第07讲 有理数的乘方10大题型（暑假预习讲义）新七年级数学新教材苏科版

第07讲 有理数的乘方 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数幂的概念理解 题型2 有理数的乘方运算 题型3 有理数乘方逆运算 题型4 乘方运算的符号规律 题型5 乘方的应用 题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型7 将用科学记数法表示的数变回原数 题型8 有理数乘方运算的规律计算 题型9 二进制计算问题 题型10 有理数乘方运算的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数的乘方运算 科学记数法 1.明晰乘方、底数、幂相关概念，分清与，熟练有理数乘方计算； 2.掌握乘方符号规律，遵循运算顺序，规范完成含乘方的有理数混合运算； 3.理解科学记数法标准形式，能将大数、小数转化为科学记数法； 4.会把科学记数法表示的数还原为原数，准确判断指数正负； 5.培养严谨运算习惯，感受乘方与科学记数法在实际生活中的应用价值。 学习重点：掌握乘方概念与符号法则，熟练乘方计算，会用科学记数法表示并还原大数小数。 学习难点：区分(-a)n与-an，准确确定科学记数法指数，混合运算易出错。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 即时即练 1．算式可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．根据乘方的定义，表示（  ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．表示5个2相加 B．表示8个2相乘 C．的底数是2 D．与意义相同 知识点02 有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 即时即练 4．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)． 5．计算： (1) (2)； (3) (4). 6．已知：，则________． 知识点03 科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 即时即练 7．年月日至日春假期间，江苏省共接待游客约人次，将用科学记数法表示为______． 8．2025年，我市消费品以旧换新居家适老化改造申请693户，完成改造693户，完成系统审价补贴金额达9716000元，数字9716000用科学记数法表示为_____． 9．年月日晚间，中国人民银行发布年度一季度金融统计数据显示，至月末我国人均存款约元，将用科学记数法表示为________． 题型1 有理数幂的概念理解 【例1】下列关于的说法正确的是（   ） A．表示个相乘的积的相反数 B．底数是，指数是 C．表示个相乘的积的相反数 D．表示个相乘的积的相反数 【变式1】对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【变式2】下列式子可以表示成的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】将写成幂的形式可以表示为________． 【变式4】的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 题型2 有理数的乘方运算 【例2】的值是（   ） A． B．49 C． D．14 【易错警示】 计算时易混淆(-a)n与-an，前者底数含负号，后者仅 a 乘方再取反；负数乘方忘判断奇偶定符号，0、1、-1 特殊幂记错。混合运算颠倒顺序，先算加减再算乘方。科学记数法易写错 a 的范围，指数正负确定失误，小数点移位计数出错，做题需先定符号再算绝对值。 【变式1】计算： ______． 【变式2】若，则_________． 【变式3】根据乘方的定义，可得： (1)请你写出一个类似上述特点的式子； (2)猜想并根据乘方的定义证明：________（其中为正整数）； (3)根据上述探索的结论，计算：． 【变式4】我们规定：例如：． (1)根据上述规定，填空：______；； (2)的值（结果保留幂的形式即可）； (3)已知；，且，求的值． 题型3 有理数乘方逆运算 【例3】若，，且，那么的值是（   ） A．或 B．2或 C．2或8 D．或8 【变式1】已知，，且，则时值为（） A． B． C．20 D． 【变式2】计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【变式3】若，则______． 【变式4】若，，且，求的值． 题型4 乘方运算的符号规律 【例4】观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【变式1】在计算时，结果可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算： ____________ 【变式3】请判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 题型5 乘方的应用 【例5】观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【变式1】《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【变式3】某种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将1个细菌放在培养瓶中经过64分钟就能分裂满一瓶．若将4个这种细菌放入同一个培养瓶中，分裂满一瓶的时间是_______分钟． 【变式4】桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下． (1)如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过______次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． (2)现在将问题中的8个茶杯改为7个，能否经过若干次翻转每次4个把它们全部翻成杯口朝下？直接写出结果：______填“能”或“不能” (3)请利用有理数运算说明得到（2）中结论的理由． 题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例6】2026年“五一”假期期间，我市接待游客突破608万人次，同比增长．数据“608万”用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【易错警示】 用科学记数法表示大数，常忽略 1≤a＜10，随意保留多位整数；数小数点移位次数出错，指数 n 算多或算少。还原原数时易漏补 0，混淆小数点移动方向。书写遗漏乘 10ⁿ，数字分段混乱，做题先确定 a，再数整数位定指数，仔细核对位数避免失误。 【变式1】2025年12月江苏省全年新能源汽车产量达到15170000辆，约占全国总产量的．数15170000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2】2025年我国人工智能企业数量超过6000家，核心产业规模预计突破12000亿元，数据“12000亿”用科学记数法表示为______． 【变式3】2026年“苏超”不仅点燃了绿茵场，更引爆了宿迁文旅消费市场，统计数据显示，“五一”假期，全市纳入统计的31家重点景区共接待游客279万人次，同比增长．将279万用科学记数法表示为_________． 【变式4】2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长，全市重点文旅区域在九天内累计接待游客5850400人次．将5850400用科学记数法表示为_______． 题型7 将用科学记数法表示的数变回原数 【例7】下列求原数不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（   ） A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨 【变式2】把用科学记数法表示的数写成原数：______． 【变式3】已知是一个7位数，则___________，原数为 ___________． 【变式4】已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数： (1)； (2)； (3)． (4) 题型8 有理数乘方运算的规律计算 【例8】与幂有关的规律探究，一般是研究幂的个位数字的规律探究问题．常用的方法是先求出前几个数的个位数字，从中发现循环的规律，然后判断需要探求的数的个位数字处于循环规律中的第几个，最终得到答案． (1)先观察，后计算： 观察算式：你能发现的个位数字是由 种数字组成，分别是 ；直接写出的个位数字是 ； (2)探究：的个位数字是多少？试着写出推导过程； (3)直接写出的结果的个位数字是 ． 【变式1】用黑色、白色棋子摆成图中的正方形，观察各个图形和对应表达式的变化规律： (1)写出第4个图形对应的表达式； (2)写出第个图形对应的表达式； (3)利用上面发现的规律计算：． 【变式2】观察下列等式，并探索规律： (1)请回答： ； (2)请回答： （且n为正整数）； (3)请用上述规律计算： 【变式3】仔细观察下列三组数： 第一组：1，4，9，16，25，； 第二组：0，，，，，； 第三组：，，，，，． (1)第一组数是按什么规律排列的？ 第二组数与第一组数有什么关系？ (2)按第三组的排列规律，第9，10两个数各是多少？ (3)取每组的第20个数，计算这三个数的和． 【变式4】阅读材料，根据材料回答： 例如1： ． 例如2： ． (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）______； (3)用（2）的规律计算：． 题型9 二进制计算问题 【例9】我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数要用10个数码：．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：．如二进制中，，相当于十进制中的7；二进制中，，相当于十进制中的27． 请你计算： (1)二进制中的10111相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的什么数相当于十进制中的15？ 【易错警示】 二进制仅由 0、1 组成，易误引入 2 及以上数字；进位规则记错，满二未进一、进位遗漏。减法借位易出错，高位借 1 当作 2 使用时常算错。转换十进制时位权计数颠倒，分不清从右起 2 的次方，竖式对齐错位，运算后不验算，需牢记进制规则、对齐数位逐步计算。 【变式1】我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1011等于十进制的数________________． 【变式2】在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的表示十进制中的_______． 【变式3】数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】【阅读材料】 材料一：N进制数与十进制数之间的转换将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数． 规定：如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将89转化为五进制数：因为，，，所以． 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，；，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如：，， ∴①，②， 如： ，， ∴③；④． 【问题解决】 (1)将八进制数转化成十进制数，结果为______； 将十进制数73转化成二进制数，结果为______； (2)列竖式计算：①； ②．（结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则：，，，． 根据以上乘法法则，仿照十进制的乘法竖式法则，计算：．（结果用二进制数表示） (4)“退位减法”是一种逐位相减的方法．仿照十进制和二进制，其它几进制的退位减法也是类似的．若a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数，且三位数比三位数大2，则______． 题型10 有理数乘方运算的新定义问题 【例10】定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 【变式1】对于整数a，b，定义一种新的运算“⊕”：当a与b同号时，规定（且）；当a与b异号时，规定（且）． (1)当，时，则______． (2)当，且，则______． (3)已知，求式子的值． 【变式2】（1）计算：①______；______； ②______；______． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导：______ （3）猜想：当n为正整数时，______． （4）利用上述结论，求：①；② 【变式3】根据乘方的定义，可得： (1)请你写出一个类似上述特点的式子； (2)猜想：__________（其中为正整数）； (3)根据上述探索的结论，计算：． 【变式4】对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 1．下列四个数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 2．2026年4月22日南京地铁宁马线（号线）全线贯通，“五一”假期首日宁马线全天客运量超195800人次，创开通以来客运新高．用科学记数法表示195800是（     ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A． B．9 C．5 D．3 4．学完有理数的运算之后，小丁做了以下四道计算题：①；②；③；④．请你帮他检查一下，他一共做对了（   ） A．1题 B．2题 C．3题 D．4题 5．乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 6．若，，且那么的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．我校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a、b、c、d，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，计算，表示该生为5班学生．请判断下列选项中表示1班10号学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 8．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 9．若（n为正整数），则a的取值不可能为（   ） A．0 B． C． D．2 10．若结果的个位数字是1，则的值可能是（   ） A．13 B．24 C．35 D．49 11．_____． 12．的相反数为___________． 13．_________． 14．计算：_______． 15．如果，则_______． 16．据媒体公布，我国国防科技大学研制的“天河二号”以每秒次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，已知的结果近似为3430000，数据3430000用科学记数法表示为_________． 17．一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写着一个数，并且相对两个面上所写数字的乘积相等．那么_______ ， _______ ． 18．进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一，一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：（）．例如：十进制数可以表示为，即；二进制数可以表示为，即．请将十进制数89转换为二进制数为______． 19．若，则记，例如，于是．若，，，则的值为______． 20．观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是______． 21．（1）画出数轴并表示下列各数： 0，，，，， （2）上述各数中，绝对值相同的两数分别为 ． （3）上述各数中，按从小到大的顺序用“”连接起来． 22．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且求的值． 23．爸爸有一张“苏超”决赛门票，子豪和子萱都想去听，一时间不知道让谁去，于是爸爸想出了一个主意：爸爸任意写出一道有理数混合运算题，若这道题的计算结果为正数，则子豪去；若计算结果为负数，则紫萱去；若计算结果为，则爸爸重新出一道运算题。爸爸出的题为：，请你计算并说明，爸爸还需要重新出一道题吗？若不需要，请判断最终谁去看比赛？ 24．（1）填空：①______；______； ②______；______； （2）猜一猜：当为正整数时，______； （3）试一试：求的结果 25．已知两数互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，求的值． 26．已知， (1)___________，___________； (2)若，求的值． 27．观察下列算式： ①； ②； ③； ④； ⑤； … (1)根据以上规律写出第⑧条算式：________________； (2)计算：； (3)计算：． 28．（1）计算：①______；______； ②______；______． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导：______ （3）猜想：当n为正整数时，______． （4）利用上述结论，求：①；② 29．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释． 【观察思考】我们知道；那么的结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题： （1）______ （2）______ 【拓展应用】 （3）求的值． 30．观察下列三行数： ，4，，16，，64，…① ，…② ，…③ (1)第①②③行中的第7个数分别为__________，__________，__________； (2)分别取第①②③行中的第10个数，计算这三个数的和； (3)分别取第①②③行中的第n个数，依次记为a，b，c，直接写出的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 有理数的乘方 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数幂的概念理解 题型2 有理数的乘方运算 题型3 有理数乘方逆运算 题型4 乘方运算的符号规律 题型5 乘方的应用 题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型7 将用科学记数法表示的数变回原数 题型8 有理数乘方运算的规律计算 题型9 二进制计算问题 题型10 有理数乘方运算的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数的乘方运算 科学记数法 1.明晰乘方、底数、幂相关概念，分清与，熟练有理数乘方计算； 2.掌握乘方符号规律，遵循运算顺序，规范完成含乘方的有理数混合运算； 3.理解科学记数法标准形式，能将大数、小数转化为科学记数法； 4.会把科学记数法表示的数还原为原数，准确判断指数正负； 5.培养严谨运算习惯，感受乘方与科学记数法在实际生活中的应用价值。 学习重点：掌握乘方概念与符号法则，熟练乘方计算，会用科学记数法表示并还原大数小数。 学习难点：区分(-a)n与-an，准确确定科学记数法指数，混合运算易出错。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 即时即练 1．算式可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，乘法和乘方的定义，分子是个2相加，等于；分母是个3相乘，等于3的次方，据此求解即可． 【详解】解：∵分子是个2相加，等于；分母是个3相乘，等于3的次方，即， ∴原式． 故选：C． 2．根据乘方的定义，表示（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了乘方的定义，根据乘方的定义，表示n个a相乘． 【详解】解：表示． 故选：B． 3．下列说法正确的是（    ） A．表示5个2相加 B．表示8个2相乘 C．的底数是2 D．与意义相同 【答案】C 【分析】本题考查乘方运算的相关定义辨识．根据乘方运算的相关定义逐项判断即可． 【详解】解：A：表示5个2相乘，故A错误； B：表示8个2相乘的积的相反数，故B错误； C：中含有乘方的是，底数是2，故C正确； D：表示3个相乘，表示3个3相乘的积的相反数，故意义不相同，故D错误； 故选：C． 知识点02 有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 即时即练 4．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)． 【答案】(1)64 (2) (3) (4) (5)32 (6) (7) (8) (9) 【分析】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． （1）根据乘方的意义计算即可； （2）根据乘方的意义计算即可； （3）根据乘方的意义计算即可； （4）根据乘方的意义计算即可； （5）根据乘方的意义计算即可； （6）根据乘方的意义计算即可； （7）根据乘方的意义计算即可； （8）根据乘方的意义计算即可； （9）根据乘方的意义计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ． 5．计算： (1) (2)； (3) (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；或者先用符号法则来确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；的奇数次幂是，的偶数次幂是1. 6．已知：，则________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，乘方运算，根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零，则每一项必须为零，从而求出a和b的值，再代入计算乘方． 【详解】解：由题意，，，且， 根据非负数的性质，得，， 解得，， 则， 所以， 由于2025为奇数，故． 故答案为：． 知识点03 科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 即时即练 7．年月日至日春假期间，江苏省共接待游客约人次，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 8．2025年，我市消费品以旧换新居家适老化改造申请693户，完成改造693户，完成系统审价补贴金额达9716000元，数字9716000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【分析】科学记数法将一个数表示为的形式，其中，为整数，当原数绝对值大于等于时，为正整数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，确定和的值即可求解． 【详解】解：将变形为符合要求的，可得，小数点向左移动了位，因此， 即． 9．年月日晚间，中国人民银行发布年度一季度金融统计数据显示，至月末我国人均存款约元，将用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：． 题型1 有理数幂的概念理解 【例1】下列关于的说法正确的是（   ） A．表示个相乘的积的相反数 B．底数是，指数是 C．表示个相乘的积的相反数 D．表示个相乘的积的相反数 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是乘方的定义、相反数的定义，解题关键是熟练掌握乘方的定义． 根据乘方的定义、相反数的定义对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，根据乘方的定义，表示个相乘的积的相反数，该说法错误，选项不符合题意； 选项，根据乘方的定义，中的底数是，指数是，该说法错误，选项不符合题意； 选项，根据乘方的定义，表示个相乘的积的相反数，该说法正确，选项符合题意； 选项，根据乘方的定义，示个相乘的积的相反数，该说法错误，选项不符合题意． 故选：． 【变式1】对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 根据幂的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴与，底数不同，运算结果相同． 故选：C． 【变式2】下列式子可以表示成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘方，关键是理解乘方的含义，乘方表示几个相同因数的积的简便运算． 根据乘方的定义运算即可． 【详解】解：中3是底数，4是指数，表示4个3相乘， 即． 故选：B． 【变式3】将写成幂的形式可以表示为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了将多个相同因数相乘写为幂的形式，将多个相同因数相乘写为幂的形式时，底数为该因数，指数为该因数的个数，据此可得答案． 【详解】解：四个相乘，可以表示为的4次方，即， 故答案为：． 【变式4】的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 题型2 有理数的乘方运算 【例2】的值是（   ） A． B．49 C． D．14 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，先根据乘方运算的优先级计算即可． 【详解】解：∵， ∴值为 49． 故选：B． 【易错警示】 计算时易混淆(-a)n与-an，前者底数含负号，后者仅 a 乘方再取反；负数乘方忘判断奇偶定符号，0、1、-1 特殊幂记错。混合运算颠倒顺序，先算加减再算乘方。科学记数法易写错 a 的范围，指数正负确定失误，小数点移位计数出错，做题需先定符号再算绝对值。 【变式1】计算： ______． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算以及去括号法则这两个知识点，解题的关键在于准确计算负数的奇次幂．计算出的值，去括号即可得出解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式2】若，则_________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负性质，有理数的乘方运算，根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零，则每项均为零，可求出x和y的值，再然后再计算有理数的乘方运算． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ 且， ∴ ，， 解得 ，， ∴ ， 故答案为：1． 【变式3】根据乘方的定义，可得： (1)请你写出一个类似上述特点的式子； (2)猜想并根据乘方的定义证明：________（其中为正整数）； (3)根据上述探索的结论，计算：． 【答案】(1)答案不唯一，合理即可， (2) (3) 【分析】本题考查的是乘方运算规律的探究，理解乘方运算的含义是解本题的关键； （1）举例，结合乘方运算的含义可化为，即可得到答案； （2）根据题干的提示与（1）的示例总结归纳，再模仿证明即可； （3）把化为，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：（其中为正整数）； 证明： （3）解： ； 【变式4】我们规定：例如：． (1)根据上述规定，填空：______；； (2)的值（结果保留幂的形式即可）； (3)已知；，且，求的值． 【答案】(1)；4； (2) (3)30 【分析】本题主要考查了乘方的意义及乘法运算法则，理解题意是关键． （1）根据题目中给出的信息进行运算即可； （2）根据题目中给出的信息进行运算即可； （3）根据规定得，进行求解即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；4； （2）解：； （3）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 题型3 有理数乘方逆运算 【例3】若，，且，那么的值是（   ） A．或 B．2或 C．2或8 D．或8 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方的含义，绝对值的含义，求解代数式的值，由和求出和的可能值，再根据条件筛选符合条件的组合，最后计算． 【详解】解：∵， ∴ 或； ∵， ∴ 或； 又∵ ， 当， 时，不符合题意； 当， 时， 成立， ∴； 当， 时， 不符合题意； 当， 时， 成立， ∴ ； ∴的值为2或8． 故选：C 【变式1】已知，，且，则时值为（） A． B． C．20 D． 【答案】A 【分析】根据绝对值和乘方的性质求出和的值，再根据得到和同号，分类讨论求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴和同号， 当时，; 当时，; 综上，的值为， 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值和乘方的性质，解题的关键是根据题意得到和同号． 【变式2】计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 【变式3】若，则______． 【答案】 【分析】将原式变形，根据有理数的乘方的逆运算，即可求解． 【详解】解：． ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算及解一元一次方程，熟练掌握有理数的乘方运算是解题关键． 【变式4】若，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的逆运算，求一个数的绝对值，有理数的加法计算，先计算乘方和绝对值得到，，再由得到或，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， ∴的值为． 题型4 乘方运算的符号规律 【例4】观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算中末位数字的周期性规律，解题的关键是找出末位数字的循环周期，再通过指数除以周期求余数确定结果． 观察已知算式的末位数字，发现其以2、4、8、6为一个循环周期；用指数2026除以周期4，根据余数判断对应的末位数字． 【详解】解：观察算式可得，的末位数字依次为2、4、8、6，以4为循环周期；，余数为2； 余数为2对应循环周期中的第2个数字4，即的末位数字是4； 故选：C． 【变式1】在计算时，结果可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含有乘方的有理数的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：． 【点睛】本题主要考查乘方的意义，乘方的符号规律，掌握以上知识的是解题的关键． 【变式2】计算： ____________ 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 【变式3】请判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)负 (2)负 (3)负 (4)正 【分析】题目主要考查有理数的乘方运算，判断计算结果的正负，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）（2）（3）（4）分别根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （2）解：是的相反数， 因为是正数，所以其相反数为负数， 故的结果为负； （3）解：∵的指数是7，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （4）解：∵的指数是8，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正． 【变式4】阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 【答案】(1)3，2 (2)7 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． （1）此题不难发现：的个位数字是7，9，3，1四个一循环，所以，则的个位数字是3；的个位数字是8，4，2，6四个一循环，所以，则的个位数字是2； （2）分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 【详解】（1）解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为3； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为2； （2）解：∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， 根据（1）可知，的个位数字是7，的个位数字是8，， ∴的个位数字是7． 题型5 乘方的应用 【例5】观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查数字规律探索，找到循环周期并计算余数是解题关键．观察3的幂次方的末位数字，发现每4次循环一次，循环顺序为，计算2025除以4的余数，根据余数即可确定末位数字． 【详解】解：因为，，，，，，，……， 所以发现规律为的末位数字按照的顺序进行循环， 因为 ， 所以的末位数字是3． 故选：B 【变式1】《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的应用，通过连乘计算总鸟巢数即可． 【详解】解：∵堤坝有9座，每座堤坝有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝有9个鸟巢， ∴ 总鸟巢数个 因此，文中的鸟巢共有个， 故选：C． 【变式2】《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【答案】 【分析】据题意，每天截取后剩余长度是前一天剩余长度的一半，逐天计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意， 第1天截取后剩余长度为：， 第2天截取后剩余长度为：， 第3天截取后剩余长度为：， 第4天截取后剩余长度为：， 第5天截取后剩余长度为：， 故第5天截取后木棍剩余长度为． 【变式3】某种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将1个细菌放在培养瓶中经过64分钟就能分裂满一瓶．若将4个这种细菌放入同一个培养瓶中，分裂满一瓶的时间是_______分钟． 【答案】62 【分析】本题考查有理数的乘方应用，数字类规律探究．根据细菌分裂的规律以及有理数乘方的计算方法分别进行计算即可． 【详解】解：将1个细菌放在培养瓶中，第1分钟，细菌的个数为， 第2分钟，细菌的个数为， 第3分钟，细菌的个数为， 第4分钟，细菌的个数为， ……； ∴第n分钟，细菌的个数为； ∴第64分钟，细菌的个数为； 将4个细菌放在培养瓶中， 第1分钟，细菌的个数为， 第2分钟，细菌的个数为， 第3分钟，细菌的个数为， 第4分钟，细菌的个数为， ……； ∴第n分钟，细菌的个数为， ∴第62分钟，细菌的个数为； 故答案为：62． 【变式4】桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下． (1)如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过______次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． (2)现在将问题中的8个茶杯改为7个，能否经过若干次翻转每次4个把它们全部翻成杯口朝下？直接写出结果：______填“能”或“不能” (3)请利用有理数运算说明得到（2）中结论的理由． 【答案】(1)3 (2)不能 (3)见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的实际应用，理解题意，设置合理的运算法则是解问题的关键． （1）用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，找出最少翻转次数能使杯口全部朝下的情况即可得答案； （2）通过设定杯口朝上为、朝下为，分析初始乘积、每次翻转的乘积变化及全部朝下的乘积，判断是否能实现转换． （3）杯口朝上和朝下用和，则初始状态为：，结合每改变一个就相当于乘以，而每次改变4个，即乘以4个，其乘积仍为，从而可得答案． 【详解】（1）六只杯子的初始状态是全部杯口朝上， 用“”、“”分别表示杯口“朝上”、“朝下”， 所以初始状态为：、、、、、， 第一次翻转前四个杯子，状态为：、、、、、， 第二次翻转第2、3、4、5个杯子，状态为：、、、、、， 第三次翻转第2、3、4、6个杯子，状态为：、、、、、， 故答案为：3； （2）现在将问题中的8只茶杯改为7只，不能经过若干次翻转每次4个把它们全部翻成杯口朝下， 理由：用“”、“”分别表示杯口“朝上”、“朝下”， 所以初始状态为：、、、、、、， 因为开始是7杯口全部朝上，即7个，其乘积为， 每改变一个就相当于乘以， 而每次改变4个， 即乘以4个，其乘积仍为， 7个杯口朝下，即7个， 其乘积为，由于， 故不可能把它们全部翻成杯口朝下， 故答案为：不能； （3）用“”、“”分别表示杯口“朝上”、“朝下”， 所以初始状态为：、、、、、、， 每改变一个就相当于乘以，而每次改变4个， 则，即乘积始终不变， 7个杯口朝下，即7个，其乘积为， 由于， 故不可能把它们全部翻成杯口朝下． 题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例6】2026年“五一”假期期间，我市接待游客突破608万人次，同比增长．数据“608万”用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的形式为，其中，为整数，解题时先将单位“万”转换为普通数字再进行表示即可． 【详解】解：∵万， 将写成（，为整数）的形式，可得 ，小数点向左移动了位， ∴，即． 【易错警示】 用科学记数法表示大数，常忽略 1≤a＜10，随意保留多位整数；数小数点移位次数出错，指数 n 算多或算少。还原原数时易漏补 0，混淆小数点移动方向。书写遗漏乘 10ⁿ，数字分段混乱，做题先确定 a，再数整数位定指数，仔细核对位数避免失误。 【变式1】2025年12月江苏省全年新能源汽车产量达到15170000辆，约占全国总产量的．数15170000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法要求表示为的形式，且满足，为整数．确定和的值即可解答． 【详解】解：∵原数为，将小数点向左移动7位可得到，满足，此时， ∴用科学记数法表示为 【变式2】2025年我国人工智能企业数量超过6000家，核心产业规模预计突破12000亿元，数据“12000亿”用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】先将12000亿元转化为以元为单位的数，再根据科学记数法的定义确定和的值即可得到结果． 【详解】解：亿． 【变式3】2026年“苏超”不仅点燃了绿茵场，更引爆了宿迁文旅消费市场，统计数据显示，“五一”假期，全市纳入统计的31家重点景区共接待游客279万人次，同比增长．将279万用科学记数法表示为_________． 【答案】 【详解】解：． 【变式4】2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长，全市重点文旅区域在九天内累计接待游客5850400人次．将5850400用科学记数法表示为_______． 【答案】 【详解】解：. 题型7 将用科学记数法表示的数变回原数 【例7】下列求原数不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法—原数，科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，此项计算不正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（   ） A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法还原，科学记数法的表达方法：其中，确定n的值是解题的关键．直接将铝、锰元素总量相加，再将其用科学记数法表示即可得到答案． 【详解】铝、锰元素总量的和约是：吨． 故选：C． 【变式2】把用科学记数法表示的数写成原数：______． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，把写成原数，则需把小数点向右移动为即可，科学记数法的表示形式中，原数的整数位为，原数等于把小数点向右移动位所得的数，若向右移动，位数不够用补上． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】已知是一个7位数，则___________，原数为 ___________． 【答案】 6 2730000 【分析】此题主要考查了科学记数法．熟练掌握利用科学记数法表示的数与原数的关系，是解题关键． 用科学记数法表示绝对值较大数，的原数的整数位数是 ． 结合题中原数的整数位数是7，以及n与原数整数位数的关系，即可得出n的值，则原数即可得出． 【详解】∵是一个7位数， ∴，原数为 2730000． 故答案为：6，2730000． 【变式4】已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了把科学记数法表示的数变为原数，熟知科学记数法是解题的关键． （1）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可； （2）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可； （3）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可； （4）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型8 有理数乘方运算的规律计算 【例8】与幂有关的规律探究，一般是研究幂的个位数字的规律探究问题．常用的方法是先求出前几个数的个位数字，从中发现循环的规律，然后判断需要探求的数的个位数字处于循环规律中的第几个，最终得到答案． (1)先观察，后计算： 观察算式：你能发现的个位数字是由 种数字组成，分别是 ；直接写出的个位数字是 ； (2)探究：的个位数字是多少？试着写出推导过程； (3)直接写出的结果的个位数字是 ． 【答案】(1)4，2、4、8、6，8 (2)7 (3)6 【分析】本题考查了数字型规律，有理数的乘方，解题的关键是： （1）根据已知算式的结果，直接归纳即可，再根据所得规律，计算2023除以4的余数，得到结果； （2）仿照（1）中找到规律，再计算2023除以4的余数，得到结果； （3）分别求出，，，，，找到规律，同法求出结果． 【详解】（1）解：发现的个位数字是由4种数字组成， 分别是2，4，8，6，共4个为一循环， ， ∴的个位数字是8， 故答案为：4，2、4、8、6，8； （2） 可得：个位数字分别是3，9，7，1，共4个为一循环， 而， ∴的个位数字是7； （3），，，，，…， 个位数字分别是2，2，6，0，共4个为一循环， ， ∴的结果的个位数字是6． 故答案为：6． 【变式1】用黑色、白色棋子摆成图中的正方形，观察各个图形和对应表达式的变化规律： (1)写出第4个图形对应的表达式； (2)写出第个图形对应的表达式； (3)利用上面发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)4049 【分析】本题主要考查了图形与式子的规律，代数式表示式，有理数的乘方运算，通过观察所给的式子，找到规律，并用规律进行变形应用是解题的关键． (1)根据题干中的规律写出第4个图形对应的表达式即可； (2)总结题干中的规律写出第个图形对应的表达式即可； (3)结合题干所总结的规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第4个图形对应的表达式为， （2）解：观察图形和表达式知，第个图形对应的表达式为； （3）解：由(2)知． 【变式2】观察下列等式，并探索规律： (1)请回答： ； (2)请回答： （且n为正整数）； (3)请用上述规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律： （1）观察可知从1开始的连续的奇数之和等于奇数个数的平方，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求可得答案； （3）分别求出，，两式相减即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ……， 以此类推，可知， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得； 故答案为：； （3）解：由（1）可得， ， ∴ ． 【变式3】仔细观察下列三组数： 第一组：1，4，9，16，25，； 第二组：0，，，，，； 第三组：，，，，，． (1)第一组数是按什么规律排列的？ 第二组数与第一组数有什么关系？ (2)按第三组的排列规律，第9，10两个数各是多少？ (3)取每组的第20个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)见解析 (2)第9个数为，第10个数为 (3) 【分析】（1）第一组按，，，，排列，第二组按，，，，排列，由此进一步得出答案即可； （2）第三组数的分子是连续自然数，分母是对应分母的平方加1，奇数位置为正，第n个数为，偶数位置为负，第n个数为，由此求得答案即可； （3）根据规律求得每组的第20个数，再相加即可． 此题考查了有理数的乘方，数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题． 【详解】（1）解：第一组数是按正整数1，2，3，4，5，的平方数的顺序排列的， 即，，，，，， 第二组数是由第一组的每一个数减去1，再取差的相反数得到的， 即，，，，，． （2）解：第三组数的规律是，，，，，， 即当n为奇数时，第n个数是； 当n为偶数时，第n个数是， ∴这组数的第9个数为， 则第10个数是． （3）解：第一组的第20个数是， 第二组的第20个数是， 第三组的第20个数是， ∴． 这三个数的和为：． 【变式4】阅读材料，根据材料回答： 例如1： ． 例如2： ． (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）______； (3)用（2）的规律计算：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据所给材料中的方法进行计算即可； （2）根据题意找到规律即可； （3）根据得到的规律将原式变形，然后计算即可． 【详解】（1） ； （2）根据题意可得：； （3） ． 【点睛】此题考查有理数的乘方，解题关键是灵活运用材料中得出的规律． 题型9 二进制计算问题 【例9】我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数要用10个数码：．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：．如二进制中，，相当于十进制中的7；二进制中，，相当于十进制中的27． 请你计算： (1)二进制中的10111相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的什么数相当于十进制中的15？ 【答案】(1)23 (2)1111 【分析】（1）根据题意得出求出即可； （2）根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：，即二进制中的相当于十进制中的． （2）解：,即二进制中的相当于十进制中的． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，主要考查学生的理解能力，阅读能力和计算能力，是一道较好的综合题． 【易错警示】 二进制仅由 0、1 组成，易误引入 2 及以上数字；进位规则记错，满二未进一、进位遗漏。减法借位易出错，高位借 1 当作 2 使用时常算错。转换十进制时位权计数颠倒，分不清从右起 2 的次方，竖式对齐错位，运算后不验算，需牢记进制规则、对齐数位逐步计算。 【变式1】我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1011等于十进制的数________________． 【答案】11 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，弄清题中的转换方法是解本题的关键．根据题意得出二进制与十进制的转换方法，计算即可得到结果． 【详解】解：二进制数1011等于十进制的数为， 故答案为：11． 【变式2】在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的表示十进制中的_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法进行计算，即可解答． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式3】数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 【变式4】【阅读材料】 材料一：N进制数与十进制数之间的转换将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数． 规定：如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将89转化为五进制数：因为，，，所以． 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，；，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如：，， ∴①，②， 如： ，， ∴③；④． 【问题解决】 (1)将八进制数转化成十进制数，结果为______； 将十进制数73转化成二进制数，结果为______； (2)列竖式计算：①； ②．（结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则：，，，． 根据以上乘法法则，仿照十进制的乘法竖式法则，计算：．（结果用二进制数表示） (4)“退位减法”是一种逐位相减的方法．仿照十进制和二进制，其它几进制的退位减法也是类似的．若a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数，且三位数比三位数大2，则______． 【答案】(1)， (2)①② (3) (4)8 【分析】本题主要考查了新定义运算，整式的加减运算，有理数的乘方运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则． （1）根据题干提供的信息，将八进制数转化成十进制数，十进制数73转化成二进制数，即可作答； （2）①根据二进制数加法运算法则，进行计算即可； ②根据二进制数加法运算法则，进行计算即可； （3）仿照十进制的有理数乘法运算法则进行计算即可． （4）理解题意，得出，，结合三位数比三位数大2，且，则，又因为a，b，c，d，e都是整数，且是的其中一个，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴将八进制数转化成十进制数，结果为； 依题意，，，，， ，，， ∴将十进制数73转化成二进制数，结果为； （2）解：①依题意， 即； ②依题意， ； （3）解：依题意， ∴． （4）解：∵a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数，且三位数比三位数大2，且 ∴， ， 则， ∴， 则， ， ∵a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数， ∴a，b，c，d，e都是整数，且是的其中一个， 则尽量小， ∴， 则， ∴． 题型10 有理数乘方运算的新定义问题 【例10】定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键； （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义先算，再算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 【变式1】对于整数a，b，定义一种新的运算“⊕”：当a与b同号时，规定（且）；当a与b异号时，规定（且）． (1)当，时，则______． (2)当，且，则______． (3)已知，求式子的值． 【答案】(1) (2)2 (3)或4或7或8或10 【分析】本题考查新定义的运算，有理数的乘方，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键． （）根据新定义的运算即可求解； （）根据新定义的运算即可求解； （）根据新定义的运算分当与同号时和当与异号时两种情况即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴与异号， ∴， 故答案为：； （2）解：由，，为整数，可得与不可能异号， ∴当与同号时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当与同号时， ∴， ∴，或，或，， 则的值为或或； 当与异号时，， ∴， ∴，或，， 则的值为或； 综上可知：的值为或或或或． 【变式2】（1）计算：①______；______； ②______；______． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导：______ （3）猜想：当n为正整数时，______． （4）利用上述结论，求：①；② 【答案】（1）①，；②225，225；（2）；（3）；（4）①；② ； 【分析】本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，掌握乘方的意义是解题的关键． （1）①根据乘方的意义直接计算即可； ②根据乘方的意义直接计算即可； （2）根据乘方的意义直接计算即可； （3）根据以上的规律猜想，并利用乘方的意义求解即可； （4）②逆用（3）中得到的结论计算即可；②变形后逆用（3）中得到的结论计算即可． 【详解】（1）①；； ②；； 故答案为：36；36；225；225； （2） ， 故答案为：； （3）当n为正整数时，， 故答案为：； （4）① ； ② ． 【变式3】根据乘方的定义，可得： (1)请你写出一个类似上述特点的式子； (2)猜想：__________（其中为正整数）； (3)根据上述探索的结论，计算：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是乘方运算规律的探究，理解乘方运算的含义是解本题的关键； （1）举例，结合乘方运算的含义可化为，即可得到答案； （2）根据题干的提示与（1）的示例总结归纳即可； （3）把化为，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：（其中为正整数）； （3）解： ； 【变式4】对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 【答案】(1)16 (2)64 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键． （1）由，可得，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．下列四个数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先根据绝对值、乘方、相反数的运算法则化简每个选项，再根据负数的定义判断即可得到结果． 【详解】解：选项A：，A不是负数； 选项B：，B不是负数； 选项C：，C不是负数； 选项D：，D是负数．故选D． 2．2026年4月22日南京地铁宁马线（号线）全线贯通，“五一”假期首日宁马线全天客运量超195800人次，创开通以来客运新高．用科学记数法表示195800是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据科学记数法的定义确定和的值即可． 【详解】 解：对于数，它共有位整数， ，， ． 3．已知，则的值为（    ） A． B．9 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质、有理数的乘方等知识点，根据非负数的性质求得a、b的值是解题的关键． 根据绝对值、平方项的非负数求得a、b的值，然后代入运用有理数乘方计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 4．学完有理数的运算之后，小丁做了以下四道计算题：①；②；③；④．请你帮他检查一下，他一共做对了（   ） A．1题 B．2题 C．3题 D．4题 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方、减法及除法运算，需逐一验证各计算题的正确性． 【详解】解：①∵（2025为奇数），而原式计算为，错误； ②∵，而原式计算为，错误； ③∵，恒成立，正确； ④∵，正确． ∴他一共做对了2题． 故选：B． 5．乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算．等价于先计算五分之一的五次方，再取负，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：乘法运算可以表示为， 故选：D． 6．若，，且那么的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、平方根的定义以及有理数的减法运算，熟练掌握根据条件筛选变量的可能值是解题的关键． 先根据绝对值和平方的定义求出、的可能值，再结合的条件筛选出符合的组合，最后计算的值． 【详解】解：∵ ∴或 ∵ ∴或 ∵ ∴当时，、均不成立，故不符合条件； 当时，成立，成立． ∴符合条件的组合为：； 当时，； 当时， ∴的值为或 故选：． 7．二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．我校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a、b、c、d，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，计算，表示该生为5班学生．请判断下列选项中表示1班10号学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算的应用，图形的规律，因为其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．所以分别算出第一、二行的数，进行验证即可． 【详解】解：A、第一行：，班级不符合，故该选项不符合题意； B、第一行：，班级不符合，故该选项不符合题意； C、第一行：，第二行：， 班级、学号符合，故该选项符合题意； D、第一行：，班级不符合，故该选项不符合题意； 故选：C． 8．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，通过提取 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ （指数2025为奇数）， ∴ 原式． 故选：C 9．若（n为正整数），则a的取值不可能为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了乘方运算，结合（n为正整数），分别把，，代入进行计算，再结合选项的数值进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， 故A选项不符合题意； 当时，则， 故B选项不符合题意； 当时，则， 故C选项不符合题意； ∵n为正整数 ∴不可能为， 故D选项符合题意； 故选：D 10．若结果的个位数字是1，则的值可能是（   ） A．13 B．24 C．35 D．49 【答案】C 【分析】先找出个位数字的规律，再根据结果的个位数字是，确定结果的个位数字，最后据此找出可能的值．本题主要考查了尾数特征问题，熟练掌握通过找规律的方法确定幂次的个位数字是解题的关键． 【详解】解：个位数字是， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 可以发现当为奇数时，个位数字是；当为偶数时，个位数字是． 个位数字是． 结果的个位数字是， 结果的个位数字是． 个位数字是（的幂次个位数字以、、、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的任何正整数次幂个位数字都是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）． 的值可能是． 故选：C． 11．_____． 【答案】 4 【详解】解：． 12．的相反数为___________． 【答案】8 【分析】先根据有理数乘方的运算法则计算的值，再根据相反数的定义得到最终结果． 【详解】解：由题意得，， ∴的相反数为8． 13．_________． 【答案】 【分析】将各数化为的次方的形式，进而计算即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 14．计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方和加法运算，需先计算乘方，再计算加法． 【详解】解： 故答案为：． 15．如果，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方运算，利用非负数的性质求出的值，再代入算式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．据媒体公布，我国国防科技大学研制的“天河二号”以每秒次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，已知的结果近似为3430000，数据3430000用科学记数法表示为_________． 【答案】 【详解】解：. 17．一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写着一个数，并且相对两个面上所写数字的乘积相等．那么_______ ， _______ ． 【答案】 【分析】此题考查正方体的平面展开图和有理数的乘方．正方体的平面展开图中，相对的面之间不相邻．，说明a是4的平方根．据此解答． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“a”与面“a”相对，面“1”与面“4”相对，b与面“”相对． 因为相对两个面上所写的两个数乘积都相等， 所以， 解得：． 故答案为：． 18．进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一，一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：（）．例如：十进制数可以表示为，即；二进制数可以表示为，即．请将十进制数89转换为二进制数为______． 【答案】 【分析】本题考查了将十进制数转换为二进制数． 将十进制数转换为二进制数，采用除2取余法，即将十进制数连续除以2，记录每次的余数，直到商为0，然后将余数逆序排列，得到二进制表示． 【详解】解： 将余数从下往上排列，得到二进制数． 故答案为：． 19．若，则记，例如，于是．若，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出的值，进而可求出的值，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 20．观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是______． 【答案】 【分析】本题考查数字的规律探索，由题中可以看出，以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的，利用即可知的个位数字，即可得出结论．解题的关键是找到为底的幂的末位数字的循环规律． 【详解】解：∵以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的， 又∵， ∴的个位数字是， ∴的末位数字是：， 即的末位数字是． 故答案为：． 21．（1）画出数轴并表示下列各数： 0，，，，， （2）上述各数中，绝对值相同的两数分别为 ． （3）上述各数中，按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】（1）见解析 （2）和 （3） 【分析】本题主要考查数轴上数的特点，理解数轴上的数与有理数一一对应，并掌握数轴上的数从左到右，数字从小到大排列是解题的关键． （1）先化简，再根据有理数在数轴上的表示方法求解即可； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）根据数轴上的数从左到右，数字从小到大，即可求解． 【详解】解：（1），，，， 把各数在数轴上表示出来如下： （2）由（1）中数轴得：表示数和的点到原点的距离相等， ∴和的绝对值相等， 故答案为：和 （3）按从小到大的顺序用“”连接起来为． 22．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且求的值． 【答案】 【分析】本题考查相反数、倒数、非负数的性质及代入求值．已知a，b互为相反数，则；c，d互为倒数，则；由可得，，将各值代入原式即可求解． 【详解】解：a，b互为相反数， ； c，d互为倒数， ； ， 且， 解得，， ． 23．爸爸有一张“苏超”决赛门票，子豪和子萱都想去听，一时间不知道让谁去，于是爸爸想出了一个主意：爸爸任意写出一道有理数混合运算题，若这道题的计算结果为正数，则子豪去；若计算结果为负数，则紫萱去；若计算结果为，则爸爸重新出一道运算题。爸爸出的题为：，请你计算并说明，爸爸还需要重新出一道题吗？若不需要，请判断最终谁去看比赛？ 【答案】爸爸不需要再重新出一道题，让紫萱去 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，正确计算是解题的关键．根据有理数的混合运算法则计算结果，再决定最终谁去听音乐会． 【详解】解： ， ∵， ∴爸爸不需要再重新出一道题，让子萱去． 24．（1）填空：①______；______； ②______；______； （2）猜一猜：当为正整数时，______； （3）试一试：求的结果 【答案】（1）①225，225②，（2）（3） 【分析】本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）由（1）中结果，进行猜想即可； （3）利用（2）中结论进行计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； （2）由（1）可知：， 故猜想：当为正整数时，； （3）． 25．已知两数互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了与有理数相关的概念及运算，涉及相反数、倒数、绝对值与含乘方的有理数的混合运算，掌握相关概念及运算法则是解题的关键．由互为相反数，得；由互为倒数，得；由的绝对值是，得；再分两种情况代入代数式中计算即可． 【详解】解：互为相反数， ， 互为倒数， ， 的绝对值是， ． 当时，原式； 当时，原式． 综上，的值为或． 26．已知， (1)___________，___________； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算和绝对值的意义， （1）根据绝对值的意义，即可求解． （2）根据，结合（1）的结论，得出，或，，进而根据有理数的乘方进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；． （2）由（1）知：，， ， ． ，或， 当，时， 当，时，． 的值为 27．观察下列算式： ①； ②； ③； ④； ⑤； … (1)根据以上规律写出第⑧条算式：________________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2)55 (3) 【分析】本题主要考查数字规律及有理数的乘方运算，解题的关键是得出数字的一般规律及有理数的乘方运算； （1）根据题干所给算式可进行求解； （2）由（1）及题意可得规律，然后代入进行求解即可； （3）根据规律可进行求解 【详解】（1）解：由题意得：第⑧条算式为； 故答案为； （2）解：根据（1）中规律得： 原式 ； （3）解：由题意得： 28．（1）计算：①______；______； ②______；______． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导：______ （3）猜想：当n为正整数时，______． （4）利用上述结论，求：①；② 【答案】（1）①，；②225，225；（2）；（3）；（4）①；② ； 【分析】本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，掌握乘方的意义是解题的关键． （1）①根据乘方的意义直接计算即可； ②根据乘方的意义直接计算即可； （2）根据乘方的意义直接计算即可； （3）根据以上的规律猜想，并利用乘方的意义求解即可； （4）②逆用（3）中得到的结论计算即可；②变形后逆用（3）中得到的结论计算即可． 【详解】（1）①；； ②；； 故答案为：36；36；225；225； （2） ， 故答案为：； （3）当n为正整数时，， 故答案为：； （4）① ； ② ． 29．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释． 【观察思考】我们知道；那么的结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题： （1）______ （2）______ 【拓展应用】 （3）求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，图形规律的探索，得出规律并运用规律解决实际问题是解本题的关键． （1）由前四个图可以直接推出． （2）由（1）分析可知， ，计算时即可； （3）将式子变形为，利用规律计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； 故答案为：； （2）由（1）可知，， ∴， ， ， , ； （3）， ， ， ． 30．观察下列三行数： ，4，，16，，64，…① ，…② ，…③ (1)第①②③行中的第7个数分别为__________，__________，__________； (2)分别取第①②③行中的第10个数，计算这三个数的和； (3)分别取第①②③行中的第n个数，依次记为a，b，c，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2562 (3)2 【分析】（1）第①行中，，，，，由此判断第n个数为，计算时的值即可； 第②行中，，，，，由此判断第n个数为，计算时的值即可； 第③行中，，，，，由此判断第n个数为，计算时的值即可； （2）根据探索的结论，分别取第①②③行中的值，再求和即可； （3）根据探索的结论，解答即可． 本题考查了有理数的规律探索，有理数的运算，求代数式的值，熟练掌握规律的探索，运算是解题的关键． 【详解】（1）解：第①行中，，，，， 故第n个数为， 当时，； 第②行中，，，，， 故第n个数为， 当时，； 第③行中，，，，， 故第n个数为， 当时，； 故答案为：． （2）解：当时， ；，， 故三个数的和为：． （3）解：根据题意，得，，， 故 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $