4.3 全等三角形 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦全等三角形的判定与应用，通过测量河宽的任务导入情境，引导学生从实际问题出发，经历探索证明（如ASA判定）到应用提升（测量玻璃瓶内径、楼高）的学习支架，衔接判定定理与实际问题解决。 其亮点在于以真实情境问题（如风力发电底座测量）驱动，培养数学眼光，通过严谨的全等证明（如例3 SSS转SAS）发展推理思维，用规范数学语言表达证明过程。课堂小结梳理判定思路，帮助学生构建知识体系，既提升学生应用能力，也为教师提供丰富实例和结构化教学资源。

第4章 三角形 4.3.5 全等三角形的应用 学习目标 1.熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件 2.能正确地利用相关条件判定三角形全等； 3.运用全等三角形的判定方法解决线段相等和角相等的相关应用问题. 任务导入 如图，为测量河宽 AB，小楠从河岸的 A 点沿着与 AB 垂直的方向走到 C 点，并在 AC 的中点 E 处立一根标杆，然后从 C 点沿着与 AC 垂直的方向走到 D 点，使点D，E，B 恰好在一条直线上. 于是小楠说："CD 的长就是河的宽度."你认为小楠说得对吗？为什么? 探索展示 如图，在△AEB 和△CED 中 ∠A =∠C = 90° AE = CE ∠AEB =∠CED (对顶角相等)， ∴△AEB≌△CED (角边角) 从而 AB = CD 即 CD 的长就是河的宽度. 因此，小楠说得对. 应用提升 例1 小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动(如图所示)，使 CD 与瓶底平行，这样只要量出 AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理由是什么吗（木条的粗细忽略不计)？ 解：如图，连接 AB，CD， 由题意可知，OA = OB = OC = OD 在△AOB 和△COD 中 OA = OC ∠AOB =∠COD (对顶角相等) OB = OD ∴△AOB≌△COD (SAS) 从而 AB = CD 即 AB 的长等于玻璃瓶的内径. 应用提升 例2 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中 A 灯恰好照到 B 灯，B 灯恰好照到甲楼的顶部 C 处，如图所示. 已知 AE 为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的 2 倍？为什么? C B A E 应用提升 例2 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中 A 灯恰好照到 B 灯，B 灯恰好照到甲楼的顶部 C 处，如图所示. 已知 AE 为水线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的 2 倍？为什么? C B A E 解：如图，过点 B 作 BF⊥AC，交 AC 于点 F， 则∠CFB =∠AFB = 90°. 又∵∠CFB =∠CAE = 90° ∴ FB∥AE 从而∠ABF =∠BAE ∵两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等 ∴∠CBF =∠BAE 从而∠CBF =∠ABF 在△CBF 和△ABF 中 ∠CBF =∠ABF BF = BF ∠CFB =∠AFB ∴△CBF≌△ABF(ASA) 从而 CF = AF 又 ∵FA⊥AE，BE⊥AE，且 AE∥FB ∴ AF，EB 是平行线 AE 与 FB 的公垂线段 故 AF = EB，从而AC = 2AF = 2EB 因此，可以说甲楼高度是乙楼高楼的 2 倍 还有其他方法证明AF = EB吗？ 应用提升 例2 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中 A 灯恰好照到 B 灯，B 灯恰好照到甲楼的顶部 C 处，如图所示. 已知 AE 为水线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的 2 倍？为什么? C B A E 证：在△AFB和△BEA中 ∠ABF =∠BAF BF = AE ∠AFB =∠BEA=90O ∴△AFB≌△BEA(ASA) 从而 AF = BE 还有其他方法证明AF = EB吗？ 应用提升 1.如图，太阳光线AC与A'C'是平行的，同一时刻两根竖立的木杆在太阳光照射下的影子一样长. 由此能判断这两根木杆一样长吗？为什么？ A A' B C B' C' 解：∵ AC∥A'C' ∴∠ACB =∠A'C'B' 由题意，BC=B'C',AB⊥BC,A'B'⊥B'C' 在△ABC 和△A'B'C' 中 ∠ACB =∠A'C'B' BC = B'C' ∠ABC =∠A'B'C' ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA) 从而 AB = A'B' ∴这两根木杆一样长. 1.点到河对面的目标A之间的距离,他们在B点同侧选择了一点C,测得∠ABC=70°,∠ACB=40°然后在M处立了标杆，使∠CBM=70°，那么他们为了能测得A,B之间的距离，还需要( ) 当堂检测 已知条件 补充条件 判定方法 AC=DC，∠A=∠D SAS ∠A=∠D，AB=DE ASA ∠A=∠D，AB=DE AAS AC=DC，AB=DE SSS 如图，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的边或角（见下表），请再补充适当的条件，从而能运用已学的判定方法来判定△ABC≌△DEC. 当堂检测 例3 已知：如图，AB = CD，BC = DA，E，F 是 AC上的两点，且 AE = CF. 求证：BF = DE. 证明：在△ABC 和△CDA 中， ∴△ABC≌△CDA (SSS). ∴∠BCF =∠DAE. AB = CD， BC = DA， AC = CA (公共边)， 在△BCF 和△DAE 中， ∴△BCF≌△DAE (SAS). ∴ BF = DE. BC = DA， ∠BCF = ∠DAE， CF = AE， 全等三角形的判定与性质的综合运用 2 例4 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，E 为 AC 上的一动点(不与 A 重合)，在点 E 移动的过程中 BE 和 DE 是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由． 解：相等．理由如下： 在△ABC 和△ADC 中， AB＝AD， AC＝AC， BC＝DC， ∴△ABC≌△ADC (SSS)， ∴∠DAE＝∠BAE. 在△ADE 和△ABE 中， AB＝AD， ∠DAE＝∠BAE， AE＝AE， ∴△ADE≌△ABE (SAS). ∴ BE＝DE. 本题考查了全等三角形的判定和性质，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题要特别注意“SSA”不能作为三角形全等的证明依据使用． 方法总结 例5 如图，已知 CA = CB，AD = BD，M，N 分别是 CA，CB 的中点，求证：DM = DN. 在△ACD 与△BCD 中， 证明： CA = CB (已知)， AD = BD (已知)， CD = CD (公共边)， ∴△ACD≌△BCD (SSS). 连接 CD，如图所示. ∴∠A =∠B. 又∵M，N 分别是 CA，CB 的中点， ∴ AM = BN. N A B D C M 在△AMD 与△BND 中， AM = BN (已证)， ∠A =∠B (已证)， AD = BD (已知)， ∴△AMD≌△BND (SAS). ∴ DM = DN. N A B D C M 考试考法 2. 风力发电具有环保、节能、可再生等优点，现已被广泛推广应用，其风力发电基础底座直径的大小引起同学们的兴趣，某综合实践小组的同学开展了以测量为主题的项目学习活动，形成了如下活动报告： 项目主题 实物的测量与计算 驱动问题 如何测量风力发电基础底座的直径 活动内容 利用三角形全等的知识进行测量与计算 考试考法 活动过程 如图所示为测量方案示意图，AB为东西方向风力发电基础底座的直径． ①从点A处向正西方向步行4 m到达点C处； ②从点B处向正东方向步行4 m到达点D处； ③从点D处沿正南方向步行一定距离 到达点E处，F为DE的中点； ④从点E处沿正东方向步行16 m到达 点G处，此时C，F，G三点在一条直线上 考试考法 (1)请根据上述数据,计算风力发电基础底座的直径AB的长． 【解】根据题意，得∠CDF＝∠GEF，∠CFD＝∠GFE. 因为F为DE的中点，所以DF＝EF. 在△CDF和△GEF中，∠CDF＝∠GEF， DF＝EF，∠CFD＝∠GFE， 所以△CDF≌△GEF(角边角)．所以CD＝GE＝16 m. 因为AC＝BD＝4 m， 所以AB＝CD－AC－BD＝16－4－4＝8(m)． 考试考法 返回 (2)请你设计一个不同的测量方案，并在图中画出示意图．(不需写出测量数据) 【解】答案不唯一，合理即可．如：如图，分别在AB，BA的延长线上取两点D，C，在风力发电基础底座外取一点E(点E不在直线AB上)，作射线DE，CE，并分别在射线CE，DE上取点F，G，使EF＝CE，EG＝DE，连接GF，测得AC，BD，GF的长即可． 考试考法 3．小川在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小川用发声物体靠近小球时， 考试考法 如图②，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，且测得点B到OA的距离BD为10 cm，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直(图中的A，B，O，C在同一平面上)，过点C作CE⊥OA于点E，测得点C到OA的距离CE为18 cm，则在两次摆动中，点B和点C的高度差DE的长为________cm. 8 考试考法 4. 如图，为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如下的测量方案，他们首先取地面BC的中点D，此时用测角仪恰好测得∠ADE＝90°，并量得旗杆高度AB＝10.8 m，教学楼高度CE＝20.2 m，则AE的长为________m. 31 课堂小结 判定三角形全等的思路 已知两边 已知一边一角 已知两角 找夹角(SAS) 找第三边(SSS) 找任一角(AAS) 边为角的对边 边为角的一边 找角的另一边(SAS) 找边的对角(AAS) 找夹边的另一角(ASA) 找夹边(ASA) 找其中一角的对边(AAS) $