1.1 多项式的因式分解教学设计2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦多项式的因式分解核心知识点，通过“做一做”填空练习从整式乘法逆向引入，引导学生建立因式分解与整式乘法的互逆关系，衔接前续整式运算知识，为后续解一元二次方程、分式运算奠定基础。 此资料以“具体实例—抽象概念—辨析应用”为主线，通过师生互动辨析（如判断是否为因式分解）发展数学抽象与逻辑推理素养，图示直观呈现互逆关系帮助理解本质，实例典型且结构完整，助力教师高效教学，提升学生代数变形与逆向思维能力。

1.1 多项式的因式分解 一、教材分析 本节课通过具体实例引导学生从整式乘法出发，逆向理解多项式因式分解的概念，经历“做一做—抽象—议一议”的探究过程，建立因式分解与整式乘法互逆的数学关系。教材先以 和 为例，让学生填空感知乘法与分解的对应性，再抽象出因式、因式分解的定义，并强调其形式本质是“化为乘积”。本节内容是整式运算的重要延伸，与前续的整式乘法紧密联系，也为后续解一元二次方程（如因式分解法）、分式约分与运算奠定关键基础；有助于发展学生的逆向思维、代数推理能力及数学建模意识，落实《义务教育数学课程标准》中“数与代数”领域关于运算能力与代数抽象的核心素养要求。 二、学情分析 八年级学生已掌握整式的乘法运算、平方差公式、完全平方公式及提公因式法等基础知识，具备初步的代数恒等变形能力；此阶段学生正处于形象思维向抽象思维过渡期，能理解具体实例中的数学关系，但对“因式分解”作为乘法逆运算的抽象本质及多项式因式概念的理解仍需直观支撑；本节课要求学生通过对比乘法与分解过程，建立因式与因式分解的概念，理解 中 、 均为 的因式，并能识别简单多项式的因式分解形式，从而发展逆向思维与代数推理能力，为后续学习一元二次方程解法、分式化简及函数零点奠定关键基础。 三、教学目标 1.理解因式分解的概念，能识别多项式乘积形式与和差形式的转化关系，发展符号意识与数学抽象核心素养，提升观察、归纳与表达能力。 2.掌握因式与因式分解的定义，能判断一个多项式是否为另一多项式的因式，通过具体实例体会“整式乘法”与“因式分解”的互逆关系，强化逻辑推理与运算能力。 3.体会因式分解在求方程解、化简分式等后续学习中的基础作用，增强知识迁移意识，培养数学建模初步思想和解决问题的应用能力。 四、教学重难点 重点： 理解因式分解的定义；明确因式分解与多项式乘法的互逆关系。 难点： 准确区分因式分解与多项式乘法，把握因式分解的本质。 五、教学环节 1、课堂导入 同学们，我们先来看两个小计算： 1. 计算 ，大家很快能得到结果 ； 2. 那如果反过来，给大家多项式 ，你能把它写成两个整式相乘的形式吗？ 其实这种“化和为积”的变形，就是我们今天要学习的多项式的因式分解。它和我们之前学的整式乘法是互逆的过程，学好它不仅能帮我们简化计算，还能为后续分式运算、一元二次方程的学习打下基础。接下来我们就一起走进因式分解的世界。 2、探究新知 （一）知识精讲 同学们，让我们先来完成几个填空练习，体会一下数与式之间的奇妙关系。 做一做： (1) 因为 ，所以 ; (2) 因为 ，所以 。 通过这个练习，我们发现，从左边整式的乘法运算可以得到右边的多项式，反之，我们也可以将一个多项式写成几个整式乘积的形式。 由此，我们可以引入新的概念： 一般地，对于多项式 与 ，如果有多项式 使得 ，那么把 叫作 的一个因式。此时， 也是 的一个因式。 例如，因为 ，所以 是多项式 的因式。 类似地，因为 ，所以 和 都是 的因式。 像这样，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式。 接下来，我们来思考一个问题：多项式的因式分解与多项式的乘法之间有什么关系呢？ 我们可以将它们的关系用下图表示： 从图中可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的两种变形。因式分解是把“和（差）”的形式转化为“积”的形式，而整式乘法是把“积”的形式转化为“和（差）”的形式。它们互为逆运算。因此，我们可以利用整式的乘法运算来检验因式分解的结果是否正确。 例如： 整式乘法： 因式分解： 另外，多项式的因式分解有一个重要作用：可以帮助我们简便地求出当 取何值时，多项式的值为0。这在后续学习一元二次方程的解法以及分式运算时，都是非常重要的基础。 （二）师生互动 教师提问：同学们，通过刚才的学习，我们已经知道多项式因式分解就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。现在请大家思考一下，如果给你一个多项式，比如 ，你能判断下面的式子是不是它的因式分解吗？ ① ② （其中 不是整式） ③ 学生回答：第①个是正确的，因为 展开后确实等于 ；第②个不是因式分解，因为结果中的因式 不是整式；第③个也不对，因为 展开等于 ，不等于 。 教师追问：回答得非常准确！那我们再进一步思考，刚才我们提到因式分解与整式乘法是互逆的变形，那么你能不能用整式乘法来检验你写出的因式分解是否正确呢？ 学生回答：可以，只要把因式分解的结果相乘，看看是不是得到原来的多项式就行了。 （三）设计意图 通过“做一做”的填空练习，引导学生从已有的整式乘法经验出发，逆向思考将多项式写成乘积形式的过程，从而自然引出因式分解和因式的概念。通过对比因式分解与整式乘法的关系，让学生认识到两者互逆的逻辑联系，培养学生的逆向思维能力。利用图示直观展示，帮助学生理解因式分解的重要用途和后续学习价值，激发学生的学习兴趣。师生互动环节，通过对典型例子的辨析，强化学生对因式分解概念中“整式”和“乘积形式”这两个关键点的理解，并巩固用整式乘法检验因式分解结果的技能，为后续深入学习打下坚实基础。整体体现从具体到抽象、从观察到思考的学习过程。 3、新知应用 例1.填空： 因为 __________， 所以 __________ 是多项式__________的因式分解。 解答： 因为 ， 所以 是多项式 的因式分解。 注意：这里强调“因式分解”是指把一个多项式写成几个整式（多项式）的乘积形式，且左右两边恒等。本题中， 是一个二次三项式，被成功分解为两个一次二项式 和 的乘积，完全符合定义。 例2.下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可。 （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 解答： 我们逐个判断，紧扣因式分解的定义： 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，且等式左右恒等。 （1） 左边是乘积形式，右边是和差形式（一个多项式）。这是从乘积→和差的变形，属于整式乘法，方向与因式分解相反。 ✅ 所以不是因式分解。 理由：变形方向是乘法展开，不是将多项式化为乘积。 （2） 右边是 （乘积）加 （单项式），整体是“乘积 + 数”，不是纯粹的乘积形式（即不是几个多项式相乘），不符合定义。 ✅ 所以不是因式分解。 理由：右边不是几个多项式的乘积，而是乘积与常数的和，属于未完成的变形（实际可进一步分解为 ）。 （3） 左边是多项式（两项，含根号系数，仍属初中允许的多项式范畴）； 右边是两个多项式 （一次单项式）与 （一次二项式）的乘积； 验证恒等性： 完全等于左边。 ✅ 所以是因式分解。 因式为： 和 。 （4） 右边是两个一次二项式乘积； 验证右边展开： 与左边完全一致。 ✅ 所以是因式分解。 因式为： 和 。 4、新知巩固 1.下列各因式分解正确的是（ A ） A． B． C． D． 2．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（  B ） A． B． C． D． 3．已知二次三项式有一个因式是，则m的值为-18． 4．若，则 0 ． 5、课堂小结 同学们，今天我们共同开启了“因式分解”的学习之旅。为了帮助大家理清思路，我们将本节课的核心内容梳理如下： （一）. 核心概念回顾 1. 什么是因式？ 如果 （ 均为整式），那么 和 都是 的因式。 2. 什么是因式分解？ 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。 a. 关键特征：左边是“和/差”形式（多项式），右边是“积”形式（整式乘积）。 （二） 因式分解 vs 整式乘法 两者是互逆的变形过程，就像“加法”与“减法”、“乘法”与“除法”的关系一样： 变形方向 名称 形式变化 作用 积 和/差 整式乘法 展开化简，计算数值 和/差 积 因式分解 揭示结构，求根、约分 （三） 判断“是不是因式分解”的三大金标准 在做题时，请牢记以下三个检查点，缺一不可： · 看对象：左边必须是一个多项式。 · 看结果：右边必须是几个整式的乘积形式（不能含有加减运算连接不同的项，如 不是）。 · 看恒等：左右两边必须相等（可通过整式乘法展开右边来检验）。 （四）易错点警示 · 方向搞反： 是整式乘法，不是因式分解。 · 分解不彻底：如 ，其中 还能继续分解，因此这不是最终的因式分解结果。 · 非整式参与：结果中不能出现分式或根式（在初中阶段通常要求系数为有理数，且因式为整式）。 6、课后作业 · 《学法大视野》1.1节 六、板书设计 多项式的因式分解 ├─ 概念导入（做一做） │ ├─ → │ └─ → ├─ 核心概念 │ ├─ 因式：若 ，则 、 是 的因式 │ └─ 因式分解：把多项式表示成若干多项式的乘积形式 ├─ 与乘法的关系 │ ├─ 区别：乘法→积化和，因式分解→和化积 │ └─ 联系：互逆变形，可用乘法检验分解结果 └─ 用途 ├─ 简便求多项式值为0的 值（铺垫一元二次方程） └─ 分式运算必备 七、教学反思 本节课围绕多项式因式分解的概念、本质及与乘法的互逆关系展开，通过“做一做”“议一议”引导学生从具体实例抽象出因式、因式分解定义，并理解其数学意义与应用价值。教学基本达成课标要求的“理解因式分解的意义，认识其与整式乘法的互逆关系”目标，成功之处在于以代数恒等变形为线索，凸显数学抽象与逻辑推理；不足在于对 等无理系数因式分解的合理性未作必要说明，易引发学生认知困惑，且未充分关联后续一元二次方程求根的实际需求，学科育人深度有待加强。 学科网（北京）股份有限公司 $