7.2 万有引力定律 讲义-2026-2027学年高一下学期物理人教版必修第二册

本讲义聚焦万有引力定律核心知识点，系统梳理其内容、表达式及适用范围，通过推导过程展现科学发现中大胆猜测与严格求证的逻辑，实现地球重物下落与天体运动的认识统一，并构建从简单计算到“填补法”解决空壳内引力问题的学习支架。 资料以“考向+典例+变式”设计，通过神舟飞船轨道引力分析、挖球模型引力计算等实例，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力，融入物理学史题目强化科学态度。课中助力教师分层教学，课后学生可通过例题与习题巩固知识，弥补理解盲点。

7.2万有引力定律 1. 知道万有引力存在于任意两个物体之间，知道其表达式和适用范围。 2. 理解万有引力定律的推导过程，认识在科学规律发现过程中大胆猜测与严格求证的重要性。 3. 知道万有引力定律的发现使地球上的重物下落与天体运动完成了人类认识上的统一。 4. 会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。知道万有引力定律公式中r的物理意义，了解引力常量G的测定在科学史上的重大意义。 考点一　万有引力定律 1．内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 2．表达式 F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 3．适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 考点二　万有引力定律的理解 1. 普遍性：宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力。 2. 相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力。 3. 宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。 4. 适用范围：只适用于可以看作质点的两个物体间的相互作用；若是两个均匀的球体，应是两球心间的距离。 考点三　空壳内及地表下的万有引力 1． “填补法”在万有引力计算中的应用 一个质量均匀分布的球体与球外一个质点间的万有引力可以用公式F＝G直接进行计算，但当球体被挖去一部分后，由于剩余部分形状不规则，公式F＝G不再适用，此时可以用“填补法”求解万有引力。 (1)找到原来物体所受的万有引力、割去部分所受的万有引力、剩余部分所受的万有引力之间的关系。 (2)所割去的部分为规则球体，剩余部分不再为球体时适合应用“填补法”。若所割去部分不是规则球体，则不适合应用“填补法”。 2．两点理解 (1)两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。 (2)地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力。 3．星体内部万有引力的两个推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 (2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 考向1 万有引力的计算 【典例】如图甲所示，神舟二十一号飞船返回地球过程中曾绕远地点相同的、椭圆轨道飞行。飞船在两椭圆轨道上运动过程中受地球引力大小随时间的变化图像如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 B．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 C．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 D．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 【答案】D 【详解】AB．由万有引力大小为，则 即 由图乙可知飞船在轨道P远地点和轨道Q远地点的引力大小相等且引力最小，均为 飞船在轨道P近地点的引力大小为 飞船在轨道Q近地点的引力大小为 所以轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为，故AB错误； CD．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为，故C错误，D正确。 故选D。 【变式1】二十四节气是我国古人参照物候与气候变化创制、用于指导农事活动的补充历法。现行二十四节气划分以地心和太阳的连线每绕地心转过对应一个节气。下图为北半球二十四节气对应的地球公转轨道位置示意图，已知冬至前后地球运行至近日点附近，下列选项正确的是（     ） A．地球从芒种运动到夏至所用时间小于大雪运动到冬至的时间 B．立夏时刻地球公转线速度大于谷雨时刻公转线速度 C．夏至日地球受到太阳万有引力的大小大于冬至日所受万有引力的大小 D．地球公转轨道半长轴的三次方与其公转周期平方的比值为定值 【答案】D 【详解】冬至前后地球位于近日点附近，夏至前后地球位于远日点附近，地球绕太阳运动满足开普勒第二定律，即相等时间内地球与太阳连线扫过的面积相等，因此近日点附近运动较快，远日点附近运动较慢。 A．芒种到夏至位于远日点附近，大雪到冬至位于近日点附近，两段对应的日地连线转过角度均为，远日点附近扫过同样角度所需时间更长，故地球从芒种运动到夏至所用时间大于从大雪运动到冬至的时间，A错误； B．由图中地球公转方向可知，从谷雨到立夏地球逐渐靠近远日点，公转线速度逐渐减小，所以立夏时刻地球公转线速度小于谷雨时刻公转线速度，B错误； C．夏至日地球在远日点附近，冬至日地球在近日点附近，由万有引力公式可知，夏至日地球到太阳距离较大，受到太阳的万有引力较小，C错误； D．由开普勒第三定律可知，绕同一中心天体运动的行星，其公转轨道半长轴的三次方与公转周期的平方之比为定值，D正确。 故选D。 【变式2】我国深空探测车可登陆不同地外天体开展探测任务。已知火星质量约为月球质量的9倍，火星半径约为月球半径的2倍。同一台探测车分别置于火星表面、月球表面，它受到的万有引力之比约为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据万有引力定律，物体在天体表面受到的万有引力表达式为 则同一台探测车分别置于火星表面、月球表面，它受到的万有引力之比为 故选A。 考向2 空壳内及地表下的万有引力 【典例】（多选）如图所示，是一个半径为，质量为的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为的球，连线延长线上有一点，，空心球内有点，S点，点如图分布，，在球体外点和在空心球内点，S点，点分别单次放置一个质量为的质点，若已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，万有引力常量，则球剩余部分对该质点的万有引力（     ） A．质量为的质点在点时，引力大小为 B．质量为的质点在点时，引力大小为 C．质量为的质点在点时，引力大小为0 D．质量为的质点在点时，引力的方向与由点指向的方向平行 【答案】ABD 【详解】A．半径为2R的实心大球的质量 半径为R的实心球的质量 质量为的质点在点时，引力大小为，A正确； BC．半径为1.5R的实心大球的质量 半径为0.5R的实心大球的质量 因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，可知质量为的质点在S点时，引力大小为 质量为的质点在点时，引力大小为 B正确，C错误； D．质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，质量为的质点在点时，实心大球对P点的引力等于以O1P为半径的实心小球对质点P的引力，以O1P为半径的实心小球的质量为 O1P为半径的实心小球对P点的引力为 则以O2P为半径的实心小球的质量为 则以O2P为半径的实心小球对P点的引力为 受力情况如下图 结合几何关系得 则F合平行于O1O2，故D正确。 故选ABD。 【变式1】如图所示，某同学设计了一条贯通地球的弦线隧道：质量为的小球从入口的点由静止开始穿过隧道到达另一端的点，为隧道的中点，与地心的距离为，地球可看作半径为、质量为的均匀球体，已知质量分布均匀的球壳对球壳内物体引力为零，引力常量为，不计一切阻力，忽略地球自转的影响，试求： (1)小球从点进入隧道瞬间的加速度大小； (2)小球经过隧道中点时所受的支持力大小； (3)点是隧道中到的距离为的一点，试求小球经过点时的加速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）点处，引力垂直隧道方向的分力与支持力平衡，引力在沿隧道方向的分力提供加速度，根据牛顿第二定律得：    解得： （2）小球经过隧道中点时，所受的支持力与万有引力平衡，根据平衡条件有：    地球看作均匀球体有：    解得： （3）由（1）（2）同理可知，小球在点所受合力为万有引力在沿轨道方向的分力，设点到地球球心距离为，根据牛顿第二定律有：    地球看作均匀球体有： 解得： 【变式2】如图甲所示，质量分布均匀的大球质量为M、球心为O、半径为R，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于A点，B点为小球球心。将质量为m的小物体（可视为质点）置于A点，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。如图乙所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方有一半径为R的球形“防空掩体”空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。已知球形“防空掩体”空腔的体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），，引力常量为G。 (1)①求图甲大球剩余部分对质量为m的小物体的引力大小； ②图甲，将质量为m的小物体移动到B点时，求大球剩余部分对小物体的引力大小； (2)求图乙“防空掩体”空腔引起的Q点的重力加速度反常的大小。 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）①大球的质量为M，设挖去小球的质量为，则， 则 大球对A点小物体的引力 小球单独存在时对A点小物体的引力 则挖去小球后，大球剩余部分对A点小物体的引力 解得 ②质量分布均匀的球壳对内部物体的引力为零；大球对B点小物体的引力相当于球心在O、半径为的球体对B点小物体的引力，即 由①可知 又因为小物体位于挖去小球的球心处，质量分布均匀的小球对其球心处小物体的引力为零，即 则 （2）如果将球形“防空掩体”空腔区域填满相同密度的岩石，则Q点重力加速度将回归正常值，因此该处重力加速度反常可通过填充后的球形区域附加引力计算，若在Q点放置一质量为的质点，则该附加引力 根据牛顿第二定律，“防空掩体”空腔引起的重力加速度变化满足 其中 则，方向沿OQ连线指向地面外侧； 因此Q处重力加速度反常大小为 其中 解得 方向竖直向上。 一、单选题 1．（25-26高一下·武汉四区·期末）在物理学的发展过程中，许多科学家做出了重要贡献，下列说法正确的是（    ） A．天王星是根据万有引力定律计算出其轨道后才发现的，被称为“笔尖下的行星” B．开普勒在万有引力定律的基础上推导出行星运动规律 C．牛顿通过月地检验，得出月球与地球间的力、苹果与地球间的力是同一种性质力，从而证明万有引力是普遍存在的 D．牛顿发现了万有引力定律之后并率先在实验室中测出了万有引力常量的数值 【答案】C 【详解】A．被称为“笔尖下的行星”的是海王星，天王星是通过观测直接发现的，故A错误； B．开普勒首先通过分析第谷的天文观测数据总结出了行星运动三大定律，牛顿是在开普勒行星运动定律的基础上推导出万有引力定律，二者时序颠倒，故B错误； C．牛顿通过月地检验，证明了月球与地球间的引力、地面物体与地球间的引力遵从相同的平方反比规律，属于同一种性质的力，为万有引力定律的普适性提供了核心依据，故C正确； D．牛顿发现了万有引力定律，但万有引力常量是卡文迪许首次通过扭秤实验在实验室中测得的，故D错误。 故选C。 2．（24-25高一下·毕节实验高级中学·期末）下列说法中正确的是（     ） A．牛顿发现了万有引力定律，并设计了扭秤测量出了万有引力常量 B．牛顿根据理想斜面实验，提出了力不是维持物体运动状态的原因 C．开普勒通过研究行星的观测记录，发现了行星运动三大定律 D．伽利略把斜面实验的结果合理外推，发现了自由落体运动规律和行星运动规律 【答案】C 【详解】A．卡文迪许设计了扭秤测量出了万有引力常量，故A错误； B．伽利略根据理想斜面实验，提出了力不是维持物体运动状态的原因，故B错误； C．开普勒通过研究行星的观测记录，发现了行星运动三大定律，故C正确； D．开普勒发现了行星运动规律，而不是伽利略，故D错误。 故选C。 3．（25-26高一下·北大附中·期中）一个物体在地球表面所受的重力大小为，若不计地球自转的影响，则在距地球地面的高度为地球半径的2倍处，物体所受地球对它的万有引力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设地球半径为，不计地球自转影响时，物体所受重力等于地球对它的万有引力，万有引力满足，其中为物体到地心的距离，引力大小与成反比。 物体在地球表面时，到地心距离，所受引力，即 物体距地面高度为时，到地心距离，此时万有引力 联立两式可得，即 故选D。 4．（25-26高一下·河南郑州·期末）一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点，二者之间的万有引力大小为。现从中挖去半径为的球体，如图所示，剩余部分对的万有引力为，则与的比值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设球体密度为，完整大球的质量 根据万有引力定律，完整大球对质点的万有引力大小为 挖去的小球体半径为，其质量 由图可知，挖去的小球体球心位于大球球心的右侧，距离点为（因为小球直径为） 质点位于点左侧处，则挖去的小球体球心与质点的距离为 若挖去部分存在，其对质点的万有引力大小为 根据割补法，剩余部分对质点的万有引力大小为 则与的比值为 故选B。 5．（25-26高一下·天津津南·期末）如图所示，将地球视为均匀球体，在地球赤道上的物体A和在天津的物体B，它们均随地球自转而做匀速圆周运动。当两个物体质量相等时，下列说法正确的是（     ） A．物体A的线速度大小等于物体B的线速度大小 B．物体A的周期大于物体B的周期 C．物体A的向心加速度大于物体B的向心加速度 D．物体A受到的万有引力小于物体B受到的万有引力 【答案】C 【详解】A．由图可知，物体在赤道上，物体在天津，它们均随地球自转而做匀速圆周运动，则它们的角速度相等，即，由于物体的转动半径大于物体的转动半径（即），根据线速度与角速度的关系可知，物体的线速度大小大于物体的线速度大小，故A错误； B．根据周期与角速度的关系可知，物体的周期等于物体的周期，故B错误； C．根据向心加速度与角速度的关系可知，由于，则物体的向心加速度大于物体的向心加速度，故C正确； D．由于两个物体质量相等，且它们到地心的距离都等于地球半径，根据万有引力定律可知，物体受到的万有引力大小等于物体受到的万有引力，故D错误。 故选C。 6．（25-26高一下·淄博实验中学·期末）如图所示，有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距球心处有一质量为的质点。若以球心为中心挖去一个半径为的球体，为引力常量，则剩下部分对质点的万有引力为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】质点距离大球球心的距离为，根据万有引力定律，完整大球对质点的引力​ 球体密度均匀，质量与体积成正比，体积 挖去小球半径为​，因此挖去小球的质量 挖去小球的球心也在点，到质点距离同样为，因此挖去部分对质点的引力 剩余部分引力等于原引力减去挖去部分的引力 故选B。 7．（25-26高一下·睢县高级中学·学业评估）关于万有引力定律，下列说法中正确的是（     ） A．牛顿最早测出值，使万有引力定律有了真正的实用价值 B．引力常量值大小与中心天体选择有关 C．由可知，两物体间距离减小时，它们之间的引力增大，距离趋于零时，万有引力无限大 D．牛顿通过“月-地检验”发现地面物体所受地球引力和月球所受地球引力都遵从同样的规律 【答案】D 【详解】A．最早测出引力常量的科学家是卡文迪许，不是牛顿，故A错误； B．引力常量是普适常量，其大小与中心天体的选择无关，故B错误； C．万有引力定律的适用条件是质点或均匀球体，当两物体间距趋于零时，物体不能再视为质点，该公式不再适用，无法得出万有引力无限大的结论，故C错误； D．牛顿通过“月-地检验”证实了地面物体所受地球引力、月球所受地球引力属于同一种力，遵从相同的万有引力规律，故D正确。 故选D。 8．（25-26高一下·新疆皮山·期中）有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点。现从中挖去半径为的球体，如图所示，则剩余部分对的万有引力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】挖去的球体质量 则剩余部分对的万有引力大小为 故选C。 9．（25-26高一下·遂宁安居育才卓同学校·期中）如图所示，P、Q为质量不相等的两个质点，分别位于地球表面上的不同纬度上，把地球看成一个均匀球体，P、Q 两质点随地球自转做匀速圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．P、Q做圆周运动的角速度大小相等 B．P、Q做圆周运动的线速度大小相等 C．P、Q做圆周运动的向心加速度大小相等 D．P、Q所受地球的引力大小相等 【答案】A 【详解】A．P、Q 两质点随地球自转做匀速圆周运动，所以P、Q做圆周运动的角速度大小相等，均等于地球自转角速度，故A正确； BC．根据，；由于P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动的半径不相等，则P、Q做圆周运动的线速度大小不相等，向心加速度大小不相等，故BC错误； D．根据，由于P、Q为质量不相等的两个质点，所以P、Q所受地球的引力大小不相等，故D错误。 故选A。 二、多选题 10．（25-26高一下·海南海口·期末）自古以来，天体运动一直吸引着人类孜孜不倦地探索。关于天体运动研究的内容及物理学史，以下描述正确的是（     ） A．开普勒利用第谷观测的行星运动数据，通过数学方法建立了开普勒三定律 B．根据万有引力定律表达式，当两物体距离趋近于0时，其引力无穷大 C．牛顿通过“月地检验”，发现了月球受到的引力与地面上的重力是不同性质的力 D．卡文迪许设计扭秤实验装置，借助实验放大法，比较准确地测出了引力常量，被称为“第一个称出地球质量的人” 【答案】AD 【详解】A．开普勒利用第谷长期观测得到的行星运动数据，通过严密的数学推算建立并总结了开普勒三大定律，故A正确； B．万有引力定律的表达式只适用于质点间的相互作用，当两物体距离趋近于时，两物体大小不能忽略，不能再看作质点，该公式不再适用，因此不能得出引力无穷大的结论，故B错误； C．牛顿通过“月地检验”，证明了维持月球绕地球转动的引力与地面上物体受到的重力是同种性质的力，故C错误； D．卡文迪许设计了扭秤实验装置，借助微小量放大的实验方法，比较准确地测出了万有引力常量，利用该常量及相关物理数据可以计算出地球的质量，因此他被称为“第一个称出地球质量的人”，故D正确。 故选AD。 11．（24-25高一下·深圳沙井中学·期中）设太阳的质量为M，某质量为m的行星绕太阳公转的周期为T，行星轨道可视作半径为的圆，已知万有引力常量为，则关于太阳与行星间的万有引力F，以下表达式正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】AB．太阳与行星间的万有引力F为 A正确，B错误； CD．行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力： 向心力公式中，质量是做圆周运动的行星质量，不是中心天体太阳质量，故C正确，D错误。 故选AC。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2万有引力定律 1. 知道万有引力存在于任意两个物体之间，知道其表达式和适用范围。 2. 理解万有引力定律的推导过程，认识在科学规律发现过程中大胆猜测与严格求证的重要性。 3. 知道万有引力定律的发现使地球上的重物下落与天体运动完成了人类认识上的统一。 4. 会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。知道万有引力定律公式中r的物理意义，了解引力常量G的测定在科学史上的重大意义。 考点一　万有引力定律 1．内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 2．表达式 F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 3．适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 考点二　万有引力定律的理解 1. 普遍性：宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力。 2. 相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力。 3. 宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。 4. 适用范围：只适用于可以看作质点的两个物体间的相互作用；若是两个均匀的球体，应是两球心间的距离。 考点三　空壳内及地表下的万有引力 1． “填补法”在万有引力计算中的应用 一个质量均匀分布的球体与球外一个质点间的万有引力可以用公式F＝G直接进行计算，但当球体被挖去一部分后，由于剩余部分形状不规则，公式F＝G不再适用，此时可以用“填补法”求解万有引力。 (1)找到原来物体所受的万有引力、割去部分所受的万有引力、剩余部分所受的万有引力之间的关系。 (2)所割去的部分为规则球体，剩余部分不再为球体时适合应用“填补法”。若所割去部分不是规则球体，则不适合应用“填补法”。 2．两点理解 (1)两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。 (2)地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力。 3．星体内部万有引力的两个推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 (2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 考向1 万有引力的计算 【典例】如图甲所示，神舟二十一号飞船返回地球过程中曾绕远地点相同的、椭圆轨道飞行。飞船在两椭圆轨道上运动过程中受地球引力大小随时间的变化图像如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 B．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 C．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 D．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 【变式1】二十四节气是我国古人参照物候与气候变化创制、用于指导农事活动的补充历法。现行二十四节气划分以地心和太阳的连线每绕地心转过对应一个节气。下图为北半球二十四节气对应的地球公转轨道位置示意图，已知冬至前后地球运行至近日点附近，下列选项正确的是（     ） A．地球从芒种运动到夏至所用时间小于大雪运动到冬至的时间 B．立夏时刻地球公转线速度大于谷雨时刻公转线速度 C．夏至日地球受到太阳万有引力的大小大于冬至日所受万有引力的大小 D．地球公转轨道半长轴的三次方与其公转周期平方的比值为定值 【变式2】我国深空探测车可登陆不同地外天体开展探测任务。已知火星质量约为月球质量的9倍，火星半径约为月球半径的2倍。同一台探测车分别置于火星表面、月球表面，它受到的万有引力之比约为（     ） A． B． C． D． 考向2 空壳内及地表下的万有引力 【典例】（多选）如图所示，是一个半径为，质量为的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为的球，连线延长线上有一点，，空心球内有点，S点，点如图分布，，在球体外点和在空心球内点，S点，点分别单次放置一个质量为的质点，若已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，万有引力常量，则球剩余部分对该质点的万有引力（     ） A．质量为的质点在点时，引力大小为 B．质量为的质点在点时，引力大小为 C．质量为的质点在点时，引力大小为0 D．质量为的质点在点时，引力的方向与由点指向的方向平行 【变式1】如图所示，某同学设计了一条贯通地球的弦线隧道：质量为的小球从入口的点由静止开始穿过隧道到达另一端的点，为隧道的中点，与地心的距离为，地球可看作半径为、质量为的均匀球体，已知质量分布均匀的球壳对球壳内物体引力为零，引力常量为，不计一切阻力，忽略地球自转的影响，试求： (1)小球从点进入隧道瞬间的加速度大小； (2)小球经过隧道中点时所受的支持力大小； (3)点是隧道中到的距离为的一点，试求小球经过点时的加速度大小。 【变式2】如图甲所示，质量分布均匀的大球质量为M、球心为O、半径为R，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于A点，B点为小球球心。将质量为m的小物体（可视为质点）置于A点，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。如图乙所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方有一半径为R的球形“防空掩体”空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。已知球形“防空掩体”空腔的体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），，引力常量为G。 (1)①求图甲大球剩余部分对质量为m的小物体的引力大小； ②图甲，将质量为m的小物体移动到B点时，求大球剩余部分对小物体的引力大小； (2)求图乙“防空掩体”空腔引起的Q点的重力加速度反常的大小。 一、单选题 1．（25-26高一下·武汉四区·期末）在物理学的发展过程中，许多科学家做出了重要贡献，下列说法正确的是（    ） A．天王星是根据万有引力定律计算出其轨道后才发现的，被称为“笔尖下的行星” B．开普勒在万有引力定律的基础上推导出行星运动规律 C．牛顿通过月地检验，得出月球与地球间的力、苹果与地球间的力是同一种性质力，从而证明万有引力是普遍存在的 D．牛顿发现了万有引力定律之后并率先在实验室中测出了万有引力常量的数值 2．（24-25高一下·毕节实验高级中学·期末）下列说法中正确的是（     ） A．牛顿发现了万有引力定律，并设计了扭秤测量出了万有引力常量 B．牛顿根据理想斜面实验，提出了力不是维持物体运动状态的原因 C．开普勒通过研究行星的观测记录，发现了行星运动三大定律 D．伽利略把斜面实验的结果合理外推，发现了自由落体运动规律和行星运动规律 3．（25-26高一下·北大附中·期中）一个物体在地球表面所受的重力大小为，若不计地球自转的影响，则在距地球地面的高度为地球半径的2倍处，物体所受地球对它的万有引力大小为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河南郑州·期末）一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点，二者之间的万有引力大小为。现从中挖去半径为的球体，如图所示，剩余部分对的万有引力为，则与的比值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·天津津南·期末）如图所示，将地球视为均匀球体，在地球赤道上的物体A和在天津的物体B，它们均随地球自转而做匀速圆周运动。当两个物体质量相等时，下列说法正确的是（     ） A．物体A的线速度大小等于物体B的线速度大小 B．物体A的周期大于物体B的周期 C．物体A的向心加速度大于物体B的向心加速度 D．物体A受到的万有引力小于物体B受到的万有引力 6．（25-26高一下·淄博实验中学·期末）如图所示，有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距球心处有一质量为的质点。若以球心为中心挖去一个半径为的球体，为引力常量，则剩下部分对质点的万有引力为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·睢县高级中学·学业评估）关于万有引力定律，下列说法中正确的是（     ） A．牛顿最早测出值，使万有引力定律有了真正的实用价值 B．引力常量值大小与中心天体选择有关 C．由可知，两物体间距离减小时，它们之间的引力增大，距离趋于零时，万有引力无限大 D．牛顿通过“月-地检验”发现地面物体所受地球引力和月球所受地球引力都遵从同样的规律 8．（25-26高一下·新疆皮山·期中）有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点。现从中挖去半径为的球体，如图所示，则剩余部分对的万有引力大小为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·遂宁安居育才卓同学校·期中）如图所示，P、Q为质量不相等的两个质点，分别位于地球表面上的不同纬度上，把地球看成一个均匀球体，P、Q 两质点随地球自转做匀速圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．P、Q做圆周运动的角速度大小相等 B．P、Q做圆周运动的线速度大小相等 C．P、Q做圆周运动的向心加速度大小相等 D．P、Q所受地球的引力大小相等 二、多选题 10．（25-26高一下·海南海口·期末）自古以来，天体运动一直吸引着人类孜孜不倦地探索。关于天体运动研究的内容及物理学史，以下描述正确的是（     ） A．开普勒利用第谷观测的行星运动数据，通过数学方法建立了开普勒三定律 B．根据万有引力定律表达式，当两物体距离趋近于0时，其引力无穷大 C．牛顿通过“月地检验”，发现了月球受到的引力与地面上的重力是不同性质的力 D．卡文迪许设计扭秤实验装置，借助实验放大法，比较准确地测出了引力常量，被称为“第一个称出地球质量的人” 11．（24-25高一下·深圳沙井中学·期中）设太阳的质量为M，某质量为m的行星绕太阳公转的周期为T，行星轨道可视作半径为的圆，已知万有引力常量为，则关于太阳与行星间的万有引力F，以下表达式正确的是（       ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $