． 易错必刷题型15.多边形外角和的实际应用 典题特征：结合实际场景（如绕多边形行走、正多边形铺地），利用外角和求角度/边数 易错点：实际场景中找错对应外角，忽略外角和360°的性质，用内角和增加计算量导致错误 43．如图，五边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 44．如图，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）______． 45．规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 易错必刷题型16.多边形内角和与外角和综合 典题特征：结合内角和、外角和两个知识点，求多边形边数、角度的综合题 易错点：混淆内角和与外角和的性质，不会灵活用外角和360°简化计算，综合推导时逻辑混乱 46．一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 47．一个多边形的内角和比其外角和大，则它的边数是____． 48．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $