22.3.4 相似三角形判定定理3 教学设计 2026——2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形判定定理3（三边成比例的两个三角形相似），通过回顾全等三角形“SSS”判定，类比引出相似判定猜想，结合旧知（判定定理1和2）的情境问题，搭建新旧知识学习支架。 此资料以探究式教学为主，让学生画图测量、小组讨论发现定理，培养几何直观与空间观念，通过作辅助线严谨证明定理提升推理能力，分层例题（基础判断、格点三角形、实际应用）强化应用意识，助力学生掌握定理，教师易操作且课堂效率高。

第4课时　相似三角形判定定理3 课题 第4课时　相似三角形判定定理3 授课人 教 学 目 标 1.经历三角形相似的探索过程,理解并掌握三角形相似的判定定理3. 2.会用相似三角形的判定定理3来判断、证明及计算. 3.能够正确的选择判定三角形相似的方法. 4.通过探索相似三角形的判定定理3,体现数学活动充满着探索性和创造性,发展学生思维的灵活性,进一步培养逻辑推理能力. 教学 重点 　　掌握相似三角形的判定定理:三边成比例的两个三角形相似. 教学 难点 　　判定定理的推导及运用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 判定两个三角形全等的第1种方法是如下的基本事实: 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简记为“边角边"或“SAS”. 类比得判定两个三角形相似的方法: 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 判定两个三角形全等的第2种方法是如下的基本事实: 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为“角边角”或“ASA”. 类比得判定两个三角形相似的方法: 两角分别相等的两个三角形相似. 　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 教师引导学生回答: (1)两个三角形的三条边对应成比例吗? (2)如果两个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似吗? 本节课我们继续来探索相似三角形的判定条件:如果两个三角形的三边对应成比例,那么这两个三角形相似吗? 如图22-3-58,D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,请你添加一个条件,使△ADE∽△ABC. 图22-3-58 我们知道,相似的判定方法类似于全等的判定方法.类比三角形全等的判定方法,你认为什么条件下,还能有两三角形相似?本节课我们继续探索三角形相似的条件. 　　通过对相似条件的添加,一方面考查学生对相似的判定定理1和判定定理2的记忆,另一方面考查学生对相似的判定定理1和判定定理2的理解、应用. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 三边成比例的两个三角形相似. 教师出示问题: 问题1:我们学习过判定三角形全等的方法——“SSS”,能不能通过三边来判定两个三角形相似呢? 引导:画出△ABC和△A'B'C',使△A'B'C'的各边长都是△ABC各边长的2倍,测量这两个三角形的角,它们分别相等吗? 图22-3-59 让学生分小组讨论,归纳总结后教师指正并总结结论: 文字语言:三边成比例的两个三角形相似. 符号语言:如图22-3-59,在△ABC与△DEF中, ∵==,∴△ABC∽△DEF. 概括新知:相似三角形的判定定理3: 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(可简单说成:三边成比例的两个三角形相似). 证明验证: 如图22-3-60,在△ABC和△A'B'C'中,==.求证:△A'B'C'∽△ABC. 图22-3-60 证明:在线段AB上截取AD=A'B', 过点D作DE∥BC交AC于点E. ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC. ∴==. 又==,AD=A'B',∴=,=.∴DE=B'C',AE=A'C'. ∴△ADE≌△A'B'C'(SSS).∴△A'B'C'∽△ABC. 教师总结: 　　1.让学生总结判定定理3的运用过程,既能培养学生的归纳能力,还能锻炼学生数学语言的表述能力. 　　2.在学生独立思考后再通过交流和引导,明确目前证明线段、角相等的常用方法,让学生感受数学的严谨性,培养学生合情推理的能力. 【应用举例】 例1　在△ABC和△A'B'C'中,已知AB=2,BC=,AC=,A'B'=,B'C'=1,A'C'=.判断这两个三角形是否相似,并说明理由. 解:△ABC∽△A'B'C'.理由如下: ∵==,==,==, ∴==,∴△ABC∽△A'B'C'. 　　学生对三角形相似判定定理3的理解,不仅存在于感性的认识上,还应存在于理性的基础上,这几个问题很好地解决了这个方面的要求,开拓了学生的思维,开阔了学生的视野. 例2　如图22-3-61,方格网的小方格是边长为1的正方形,△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上.判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由. 图22-3-61解:△ABC∽△A'B'C'.理由如下: 由于△ABC与△A'B'C'的顶点均在格点上, 根据勾股定理,得 AB==,AC=2,BC==; A'B'==,A'C'==,B'C'=5. ∵==,==,=, ∴==.∴△ABC∽△A'B'C'. 例3　如图22-3-62,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,求证:△ABC∽△EFD. 图22-3-62 证明:∵在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点, ∴DE=AC,DF=BC,EF=AB, ∴===, ∴△ABC∽△EFD. 【拓展提升】 例4　已知△ABC的三边长分别为,,2,△A'B'C'的两边长分别是1和,如果△ABC与△A'B'C'相似,那么△A'B'C'的第三边长应该是多少? 例5　一个钢筋三角架三边长分别为20 cm,50 cm,60 cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另两边,试说明共有几种不同的截法. 例6　图22-3-63为三个并列的边长相同的正方形,试说明:∠1+∠2+∠3=90°. 图22-3-63 　　在应用“三边成比例的两个三角形相似”时,要分清题目是否将对应关系给出,如果没有给出,则要注意分情况讨论. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　提纲挈领,重点突出. 【当堂训练】 1.已知△ABC的三边长分别为7.5,9和10.5,△DEF的一边长为5,当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似 (C) A.4,5　 　B.5,6　 　 C.6,7　 D.7,82.若△ABC的每条边长均增加各自的10%得到△A'B'C',则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比 (D) A.增加了10% B.减少了10% C.增加了(1+10%) D.没有改变 3.已知△ABC和△DEF,根据下列条件判断它们是否相似. (1)AB=3,BC=4,AC=6,DE=6,EF=8,DF=9. (2)AB=4,BC=8,AC=10,DE=20,EF=16,DF=8. (3)AB=12,BC=15,AC=24,DE=16,EF=20,DF=30. [答案:(1)不相似　(2)相似　(3)不相似] 4.如图22-3-64所示,在△ABC和△ADE中,==,∠BAD=20°,求∠CAE的度数. 图22-3-64 [答案:20°] 　　学以致用,当堂训练,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每名学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的. 【课堂总结】 (1)到现在,我们学习了哪些判定三角形相似的方法?(师生总结) (2)思考直角三角形相似的判定方法可以用哪个定理? 　　注重课堂总结,激发学生参与的主动性,为每一名学生的发展与表现创造机会. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过学生小组讨论、观察、试算、发现、总结、归纳,得出“三边成比例的两个三角形相似”这个结论.让学生经历发现这个结论的过程,使学生尝到了成功的喜悦,激发了学生发散思维的火花.从而培养了学生的观察、概括能力,提高了学生的推理能力. ②[讲授效果反思] 在课堂教学中通过引导学生分析问题、解决问题,让学生体验到他们才是学习的主人,教师是他们平等的合作者.对于例题、练习,强调学生先独立思考,需要合作探索的内容让学生大胆动手操作,最后让学生自己总结,活跃了课堂气氛,做到全员参与,厘清了知识脉络,强化了重点,培养了学生的口头表达能力. ③[师生互动反思] 　　 　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　  　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　  ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　  　　错题题号　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $