3.1.1方程及方程的解（课件）--2026-2027学年沪科版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦方程及方程的解核心知识点，涵盖方程与一元一次方程的概念、方程的解与解方程的含义，通过“小明买钢笔”实际问题导入，先以算术法设陷阱引发质疑，再引导列方程，构建从算术到方程的学习支架。 其亮点在于结合鸡兔同笼等经典问题与生活情境，通过概念辨析和检验方程解的过程培养推理意识，列方程环节强化模型意识。采用情境导入与例题讲解结合的方法，帮助学生夯实基础，教师可提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学七年级上册教学课件 第3章 一次方程与方程组 3.1.1方程及方程的解 2026年8月5日 沪科版七年级上册数学3.1.1 方程及方程的解练习题 本次练习题紧扣沪科版3.1.1方程及方程的解核心知识点，围绕等式与方程的区分、一元一次方程的定义判定、方程的解与解方程的概念辨析、检验数值是否为方程的解、根据实际问题列简单方程等重难点出题。重点突破式子类型混淆、一元一次方程次数与系数易错点、代入检验格式错误、不会找等量关系列方程等高频问题，题型梯度循序渐进，贴合教材基础考点与单元入门考题，配套详细分步解析，帮助学生夯实方程入门基础。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各式中，属于方程的是（） A. $$3x+5$$ B. $$2x-3=0$$ C. $$5+3=8$$ D. $$4x-1>2$$ 2. 下列方程中，属于一元一次方程的是（） A. $$x+2y=3$$ B. $$x^2=4$$ C. $$2x-1=5$$ D. $$\frac{3}{x}=2$$ 3. 已知$$x=2$$是方程$$3x+a=7$$的解，则a的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列说法正确的是（） A. 含有未知数的式子叫做方程 B. 方程一定是等式 C. 等式一定是方程 D. 一元一次方程含有两个未知数 5. $$x=3$$是下列哪个方程的解（） A. $$x+1=3$$ B. $$2x=5$$ C. $$x-2=1$$ D. $$4x-1=10$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 含有________的等式叫做方程，只含有________个未知数，且未知数的次数是________的整式方程，叫做一元一次方程。 2. 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做________，求方程解的过程叫做________。 3. 检验$$x=1$$________（填“是”或“不是”）方程$$2x+3=5$$的解。 4. 若方程$$(m-1)x+2=0$$是一元一次方程，则m的取值范围是________。 5. 一个数x的3倍比它本身大4，列方程为________。 三、解答题（共60分） 1.（18分）判断下列各式，将序号填入对应集合： ①$$5x-6$$ ②$$3x+2=8$$ ③$$7+2=9$$ ④$$2x-1=0$$ ⑤$$x^2=1$$ ⑥$$3x+4>1$$ 方程：________；一元一次方程：________ 2.（20分）检验下列未知数的值是否为对应方程的解： （1）$$x=4$$，方程$$3x-5=7$$； （2）$$x=-2$$，方程$$2x+1=-3$$。 3.（22分）根据题意列一元一次方程（不用求解）： （1）一个数x与5的和的2倍等于18； （2）某数y的一半减去3的差为2。 参考答案及解析 一、选择题 1.B 解析：方程必须是含有未知数的等式，A是代数式，C是不含未知数的等式，D是不等式，只有B是方程。 2.C 解析：A含两个未知数，B未知数次数为2，D分母含未知数不是整式方程，只有C是一元一次方程。 3.A 解析：将x=2代入方程，6+a=7，解得a=1。 4.B 解析：方程是含未知数的等式，故方程一定是等式；等式不一定含未知数，不一定是方程。 5.C 解析：将x=3代入验证，只有C左右两边相等。 二、填空题 1. 未知数、一、1 2. 方程的解、解方程 3. 是 4. $$m eq1$$ 5. $$3x-x=4$$ 三、解答题 1. 方程：②④⑤；一元一次方程：②④。解析：方程核心是含未知数的等式，一元一次方程需同时满足：一个未知数、次数为1、整式方程。 2.（1）解：把x=4代入，左边=3×4-5=7，右边=7，左边=右边，故x=4是方程的解；（2）解：把x=-2代入，左边=2×(-2)+1=-3，右边=-3，左边=右边，故x=-2是方程的解。检验必须严格对比左右两边数值。 3. 解：（1）$$2(x+5)=18$$；（2）$$\frac{1}{2}y-3=2$$。找准题目中的等量关系，是列方程的核心，为本章后续解方程应用题奠定基础。 （字数：997） 今有雉兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问雉兔各几何 你有哪些方法解决这道经典有趣的数学题? 一、教学基本信息 1. 授课年级：七年级上册 2. 课时安排：1课时（45分钟） 3. 授课内容：方程、一元一次方程的概念及方程的解与解方程的含义 4. 授课教师：[教师姓名] 二、教学目标 （一）知识与技能 1. 理解方程、一元一次方程的定义，能准确判断一个式子是否为方程、一元一次方程。 2. 明确方程的解与解方程的区别与联系，能检验一个数是否为指定方程的解。 3. 能根据简单的实际问题列出方程，初步感受方程作为刻画现实世界数量关系的数学模型的作用。 （二）过程与方法 1. 通过对比算术法与方程法解决实际问题，经历方程概念的形成过程，培养抽象概括能力。 2. 在检验方程解的过程中，提升推理验证能力，养成严谨的数学思维习惯。 （三）情感态度与价值观 1. 体会方程在解决实际问题中的优越性，激发学习方程的兴趣。 2. 在解决问题的过程中，增强数学应用意识，提升学习自信心与成就感。 三、教学重难点 1. 教学重点：方程、一元一次方程的概念；方程的解的含义及检验方法。 2. 教学难点：从实际问题中提炼等量关系并列出方程；区分方程的解与解方程的概念。 四、教学准备 多媒体课件、实际问题素材、练习题单 五、教学过程 （一）情境导入，引发思考（5分钟） 1. 呈现实际问题：小明去商店买笔，每支钢笔8元，他买了若干支后，付给收银员50元，找回18元，小明买了几支钢笔？ 2. 引导学生用算术法解答：(50 - 18) ÷ 8 = 3.75？不对，笔的数量应为整数，此处故意设置小陷阱，引发学生质疑。 3. 调整问题数据：找回14元，算术法解答：(50 - 14) ÷ 8 = 4（支）。再提出问题：若设小明买了x支钢笔，你能列出一个含有x的式子表示这个等量关系吗？ 4. 学生尝试列式，教师引导得出：8x + 14 = 50 或 50 - 8x = 14。引出课题：像这样含有未知数的等式，就是我们今天要学习的“方程”。 （二）探究新知，明确概念（12分钟） 1. 方程的概念 展示一组式子，让学生观察分类： ①3 + 2 = 5 ②2x - 1 ③3x + 4 = 10 ④x² - 2 = 0 ⑤x + y = 7 ⑥π ≈ 3.14 引导学生思考：哪些式子是等式？哪些等式中含有未知数？ 明确概念：含有未知数的等式叫做方程。强调方程的两个要素：一是等式，二是含有未知数。 概念辨析：判断下列式子是否为方程？为什么？ （1）5x + 3 （不是，不是等式） （2）7 - 3 = 4 （不是，不含未知数） （3）4x - 1 = 0 （是，是含未知数的等式） 2. 一元一次方程的概念 在上述方程中，进一步分类：③3x + 4 = 10、④x² - 2 = 0、⑤x + y = 7，观察这些方程中未知数的个数和次数。 引导学生总结：③中未知数只有1个，且未知数的次数是1；④中未知数次数是2；⑤中未知数有2个。 明确概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次），等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。强调“一元”“一次”“整式”三个关键特征。 概念辨析：判断下列方程是否为一元一次方程？为什么？ （1）2x + 3y = 5 （不是，含两个未知数） （2）x² - 5x = 1 （不是，未知数次数是2） （3）(1/2)x - 6 = 0 （是，符合一元一次方程特征） （4）1/x + 2 = 3 （不是，不是整式方程） 3. 方程的解与解方程 回到导入问题的方程8x + 14 = 50，提出问题：x取什么值时，这个方程的左右两边相等？ 学生尝试计算，教师引导：当x=4时，左边=8×4 + 14=46？不对；x=4.5时，左边=8×4.5 +14=50，右边=50，此时左右两边相等。 明确概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程。 强调区别与联系：方程的解是一个“值”，解方程是一个“过程”。 （三）例题讲解，巩固方法（15分钟） 1. 基础例题：判断与检验 例1：（1）下列方程中，属于一元一次方程的是（ ） A. 3x + 2y = 7 B. x² - 2x = 1 C. (x/3) - 1 = 0 D. 1/x + x = 3 （2）检验x=3和x=-2是否为方程2x + 3 = 9的解。 讲解要点：（1）紧扣一元一次方程的三个特征判断；（2）检验步骤：①将未知数的值代入方程左边和右边；②分别计算左右两边的值；③比较左右两边是否相等，相等则是解，否则不是。 解答过程： 列算式：列出的算式表示解题的计算过程，只能用已知数.对于较复杂的问题，列算式比较困难. 列方程：方程是根据题中的相等关系列出的等式. 既可用已知数，又可用未知数，解决问题比较方便. 从算式到方程是数学的进步！ 3.客车与货车行驶时间的关系是 . 1 方程的概念 2.如果设A、B两地相距 x km，那么客车从A地到 B地的行驶时间为 ，货车从A地到B地的行驶时间为 . 客车比货车早1h过B地 4.根据上述关系，可列方程为 . 5. 对于上面的问题，你还能列出其他方程吗? 如果能，你依据的是哪个相等关系? 从 A 地到 B 地，设货车的行驶时间为 t， 则客车的行驶时间为 t - 1. 70(t - 1) = 60t 从 A 地到 B 地，客车的行驶距离 = 货车的行驶距离 知识点1 方程的概念 1.［杭州月考］下列各式中，属于方程的是( ) C A. B. C. D. 举一反三 6 2.下列式子：；； ； ； .其中是等式的是_________， 是方程的是________.(填序号) 举一反三 7 问题1 在参加 2022 年北京冬奥会的中国代表队中，自由式滑雪运动员有 21 人，比花样滑冰运动员的 3 倍少 3 人. 参加本届冬奥会的花样滑冰运动员有多少人? 设参加冬奥会的花样滑冰运动员有 x 人， 根据题意，得 3x - 3 = 21. 合作探究 问题2 王玲今年 12 岁，她爸爸 36 岁，问再过几年，她爸爸年龄是她年龄的 2 倍? 设再过 x 年，王玲爸爸的年龄是她年龄的 2 倍. 这时王玲的年龄是 (12 + x) 岁，她爸的年龄是 (36 + x) 岁.根据题意，得 36 + x = 2(12 + x). 再过几年，父亲的年龄是王玲的 2 倍，那么父亲的年龄比王玲多 1 倍，正好是 36 - 12 = 24， 所以再过 12 年，王玲的年龄为 24 岁时，父亲的年龄为 48，正好是王玲岁数的 2 倍. 列算术 列方程 问题3 已知长方形的面积为 180 m2，其中长比宽多 3 m，求长方形的宽是多少？ 设宽为 x m，则长为 (x +3) m. 根据题意，得 x(x +3) = 180. x m (x + 3) m 知识要点 3x - 3 = 21 36 + x = 2(12 + x) x(x +3) = 180 有些问题用算术方法解决并不容易. 我们可以用 x， y，z 这样的字母来表示未知数，然后根据问题中的等量关系，写出含有未知数的等式. 含有未知数的等式叫作方程. 知识点2 方程的解 3.【思维生长】 下列方程中，解为x＝1的是(　　) A．4x＝x＋3 B．－x－2＝0 C．2x＝6 D．3x＋2＝8 A 举一反三 12 B 举一反三 向“代入求参思想”生长：已知是方程 的 解，则 ____. 举一反三 14 探究2：填写下表： 合作探究 x 3 4 5 6 7 8 9 10 … 3x - 3 6 9 12 15 18 21 24 27 … 观察表格，当 x = 8 时， 3x - 3 = ； 当 x = 9 时， 3x - 3 = ；当 x = 时，3x - 3 = 18. 21 24 7 方程的解 2 知识要点 总结 x 7 8 9 … 3x - 3 18 21 24 … 我们发现，当 x 取 8 时，方程的左边等于右边；当 x 取 7 或 9 时，方程的左边，不等于右边. 使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解. 比如 x = 8 就是方程 3x - 3 = 21 的解. 求方程的解的过程叫作解方程. 观察上表，对于方程 3x - 3 = 18 有什么发现？ 典例精析 例2 分别检验 x 的下列值是否是方程 2.5x + 318 = 1068 的解. (1) x = 300； (2) x = 330. 解：(1) 把 x 用 300 代入原方程得， 左边 = 2.5×300＋318= 1 068， 左边 = 右边， 所以 x = 300 是方程 2.5x＋318 = 1068 的解. (2) 把 x 用 330 代人原方程得， 左边 = 2.5×330 + 318 = 1 143， 左边 ≠ 右边， 所以 x = 330 不是方程 2.5x＋318 = 1 068 的解. 知识点3 根据实际问题列方程 4.(跨学科•生物)蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个 重要组成部分．一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是 蛋白质的1.5倍，碳水化合物与蛋白质的含量共30 g．设蛋白 质的含量为x g，可列出方程为________________． 1.5x＋x＝30 举一反三 18 5．根据题意，设未知数并列出方程：英语竞赛共20道题， 每道题有4个选项，只有1个正确选项，选对得5分，不选或 错选扣1分，已知小华得了76分，则小华选对了多少道题？ 解：设小华选对了道题，则不选或错选 道题，由 题意，得 . 举一反三 19 2星题 中档练 6.整体思想 若是方程 的解，则 的值为_______. 举一反三 20 7.新情境 下表是学习等量关系和方程时老师板书的问题和 两名同学所列的方程： 问题：我校体育室里篮球数比排球数的2倍多2，篮球数比 排球数多16，求体育室里的篮球数和排球数. 小明： ； 小红： . 举一反三 21 (1)小明所列的方程中的 表示__________________，并尝试 描述等量关系：___________________； (2)小红所列的方程中的 表示__________________，并尝试 描述等量关系:________________________. 体育室里的排球数 篮球数-排球数 体育室里的篮球数 排球数的2倍篮球数 举一反三 22 8.［安庆期中］已知是方程 的解， 检验是不是方程 的解. 解：因为是方程的解，所以把 代入， 得，解得.将 代入方程 ，得.将 代入方 程①左边得，左边，代入方程①右边得，右边 .因为 左边右边，所以不是方程 的解. 举一反三 23 方程 含有未知数的等式叫作方程. 使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解. 求方程的解的过程叫作解方程. 根据实际问题列方程. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 向“辨析思维”生长：下列各方程后面括号内的数不是前面方程的解的是(　　) A．2x－1＝0 B．y－2＝2y＋5(y＝－3) C．－4x＝－8(x＝2) D.y＋1＝0(y＝－4) $