专题04 一元二次方程的实根分布（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实根分布，按零点分布、整数根与不等式、绝对值复合型三级递进，通过典型例题构建从基础到综合的解题逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实根零点分布|3题型（含4-12题）|根与0/常数比较（重点）、有限区间内（难点）|从根的符号判定到区间定位，结合函数图像与判别式，构建“定性-定量”分析框架| |整数根与不等式|2题型（含13-17题）|整数根求参数（高频）、限定整数解个数（重点）|以方程整数根为桥梁，连接参数讨论与不等式解集，发展运算能力与数据意识| |绝对值复合型|1题型（含18-19题）|含绝对值零点分布（难点）|通过分类讨论去绝对值，转化为常规实根问题，提升数学建模与逻辑推理能力|

专题04 一元二次方程的实根分布 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程实根的零点分布 题型1 根与 0 比较（重点） 题型2 根与常数比较（高频） 题型3 根落在有限区间内（难点） 考点二 整数根与不等式整数解 题型4方程有整数根求参数（高频） 题型5 二次不等式限定整数解个数（重点） 考点三 绝对值复合型实根分布 题型6 含、的零点分布问题（难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程实根的零点分布 ◆题型1 根与0比较 1．（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，借助韦达定理列出不等式求解即得. 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 2．（2025秋•七星关区校级月考）若，且，，则的值为（　　） A． B．1 C．4 D．3 【答案】 【分析】推导出，是一元二次方程的两个根，由韦达定理得，，由此能求出． 【详解】解：，且，， ，是一元二次方程的两个根， ，， ． 故选：． 3．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 4．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 【答案】 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． ◆题型2 根与常数k比较 5．（25-26•渭南月考）已知关于的方程的两个实数根一个比3大，一个比3小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】设关于的方程对应的函数，根据二次函数的零点即可求解． 【详解】解：因为关于的方程的两个实数根一个比3大，一个比3小， 设函数，则函数有两个零点，且一个比3大，一个比3小； 所以（3），即， 解得． 故选：． 6．（25-26•天心区校级期中）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】 【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可． 【详解】解：方程的两根都大于2，即函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 可得，即， 解得． 故选：． 7．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 8．（25-26高一上·安徽亳州·开学考试）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围： (1)方程的两根都大于0； (2)方程的一根大于3，另一根小于3． 【答案】 【分析】根据开口向上以及两根与3的大小关系即可确定实数的取值范围. 【详解】若一元二次方程的一根大于3，另一根小于3， 则，即， 实数的取值范围是． ◆题型3 根落在有限区间内 9．（25-26•东湖区校级期中）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（　　） A． B．， C．，， D．， 【答案】 【分析】根据题意构造函数，利用函数与方程的关系列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：因为一元二次方程的两根都在内， 可设，则， 解得， 所以实数的取值范围是，． 故选：． 10．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 11．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； 【答案】(1) 【分析】（1）借助二次函数图像得到求解即可； 【详解】（1）令，由题意可知： 的图象与轴有两个交点，且交点位于之间，包括端点， 所以即 解得：， 即实数的取值范围是 12．已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 考点二 整数根与不等式整数解 ◆题型4 方程有整数根求参数 13．（25-26•邵阳校级月考）已知两个关于的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为________ ． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程的概念、一元二次方程由实数根，求得，根据两方程的根是整数，则其根的和与积也为整数列式，由此求得的值． 【详解】解：由题意可得，． 又两方程都要有实根， 所以，解得． 因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数， 所以，所以为4的约数．又，所以或1． 当时，第一个方程的根为非整数； 而当时，两方程的根均为整数，所以两方程的根都是整数的充要条件是． 故答案为：． 14．（2027年高考数学一轮复习讲练测）已知关于x的方程，若方程有两个整数根，求整数m的值． 【答案】或 【分析】因式分解求解二次方程，再判断根为整数的情况即可． 【详解】方程有两个整数根，则且为整数，化简有， 解得，则为整数， 所以或. ◆题型5 二次不等式限定整数解个数 15．（25-26高二下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 17．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的不等式的解集为M，是否存在整数m，使得解集M中恰有3个整数？若存在，求出所有满足条件的整数m的值，若不存在，请说明理由. 【答案】存在，m的值为或3 【分析】根据一元二次不等式有解的情况，由判别式和求根公式求出不等式的解集，根据仅有三个整数解的情况，列出不等式，求出符合条件的整数解. 【详解】由，解得或， 令，解得， 即的解集为， 若存在整数m，使解集M中恰有3个整数，则这三个整数解为， 可得，即，解得或， 又或，则满足条件的整数m的值为或3. 考点三 绝对值复合型实根分布 ◆题型6 含、的零点分布问题 18．（25-26高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令（），原方程转化为，根据一元二次不等式有两个不等的实根求解即可. 【详解】令（），原方程转化为． 关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根， 因此有。解得． 故选：D． 19.（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数（）． 若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】. 【分析】将问题转化为存在，使得方程有两个不同正根，再利用判别式及韦达定理列式求解. 【详解】关于的方程有四个不等实根， 即方程有两个不同正根，则， 由，得，且存在，不等式成立， 而是关于的一次函数，因此， 即，又，解得， 所以实数的取值范围是. 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1．（高一上·广东深圳·期中）已知关于的方程，则下列说法错误的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】A 【详解】对于A中，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B中，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 2．（25-26•玄武区校级期中）“”是“一元二次方程有两个根，，其中”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】结合二次方程根的分布求出的范围，然后判断充分必要性即可求解． 【详解】解：若一元二次方程有两个根，，其中”， 则，解得， 故“”是“一元二次方程有两个根，，其中”的必要不充分条件． 故选：． 3．（25-26•江苏校级期中）关于的方程有两个不相等的实数根，，若，则实数的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可． 【详解】解：当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 故或． 故选：． 4．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）下列命题正确的是（   ） A．在上恒成立，则实数的取值范围是 B．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】对于A：令，则即可求得的范围；对于B：根据题意求出和的关系，化简即可求出解集；对于C：令，则即可求得的范围；对于D，求出集合中只有一个元素时参数的值，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：在上恒成立，令， 则，即，解得，即实数的取值范围是，故A正确； 对于B：关于的不等式的解集是，， 则关于的不等式等价于，即，即，解得或， 所以关于的不等式的解集是，故B正确； 对于C：要使关于的方程的一根比大且另一根比小， 令，则，即， 解得，所以的取值范围为，故C错误； 对于D：若集合中只有一个元素， 当时，符合题意； 当时，则，解得； 综上可得或， 所以由“集合中只有一个元素”推不出“”，故充分性不成立； 由“”推得出“集合中只有一个元素”，故必要性成立； 所以“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 5．(多选）（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的是（   ）. A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【分析】A举反例，根据必要条件的定义判断；B分、讨论；C将问题转化为一元二次方程有一正一负根，根据判断；D判断集合的子集个数. 【详解】若，则，但， 故不是的一个必要条件，故A错误； 当时，，符合题意； 若，则当集合中只有一个元素时，，得， 综上，或，故B错误； 若一元二次方程有一正一负根， 则一元二次方程有一正一负根， 其充要条件是，即，故C正确； 因为，所以， 因为集合的子集个数有个，故集合的个数为4，故D正确. 故选：CD 二、填空题 6．（25-26高三下·北京·强基计划）已知关于的方程的四个实根均为正数，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】关于的方程的四有正实根，两边同除以，等价变形为，然后利用分离变量法转化成值域问题即可解决. 【详解】由题意知：， 关于的方程有正实根，， 等价变形为，（1） 设，则，（1）可变形为：有根， 分离变量得：， 原方程有四个正根，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等， 所以， 7．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，是关于x的方程的实数根，则的最大值为______，若两个实数根都在内，则实数a的取值范围是______． 【答案】 1 【分析】对①，由方程根的情况求范围，由韦达定理化简求最值；对②由函数图象特征列式求解. 【详解】因为是关于的方程的实数根， 所以，解得，且， 所以， 即的最大值为； 若两个实数根都在内，因为函数的对称轴为， 所以函数与轴在有两个交点，且， 由，解得， 所以实数的取值范围是. 故①：；②. 8．（25-26•招远市校级月考）已知，为方程的两个不等实根，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用韦达定理消元转化为二次函数计算值域即可． 【详解】解：由题意可知△，，，即， 而， 由二次函数的性质知在上单调递减， 所以． 故选：． 三、解答题 9．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)若，，求的取值范围； (2)记方程的两个根为、，且、， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由已知条件得出、的取值范围，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （2）（i）由韦达定理得出，可得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （ii）计算得出，结合不等式的基本性质、重要不等式可得出的取值范围. 【详解】（1）因为函数，，， 即，即，且， 设，其中、， 所以，解得，即， 由不等式的性质可得，所以， 故，即的取值范围是. （2）（i）方程的两个根为、，且、， 由韦达定理可得， ， 设，则原方程的根对应新方程关于的根， 原方程为，代入得， 即，由韦达定理，， 而，故求的范围即求的范围， 设二次函数的两根， 则有，我们要求的是的范围， 由上述不等式组可得的取值范围为， 故的取值范围是， （ii）， 因为、，则，， 因为，，所以，则，故， 故； 由重要不等式可得， 故，即的取值范围是. 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）陈述句甲：若关于的不等式的解集为；陈述句乙：若关于的方程有两个不相等的负实根； (1)写出当甲为真命题时，实数的取值集合； (2)写出当乙为真命题时，实数的取值集合； (3)若甲、乙至多有一个真命题时，求实数的取值集合； 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）利用一元二次型不等式恒成立求出集合. （2）利用一元二次方程实根分布列式求出集合. （3）求出，进而求出其补集得集合. 【详解】（1）由关于的不等式的解集为，得，恒成立， 当时，成立，则；当时，，解得， 所以实数的取值集合. （2）由关于的方程有两个不相等的负实根，得， 即，解得， 所以数的取值集合. （3）当甲、乙都是真命题时，， 因此当甲、乙至多有一个真命题时，或， 所以实数的取值集合或. 12．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助二次函数图像得到求解即可； （2）借助的图象与轴交点横坐标一个小于1，另一个大于1且小于2，得到求解即可. 【详解】（1）令，由题意可知： 的图象与轴有两个交点，且交点位于之间，包括端点， 所以即 解得：， 即实数的取值范围是 （2）由得： 令，由题意可得： 的图象与轴交点横坐标一个小于1，另一个大于1且小于2， 所以即，解得， 即实数的取值范围是. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次方程的实根分布 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程实根的零点分布 题型1 根与 0 比较（重点） 题型2 根与常数比较（高频） 题型3 根落在有限区间内（难点） 考点二 整数根与不等式整数解 题型4方程有整数根求参数（高频） 题型5 二次不等式限定整数解个数（重点） 考点三 绝对值复合型实根分布 题型6 含、的零点分布问题（难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程实根的零点分布 ◆题型1 根与0比较 1．（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025秋•七星关区校级月考）若，且，，则的值为（　　） A． B．1 C．4 D．3 3．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 4．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． ◆题型2 根与常数k比较 5．（25-26•渭南月考）已知关于的方程的两个实数根一个比3大，一个比3小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26•天心区校级期中）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 7．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 8．（25-26高一上·安徽亳州·开学考试）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围： (1)方程的两根都大于0； (2)方程的一根大于3，另一根小于3． ◆题型3 根落在有限区间内 9．（25-26•东湖区校级期中）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（　　） A． B．， C．，， D．， 10．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 11．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； 12．已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 考点二 整数根与不等式整数解 ◆题型4 方程有整数根求参数 13．（25-26•邵阳校级月考）已知两个关于的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为________ ． 14．（2027年高考数学一轮复习讲练测）已知关于x的方程，若方程有两个整数根，求整数m的值． ◆题型5 二次不等式限定整数解个数 15．（25-26高二下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 17．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的不等式的解集为M，是否存在整数m，使得解集M中恰有3个整数？若存在，求出所有满足条件的整数m的值，若不存在，请说明理由. 考点三 绝对值复合型实根分布 ◆题型6 含、的零点分布问题 18．（25-26高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 19.（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数（）． 若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1．（高一上·广东深圳·期中）已知关于的方程，则下列说法错误的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 2．（25-26•玄武区校级期中）“”是“一元二次方程有两个根，，其中”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26•江苏校级期中）关于的方程有两个不相等的实数根，，若，则实数的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D．或 4．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）下列命题正确的是（   ） A．在上恒成立，则实数的取值范围是 B．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 5．（多选）（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的是（   ）. A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 二、填空题 6．（25-26高三下·北京·强基计划）已知关于的方程的四个实根均为正数，则的取值范围为________． 7．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，是关于x的方程的实数根，则的最大值为______，若两个实数根都在内，则实数a的取值范围是______． 8．（25-26•招远市校级月考）已知，为方程的两个不等实根，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 三、解答题 9．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)若，，求的取值范围； (2)记方程的两个根为、，且、， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）陈述句甲：若关于的不等式的解集为；陈述句乙：若关于的方程有两个不相等的负实根； (1)写出当甲为真命题时，实数的取值集合； (2)写出当乙为真命题时，实数的取值集合； (3)若甲、乙至多有一个真命题时，求实数的取值集合； 12．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网（北京）股份有限公司 专题04 一元二次方程的实根分布 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程实根的零点分布 ◆题型1 根与0比较 1．B 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 2． 【详解】解：，且，， ，是一元二次方程的两个根， ，， ． 故选：． 3． 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 4． 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． ◆题型2 根与常数k比较 5． 【详解】解：因为关于的方程的两个实数根一个比3大，一个比3小， 设函数，则函数有两个零点，且一个比3大，一个比3小； 所以（3），即， 解得． 故选：． 6． 【详解】解：方程的两根都大于2，即函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 可得，即， 解得． 故选：． 7． 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 8． 【详解】若一元二次方程的一根大于3，另一根小于3， 则，即， 实数的取值范围是． ◆题型3 根落在有限区间内 9． 【详解】解：因为一元二次方程的两根都在内， 可设，则， 解得， 所以实数的取值范围是，． 故选：． 10． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 11． 【详解】（1）令，由题意可知： 的图象与轴有两个交点，且交点位于之间，包括端点， 所以即 解得：， 即实数的取值范围是 12． 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 考点二 整数根与不等式整数解 ◆题型4 方程有整数根求参数 13．或 【详解】方程有两个整数根，则且为整数，化简有， 解得，则为整数， 所以或. 14．． 【详解】解：由题意可得，． 又两方程都要有实根， 所以，解得． 因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数， 所以，所以为4的约数．又，所以或1． 当时，第一个方程的根为非整数； 而当时，两方程的根均为整数，所以两方程的根都是整数的充要条件是． 故答案为：． ◆题型5 二次不等式限定整数解个数 15．A 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 16．A 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 17．存在，m的值为或3 【详解】由，解得或， 令，解得， 即的解集为， 若存在整数m，使解集M中恰有3个整数，则这三个整数解为， 可得，即，解得或， 又或，则满足条件的整数m的值为或3. 考点三 绝对值复合型实根分布 ◆题型6 含、的零点分布问题 18．D 【详解】令（），原方程转化为． 关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根， 因此有。解得． 故选：D． 19.. 【详解】关于的方程有四个不等实根， 即方程有两个不同正根，则， 由，得，且存在，不等式成立， 而是关于的一次函数，因此， 即，又，解得， 所以实数的取值范围是. 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1．A 2． 3． 4．ABD 5．CD 二、填空题 6． 7． 1 8． 三、解答题 9．【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 10．【详解】（1）因为函数，，， 即，即，且， 设，其中、， 所以，解得，即， 由不等式的性质可得，所以， 故，即的取值范围是. （2）（i）方程的两个根为、，且、， 由韦达定理可得， ， 设，则原方程的根对应新方程关于的根， 原方程为，代入得， 即，由韦达定理，， 而，故求的范围即求的范围， 设二次函数的两根， 则有，我们要求的是的范围， 由上述不等式组可得的取值范围为， 故的取值范围是， （ii）， 因为、，则，， 因为，，所以，则，故， 故； 由重要不等式可得， 故，即的取值范围是. 11．【详解】（1）由关于的不等式的解集为，得，恒成立， 当时，成立，则；当时，，解得， 所以实数的取值集合. （2）由关于的方程有两个不相等的负实根，得， 即，解得， 所以数的取值集合. （3）当甲、乙都是真命题时，， 因此当甲、乙至多有一个真命题时，或， 所以实数的取值集合或. 12．【详解】（1）令，由题意可知： 的图象与轴有两个交点，且交点位于之间，包括端点， 所以即 解得：， 即实数的取值范围是 （2）由得： 令，由题意可得： 的图象与轴交点横坐标一个小于1，另一个大于1且小于2， 所以即，解得， 即实数的取值范围是. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $