10.3整式的加法和减法（讲义，5大知识点&5大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本讲义聚焦整式的加减运算核心知识点，系统梳理去括号法则、合并同类项的基本原理，构建从基础去括号、多层括号化简到整式和差关系及实际应用的学习支架，形成完整知识脉络。 资料通过分层设计（知识点+拓展+题型）和“随学随练”，结合“整式处理器”等实际问题培养模型意识，以“无关型问题”提升推理能力，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，发展运算能力与创新意识。

第十章 整式的加减 10.3 整式的加法和减法 课标要点 1. 掌握去括号的法则，能正确进行去括号运算。 2. 理解整式加减运算的实质，能熟练进行整式的加减运算。 3. 掌握含有多层括号的整式化简方法，能先化简再求值。 4. 能根据题意列出整式加减算式，解决相关数学问题。 5. 能利用整式加减运算解决“已知和/差求另一个整式”的问题。 学习重难点 重点： 1. 去括号法则； 2. 整式加减的运算步骤（去括号，合并同类项）。 难点： 1. 括号前带有系数的去括号运算； 2. 多层括号的化简； 3. 列式表示整式间的和差关系。 知识点 整式的加减运算法则 ◆1、整式加减法则： 几个整式相加减，有括号的按照去括号的方法去括号，再合并同类项，就得到这几个整式相加减的运算结果。 即：整式加减的实质是 去括号 → 合并同类项。 我们知道小学学习的去括号的方法适用于一次式的运算。同样的方法也适用于整式的运算。 ◆2、去括号法则： 括号前是 “+” 号，把括号和它前面的 “+” 号去掉，括号里各项的符号不变； 括号前是 “-” 号，把括号和它前面的 “-” 号去掉，括号里各项的符号都改变（即”+“变”-“，”-“变”+“）。 ◆3、 括号前有系数的去括号： 先用乘法分配律将系数乘入括号内的每一项，再去括号； 或先将系数与括号内每一项相乘，再合并同类项。 易错提醒 括号前是”−“号时，每一项都要变号，不能只变第一项； 括号前有系数时，系数要与括号内每一项都相乘，不能漏乘； 去括号时，括号内的项数不变。 教材延伸 如：（每一项都变号） （系数与每一项相乘） 随学随练 1.（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 2.（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算：． 知识点 多层括号的化简 ◆1、一层层去括号： 按照去括号的方法，先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由内向外）。也可以先去大括号再去小括号（由外向内），但由内向外更不易出错。 随学随练易错提醒 去括号时，若括号前有系数，要先用分配律将系数乘入括号内各项； 去完一层括号后，若有同类项，可先合并再继续去下一层括号，以减少计算量。 1.（2025七年级上·上海·专题练习）化简与求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 2.（25-26七年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：，其中，． 知识点 用字母表示整式参与运算 ◆1、求两个（或多个）整式的和： 用加号将各整式连接，有括号的保留括号，再去括号、合并同类项。 ◆2、求两个整式的差：用减号将两个整式连接，注意被减数和减数的位置，去括号时减号后面的括号内各项要变号。 ◆3、已知和（或差）求另一个整式： 和 − 已知加数 = 另一个加数；被减数 − 差 = 减数。 随学随练教材延伸 如：求 与 的和： 1.（25-26七年级上·上海·期中）已知整式A、B、C满足，其中，，求整式B． 2.（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）已知，． (1)求． (2)如果，求． 知识点 整式加减的应用 ◆1、用整式表示实际问题中的数量关系，再进行加减运算。关键步骤： 审题：明确已知量和未知量； 设字母：用字母表示相关量； 列整式：根据数量关系列出整式； 化简：去括号、合并同类项。 易错提醒 列式时，每个整式要加括号，特别是减号后面的整式； 注意单位的统一； 最后结果要化简到最简形式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海奉贤·期末）【方法】有一种整式处理器，能将二次三项式处理成一次式，处理方法是：将二次三项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次式的一次项系数，将二次三项式的常数项作为一次式的常数项．例如：经过处理器得到． 【应用】若关于的二次三项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若，则 ； （2）若，经过处理器得到结果，求的值． 【延伸】 （3）已知是关于的二次三项式，若是经过处理器得到的一次式，且关于的方程的解为正整数，求整数的值． 知识点 含字母的绝对值化简 ◆1、判断正负：根据字母的取值范围或条件，判断绝对值内整式的正负； 去绝对值： 若 ，则 ； 若 ，则 。 化简：去括号、合并同类项 易错提醒 绝对值化简的核心是判断绝对值内整体的正负，不能只看单个字母； 当绝对值内是多项式时，若为负，每一项都要变号； 若题目未给出字母范围，需根据条件先确定范围。 教材延伸 如：当 时，。 当 时，。 随学随练 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）有理数，，在数轴上的位置如图所示，完成下列问题： (1)_____0；_____0．（填“”，“”，“”） (2)化简： (3)求的值． 2.有理数，在数轴上表示的点如图所示． (1)比较：______0，______（填“”“”或“”）； (2)化简：． 拓展 整式加减运算中“项数”的变化 两个整式相加或相减，结果的次数与原来整式的次数有什么关系？ ◆1、两个同次整式相加，结果的次数不超过原来的次数（可能因最高次项系数互为相反数而抵消）； ◆2、两个不同次整式相加，结果的次数等于次数较高的那个整式的次数； ◆3、整式相减可看作加上一个整式的相反数，规律同上。 易错提醒 结果的次数是合并后最高次项的次数，不是合并前； 若两个同次整式的最高次项系数互为相反数，合并后该次项消失，次数会降低。 活学活用 1．（25-26七年级上·上海·期中）如果P、Q都是关于x的整式，且是一个九次式，是一个五次式，那么（   ） A．的次数一定是9 B．的次数一定是5 C．的次数一定是4 D．的次数无法确定 2.（25-26七年级上·上海闵行·期末）如果A和B都是三次整式，那么是（    ）． A．三次整式 B．六次整式 C．次数不高于三的整式 D．以上答案都不对 拓展 利用整式加减解决“求某个整式”的问题 ◆1、此类问题的本质是整式的加减逆运算： 已知 A + B = C，求 B，则 B = C − A； 已知 A − B = C，求 B，则 B = A − C； 已知 A − 2B = 3C，求 B，则 2B = A − 3C，B = (A − 3C)÷2。 易错提醒 列式时，被减的整式要加括号，否则去括号时容易出错； 当系数不为1时（如2B、3C），要注意将系数除过去； 结果为整式时，系数通常写为最简分数形式。 活学活用 1.（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若减去一个整式的差是，则这个整式是_____． 2. （25-26七年级上·上海·期中）已知整式A、B、C满足，其中，，求整式B． 拓展 整式加减中的整体代入求值 当待求的整式比较复杂，或某些条件不易直接代入时，可先化简整式，再寻找条件与化简结果之间的关系，利用整体代入简化计算。 易错提醒 整体代入时，要整体代换，不能拆开只代一部分； 若整体是一个多项式，代入时要加括号； 化简过程中，注意相同整体可以合并同类项。 活学活用 1.（25-26七年级上·上海虹口·期中）小杰准备完成题目：已知整式，求．但他发现、、、中有一部分印刷不清． (1)他把猜成3，且、、，求； (2)小红说：“你猜的不对，我看到的题目里是一个正整数，且的结果是常数．”若已知、，试确定和的值，使得为常数，并求出这个常数． 2.（24-25七年级上·上海·阶段检测）如图，正方形的边长为a，长方形的长和宽分别为b和c，且，请用代数式表示阴影部分三角形的面积______． 拓展 “无关”与“不含”问题 先化简整式（去括号、合并同类项），若结果与某个字母无关，则含该字母的项合并后系数为0；若结果不含某一项，则该项合并后的系数为0。 易错提醒 “与某个字母无关”意味着该字母的所有项合并后系数都为0，不是某一项的系数为0； “不含某项”是指该项合并后的系数为0； 注意区分“与x无关”和“不含x项”：前者是所有含x的项系数都为0，后者只是某一特定项系数为0。 活学活用 1.（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，整式，且的结果中不含x的一次项，求k的值． 2.（25-26七年级上·上海奉贤·期中）如果多项式与的差中不含项，则a的值为______． 拓展含字母的绝对值化简 化简含字母的绝对值时，关键是根据条件判断绝对值内整体的正负，再按绝对值定义去绝对值符号。 易错提醒 当绝对值内是多项式且整体为负时，每一项都要变号，容易遗漏； 若绝对值嵌套，需由内向外逐层化简。 活学活用 1.有理数，在数轴上表示的点如图所示． (1)比较：______0，______（填“”“”或“”）； (2)化简：． 题型 整式的加减运算 ▌例1 （25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 解题贴士 整式加减运算两步法：方法：先去括号（注意符号变化），再合并同类项。 1. 去括号：括号前是”+“不变号，是”−“全变号； 2. 合并同类项：将同类项的系数相加，字母和指数不变。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； ▌对点练1-2 （25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算： 题型 整式加减的应用 ▌例2 （24-25六年级上·上海·阶段检测）将两个非零有理数a、b记作数对，若数对满足，则称数对为“哪吒数对”． (1)若是“哪吒数对”，求t的值； (2)苗苗同学很爱思考，她发现了一种快速判断“哪吒数对”的方法，例如、、均是“哪吒数对”．你能破解苗苗同学快速判断的奥秘吗？ (3)若是“哪吒数对”，试说明与的差是定值，并求出该定值． 解题方法 用整式表示实际问题中的数量关系，再进行加减运算。列式时注意将每个整式加括号。 解题贴士 整式加减应用题三步法： 1. 审题列式：根据题意列出算式； 2. 去括号：注意符号变化； 3. 合并化简：得最简结果，写答句。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·上海金山·期中）若整式减去另一个整式的差等于，那么这个整式是_____． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·上海浦东新·期中）如果多项式A、B的次数都是五次，那么的次数（    ） A．低于五次 B．等于五次 C．不低于五次 D．不高于五次 ▌对点练2-3 （24-25七年级上·上海徐汇·期末）将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则____．（用含有的代数式表示） 题型 整式的加减中的化简求值 ▌例3（25-26七年级上·上海·期末）化简并求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 解题方法 方法：先去括号、合并同类项化简，再代入字母的值计算。 解题贴士 多层括号化简三部曲： 1. 由内向外：先小括号，再中括号，最后大括号； 2. 边去边合：去完一层括号后，可先合并同类项； 3. 符号细心：括号前是”−“时，各项全变号。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·上海崇明·期中）化简后求值：，其中． 题型 整式加减中的无关型问题 ▌例4 （25-26七年级上·上海·期中）已知关于的整式的值与的大小无关，求整式的值． 解题方法 方法：先化简整式，若结果与某个字母无关，则含该字母的项合并后系数为0；若结果不含某一项，则该项系数为0，列方程求参数。 解题贴士 无关型问题解题三步法： 1. 化简：去括号、合并同类项； 2. 定条件：与某字母无关 → 含该字母的项系数为0； 3. 列方程：令对应系数为0，求参数。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）若整式的值与字母x的取值无关，则________，________． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·上海·阶段检测）当_____时，关于、的整式中不含项． 题型 带有字母的绝对值化简问题 ▌例5如图，根据数轴上表示的三个数的位置，化简：______． 解题方法：根据字母的取值范围或条件，判断绝对值内整式的正负，再按绝对值定义去绝对值符号，最后化简。 解题贴士 含字母的绝对值化简三步法： 1. 判正负：根据条件判断绝对值内整体的正负； 2. 去绝对值：正数直接去，负数取相反数（加括号）； 3. 化简：去括号、合并同类项。 易错提醒 绝对值内是多项式且为负时，每一项都要变号，要加括号整体处理； 若绝对值前有系数，系数要与去绝对值后的整体相乘； 遇到多个绝对值时，要逐段判断（可在数轴上分段讨论）。 ▌对点练5-1 有理数，在数轴上表示的点如图所示． (1)比较：______0，______（填“”“”或“”）； (2)化简：． ▌对点练5-2 有理数在数轴上对应点如图，化简代数式______． ▌对点练5-3有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 基础通关 1．（25-26七年级上·上海·期末）已知，，，求． 2．（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）若（     ）的化简结果是一个二次三项式，则括号内的单项式是________． 3．（25-26七年级上·上海·阶段检测）多项式与多项式______的和等于． 4．（25-26七年级上·上海金山·期中）如果整式M与整式的和为，那么整式______． 5．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列说法中正确的个数有（   ） ①是次单项式；②整式是四次五项式；③任何数的零次幂都等于；④两个五次整式的和是一个不大于次的整式或整式． A．个 B．个 C．个 D．个 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 7．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 8．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如果A是一个七次整式，B也是一个七次整式，那么一定是（    ） A．十四次整式 B．七次整式 C．不高于七次的整式 D．六次整式 9．（25-26七年级上·上海虹口·期中）计算：． 10．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 11．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会（4）班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有人，第二组比第一组的一半多6人，求第三组的人数（用含m，n的式子表示）． 12．（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）先化简，再求值：，其中， 素养提升 13．（25-26六年级上·上海·阶段检测）先化简再求值：，其中，． 14．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，求代数式的值． 15．（25-26七年级上·上海·期中）小吴做一道题：已知两个整式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求正确的答案． 16．（25-26七年级上·上海·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 17．（2025七年级上·上海·专题练习）（整体思想）已知，，求的值． 18．（25-26七年级上·上海·期中）已知，． (1)关于，的式子不存在字母的一次项和二次项，求式子的值； (2)当且时，若恒成立，求、的值． 迁移创新 19．（25-26七年级上·上海松江·阶段检测）如图1，正方形是由长为a，宽为b的4个完全相同的小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系． (1)由图1得到的等量关系为________． (2)根据上述关系，已知，，求的值． (3)如图2，用5个长为a，宽为b的长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内；大长方形中未被覆盖的两个部分，左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的数量关系． 20．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知：，，的值与字母取值无关，求的值． 21．（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）小诸同学从A地出发，在一条道路上东西往返，每次行走的路程（向东为正），四次行走路程记录如下：、、、，单位，且，求他一共走了多少？四次行走以后的终点在起点哪个方向多少处？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 整式的加减 10.3 整式的加法和减法 课标要点 1. 掌握去括号的法则，能正确进行去括号运算。 2. 理解整式加减运算的实质，能熟练进行整式的加减运算。 3. 掌握含有多层括号的整式化简方法，能先化简再求值。 4. 能根据题意列出整式加减算式，解决相关数学问题。 5. 能利用整式加减运算解决“已知和/差求另一个整式”的问题。 学习重难点 重点： 1. 去括号法则； 2. 整式加减的运算步骤（去括号，合并同类项）。 难点： 1. 括号前带有系数的去括号运算； 2. 多层括号的化简； 3. 列式表示整式间的和差关系。 知识点 整式的加减运算法则 ◆1、整式加减法则： 几个整式相加减，有括号的按照去括号的方法去括号，再合并同类项，就得到这几个整式相加减的运算结果。 即：整式加减的实质是 去括号 → 合并同类项。 我们知道小学学习的去括号的方法适用于一次式的运算。同样的方法也适用于整式的运算。 ◆2、去括号法则： 括号前是 “+” 号，把括号和它前面的 “+” 号去掉，括号里各项的符号不变； 括号前是 “-” 号，把括号和它前面的 “-” 号去掉，括号里各项的符号都改变（即”+“变”-“，”-“变”+“）。 ◆3、 括号前有系数的去括号： 先用乘法分配律将系数乘入括号内的每一项，再去括号； 或先将系数与括号内每一项相乘，再合并同类项。 易错提醒 括号前是”−“号时，每一项都要变号，不能只变第一项； 括号前有系数时，系数要与括号内每一项都相乘，不能漏乘； 去括号时，括号内的项数不变。 教材延伸 如：（每一项都变号） （系数与每一项相乘） 随学随练 1.（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【详解】解：原式 ． 2.（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的加减运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与多项式乘法法则是解题的关键． 先用完全平方公式，多项式乘以多项式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： 知识点 多层括号的化简 ◆1、一层层去括号： 按照去括号的方法，先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由内向外）。也可以先去大括号再去小括号（由外向内），但由内向外更不易出错。 随学随练易错提醒 去括号时，若括号前有系数，要先用分配律将系数乘入括号内各项； 去完一层括号后，若有同类项，可先合并再继续去下一层括号，以减少计算量。 1.（2025七年级上·上海·专题练习）化简与求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【知识点】整式的加减运算、合并同类项、去括号、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式化简求值，准确利用去括号法则化简是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先进行去括号、合并同类项化简，再代入求值即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ， 把，代入上式， 原式 ． 2.（25-26七年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，首先根据去括号法则、合并同类项法则把整式化简，再把字母的值代入化简后的代数式计算求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 知识点 用字母表示整式参与运算 ◆1、求两个（或多个）整式的和： 用加号将各整式连接，有括号的保留括号，再去括号、合并同类项。 ◆2、求两个整式的差：用减号将两个整式连接，注意被减数和减数的位置，去括号时减号后面的括号内各项要变号。 ◆3、已知和（或差）求另一个整式： 和 − 已知加数 = 另一个加数；被减数 − 差 = 减数。 随学随练教材延伸 如：求 与 的和： 1.（25-26七年级上·上海·期中）已知整式A、B、C满足，其中，，求整式B． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则． 由，得到，再去括号，合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 2.（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）已知，． (1)求． (2)如果，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将，代入中，去括号，合并同类项即可． （2）将，代入中，化简即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，，， ∴ ． 知识点 整式加减的应用 ◆1、用整式表示实际问题中的数量关系，再进行加减运算。关键步骤： 审题：明确已知量和未知量； 设字母：用字母表示相关量； 列整式：根据数量关系列出整式； 化简：去括号、合并同类项。 易错提醒 列式时，每个整式要加括号，特别是减号后面的整式； 注意单位的统一； 最后结果要化简到最简形式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海奉贤·期末）【方法】有一种整式处理器，能将二次三项式处理成一次式，处理方法是：将二次三项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次式的一次项系数，将二次三项式的常数项作为一次式的常数项．例如：经过处理器得到． 【应用】若关于的二次三项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若，则 ； （2）若，经过处理器得到结果，求的值． 【延伸】 （3）已知是关于的二次三项式，若是经过处理器得到的一次式，且关于的方程的解为正整数，求整数的值． 【答案】（1） （2） （3）整数的值为或 【知识点】整式的加减运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、多项式的项、项数或次数 【分析】（1）根据题意进行计算即可求解； （2）由，根据运算法则列方程即可求解； （3）根据题意得，又，得出，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴二次三项式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5， ∴一次式的一次项系数=二次项系数+一次项系数，常数项为5， ∴； （2）∵ ， ∴， 又， ∴， 解得：； （3）∵且是经过处理器得到的一次式， ∴， 又， ∴， 整理得， ∵是关于的二次三项式， ∴，即， 又， ∴， 又方程的解为， ∵是正整数，且是整数， ∴， 解得， 又，， ∴或5． 知识点 含字母的绝对值化简 ◆1、判断正负：根据字母的取值范围或条件，判断绝对值内整式的正负； 去绝对值： 若 ，则 ； 若 ，则 。 化简：去括号、合并同类项 易错提醒 绝对值化简的核心是判断绝对值内整体的正负，不能只看单个字母； 当绝对值内是多项式时，若为负，每一项都要变号； 若题目未给出字母范围，需根据条件先确定范围。 教材延伸 如：当 时，。 当 时，。 随学随练 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）有理数，，在数轴上的位置如图所示，完成下列问题： (1)_____0；_____0．（填“”，“”，“”） (2)化简： (3)求的值． 【答案】(1)； (2)0 (3)0 【知识点】整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据数轴判断即可； （2）根据正负性去绝对值进行化简即可； （3）判断有理数的正负进行化简即可； 【详解】（1）解：由数轴可得：， 故，； （2）解：∵，，， ∴ ； （3）解：， ， ∴ ． 2.有理数，在数轴上表示的点如图所示． (1)比较：______0，______（填“”“”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的除法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】（1）利用点在数轴上的位置，可得，，从而可得答案； （2）先判断，，再化简绝对值，合并同类项即可． 本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，绝对值的化简，有理数加减运算的符号确定，去括号，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由图知： ，， ，． 故答案为：， （2）解：由图知：，，， ，， ． 拓展 整式加减运算中“项数”的变化 两个整式相加或相减，结果的次数与原来整式的次数有什么关系？ ◆1、两个同次整式相加，结果的次数不超过原来的次数（可能因最高次项系数互为相反数而抵消）； ◆2、两个不同次整式相加，结果的次数等于次数较高的那个整式的次数； ◆3、整式相减可看作加上一个整式的相反数，规律同上。 易错提醒 结果的次数是合并后最高次项的次数，不是合并前； 若两个同次整式的最高次项系数互为相反数，合并后该次项消失，次数会降低。 活学活用 1．（25-26七年级上·上海·期中）如果P、Q都是关于x的整式，且是一个九次式，是一个五次式，那么（   ） A．的次数一定是9 B．的次数一定是5 C．的次数一定是4 D．的次数无法确定 【答案】B 【知识点】整式的加减运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查整式的乘法，整式的加减运算，根据是一个九次式，是一个五次式，得到一个是五次式，一个是四次式，进而得到的次数一定是5，即可． 【详解】解：∵是一个九次式，是一个五次式， ∴一个是五次式，一个是四次式， ∴的次数一定是5； 故选B． 2.（25-26七年级上·上海闵行·期末）如果A和B都是三次整式，那么是（    ）． A．三次整式 B．六次整式 C．次数不高于三的整式 D．以上答案都不对 【答案】C 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加法，两个三次整式相加，最高次项可能抵消，因此和式的次数不高于三，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ A和B都是三次整式， ∴中，三次项系数可能相互抵消，例如， 则此时的结果次数低于三； 若未抵消，例如 则此时的结果次数为三， 那么是次数不高于三的整式， 故选：C． 拓展 利用整式加减解决“求某个整式”的问题 ◆1、此类问题的本质是整式的加减逆运算： 已知 A + B = C，求 B，则 B = C − A； 已知 A − B = C，求 B，则 B = A − C； 已知 A − 2B = 3C，求 B，则 2B = A − 3C，B = (A − 3C)÷2。 易错提醒 列式时，被减的整式要加括号，否则去括号时容易出错； 当系数不为1时（如2B、3C），要注意将系数除过去； 结果为整式时，系数通常写为最简分数形式。 活学活用 1.（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若减去一个整式的差是，则这个整式是_____． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的减法，根据减法规则，减数等于被减数减去差，因此所求整式为，再通过整式加减运算求解即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：这个整式 ， 故答案为：． 2. （25-26七年级上·上海·期中）已知整式A、B、C满足，其中，，求整式B． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则． 由，得到，再去括号，合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 拓展 整式加减中的整体代入求值 当待求的整式比较复杂，或某些条件不易直接代入时，可先化简整式，再寻找条件与化简结果之间的关系，利用整体代入简化计算。 易错提醒 整体代入时，要整体代换，不能拆开只代一部分； 若整体是一个多项式，代入时要加括号； 化简过程中，注意相同整体可以合并同类项。 活学活用 1.（25-26七年级上·上海虹口·期中）小杰准备完成题目：已知整式，求．但他发现、、、中有一部分印刷不清． (1)他把猜成3，且、、，求； (2)小红说：“你猜的不对，我看到的题目里是一个正整数，且的结果是常数．”若已知、，试确定和的值，使得为常数，并求出这个常数． 【答案】(1) (2)，， 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用整式的加减运算法则进行计算即可； （2）根据整式的加减运算法则进行计算，再根据差为常数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴ ； （2）由题意，，， ∴ ； ∵为正整数，且为常数， ∴，； ∴，， ∴； 综上：，，． 2.（24-25七年级上·上海·阶段检测）如图，正方形的边长为a，长方形的长和宽分别为b和c，且，请用代数式表示阴影部分三角形的面积______． 【答案】 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式以及整式的加减运算，根据阴影部分三角形的面积，分别求出面积可得得出答案． 【详解】解：阴影部分三角形的面积 ， 故答案为：． 拓展 “无关”与“不含”问题 先化简整式（去括号、合并同类项），若结果与某个字母无关，则含该字母的项合并后系数为0；若结果不含某一项，则该项合并后的系数为0。 易错提醒 “与某个字母无关”意味着该字母的所有项合并后系数都为0，不是某一项的系数为0； “不含某项”是指该项合并后的系数为0； 注意区分“与x无关”和“不含x项”：前者是所有含x的项系数都为0，后者只是某一特定项系数为0。 活学活用 1.（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，整式，且的结果中不含x的一次项，求k的值． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，利用整式的加减计算法则求出的结果，再根据的结果中不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0列式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的结果中不含x的一次项， ∴， ∴． 2.（25-26七年级上·上海奉贤·期中）如果多项式与的差中不含项，则a的值为______． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，计算出两个多项式的差，令所得结果中项的系数为零，解方程得到的值即可得到答案． 【详解】解： ． ∵多项式与的差中不含项， ∴， 解得． 故答案为：． 拓展含字母的绝对值化简 化简含字母的绝对值时，关键是根据条件判断绝对值内整体的正负，再按绝对值定义去绝对值符号。 易错提醒 当绝对值内是多项式且整体为负时，每一项都要变号，容易遗漏； 若绝对值嵌套，需由内向外逐层化简。 活学活用 1.有理数，在数轴上表示的点如图所示． (1)比较：______0，______（填“”“”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的除法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】（1）利用点在数轴上的位置，可得，，从而可得答案； （2）先判断，，再化简绝对值，合并同类项即可． 本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，绝对值的化简，有理数加减运算的符号确定，去括号，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由图知： ，， ，． 故答案为：， （2）解：由图知：，，， ，， ． 题型 整式的加减运算 ▌例1 （25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 解题贴士 整式加减运算两步法：方法：先去括号（注意符号变化），再合并同类项。 1. 去括号：括号前是”+“不变号，是”−“全变号； 2. 合并同类项：将同类项的系数相加，字母和指数不变。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 题型 整式加减的应用 ▌例2 （24-25六年级上·上海·阶段检测）将两个非零有理数a、b记作数对，若数对满足，则称数对为“哪吒数对”． (1)若是“哪吒数对”，求t的值； (2)苗苗同学很爱思考，她发现了一种快速判断“哪吒数对”的方法，例如、、均是“哪吒数对”．你能破解苗苗同学快速判断的奥秘吗？ (3)若是“哪吒数对”，试说明与的差是定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)当两个非零有理数满足时，数对就是“哪吒数对” (3) 【知识点】整式的加减运算、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了整式的加减及解一元一次方程，解决本题的关键是熟练掌握整式的加减及解一元一次方程的步骤． （1）由是“哪吒数对”，可得再解方程即可； （2）由，可得，即，再回答即可； （3）由是“哪吒数对”，可得出，即．再化简与并作差，再求解即可． 【详解】（1）解：因为是“哪吒数对”， 所以将t代入可得 ， 即， 解得； （2）解：， 等式两边同时乘以18得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 即． 所以当两个非零有理数满足时，数对就是“哪吒数对”； （3）解：因为是“哪吒数对”， 所以， 即， 所以． ， ， 作差得： 把代入上式得：． 所以差是定值． 解题方法 用整式表示实际问题中的数量关系，再进行加减运算。列式时注意将每个整式加括号。 解题贴士 整式加减应用题三步法： 1. 审题列式：根据题意列出算式； 2. 去括号：注意符号变化； 3. 合并化简：得最简结果，写答句。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·上海金山·期中）若整式减去另一个整式的差等于，那么这个整式是_____． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，关键是熟练应用知识点进行计算； 设所求整式为，根据题意列出方程，通过移项和合并同类项求解. 【详解】解：设所求整式为， 由题意得： ， ， ， ， . 故答案为：. ▌对点练2-2 （25-26七年级上·上海浦东新·期中）如果多项式A、B的次数都是五次，那么的次数（    ） A．低于五次 B．等于五次 C．不低于五次 D．不高于五次 【答案】D 【知识点】整式的加减运算、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查多项式加法的次数判断，关键是理解最高次项可能因系数相反而相消． 两个五次多项式相加，最高次项可能相消，因此和多项式的次数不高于五次． 【详解】多项式、的次数都是五次， 的次数不高于五次． 故选． ▌对点练2-3 （24-25七年级上·上海徐汇·期末）将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则____．（用含有的代数式表示） 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意．先设最中间的代数式为P，然后根据题意，即可用含的代数式表示出P，利用九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等，利用整式加减即可求解． 【详解】解：设最中间的代数式为p， 由题意可得，， ， 第一列中间的代数式为：， 第一列的三个数之和第三行的三个数之和， ， 化简，得：， 故答案为：． 题型 整式的加减中的化简求值 ▌例3（25-26七年级上·上海·期末）化简并求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)，65 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减运算以及代数求值，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先去括号，再合并同类项，然后代数计算即可； （2）先去括号，再合并同类项，然后代数计算即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴原式； （2）解： ， ∵， ∴原式． 解题方法 方法：先去括号、合并同类项化简，再代入字母的值计算。 解题贴士 多层括号化简三部曲： 1. 由内向外：先小括号，再中括号，最后大括号； 2. 边去边合：去完一层括号后，可先合并同类项； 3. 符号细心：括号前是”−“时，各项全变号。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． 先去括号，再合并同类项计算，将代入化简后的整式计算即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·上海崇明·期中）化简后求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，首先去括号、合并同类项，把整式化简，可得：原式，再把，代入化简后的代数式求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 题型 整式加减中的无关型问题 ▌例4 （25-26七年级上·上海·期中）已知关于的整式的值与的大小无关，求整式的值． 【答案】8 【知识点】整式加减中的无关型问题、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式加减的无关性问题，平方差公式，整式的值与无关，则的系数为，由此求出，再利用平方差公式化简所求整式并代入计算． 【详解】解： ， ∵整式的值与的大小无关， ∴ ∴ ∴ ． 解题方法 方法：先化简整式，若结果与某个字母无关，则含该字母的项合并后系数为0；若结果不含某一项，则该项系数为0，列方程求参数。 解题贴士 无关型问题解题三步法： 1. 化简：去括号、合并同类项； 2. 定条件：与某字母无关 → 含该字母的项系数为0； 3. 列方程：令对应系数为0，求参数。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）若整式的值与字母x的取值无关，则________，________． 【答案】 1 【知识点】整式的加减运算、去括号、已知同类项求指数中字母或代数式的值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的化简及与字母取值无关的条件，先对代数式进行化简，合并同类项，根据代数式的值与x的取值无关得出含x项的系数为0，求出a、b的值即可． 【详解】解：∵ ， 且代数式的值与字母x的取值无关， ∴，， ∴，． 故答案为：，1． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·上海·阶段检测）当_____时，关于、的整式中不含项． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了解一元一次方程，整式加减中的无关型问题，先整理原式等于，再结合“不含项”，得，再解得，即可作答． 【详解】解： ∵整式中不含项， ∴含项的系数必须为0，即． ∴ 解得． 故答案为：． 题型 带有字母的绝对值化简问题 ▌例5如图，根据数轴上表示的三个数的位置，化简：______． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了数轴与绝对值，由数轴可得，进而得，，再根据绝对值的性质化简即可求解，由数轴确定出和的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， ∴原式， 故答案为：． 解题方法 方法：根据字母的取值范围或条件，判断绝对值内整式的正负，再按绝对值定义去绝对值符号，最后化简。 解题贴士 含字母的绝对值化简三步法： 1. 判正负：根据条件判断绝对值内整体的正负； 2. 去绝对值：正数直接去，负数取相反数（加括号）； 3. 化简：去括号、合并同类项。 易错提醒 绝对值内是多项式且为负时，每一项都要变号，要加括号整体处理； 若绝对值前有系数，系数要与去绝对值后的整体相乘； 遇到多个绝对值时，要逐段判断（可在数轴上分段讨论）。 ▌对点练5-1 有理数，在数轴上表示的点如图所示． (1)比较：______0，______（填“”“”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的除法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】（1）利用点在数轴上的位置，可得，，从而可得答案； （2）先判断，，再化简绝对值，合并同类项即可． 本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，绝对值的化简，有理数加减运算的符号确定，去括号，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由图知： ，， ，． 故答案为：， （2）解：由图知：，，， ，， ． ▌对点练5-2 有理数在数轴上对应点如图，化简代数式______． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了有理数与数轴，绝对值的性质，由数轴可得，，进而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可求解，通过数轴判断出绝对值符号里面的式子的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． ▌对点练5-3有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 【答案】(1)<，<，<，> (2) 【知识点】合并同类项、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了数轴上数的大小关系，绝对值的性质及化简计算． （1）当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此逐项判断即可； （2）根据绝对值的含义和求法，化简即可． 【详解】（1）解：根据有理数a，b，c在数轴上的位置，可得： ，，，． 故答案为：<，<，<，>． （2）解：∵从数轴可知：，，，， ∴原式 ． 基础通关 1．（25-26七年级上·上海·期末）已知，，，求． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，掌握好整式加减运算的法则是关键． 根据整式的加减运算的法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 2．（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）若（     ）的化简结果是一个二次三项式，则括号内的单项式是________． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】此题考查了合并同类项，整式的加减运算不含某项的问题，为了使化简结果为二次三项式，必须消除原表达式中的三次项，因此括号内应添加单项式． 【详解】解：∵（     ）的化简结果是一个二次三项式， ∴化简后的最高次为2次， ∴要消掉， ∴括号内的单项式是． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海·阶段检测）多项式与多项式______的和等于． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；因此此题可根据和减去一个加数等于另一个加数，列出算式计算即可． 【详解】解：所求多项式为； 故答案为． 4．（25-26七年级上·上海金山·期中）如果整式M与整式的和为，那么整式______． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据整式的加减运算，整式等于和减去已知整式，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵整式M与整式的和为， ∴ ， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列说法中正确的个数有（   ） ①是次单项式；②整式是四次五项式；③任何数的零次幂都等于；④两个五次整式的和是一个不大于次的整式或整式． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】单项式的判断、整式的加减运算、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查单项式的次数、多项式的次数与项数、零指数幂以及整式的加法，关键是熟练应用知识点解题；根据定义逐项判断正误即可. 【详解】解：对于①： ∵ ，是常数，单项式的次数为0， ∴ 不是2次单项式，说法错误； 对于②： ∵ 整式 可化简为 ，最高次项 的次数为3，项数为4， ∴ 不是四次五项式，说法错误； 对于③： ∵ 零指数幂规定中， 无意义， ∴ 不是任何数的零次幂都等于1，说法错误； 对于④： ∵ 两个五次整式相加，最高次项系数可能互为相反数而抵消， ∴ 它们的和的次数不大于5次或为整式， ∴ 说法正确； 综上，只有④正确， 故答案选：A. 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的加减运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的乘法运算，需要运用完全平方公式和多项式乘法的知识进行计算． 先根据完全平方公式和平方差公式展开，再进行合并同类项即可； 【详解】解：原式 ． 7．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、合并同类项、去括号 【分析】本题考查整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是关键；先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 8．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如果A是一个七次整式，B也是一个七次整式，那么一定是（    ） A．十四次整式 B．七次整式 C．不高于七次的整式 D．六次整式 【答案】C 【知识点】整式的加减运算、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查整式的加减，两个七次整式相加，最高次项可能因系数互为相反数而抵消，因此和的次数不高于七次． 【详解】解：∵ A和B都是七次整式， ∴ A和B的最高次项次数均为7， 当A和B相加时，最高次项可能抵消，导致次数降低；若未抵消，则次数仍为7， ∴的次数不高于7， 即是不高于七次的整式． 故选：C． 9．（25-26七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，去括号，合并同类项进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 10．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于正确掌握整式的混合运算法则．根据整式混合运算步骤计算求解，即可解题． 【详解】解：原式              ． 11．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会（4）班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有人，第二组比第一组的一半多6人，求第三组的人数（用含m，n的式子表示）． 【答案】人 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．先求得第二组的人数，进而求得第三组的人数即可． 【详解】解：第二组的人数为： 第三组的人数为： 答：第三组的人数为人． 12．（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）先化简，再求值：，其中， 【答案】； 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式运算的相关运算法则进行化简并能准确求值是解题的关键． 先去括号，再合并同类项，然后代入已知数值即可求解． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 素养提升 13．（25-26六年级上·上海·阶段检测）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，整式的加减中的化简求值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先去括号，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解：原式 当，时， 原式 ． 14．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，求代数式的值． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先由非负数的性质求出x、y的值，再根据知识的加减计算法则把所求式子去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 15．（25-26七年级上·上海·期中）小吴做一道题：已知两个整式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求正确的答案． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式化简求值，准确理解题意是解题的关键． 先根据求出，代入计算即可． 【详解】，， ， ， ． 16．（25-26七年级上·上海·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【知识点】合并同类项、去括号、整式的加减中的化简求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了整式化简求值．解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． 【详解】解：∵ ， ∴当时， 原式． 17．（2025七年级上·上海·专题练习）（整体思想）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练计算是解题的关键 先化简原式，再将所给式子整体代入即可． 【详解】解： ， ， ， 将，代入得， 原式． 18．（25-26七年级上·上海·期中）已知，． (1)关于，的式子不存在字母的一次项和二次项，求式子的值； (2)当且时，若恒成立，求、的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）首先化简，然后根据其取值与字母x的取值无关列出m、n的方程，求出m、n的值，再代入求值即可； （2）首先根据恒成立列出m、n的方程，求出m、n的值即可. 【详解】（1）解： ∵关于，的式子不存在字母的一次项和二次项 ∴或， ∴，， ∴将，代入得 原式 ， （2）∵ 若恒成立 ∴ ∵ 且 ∴， ∴ ， 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题关键. 迁移创新 19．（25-26七年级上·上海松江·阶段检测）如图1，正方形是由长为a，宽为b的4个完全相同的小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系． (1)由图1得到的等量关系为________． (2)根据上述关系，已知，，求的值． (3)如图2，用5个长为a，宽为b的长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内；大长方形中未被覆盖的两个部分，左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值、多项式乘多项式与图形面积、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，以及完全平方公式的特点． （1）利用正方形面积的两种不同表示方式即可得出结论； （2）根据（1）的结论求出，再根据 ，进而利用整体代入法计算求解． （3）根据已知求得两部分的面积，根据题意作差，进而求得，关系式． 【详解】（1）解：由图可知：大正方形边长为，面积为：， 又因为正方形是由长为a，宽为b的4个完全相同的小长方形拼摆而成的，中间正方形面积为：， ∴ 故答案为：； （2）解：由（1）得：， ∵，， ∴， ∴ ； （3）解：设， ，， ， 当时，不变， 即． 20．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知：，，的值与字母取值无关，求的值． 【答案】11 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的无关项问题，先根据整式的混合运算计算出的值，再根据无关项计算出的值，代入计算即可求解． 【详解】解： ， ∵的值与字母取值无关， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）小诸同学从A地出发，在一条道路上东西往返，每次行走的路程（向东为正），四次行走路程记录如下：、、、，单位，且，求他一共走了多少？四次行走以后的终点在起点哪个方向多少处？ 【答案】；西边，且距离为 【知识点】正负数的实际应用、整式加减的应用、绝对值的几何意义、有理数加减混合运算的应用 【分析】根据正负数的应用，绝对值，有理数的加减运算解答即可． 本题考查了正负数的应用，绝对值，有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴，， ∴一共走了 ； 根据题意，得 ， 又， 故四次行走以后的终点在起点的西边，且距离为处． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $