1.1 多项式的因式分解课件2026-2027学年湘教版八年级上册数学

该初中数学课件聚焦多项式的因式分解，核心内容包括因式分解的概念及与整式乘法的互逆关系。课堂导入从整数分解（12=3×4）过渡到多项式分解（x²-1=(x+1)(x-1)），搭建新旧知识的学习支架，帮助学生自然理解概念形成脉络。 其亮点在于通过实例对比（如(x+1)²与x²+2x+1的互逆变形）培养抽象能力，结合例题推理（如判断变形是否为因式分解）发展推理意识，用规范语言表述概念（如“整式的积的形式”）提升数学表达。学生能深化知识理解，教师可高效开展教学。

第1章 因式分解 1.1 多项式的因式分解 学 习 目 标 1 2 3 了解因式分解的意义，理解因式分解的概念 能够根据因式分解的概念找出多项式的因式 掌握因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系(相反变形)，并能运用这种关系解决因式分解的相关问题 问题1 12 等于 3 乘哪个整数？ 12 ＝ 3×4 问题2 x2 － 1 等于 x + 1 乘哪个多项式？ 复习导入 (1) 因为(x + 1)² = ， 所以 x² + 2x + 1 = (x + 1)( )； (2) 因为 x(x－) = ， 所以 x²－x = x( ). x² + 2x + 1 x + 1 x－ x²－x 观察“所以”后面的式子，有什么共同点？ 都是一个多项式化为几个多项式的积的形式 整式的乘法 探究新知 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. x² + 2x + 1 = (x + 1)² x²－x = x(x－) 例1 填空： 因为(x－2)(x－3) = ， 所以 = (x－2)(x－3) 是多项式 的因式分解. 解：(x－2)(x－3) = x²－3x－2x＋(－2)×(－3) = x²－5x＋6， 因此三个空格都填写 x²－5x＋6. 方法技巧 解题的关键： 理解多项式的因式分解的概念：把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式。 多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程。 x2+2x+1=(x+1)2 x2x=x(x) x25x+6=(x – 2)(x – 3) 左边是多项式 右边是整式的乘积 左边是整式的乘积 右边是多项式 (x+1)2=x2+2x+1 x(x)=x2x (x – 2)(x – 3)=x25x+6 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明 例2 理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. （1） x(x2y)=x22xy； （2） x22x+1=x(x – 2)+1； （3） 3x2x=x(3x – )； （4） xyxy+1=(x – 1)(y – 1). 解：（1） 不是因式分解. 理由：它是整式的乘法. （2） 不是因式分解. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式. 03 新知探究 解：（3）是因式分解.理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且x(3x – )=3x2x，因而符合因式分解的定义.3x2x的因式为x和(3x – ). （4）是因式分解.理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x – 1)(y – 1)=xyxy+1，因而符合因式分解的定义. xyxy+1的因式 为x – 1和y – 1. 方法总结：多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 把多项式因式分解的重要用处之一是： 可以较简便地求出关于 x 的多项式中，x用哪些数代入能够使得这个多项式的值为 0. 归纳总结 1.判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解： A. x(a﹣b) = ax﹣bx B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2 C. y2﹣2 = ( y + 1)( y﹣1) D. ax + bx + c = x(a + b) + c E. 2a3b = a2•2ab F. x + 3 = x (1 + ) × × × × × × 提示：判定一个变形是因式分解的条件： (1) 必须是等式；(2) 左边是至少含两项的多项式； (3) 右边是整式的乘积的形式. 针对训练 2. 判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解： (1) x2﹣4y2 = (x + 2y)(x﹣2y) (2) 2x(x﹣3y) = 2x2﹣6xy (3) (5a﹣1)2 = 25a2﹣10a + 1 (4) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 (5) 2πR + 2πr = 2π(R + r) 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 因式分解 把积化为和 把和化为积 整式乘法 因式分解 3.已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　） A． B． C． D． B 4. 下列各式由左边到右边的变形中，表述正确的是( ) ； . C A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 返回 5.若多项式因式分解的结果为，则 ． 6.把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于 ． 5 积 整式乘法 7. 通过计算比较图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的 计算式子是( ) D A. B. C. D. 返回 能力提升题 8、已知多项式可分解为 方法技巧 整式乘法与因式分解是互逆关系。利用整式的乘法可以求因式分解中的参数。 解：(x+2y+m)(2x-y+n) =2x2-xy+nx+4xy-2y2+2ny+2mx-my+mn =2x2+3xy-2y2+(n+2m)x+(2n-m)y+mn 根据题意可得 n+2m=-1,2n-m=8,mn=-6 所以m=-2,n=3 9.下列从左到右的变形，是分解因式的个数是（    ） ①；② ③；④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10.若，则k的值是（     ） A．10 B． C． D．14 A B 11.下列各式中，是整式乘法的是______， 是因式分解的是______.（填序号） ① ； ② ; ③ ； ④ . ①② ③④ 返回 12.已知二次三项式可以分解为为常数，求m、n的值． 解：∵ ∴ 解得：． 能力提升题 13. 若多项式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值. 解：因为 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次数是 4， 所以可设 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b). 则 x4 + mx3 + nx﹣16 = x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b. 比较系数得 a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16. 解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20. 所以 mn =﹣5×20 =﹣100． 方法技巧 整式乘法与因式分解是互逆关系。利用整式的乘法可以求因式分解中的参数。 课堂小结 因式分解要注意以下几点： 3. 要分解到不能分解为止. 2. 分解的结果一定是几个多项式的乘积的形式； 1. 分解的对象必须是多项式； 因式分解与多项式乘法是互逆的变形过程. x2 － y2 ( x + y )( x － y ) 因式分解 多项式的乘法 谢谢观看！ $