专题01 一元二次方程根与系数的关系（题型专练）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根的判别式、解法、根与系数关系及综合应用，构建“概念-方法-应用”递进体系，通过典例变式培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根的判别式|1典例+3变式|Δ=b²-4ac的符号判断根的三种情况|从定义到符号应用，建立根的存在性判断基础| |方程解法|1典例+3变式|直接开平方法、配方法、公式法步骤|从基础解法到复杂方程转化，强化运算能力| |根与系数关系|1典例+4变式|韦达定理及（x₁-x₂）²等代数式变形|结合判别式前提，实现根的关系代数表达| |综合应用|1典例+3变式|判别式与韦达定理联合解题|整合前序知识，培养综合推理与问题解决能力|

专题01一元二次方程根与系数的关系 （题型突破·举一反三） 题型01 一元二次方程的根的判别式 题型02 一元二次方程的解法 题型03 一元二次方程的根与系数的关系 题型04 根和系数与判别式的综合应用 ▌题型01 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根. 【典例1】关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 【答案】C 【解析】∵， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．故选：C． 【变式1】关于x的一元二次方程，根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解析】一元二次方程中的， 则这个方程根的判别式为， 所以这个方程有两个不相等的实数根，故选：A． 【变式2】在正比例函数中，的值随值的增大而减小，则关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【解析】∵正比例函数中，的值随值的增大而减小， ∴，∵关于的一元二次方程为， ∴， ∴一元二次方程为有两个不相等的实数根．故选． 【变式3】（25-26高一上·上海·随堂练习）若关于x的一元二次方程中m为实数，则（    ）． A．没有实根 B．有两相等实根 C．有两不相等实根 D．可能有实根 【答案】C 【解析】 ， 故方程有两不相等实根故选：C． ▌题型02 一元二次方程的解法 1.应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤 （1）化为x2＝p（p≥0）的形式； （2）直接开平方； （3）解两个一元一次方程，写出方程的两个根； （4）总结写成解集的形式. 2.利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），先把二次项系数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解（若另一边为负数，则此方程无实数根）. 3.利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集. 【典例2】求下列方程的解集． (1)； (2)； (3)； 【解】（1）由方程，即， 解得或，即方程的解集为. （2）由方程，即 解得或，即方程的解集为. （3）由方程，即，解得或（舍去），即， 所以方程的解集为 【变式1】求下列方程的解集． (1) (2) 【解】（1）因为，所以原方程可以化为， 从而可知或，即或，因此所求解集为． （2）设，则， 故原方程可变为， 因此可知或（舍）． 从而，即， 所以原方程的解集为． 【变式2】解方程： (1)； (2)． 【解】（1），得； （2），得或. 【变式3】求下列方程的解集： （1）2x2＋5x＝3； （2）2x4－7x2＋3＝0； （3）＋－1＝0； （4）x2－4｜x｜－12＝0； （5）x2－2ax＋a2－4＝0. 【解】（1）法一（配方法）　2x2＋5x＝3，则2＝3＋2×＝，即＝，解得x1＝－＋＝，x2＝－－＝－3. ∴方程2x2＋5x＝3的解集是. 法二（公式法）　原方程可化为2x2＋5x－3＝0. ∵a＝2，b＝5，c＝－3，Δ＝b2－4ac＝25＋24＝49， ∴x＝＝，∴x1＝－3，x2＝. ∴方程2x2＋5x＝3的解集是. （2）2x4－7x2＋3＝0可化为（x2－3）（2x2－1）＝0， 解得x2＝3或x2＝，故x＝、－、、－， 方程2x4－7x2＋3＝0的解集为{，－，，－}. （3）＋－1＝0可化为2＋x－x2＝0（x≠0）， 即（x－2）（x＋1）＝0，解得x＝2或x＝－1， 方程＋－1＝0的解集为{－1，2}. （4）因为x2－4｜x｜－12＝0⇔｜x｜2－4｜x｜－12＝0⇔（｜x｜－6）（｜x｜＋2）＝0， 解得｜x｜＝6或｜x｜＝－2（舍去）， 由｜x｜＝6，解得x＝6或x＝－6， 所以原方程的解集为{－6，6}. （5）原方程因式分解为（x－a＋2）（x－a－2）＝0. 所以解集为{a－2，a＋2}. ▌题型03 一元二次方程根与系数的关系 1.在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用. 2.在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值.常见变形还有： （1）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2； （2）｜x1－x2｜＝＝. 【典例3】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知方程的两个实根为，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．1 【答案】B 【解析】因为方程的两个实根为， 则，， 所以， 整理得到，解得或， 又由，得到，所以，故选：B. 【变式1】（25-26高一上·浙江台州·开学考试）关于的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（    ） A．0 B．12 C．0或12 D．12或40 【答案】B 【解析】由题意可知，可得， 由韦达定理可得，因为，则， 原方程为，所以，， 故，故选：B. 【变式2】（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【解析】已知一元二次方程的两个根分别为， 由根与系数的关系，可得，故选：B. 【变式3】（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）设，若有两个不相等的根，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于的方程有两个不相等的实数根， ，解得:，则.故选：C. 【变式4】已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为，是方程的两个根，显然， 则，，所以.故选：D ▌题型04 根和系数与判别式的综合问题 【典例4】（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【解】（1）解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即，解得， 故实数k的取值范围为； （2）∵方程的两个实数根分别为， ∴ ∵， ∴， ∴，解得． 【变式1】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； (2)若是原方程的两根，且，求的值． 【解】（1）证明：因为：， 因为无论取何值，， 所以无论取何值，原方程总有两个实数根. （2）因为是原方程的两根， 所以由韦达定理得：，， 因为， 所以， 所以， 化简得，解得：或. 所以或. 【变式2】（25-26高一上·江苏镇江·开学考试）已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值. (1)有一根为； (2)有两个互为相反数的实根； (3)两根互为倒数. 【解】（1）依题意原方程有实数根， 所以解得； 将代入方程得； （2）两根之和为，即，显然满足； （3）因为两根互为倒数， 所以两根之积为，即，而，所以. 【变式3】（25-26高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知关于x的方程有两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求实数m的值． 【解】（1）解：当时，方程，可得， 所以，则； （2）解：因为方程， 由，解得， 且，， 又由， 可得，解得或（舍去）， 所以实数m的值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元二次方程根与系数的关系 （题型突破·举一反三） 题型01 一元二次方程的根的判别式 题型02 一元二次方程的解法 题型03 一元二次方程的根与系数的关系 题型04 根和系数与判别式的综合应用 ▌题型01 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根. 【典例1】关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 【变式1】关于x的一元二次方程，根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】在正比例函数中，的值随值的增大而减小，则关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式3】（25-26高一上·上海·随堂练习）若关于x的一元二次方程中m为实数，则（    ）． A．没有实根 B．有两相等实根 C．有两不相等实根 D．可能有实根 ▌题型02 一元二次方程的解法 1.应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤 （1）化为x2＝p（p≥0）的形式； （2）直接开平方； （3）解两个一元一次方程，写出方程的两个根； （4）总结写成解集的形式. 2.利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），先把二次项系数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解（若另一边为负数，则此方程无实数根）. 3.利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集. 【典例2】求下列方程的解集 (1)； (2)； (3)； 【变式1】求下列方程的解集． (1) (2) 【变式2】解方程： (1)； (2)． 【变式3】求下列方程的解集： （1）2x2＋5x＝3； （2）2x4－7x2＋3＝0； （3）＋－1＝0； （4）x2－4｜x｜－12＝0； （5）x2－2ax＋a2－4＝0. ▌题型03 一元二次方程根与系数的关系 1.在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用. 2.在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值.常见变形还有： （1）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2； （2）｜x1－x2｜＝＝. 【典例3】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知方程的两个实根为，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．1 【变式1】（25-26高一上·浙江台州·开学考试）关于的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（    ） A．0 B．12 C．0或12 D．12或40 【变式2】（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．5 【变式3】（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）设，若有两个不相等的根，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2 C． D． ▌题型04 根和系数与判别式的综合问题 【典例4】（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【变式1】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； (2)若是原方程的两根，且，求的值． 【变式2】（25-26高一上·江苏镇江·开学考试）已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值. (1)有一根为； (2)有两个互为相反数的实根； (3)两根互为倒数. 【变式3】（25-26高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知关于x的方程有两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求实数m的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $