22.3 相似三角形的性质教案2026-2027学年沪科版九年级数学上册

22.3 相似三角形的性质

第1课时 相似三角形的性质定理1

【教学目标】

1.明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；(重点)

2.运用相似三角形的性质1解决实际问题.(难点)

【教学过程】

一、情境导入

在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.

二、合作探究

探究点一：相似三角形性质定理1

【类型一】 相似三角形对应高的比

如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝10，BC＝15，AG＝12.求GH的长.

解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC.

又∵AH⊥BC，DE∥BC，

∴AH⊥DE.

∴＝，即＝.

∴AH＝18.

∴GH＝AH－AG＝18－12＝6.

方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比；将所求线段转化为求对应高的差.

【类型二】 相似三角形对应角平分线的比

两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？

解：(方法一)设其中较短的角平分线的长为xcm，则另一条角平分线的长为(42－x)cm.

根据题意，得＝.解得x＝18.

所以42－x＝42－18＝24(cm).

(方法二)设较短的角平分线长为xcm，则由相似性质有＝.解得x＝18.较长的角平分线长为24cm.

故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.

方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比.列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形.

【类型三】 相似三角形对应中线的比

已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4cm，求A′B′边上的中线C′D′的长.

解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，

∴＝＝，

又∵CD＝4cm，

∴C′D′＝＝×4＝6(cm).

即A′B′边上的中线C′D′的长是6cm.

方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比.

探究点二：相似三角形性质定理1的应用

如图所示，路边有两根电线杆，分别在高为3m的A处和6m的C处用铁丝将两电线杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M距地面的高.

解析：如图所示，过点M作MH⊥BD于点H.由题意得AB∥MH∥CD，故△ABM∽△DCM，△BMH∽△BCD，故＝＝，＝，故MH可求.

解：过点M作MH⊥BD于点H，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥MH∥CD，∴△ABM∽△DCM，△BMH∽△BCD.∴＝＝＝，∴＝.又∵＝，∴＝，∴MH＝CD＝×6＝2(m)，即点M距地面的高为2m.

【板书设计】

相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.

第2课时 相似三角形的性质定理2，3

【教学目标】

1.理解并初步掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；(重点)

2.相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.(难点)

【教学过程】

一、情境导入

如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与AB平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△CDE的面积为10平方米，CE长为4m，AE长为6m.根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△ABC的面积.