第5讲 有理数的乘法与除法 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第5讲 有理数的乘法与除法 目录 知识点1 有理数乘法法则 2 知识点2 倒数的定义与性质 2 知识点3 有理数乘法运算律 2 知识点4 有理数除法法则 3 知识点5 有理数四则混合运算顺序 3 知识点6 数轴综合知识点 3 题型1 两个有理数的乘法运算 3 题型2 多个有理数的乘法运算 4 题型3 有理数乘法的实际应用 5 题型4 倒数 6 题型5 有理数乘法运算律 7 题型6 有理数的除法运算 8 题型7 有理数除法的应用 8 题型8 有理数乘除混合运算 10 题型9 有理数乘除中的简便运算 10 题型10 有理数四则混合运算 11 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 12 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 13 题型13 数轴上的翻折 14 1. 知识目标：掌握有理数乘、除法运算法则，理解倒数定义，熟记乘法三大运算律，掌握四则混合运算顺序，了解数轴翻折题型核心规律。 2. 能力目标：能熟练进行有理数乘除、四则混合运算，会使用运算律简便计算，能解决乘除实际应用题、数轴符号判断与翻折综合题型。 3. 素养目标：强化符号运算思维，掌握转化思想（除法转乘法），提升数形结合与综合运算解题能力。 知识点1 有理数乘法法则 1. 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2. 任何数与0相乘，结果为0。 3. 多个非0数相乘：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负，再将所有绝对值相乘。 4. 只要有一个因数为0，最终积为0。 知识点2 倒数的定义与性质 1. 定义：乘积为1的两个数互为倒数。 2. 核心结论：1的倒数是1，-1的倒数是-1；0没有倒数。 3. 求倒数方法：整数直接取分之一，分数分子分母颠倒，小数先化分数再求倒数。 4. 性质：互为倒数的两数符号相同。 知识点3 有理数乘法运算律 1. 乘法交换律： 2. 乘法结合律： 3. 乘法分配律： 4. 作用：合理交换、分组、分配，实现凑整、约分、简化运算。 知识点4 有理数除法法则 1. 法则一（转化法）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 。 2. 法则二（符号法）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3. 0除以任何非0数都得0，0不能作为除数。 知识点5 有理数四则混合运算顺序 1. 先算乘除，后算加减；有括号先算括号内。 2. 同级运算从左到右依次进行。 3. 可灵活使用运算律简便计算，不改变运算结果。 知识点6 数轴综合知识点 1. 数轴右侧数为正、左侧为负、原点为0，可快速判断式子正负。 2. 数轴翻折核心：翻折后两点关于折点对称，两点到折点的距离相等。 题型1 两个有理数的乘法运算 解题技巧（先定符号、再算绝对值、两步到位） 1. 先判符号：同号得正，异号得负； 2. 后算数值：两数绝对值直接相乘； 3. 遇0直接得0，杜绝符号失误； 4. 小数、分数先统一形式，再计算更不易错。 1．计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 2．计算： ______． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型2 多个有理数的乘法运算 解题技巧（数负号、定正负、绝对值连乘） 1. 先观察式子：含0直接结果为0； 2. 无0数式：数负因数个数，偶正奇负定符号； 3. 所有数绝对值相乘作为结果数值； 4. 优先约分、凑整，简化大数运算。 5．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 6．大于而小于7的所有整数的积是________． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3 有理数乘法的实际应用 解题技巧（定正负、找倍数、列式求解） 1. 根据题意规定正负：增加、上升、收入为正，减少、下降、支出为负； 2. 找准单量、数量，单量×数量列出乘法算式； 3. 计算结果，结合生活场景解释含义； 4. 负数结果表示反向变化，正数表示正向变化。 9．地理课上，我们学习了对流层气温垂直递减率：在海拔以下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某天景区山顶的气温为，则当天山脚的气温为（     ） A． B． C． D． 10．公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 11．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 12．某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 题型4 倒数 解题技巧（乘积为1、符号一致、规避0误区） 1. 核心判定：两数相乘等于1，即为互为倒数； 2. 求倒数：分数颠倒分子分母，整数写成分数形式再颠倒； 3. 关键禁忌：0没有倒数； 4. 正负规律：正数倒数为正，负数倒数为负。 13．下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 14．的倒数的相反数是（     ） A． B． C． D． 15．的倒数是___________，相反数是___________，绝对值是 _________ ；0的绝对值是_______ ． 16．若，则“”表示的数是______． 题型5 有理数乘法运算律 解题技巧（灵活凑整、优先约分、分配巧算） 1. 交换律、结合律：优先结合能约分、凑整、抵消的数； 2. 分配律适用：括号内为加减、括号外为整数或分数，展开简便运算； 3. 逆用分配律：多项含相同因数，提取公因数快速化简； 4. 优先简化再计算，减少复杂乘法。 17．下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 18．用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 19．用简便方法计算： (1)； (2) 20． 题型6 有理数的除法运算 解题技巧（除变乘、取倒数、先号后值） 1. 统一转化：除法全部改为乘除数的倒数； 2. 符号判定：同号正、异号负； 3. 数值计算：绝对值相乘求解； 4. 0除以非0数得0，严禁0作除数。 21．计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 22．计算：________． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型7 有理数除法的应用 解题技巧（均分问题、求倍率、结果释义） 1. 平均分、求单位量、求变化倍率题型，统一用除法列式； 2. 总变化量÷份数=单位变化量，正负对应变化方向； 3. 温度平均变化、价格降幅、速度变化均适用； 4. 结果结合实际场景作答，保留合理数值。 25．每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，倡导并践行“低碳”生活是我们每个人的社会责任．下表为王芳家某月部分生活消耗对应的“碳足迹”统计（耗碳量=消耗量×碳排放系数），下列结论正确的是（     ） 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量/ 1 家庭用电 2 水 3 天然气 4 鸡肉 5 牛肉 A．水的耗碳量为 B．牛肉的耗碳量比其余耗碳量总和多 C．天然气的碳排放系数约为 D．若用电量减少，可减少耗碳量 26．2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 27．某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 28．小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，．问： (1)小虫是否回到出发点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行3厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 题型8 有理数乘除混合运算 解题技巧（全化乘法、统一约分、从左至右） 1. 第一步：所有除法转化为乘法，统一为连乘算式； 2. 第二步：统计负号个数，确定最终符号； 3. 第三步：整体约分、相乘计算结果； 4. 同级运算禁止乱序，杜绝先算后段、乱结合。 29．计算：得（     ） A． B． C． D． 30．计算：__________． 31．计算：． 32．计算：； 题型9 有理数乘除中的简便运算 解题技巧（提前约分、分组凑整、逆用运算律） 1. 分数乘除优先交叉约分，简化数值； 2. 小数优先化分数，统一形式再计算； 3. 能凑整、凑1的数优先结合计算； 4. 相同因数提取，逆用分配律简化复杂式子。 33．计算： (1)； (2)． 34．用运算律简便运算 (1) (2) 35．简便计算： (1)； (2)． 36．数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 题型10 有理数四则混合运算 解题技巧（先乘除后加减、有括号先括号、分步计算） 1. 严格遵守运算顺序：先高级后低级； 2. 同级从左到右，多层括号先内后外； 3. 可简便则简便，无简便分步硬算； 4. 每步定符号，避免连续运算符号出错。 37．在算式中的“”里，填入运算符号 ，使得算式的值最大，则这个符号是（     ） A． B． C． D． 38．对于任意两个数、，规定，则________． 39．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 40．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 解题技巧（拆分场景、分步列式、综合求解） 1. 分析题干：先乘除（倍率、单价、份数），后加减（变化、盈亏）； 2. 根据生活逻辑列出四则混合算式； 3. 规范运算，算出最终结果； 4. 结合盈亏、涨跌、收支、行程等场景解读结果。 41．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 42．某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 43．为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车从西安某菁英学校出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A地，若规定以学校为原点，向东行驶为正，向西行驶为负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 行驶情况 (1)请你帮忙确定A地在学校的什么方向？距离学校多远？ (2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8升，请通过计算说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？ 44．某班50人在一次考试后进行成绩统计：每人以80分为准，超过的分数记作正数，不足的分数记为负数（记录如下）．问全班总分是多少？全班平均分是多少分？ 记录的分数 人数 15 14 6 1 12 2 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题技巧（先判正负、再看绝对值、分步判定） 1. 由数轴位置确定各数正负、大小、绝对值远近； 2. 和差判断：正数绝对值大则和为正，负数绝对值大则和为负；大数减小数为正，小数减大数为负； 3. 乘除判断：同号为正、异号为负； 4. 综合式子分层判断，逐步化简定符号。 45．如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 46．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 47．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 48．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A、B、C． (1)在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为______；由此可得点A、B之间的距离为______． (2)化简： 题型13 数轴上的翻折 解题技巧（中点公式、距离相等、对称求值） 1. 翻折本质：两点关于折点对称，折点为两点中点； 2. 中点公式：若a、b关于m对称，则； 3. 距离关系：左点到折点距离=右点到折点距离； 4. 已知两点求折点、已知折点求对应点，均可代入公式快速求解。 49．一条数轴上有点A、B，点C在线段上，其中点A、B表示的数分别是，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 50．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且点、之间的距离为，则点表示的数是_____________． 51．如图，、两点在数轴上，表示的数为，表示的数为． (1)、两点间的距离是______． (2)若把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位，此时点表示的数是______； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点和点之间的距离是，则点表示的数是______． 52．已知在一条可以折叠的数轴上，B表示的数是4，如图①，以点C为折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A落在点B的右边处，且． (1)若点C为原点，求点A表示的数； (2)若点A表示的数为，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 有理数的乘法与除法 目录 知识点1 有理数乘法法则 2 知识点2 倒数的定义与性质 2 知识点3 有理数乘法运算律 2 知识点4 有理数除法法则 2 知识点5 有理数四则混合运算顺序 3 知识点6 数轴综合知识点 3 题型1 两个有理数的乘法运算 3 题型2 多个有理数的乘法运算 5 题型3 有理数乘法的实际应用 8 题型4 倒数 11 题型5 有理数乘法运算律 12 题型6 有理数的除法运算 14 题型7 有理数除法的应用 16 题型8 有理数乘除混合运算 20 题型9 有理数乘除中的简便运算 21 题型10 有理数四则混合运算 23 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 26 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 30 题型13 数轴上的翻折 32 1. 知识目标：掌握有理数乘、除法运算法则，理解倒数定义，熟记乘法三大运算律，掌握四则混合运算顺序，了解数轴翻折题型核心规律。 2. 能力目标：能熟练进行有理数乘除、四则混合运算，会使用运算律简便计算，能解决乘除实际应用题、数轴符号判断与翻折综合题型。 3. 素养目标：强化符号运算思维，掌握转化思想（除法转乘法），提升数形结合与综合运算解题能力。 知识点1 有理数乘法法则 1. 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2. 任何数与0相乘，结果为0。 3. 多个非0数相乘：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负，再将所有绝对值相乘。 4. 只要有一个因数为0，最终积为0。 知识点2 倒数的定义与性质 1. 定义：乘积为1的两个数互为倒数。 2. 核心结论：1的倒数是1，-1的倒数是-1；0没有倒数。 3. 求倒数方法：整数直接取分之一，分数分子分母颠倒，小数先化分数再求倒数。 4. 性质：互为倒数的两数符号相同。 知识点3 有理数乘法运算律 1. 乘法交换律： 2. 乘法结合律： 3. 乘法分配律： 4. 作用：合理交换、分组、分配，实现凑整、约分、简化运算。 知识点4 有理数除法法则 1. 法则一（转化法）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 。 2. 法则二（符号法）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3. 0除以任何非0数都得0，0不能作为除数。 知识点5 有理数四则混合运算顺序 1. 先算乘除，后算加减；有括号先算括号内。 2. 同级运算从左到右依次进行。 3. 可灵活使用运算律简便计算，不改变运算结果。 知识点6 数轴综合知识点 1. 数轴右侧数为正、左侧为负、原点为0，可快速判断式子正负。 2. 数轴翻折核心：翻折后两点关于折点对称，两点到折点的距离相等。 题型1 两个有理数的乘法运算 解题技巧（先定符号、再算绝对值、两步到位） 1. 先判符号：同号得正，异号得负； 2. 后算数值：两数绝对值直接相乘； 3. 遇0直接得0，杜绝符号失误； 4. 小数、分数先统一形式，再计算更不易错。 1．计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 【答案】A 【详解】解：. 2．计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 题型2 多个有理数的乘法运算 解题技巧（数负号、定正负、绝对值连乘） 1. 先观察式子：含0直接结果为0； 2. 无0数式：数负因数个数，偶正奇负定符号； 3. 所有数绝对值相乘作为结果数值； 4. 优先约分、凑整，简化大数运算。 5．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘法的运算法则，几个非0的有理数的乘法，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、原式有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、原式有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、原式有一个因数为0，故积为0，不符合题意； D、原式有3个负号，积的符号为负，符合题意． 6．大于而小于7的所有整数的积是________． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则计算．注意到，在这个范围内有整数0，故它们的积为0． 【详解】解：大于而小于的所有整数为，，，，，，，，，，， ． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律简化计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型3 有理数乘法的实际应用 解题技巧（定正负、找倍数、列式求解） 1. 根据题意规定正负：增加、上升、收入为正，减少、下降、支出为负； 2. 找准单量、数量，单量×数量列出乘法算式； 3. 计算结果，结合生活场景解释含义； 4. 负数结果表示反向变化，正数表示正向变化。 9．地理课上，我们学习了对流层气温垂直递减率：在海拔以下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某天景区山顶的气温为，则当天山脚的气温为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算山顶与山脚的海拔差，再根据气温垂直递减规律计算山顶相对山脚的气温下降量，最后根据山顶气温求出山脚气温即可． 【详解】解：∵山脚海拔为，山顶海拔为 ∴山顶与山脚的海拔差为 根据题意，海拔每升高气温下降 ∴山顶相对山脚的气温下降量为 ∵山顶海拔高于山脚，气温比山脚低，且山顶气温为 ∴山脚气温为 ． 10．公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 【答案】2 【分析】先计算优惠后的团体票单价，对比不同购票方案的花费得到145人入园时单位原准备的钱数，再计算147人入园的最低总花费，两者的差就是两人共带的钱数． 【详解】解：优惠后每张团体票价格为：元， 计算145人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票（容纳140人）5张个人票，总花费为元， 方案2：买15张团体票（可容纳150人），总花费为元， ∵，原来准备的钱刚好够145人门票， ∴单位原来准备的钱为403元， 计算147人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票7张个人票，总花费为 元， 方案2：买15张团体票，总花费为 元， ∵， ∴147人入园的最低总花费为405元， 两人共带的钱为：元． 11．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 【答案】(1) (2)千米 (3)元 【分析】（1）找出路程偏差的最大值与最小值，计算二者的差值即可得到结果； （2）先计算7天路程偏差的总和，再加上7天的标准总路程，得到总行驶路程； （3）分别计算汽油车和新能源车行驶总路程的费用，作差得到节省的费用． 【详解】（1）解： ∵ 7天的路程偏差中，最大值为，最小值为， ∴ 路程最多的一天比最少的一天多走 ． （2）解：∵ 7天的路程偏差总和为 ， 7天的标准总路程为 ， ∴ 七天总行驶路程为 ． （3）解：汽油车行驶的费用为 （元）， 新能源车行驶的费用为 （元）， 节省的费用为 （元）； 答：这7天的行驶费用比原来节省146.8元． 12．某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 【答案】电冰箱和洗衣机或电视机和空调 【分析】求出购买四种电器所获得的政府补贴，即可求解． 【详解】解：购买一台电冰箱，， 则购买一台电冰箱的政府补贴为2000元， 购买一台电视机的政府补贴为元， 购买一台洗衣机的政府补贴为元， 购买一台空调的政府补贴为元， 因为周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴，， 所以他购买的电器可能是电冰箱和洗衣机或电视机和空调． 题型4 倒数 解题技巧（乘积为1、符号一致、规避0误区） 1. 核心判定：两数相乘等于1，即为互为倒数； 2. 求倒数：分数颠倒分子分母，整数写成分数形式再颠倒； 3. 关键禁忌：0没有倒数； 4. 正负规律：正数倒数为正，负数倒数为负。 13．下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义解答即可； 【详解】解：； 14．的倒数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查倒数和相反数的定义． 【详解】解：的倒数为， 其相反数为． 15．的倒数是___________，相反数是___________，绝对值是 _________ ；0的绝对值是_______ ． 【答案】 【分析】先把带分数化为假分数，再根据倒数、相反数、绝对值的定义即可分别求出的倒数、相反数、绝对值，再根据绝对值的定义求出的绝对值即可. 【详解】解：∵， ∴的倒数是，的相反数是，的绝对值是． 的绝对值是． 16．若，则“”表示的数是______． 【答案】 【分析】利用有理数除法运算结合倒数的定义求解． 【详解】解：由 得 ； 题型5 有理数乘法运算律 解题技巧（灵活凑整、优先约分、分配巧算） 1. 交换律、结合律：优先结合能约分、凑整、抵消的数； 2. 分配律适用：括号内为加减、括号外为整数或分数，展开简便运算； 3. 逆用分配律：多项含相同因数，提取公因数快速化简； 4. 优先简化再计算，减少复杂乘法。 17．下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、乘法分配律，逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：对选项A，，变形错误； 对选项B，根据乘法交换律与结合律，可得，变形正确； 对选项C，，变形错误； 对选项D，根据乘法分配律，得，变形错误． 18．用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 【答案】 【分析】（1）利用加法交换律、结合律，先凑整再进行计算即可； （2）提取公因数，括号内小数先合并得到31，约分后直接得结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．用简便方法计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用乘法分配律即可； （2）运用乘法运算的交换律以及结合律即可． 【详解】（1）解： ． （2）原式． 20． 【答案】41 【详解】解： ． 题型6 有理数的除法运算 解题技巧（除变乘、取倒数、先号后值） 1. 统一转化：除法全部改为乘除数的倒数； 2. 符号判定：同号正、异号负； 3. 数值计算：绝对值相乘求解； 4. 0除以非0数得0，严禁0作除数。 21．计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，， 故是． 22．计算：________． 【答案】6 【详解】解： ． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型7 有理数除法的应用 解题技巧（均分问题、求倍率、结果释义） 1. 平均分、求单位量、求变化倍率题型，统一用除法列式； 2. 总变化量÷份数=单位变化量，正负对应变化方向； 3. 温度平均变化、价格降幅、速度变化均适用； 4. 结果结合实际场景作答，保留合理数值。 25．每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，倡导并践行“低碳”生活是我们每个人的社会责任．下表为王芳家某月部分生活消耗对应的“碳足迹”统计（耗碳量=消耗量×碳排放系数），下列结论正确的是（     ） 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量/ 1 家庭用电 2 水 3 天然气 4 鸡肉 5 牛肉 A．水的耗碳量为 B．牛肉的耗碳量比其余耗碳量总和多 C．天然气的碳排放系数约为 D．若用电量减少，可减少耗碳量 【答案】D 【分析】根据题目给出的公式`耗碳量=消耗量×碳排放系数`，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A．由表格可知水的耗碳量为，原结论不正确，故此选项不符合题意； B．∵其余耗碳量总和为， 又∵， ∴牛肉的耗碳量比其余耗碳量总和少，则原结论不正确，故此选项不符合题意； C．天然气的碳排放系数为，则原结论不正确，故此选项不符合题意； D．∵家庭用电的碳排放系数为， ∴减少的耗碳量为，则原结论正确，故此选项符合题意． 26．2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 【答案】104 【分析】全程比赛分两阶段计算，第一阶段小组循环赛按单循环场次计算，第二阶段淘汰赛按淘汰球队数加额外三四名决赛场次算，最后求和． 【详解】解：第一阶段：总共48支球队，每4支一组， 组数为：（组）， 每组单循环比赛的场次：（场）， ∴第一阶段比赛的总场次为：（场）． 第二阶段：∵晋级球队32支，采用单场淘汰赛决出冠军， ∴决出冠军需要淘汰的球队数量为：（支）， ∴淘汰赛场次为31场， 又∵半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛， ∴第二阶段比赛的总场次为：（场）． 全程总场次为：（场）． 27．某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 【答案】(1)最高分是分，最低分是分 (2)数学成绩低于80分的占的百分比是 (3)总分是分，平均分是分 【分析】（1）利用80加上记录数字中的最大数可得最高分；利用80加上记录数字中的最小数可得最低分； （2）利用负数的个数除以抽查的学生总人数即可； （3）将记录数字相加，再计算10名同学的基准总分数可得总分，再除以人数可得平均分． 【详解】（1）解：由题意得：最高分是（分）， 最低分是（分）， 答：这10名同学的数学成绩中最高分是分，最低分是分． （2）解：在记录的结果中，负数共有5个， ∴10名同学中，数学成绩低于80分的人数为5人， ∴， 答：数学成绩低于80分的占的百分比是． （3）解：总分是 （分）， 平均分是（分）， 答：10名同学数学成绩的总分是分，平均分是分． 28．小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，．问： (1)小虫是否回到出发点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行3厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫回到了出发点 (2)小虫离开出发点最远是12厘米 (3)小虫共可得到18粒芝麻 【分析】（1）将数据相加即可求解； （2）分别求出每一次离开出发点的距离，再比较即可； （3）把各数的绝对值相加求出爬行的路程和，再除以3即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：， 故小虫回到原点； （2）解：第一次爬行，此时离开出发点5厘米， 第二次爬行，此时离开出发点厘米， 第三次爬行，此时离开出发点厘米， 第四次爬行，此时离开出发点厘米， 第五次爬行，，此时离开出发点厘米 第六次爬行，此时离开出发点厘米， 第7次爬行，此时离开出发点厘米， 故小虫离开出发点最远是12厘米； （3）解：小虫共爬行的路程为： 厘米， 粒， 小虫共可得到18粒芝麻． 题型8 有理数乘除混合运算 解题技巧（全化乘法、统一约分、从左至右） 1. 第一步：所有除法转化为乘法，统一为连乘算式； 2. 第二步：统计负号个数，确定最终符号； 3. 第三步：整体约分、相乘计算结果； 4. 同级运算禁止乱序，杜绝先算后段、乱结合。 29．计算：得（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数混合运算的法则求解即可； 【详解】解：原式， ． 30．计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据有理数的乘除运算法则，运算顺序从左到右，先将除法转化为乘法，再计算乘法． 【详解】解： ． 故答案为：． 31．计算：． 【答案】 【分析】先把除法转化为乘法，再进行计算即可． 【详解】解：． 32．计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则，是解题的关键．有理数乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 题型9 有理数乘除中的简便运算 解题技巧（提前约分、分组凑整、逆用运算律） 1. 分数乘除优先交叉约分，简化数值； 2. 小数优先化分数，统一形式再计算； 3. 能凑整、凑1的数优先结合计算； 4. 相同因数提取，逆用分配律简化复杂式子。 33．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，能够进行简便计算是解题的关键． （1）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算； （2）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 34．用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 35．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用乘法分配律计算即可得； （2）先将原式化为，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 （2） 36．数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【详解】解：的倒数为， ， 所以． 题型10 有理数四则混合运算 解题技巧（先乘除后加减、有括号先括号、分步计算） 1. 严格遵守运算顺序：先高级后低级； 2. 同级从左到右，多层括号先内后外； 3. 可简便则简便，无简便分步硬算； 4. 每步定符号，避免连续运算符号出错。 37．在算式中的“”里，填入运算符号 ，使得算式的值最大，则这个符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算四种运算结果，对比即可． 【详解】解：A．； B．； C．； D．； ∵， ∴“”里，填入运算符号“”时，算式的值最大． 38．对于任意两个数、，规定，则________． 【答案】 【分析】根据题中已知运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 39．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用加法交换律和结合律简化运算； （2）利用加法交换律和结合律简化运算； （3）先将带分数化为假分数，再按有理数乘除法则计算； （4）先通分计算括号内的运算，再计算乘法； （5）将带分数拆分后简化计算； （6）按先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 40．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）根据定义先计算，再计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ． 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 解题技巧（拆分场景、分步列式、综合求解） 1. 分析题干：先乘除（倍率、单价、份数），后加减（变化、盈亏）； 2. 根据生活逻辑列出四则混合算式； 3. 规范运算，算出最终结果； 4. 结合盈亏、涨跌、收支、行程等场景解读结果。 41．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 【答案】A 【分析】先计算6枚月饼的标准总质量，再计算所有质量偏差的和，两者相加得到实际总质量． 【详解】解：∵由题意得，每枚月饼标准质量为70克，共6枚， ∴6枚月饼的标准总质量为克， 计算6枚月饼的质量偏差和： ， ∴这六枚月饼的实际总质量为克． 42．某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 【答案】 【分析】（1）分别计算只装同一种产品时，每个礼盒最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值； （2）根据每种产品最多装2件的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）分别计算每种产品的总价值： 产品A：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品B：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品C：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品D：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 比较得，一个礼盒的总价值最高是元； （2）计算单位重量价值（优先选单价高的）： 、（元）， 、（元）， 、（元）， 、（元）， ∵， 即按照单位重量价值从大到小排序为：， 故优先级为． 按照每种最多件：最多件（），最多件（），最多件（），最多件（）， 先装满优先级高的产品，再用剩余重量搭配次优产品： ①件：，价值（元）， 件：，价值（元）， 已用重量：，剩余重量：， 剩余恰好装件，且只装件，符合限制条件， 此时件件件，总重量：（千克），总价值：（元）； ②件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ③件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ④件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ⑤件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； 其余符合重量限制的组合总价均低于元，因此最高总价值是元． 43．为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车从西安某菁英学校出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A地，若规定以学校为原点，向东行驶为正，向西行驶为负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 行驶情况 (1)请你帮忙确定A地在学校的什么方向？距离学校多远？ (2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8升，请通过计算说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？ 【答案】(1) A地在学校的东边，距离学校2千米 (2) 巡逻车平均每千米耗油升 【分析】（1）将各数相加，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）先求出前四次巡逻车行驶的总路程，再求出总的耗油量，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 所以A地在学校的东边，距离学校2千米； （2）解：， 则， 所以巡逻车平均每千米耗油0.96升． 44．某班50人在一次考试后进行成绩统计：每人以80分为准，超过的分数记作正数，不足的分数记为负数（记录如下）．问全班总分是多少？全班平均分是多少分？ 记录的分数 人数 15 14 6 1 12 2 【答案】全班总分是3976分，全班平均分是79.52分． 【详解】解：， （分）， （分）， 答：全班总分是3976分，全班平均分是79.52分． 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题技巧（先判正负、再看绝对值、分步判定） 1. 由数轴位置确定各数正负、大小、绝对值远近； 2. 和差判断：正数绝对值大则和为正，负数绝对值大则和为负；大数减小数为正，小数减大数为负； 3. 乘除判断：同号为正、异号为负； 4. 综合式子分层判断，逐步化简定符号。 45．如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴得出之间的关系． 【详解】解：由数轴可得，，且， ∴，． 46．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴确定，的取值范围及绝对值大小，利用有理数加减法法则判断． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，且∴，故选项B正确， ∵，， ∴，故选项A错误， ∵，，故选项C、D错误． 47．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 【答案】④ 【分析】根据数轴的意义，得到，计算判断即可； 【详解】解：根据题意，得，， ，，，，， 故①②③⑤错误；④正确； 48．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A、B、C． (1)在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为______；由此可得点A、B之间的距离为______． (2)化简： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴和绝对值、合并同类项等知识点，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解； （2）根据数轴得出，，去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为； A，B之间的距离为； 故答案为：；； （2）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， ∴ ． 题型13 数轴上的翻折 解题技巧（中点公式、距离相等、对称求值） 1. 翻折本质：两点关于折点对称，折点为两点中点； 2. 中点公式：若a、b关于m对称，则； 3. 距离关系：左点到折点距离=右点到折点距离； 4. 已知两点求折点、已知折点求对应点，均可代入公式快速求解。 49．一条数轴上有点A、B，点C在线段上，其中点A、B表示的数分别是，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，根据数轴上两点间的距离公式求出点表示的数，再根据中点计算公式求出点C表示的数即可． 【详解】解：当点在线段上时， ∵点B表示的数为6，， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点在的延长线上时， ∵点B表示的数为6，， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为或1． 50．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且点、之间的距离为，则点表示的数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程，表示距离是解题的关键．设点表示的数为，根据题意，得，，，根据对折的性质，建立方程解答即可． 【详解】解：设点表示的数为， 根据题意，得，． ∵折叠， ∴． ∵， 故， 解得， 故点表示的数是． 故答案为：． 51．如图，、两点在数轴上，表示的数为，表示的数为． (1)、两点间的距离是______． (2)若把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位，此时点表示的数是______； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点和点之间的距离是，则点表示的数是______． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】根据数轴上两点间的距离公式即可求解； 根据题意列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解； 分点在点左侧时和点在点右侧时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：因为表示的数为，表示的数为， 所以、两点间的距离是， 故答案为：； （2）解：因为把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位， 所以此时点表示的数是， 故答案为：； （3）解：当点在点左侧时，则对折后点表示为， 所以折点表示的数为， 当点在点右侧时，则对折后点表示为， 所以折点表示的数为， 故答案为：或． 52．已知在一条可以折叠的数轴上，B表示的数是4，如图①，以点C为折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A落在点B的右边处，且． (1)若点C为原点，求点A表示的数； (2)若点A表示的数为，求线段的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先求出点表示的数，再结合折叠性质求出点A表示的数； （2）先求出的长度，再根据折叠性质求出的长度． 【详解】（1）解：根据题意得点表示的数为， ∴点A表示的数为； （2）解：∵点A表示的数为，B表示的数是4， ，． ． ∴线段的长为6． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $