22.3.5 直角三角形相似的判定方法 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦直角三角形相似的特殊判定定理，通过回顾已学三角形相似判定方法，类比直角三角形全等“HL”，引导学生猜想新知，构建旧知到新知的学习支架。 探究环节以问题链结合三角板直观观察，引导学生自主推理证明定理，培养几何直观与推理能力。应用举例分层设计，从基础证明到实际作图计算，提升学生用数学语言解决问题的能力，为教师提供清晰流程与分层例题，助力高效教学。

第5课时　直角三角形相似的判定方法 课题 第5课时　直角三角形相似的判定方法 授课人 教 学 目 标 1.理解并掌握判定两个直角三角形相似的特殊的判定定理. 2.会证明判定两个直角三角形相似的特殊的判定定理. 3.利用判定两个直角三角形相似的特殊的判定定理解决有关问题. 4.培养学生积极思考、动手、观察的能力,使学生感悟几何知识在生活中的价值.掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力. 教学 重点 　　理解判定两个直角三角形相似的特殊的判定定理的证明过程和能恰当地选择判定三角形相似的方法解决问题. 教学 难点 　　理解判定两个直角三角形相似的特殊的判定定理的证明过程. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 到目前为止我们共学过几种判定两个三角形相似的定理? 答:①两角分别相等的两个三角形相似. ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ③三边成比例的两个三角形相似. 　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 1.判定两个直角三角形相似有几种方法? 答:一个锐角对应相等或两直角边对应成比例或三边成比例. 2.判定两个直角三角形全等有一个特殊的方法,是什么? 答:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简称为“斜边、直角边”或“HL”. 判定两个直角三角形相似有没有特殊的判定方法呢?如果有,请大家猜一猜这个方法应当是什么? 　　通过课堂引入和设置的几个问题激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣. 活动 二: 探究 与 应用 　　【探究】直角三角形相似的判定方法 教师提问: 问题1:两个等腰三角形一定相似吗?两个等边三角形呢?两个直角三角形呢? 师生一起总结:两个等腰三角形不一定相似,两个等边三角形一定相似,两个直角三角形不一定相似. 问题2:类比两个直角三角形全等可以用“HL”来判定,那么,满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似吗? 师生活动:如图22-3-73,观察两副三角板,其中同样角度(30°与60°,或45°与45°)的两个三角板大小可能不同,但它们看起来是相似的. 图22-3-73 一般地,如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们一定相似吗?对于直角三角形,类似于判定三角形全等的“HL”方法,我们能不能通过两边的关系来判定两个直角三角形相似呢? 师生活动:学生列举交流,教师规范化表达,师生共同归纳直角三角形相似的判定方法:①一个锐角相等的两个直角三角形相似;②两组直角边对应成比例的两个直角三角形相似;③斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 图22-3-74 推理论证: 已知:如图22-3-74,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,=. 求证:Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. 证明:设==k,则AB=kA'B',AC=kA'C'. ∵BC===k=kB'C', ∴===k.∴△ABC∽△A'B'C'. 教师概括: 直角三角形相似的判定定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 几何语言:如图22-3-74. ∵在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,=, ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. 总结:判定直角三角形相似的方法: ①一个锐角相等的两个直角三角形相似; ②两组直角边对应成比例的两个直角三角形相似; ③斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 　　本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,进一步熟悉证明题的基本步骤,同时通过分析问题,提高学生交流的能力和语言表达能力. 【应用举例】 例1　(1)如图22-3-75,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是边AB上的高. 求证:CD2=AD·BD. 图22-3-75 证明:∵CD是边AB上的高,∴∠ADC=∠CDB=90°. 又∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B, ∴△ACD∽△CBD,∴=, ∴CD2=AD·BD. (2)如图22-3-76,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是边AB上的高. 求证:①BC2=AB·BD;②AC2=AB·AD. 图22-3-76 [答案:略] 例2　如图22-3-77,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=a,AC=b. (1)以BC为斜边,向外作一个直角三角形,使它与Rt△ABC相似; (2)把上面作出的三角形的直角顶点记作D,求BD的长. 图22-3-77 图22-3-78 解:(1)如图22-3-78,以BC为一边,向外作∠BCD=∠A,∠CBD=∠ACB,CD与BD交于点D,得△CDB. 由两角分别相等可知Rt△CDB∽Rt△ABC. 在作两个角时,位置互换,即作∠CBD'=∠A,∠BCD'=∠ACB,BD'与CD'交于点D',得△BD'C. 由两角分别相等可知Rt△BD'C∽Rt△ABC. (2)由Rt△CDB∽Rt△ABC,可得=, 即=.∴BD=. 由Rt△BD'C∽Rt△ABC,可得=, 即=. ∴BD'=. 因此,所求BD的长为或. 　　本活动的设计旨在强化应用判定两直角三角形相似的特殊的判定定理. 【拓展提升】 例3　如图22-3-79,在△ABC中,∠BAC=90°,M是BC的中点,过点M作DM⊥BC,交AC于点E,交BA的延长线于点D,求证: (1)MA2=MD·ME; (2)=. 图22-3-79 例4　如图22-3-80,已知∠MON=90°,A是∠MON内部的一点,过点A作AB⊥ON,垂足为B,AB=3厘米,OB=4厘米,动点E,F同时从点O出发,点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动,点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动,EF与OA交于点C,连接AE,当点E到达点B时,点F随之停止运动.设运动时间为t秒(t>0). (1)当t=1时,△EOF与△ABO是否相似?请说明理由. 图22-3-80 (2)在运动过程中,不论t取何值,总有EF⊥OA,为什么? (3)连接AF,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得S△AEF=S四边形ABOF?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由. 　　1.学以致用,当堂检测,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高. 2.会运用三角形相似的条件判断两个三角形相似,并会运用三角形相似解决生活中的实际问题. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 【当堂训练】 1.已知Rt△ABC的一条直角边长为1,斜边长为4,Rt△DEF的一条直角边长为3,斜边长为12,则这两个直角三角形 (A) A.一定相似　　　　 B.一定不相似 C.不一定相似　　 　 D.以上都不对 2.有下列说法:①所有的直角三角形都相似;②所有的等腰直角三角形都相似;③有一个锐角相等的两个直角三角形相似;④有两边成比例的两个直角三角形相似.其中正确的有 (B) A.1个　 　B.2个　 C.3个　 　D.4个 3.如图22-3-81,已知∠ACB=∠ADC=90°,AD=2,CD=2,当AB的长为　　4　　时,△ACB与△ADC相似.  图22-3-81 4.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,已知∠C=∠C'=90°.依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似,并说明理由. (1)∠A=25°,∠B'=65°; (2)AC=3,BC=4,A'C'=6,B'C'=8. [答案:都相似,说明理由略] 　　及时反馈检测,巩固课堂所学. 【课堂总结】 (1)判定直角三角形相似时,应该采用什么方法呢? (2)通过本节课的学习,你能说出两个直角三角形相似的特殊的判定方法吗? 　　注重课堂总结,激发学生参与的主动性,为每一个学生的发展与表现创造机会. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 到现在为止,判定三角形相似的方法,除平行线截得相似三角形外,还有三个判定定理,对于两个直角三角形全等的判定,还有特殊的判定方法,通过复习回顾,他们也会想到判定两个直角三角形相似还有特殊的判定方法. ②[讲授效果反思] 判定两个直角三角形相似的特殊的判定定理的证明,学生会感到困难,所以教师应当注意加以引导,还要注意引导他们自主探究、合作交流,从而调动学生学习的积极性,体现了学生是课堂的主体. ③[师生互动反思] 　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $