第二十五章《一元二次方程》单元检测卷-2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息**：人教版九年级上册数学第二十五章“一元二次方程”提高卷，单元复习适用，以社会热点和实际问题为情境，注重知识综合应用与抽象能力、模型意识等核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|定义、解法、根的判别式、韦达定理|结合足球联赛（第9题）、甲流传播（第14题）等情境，考查概念辨析与运算能力| |填空题|4/8|根的判别式、几何面积、韦达定理应用|第17题长方形草坪小路面积问题，体现几何直观与空间观念| |解答题|8/62|方程求解、实际应用、新定义问题|第22题“倍根方程”新定义问题，第27题工厂生产与利润多任务问题，培养创新意识与模型意识|

人教版九年级上册数学第二十五章单元检测卷 一元二次方程（提高卷） 时间：120分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1.已知关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ） A.      B.      C.      D. 不存在 2.若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．﹣1或2 3.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A.     B.     C. 且    D. 且 4.已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A.     B.     C.     D. 5.用配方法解方程，配方后所得方程正确的是（ ） A.      B.      C.      D. 6.已知关于的方程的两个根分别为、，且，则的值为（ ） A.     B.     C.     D. 7.若关于的方程的两个根互为倒数，则的值为（ ） A.     B.     C.     D. 8.已知实数、满足，则的值为（ ） A.     B. 或    C.     D. 或 9. 2026年云南省“民族团结杯”足球联赛在昆明开幕，全省各州市代表队参加.比赛采用单循环赛制（每两支队伍之间只比赛一场），若所有队伍的比赛总场次为45场，则参加本次足球联赛的队伍共有（　　） A．9支    B．10支    C．11支    D．12支 10.已知关于的一元二次方程有两个实数根、，且，则的值为（ ） A.     B.     C.     D. 11.定义新运算，若，则的值为（ ） A.1    B.2    C.1或2    D.1或−2 12.已知α，β是方程x2+2024x+1＝0的两个根，则（1+2026α+α2）（1+2026β+β2）的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 13.已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为﹣1和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（　　） A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误 C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误 14.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 15.已知、是方程的两个根，不解方程，则的值为（ ） A.     B.     C.     D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16.若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 17.如图，在一块长为am，宽为102m的长方形草坪上，修筑了宽为2m的小路（阴影部分）．已知草坪面积为12000m2，则a＝______． 18.已知、是方程的两个根，则以、为两根的一元二次方程是__________． 19.阅读材料：设一元二次方程（）的两根为、，则两根与系数之间有如下关系：，．根据该材料填空：已知、是方程的两实数根，则的值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20.（本题8分）解下列方程： （1） （2） 21.（本题7分）已知关于的方程有两个实数根、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 22.（本题7分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程” （1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”． （2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0是“倍根方程”，求k的值． 23.（本题6分）如图，在矩形ABCD中，cm，cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，同时点Q从点B出发沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒．当为何值时，的面积为. 24.（本题8分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形花园ABCD，并在花园长边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当花园的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的花园？ （2）花园的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 25.（本题8分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若的两边AB、AC的长是该方程的两个实数根，第三边BC的长为5，则当为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？ 26.（本题8分）阅读理解： 材料一：若关于𝑥的一元二次方程（）的两根为、，则，，我们称这一关系为"韦达定理"． 材料二：已知实数、满足、，且，求的值． 解：由题意可知、是方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得，， ． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）已知实数、满足、，且，求的值． （2）已知实数、满足、，且，求的值． 27.（本题10分）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务一 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 任务二 工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ 任务三 有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 答案与解析 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1.C 由一元二次方程的定义可知，且，解得. 2.B 将代入方程得，解得.又因为二次项系数，即，所以. 3.C 方程有两个不相等的实数根，需满足两个条件： 二次项系数不为零：，即； 判别式大于零：，即. 综上，且. 4.A 是方程的根，. 由韦达定理，. 则. 5.B 两边除以2： 配方： 6.A 由韦达定理：，. 解得，. 此时，两个根均成立. 7.A 两根互为倒数，则，解得. 此时方程为，两根均为，互为倒数成立. 8.A 设，原方程化为. 因式分解：，或（舍去）. 故. 9.B 设共有支队伍，单循环赛制下总场次为. ，，（舍去负值）. 10.B 由韦达定理：. 又，两式相减得，则. . 11.B 解： 左边： 右边： 由得： 化简： 解得： 12.D 是的根，，. 由得，同理. 13.A ①将代入方程：，成立，故①正确. ②两根为和，则，；，. 所以，故②正确. 14.C 初始1人感染，每轮平均1人传染人. 第一轮后：人感染； 第二轮后：（即）. 15.A 由韦达定理：，. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16.且 方程有两个实数根，需满足： ，即； ，即. 17. 总面积，小路面积（含重叠部分）为. 草坪面积， 解得，. 18. ，. 以、为两根的方程： 和： 积： 所求方程为，整理得. 19. ，. 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20.（本题8分） （1） 因式分解法： 解得，. （2） 移项： 提取公因式： 即 解得，. 21.（本题7分） （1）方程有两个实数根， ， 解得. （2）由韦达定理：，. 整理得，即， ，或. 由（1）知，故. 22.（本题7分） （1）解，得，. ，即一个根是另一个根的2倍，故是"倍根方程". （2）设方程的两根为、，且. 由韦达定理： ，得； ，得. 代入： ， 解得或. 23.（本题6分） 由题意，，，，（）. 令，得， ，或，均满足. 故当或时，的面积为. 24.（本题8分） 设花园宽米，则长米（门宽2m计入）. （1）面积 或. 当时，米； 当时，米. 两种方案均符合题意. （2） 当时，？不对，. ，所以花园面积不能达到. 25.（本题8分） （1） 故无论取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）设两根为、（即、的长），. 是以为斜边的直角三角形，则. 由韦达定理：，. ，，，或. 当时，方程为，两根为和，，成立. 当时，方程为，两根为和，边长不能为负，舍去. 故. 26.（本题8分） （1）由题意，、是方程的两个不相等的实数根. 由韦达定理：，. . （2）由题意，、是方程的两个不相等的实数根. 由韦达定理：，. 27.（本题10分） 任务一 设月平均增长率为，则. ，（取正值），. 故该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为. 任务二 设售价上涨元，则实际售价为元/个，月销售量为个. 月销售利润： 或. 要尽可能让消费者得到实惠，应取较小的涨价幅度，即. 此时售价为元/个. 任务三 设实际售价为n元， 由题意得（n﹣30）[600﹣10（n﹣40）]＝20000， 整理得n2﹣130n+5000＝0， ∵Δ＝（﹣130）2﹣4×1×5000＝﹣3100＜0， ∴方程没有实数根，故月销售利润不能达到20000元． 第页 共页 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 $