2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“二次函数与一元二次方程、不等式”同步练，采用A（巩固）、B（能力）、C（思维）三组必做+拓展选做的分层设计，从基础解法到综合应用，梯度清晰，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|解不含参/含参不等式、参数求解、恒成立、应用、根分布等|基础题型为主，如选择题直接考查解集，应用题结合成本计算，落实运算能力| |B组|综合不等式求解、含参问题、实际应用|多选题考查分类讨论，解答题需建模分析，培养推理意识| |C组|新定义（高斯函数）、开放题、数学建模|结合文化背景设计探究题，如高斯函数性质分析，发展创新意识| |拓展|高考真题|链接高考题型，如平移对称法应用，提升应试能力|

分层作业 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 参考答案 解不含参的一元二次不等式题型01 1．C 2．D 3．B 4.B 解含参的一元二次不等式题型02 5．D 6. D 7. ABD 由一元二次不等式的解求参数题型03 8．C 9.C 10.C 11. 一元二次不等式在实数集上恒成立题型04 12．C 13.C 一元二次不等式在某区间上恒成立题型05 14．B 15.A 16. A 一元二次不等式在某区间上有解题型06 17.D 18．C 19. 一元二次不等式的应用题型07 20. A 21. 22. 23.【答案】(1)140万元；(2)每本不低于30元且不高于45元 【详解】（1）当杂志以30元定价销售时， 销售该杂志所获利润为：万元. （2）设杂志的定价为每本元， 由题意，得，解得， 所以杂志的定价在每本不低于30元且不高于45元的范围内，可使得销售利润不低于140万元. 一元二次方程根的分布题型08 24. 25． 26. 27. 28. 解分式不等式和绝对值不等式题型09 29.B 30.C 31.B 32. ； 一元二次不等式的整数解问题题型10 33.B 34. 1． ABD 2．A 3．ACD 4．C 5．D 6． 7． 8. 9. 10.【答案】(1)；(2)或；(3)答案见解析 【详解】（1）由可得， 方程对应的两根为或； 所以不等式的解集为 （2）易知等价于或； 解得或， 因此该不等式的解集为或； （3）易知即为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为 11.【详解】（1）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （2）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （3）令， ①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 12.【答案】(1)第二年；(2)万元 【详解】（1）由题可知， 若开始盈利即，所以，解得， 因为，所以第二年开始盈利. （2）设年平均利润为，则 当且仅当，即时等号成立， 当时，最终获利万元． 13.【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围. ． 1． C 2．ACD 3． 【答案】(1)384；(2)存在， 【详解】（1）由题意知，B礼包共份，每份成本为元， 则， 整理得：，解得：， 因为，所以调整后的最大值是384. （2）假设存在实数满足要求， 由题意得：对恒成立．① 对恒成立．② 对于①，整理得：对恒成立， 所以且， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 所以； 对于②，整理得：对恒成立 所以且， 又因为，当时，，所以， 综上，，即存在满足条件，其取值集合为. 4. 【答案】(1)答案见解析；(2)能为有限集，当时 【详解】（1）当时，不等式的解集为； 当时，不等式可分解为， 解方程可得或； 当时，不等式的解集为， 当时，显然，不等式的解集为; 当时，可得，不等式的解集为； 当时，可得，不等式的解集为； 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）根据题意由（1）可知当时，集合为无限集， 当时，，此时集合为有限集； 若使得的集合中元素个数最少，即可知集合至少包含这四个元素即可； 所以可得，解得. 此时的集合. 1.A 2．C 3. A 4. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 解不含参的一元二次不等式 题型02 解含参的一元二次不等式 题型03 由一元二次不等式的解求参数 题型04 一元二次不等式在实数集上恒成立 题型05 一元二次不等式在某区间上恒成立 题型06 一元二次不等式在某区间上有解 题型07 一元二次不等式的应用 题型08 一元二次方程根的分布 题型09 解分式不等式和绝对值不等式 题型10 一元二次不等式整数解的问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 解不含参的一元二次不等式题型01 1．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】的解为或5， 故不等式的解集为或 2．（25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，所以不等式的解集为 3．（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】不等式，即，解得或. 因此不等式的解集是或. 4．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式，即的解集为. 结合充分不必要条件的概念及各项描述，不等式成立的一个充分不必要条件为. 解含参的一元二次不等式题型02 5．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 6．若，则关于的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，解得． 7．（多选）（25-26高一上·广东梅州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为，A正确. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为，B正确； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为，D正确. 故选：ABD. 由一元二次不等式的解求参数题型03 8．（25-26高一下·河北保定·开学考试）设一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】C 【详解】∵不等式的解集为， ∴，的两个根分别为， 由根与系数的关系，得，， ， ∴． 9．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和2是方程的两个根， 所以，，所以，. 所以. 故选：C. 10．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于x的不等式的解集为， 当时，即a＝2时，不等式即，显然不成立，满足条件； 当时，应满足且，解得． 综上知，实数a的取值范围是． 11．（25-26高一下·山东潍坊·期中）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】已知不等式 的解集为 ，说明二次项系数 ， 且 和 是一元二次方程 的两个实根， 所以，所以 ， 代入不等式 ，得0，因为， 所以，所以，所以, 不等式的解集为 一元二次不等式在实数集上恒成立题型04 12．（24-25高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 13．（2026高二下·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 一元二次不等式在某区间上恒成立题型05 14．（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 15．（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 16．（25-26高一上·广西桂林·期中）若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于任意的，不等式恒成立，即恒成立， 时，，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围为．     故选：A． 一元二次不等式在某区间上有解题型06 17．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 18．（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 19．（25-26高一上·安徽·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】当时，不等式为，恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 因为函数的图象的对称轴为，且图象过点， 故当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得； 综上，的取值范围是． 一元二次不等式的应用题型07 20．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 21．（25-26高一上·江西景德镇·期中）某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. 【答案】15 【详解】设销售价格提高元，其中， 则，解得， 故销售价格最高为元. 故答案为：15 22．（25-26高一上·北京·期中）某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元.设使用年后该设备的维修､保养费用为万元，盈利总额为万元，从第__________年开始，使用该设备开始盈利. 【详解】由题意得，， 令，得， 又，则，故从第年开始，使用该设备开始盈利. 故答案为： 23．（25-26高一上·上海·阶段检测）某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 【答案】(1)140万元；(2)每本不低于30元且不高于45元 【详解】（1）当杂志以30元定价销售时， 销售该杂志所获利润为：万元. （2）设杂志的定价为每本元， 由题意，得，解得， 所以杂志的定价在每本不低于30元且不高于45元的范围内，可使得销售利润不低于140万元. 一元二次方程根的分布题型08 24．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得 25．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【详解】因为方程有两个正实根 ， 所以 ，解得 ； 实数的取值范围为. 26．已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 27．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 28．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 解分式不等式和绝对值不等式题型09 29．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，整理得， 等价于且，解得， 综上得原不等式的解集为，故B正确. 30．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ，解得． 31．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】记为条件“”，其解集为， 记为条件“”，其解集为， 因为，所以成立，而不成立， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 32．不等式 的解集为______；不等式 的解集为______. 【答案】 ； 【详解】，解得. 对于 ， （方法一）当 时， ，得； 当时， ，得. 故 的解集为. （方法二），得. （方法三）显然，两边平方，得. 故填； 一元二次不等式的整数解问题题型10 33．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，， 因为，所以， 得， 由不等式（）解集中恰有2个整数， 得，得， 故实数取值范围是． 34．（24-25高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 1．（多选）关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，，其解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，，其解集为，故B可能. 故选：ABD 2．（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ，，得或， 所以的取值范围是. 故选：A 3．（多选）（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 4．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知函数，下列说法不正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】C 【详解】若，则， 故不等式的解集为，故A正确； ， 若，则，则不等式的解集为，故B正确； ， 若，则对恒成立； 若，由于对恒成立， 所以，得， 故整数k的取值集合为，故C错误； 若，则，有无数个整数解，不符合； 若，则图象开口朝下，有无数个整数解，不符合； 故，则不等式的解集为， 欲使解集中仅存在两个整数，则，得，故D正确. 5．（25-26高一下·安徽·开学考试）已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，则，即，解得， 可知，化简为，解得， 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 所以实数a的取值范围是. 6．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若不等式的解集是，求不等式的解集_____. 【答案】 【详解】由不等式的解集是， 可知和为方程的两根，则有，即. 所以即为，即， 则解集为. 7．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. 8．（25-26高一上·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 【答案】2 【详解】设每次倒出升溶液 第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以每次至少倒出升溶液； 9．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 10．（24-25高一上·湖南常德·阶段检测）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)解关于的不等式 【答案】(1)；(2)或；(3)答案见解析 【详解】（1）由可得， 方程对应的两根为或； 所以不等式的解集为 （2）易知等价于或； 解得或， 因此该不等式的解集为或； （3）易知即为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为 11．解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 【详解】（1）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （2）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （3）令， ①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 12．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． (1)该店从第几年开始盈利？ (2)若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利盈利总额设备卖出价格） 【答案】(1)第二年；(2)万元 【详解】（1）由题可知， 若开始盈利即，所以，解得， 因为，所以第二年开始盈利. （2）设年平均利润为，则 当且仅当，即时等号成立， 当时，最终获利万元． 13．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 1．【新文化题】30．（25-26高一上·四川眉山·期末）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．若，恒成立，则实数a的取值范围为 D．若不等式的解集为，则 【答案】C 【详解】令， 对于A：不等式变为，解得，但，所以n不存在，故原不等式解集为，所以A正确 对于B：由，即，所以满足的整数或或. 若，则；若，则；若，则. 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C：因为，所以或或或. 而恒成立，即对恒成立，不等式变形为， 当时，；当时，；当时，；当时，； 所以要对恒成立，得，故C不正确； 对于D：因为不等式的解集为，即时满足，时不满足. 当时，，即；当时，，即； 当时，，即；当时，，即. 综上所述，得，故D正确. 故选：C 2．【新定义问题】（多选）（25-26高一上·江西上饶·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【详解】满足不等式的整数为， 对应，对应，对应， 满足不等式的区间为，故A正确； 当时，的取值为，令，不等式对恒成立， 时：； 时：； 时：； 时：； 综上可得，，故B错误； ，解得， 是整数，故无满足条件的整数解， 解集为，故C正确； 不等式的解集为，则， 令，不等式化为， 当时，，，则， ， 当时，需满足，解得， 综上可得，故D正确 故选：ACD． 3．【数学建模】（25-26高一上·江苏扬州·期末）某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． (1)若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； (2)为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 【答案】(1)384；(2)存在， 【详解】（1）由题意知，B礼包共份，每份成本为元， 则， 整理得：，解得：， 因为，所以调整后的最大值是384. （2）假设存在实数满足要求， 由题意得：对恒成立．① 对恒成立．② 对于①，整理得：对恒成立， 所以且， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 所以； 对于②，整理得：对恒成立 所以且， 又因为，当时，，所以， 综上，，即存在满足条件，其取值集合为. 4．【开放题】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知关于的不等式，其中， (1)当变化时，试求不等式的解集； (2)对于不等式的解集，满足.试探究集合能否为有限集，若能，求出使得集合中元素个数最少时的取值范围，并用列举法表示此时的集合；若不能，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析；(2)能为有限集，当时 【详解】（1）当时，不等式的解集为； 当时，不等式可分解为， 解方程可得或； 当时，不等式的解集为， 当时，显然，不等式的解集为; 当时，可得，不等式的解集为； 当时，可得，不等式的解集为； 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）根据题意由（1）可知当时，集合为无限集， 当时，，此时集合为有限集； 若使得的集合中元素个数最少，即可知集合至少包含这四个元素即可； 所以可得，解得. 此时的集合. 1．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】方法一：依题意，作出函数与在上的图象. 按照平移对称法，当时，，线段中点纵坐标为， 则应将此时的线段沿方向向下平移，的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故排除B项； 当时，，线段中点纵坐标为，则应将此时的线段沿方向向下平移， 的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故可排除C，D两项，A项符合题意. 方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数和函数在上的函数值差值等分在轴上下两侧， 等分量为，故在上线性变化，结合选项知，只有选项A符合题意. 故选：A.    2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 3．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 4．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 解不含参的一元二次不等式 题型02 解含参的一元二次不等式 题型03 由一元二次不等式的解求参数 题型04 一元二次不等式在实数集上恒成立 题型05 一元二次不等式在某区间上恒成立 题型06 一元二次不等式在某区间上有解 题型07 一元二次不等式的应用 题型08 一元二次方程根的分布 题型09 解分式不等式和绝对值不等式 题型10 一元二次不等式整数解的问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 解不含参的一元二次不等式题型01 1．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 4．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 解含参的一元二次不等式题型02 5．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 6．若，则关于的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 7．（多选）（25-26高一上·广东梅州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 由一元二次不等式的解求参数题型03 8．（25-26高一下·河北保定·开学考试）设一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C．6 D．5 9．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 10．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·山东潍坊·期中）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 一元二次不等式在实数集上恒成立题型04 12．（24-25高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2026高二下·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 一元二次不等式在某区间上恒成立题型05 14．（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 16．（25-26高一上·广西桂林·期中）若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 一元二次不等式在某区间上有解题型06 17．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 18．（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·安徽·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________． 一元二次不等式的应用题型07 20．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·江西景德镇·期中）某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. 22．（25-26高一上·北京·期中）某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元.设使用年后该设备的维修､保养费用为万元，盈利总额为万元，从第__________年开始，使用该设备开始盈利. 23．（25-26高一上·上海·阶段检测）某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 一元二次方程根的分布题型08 24．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 25．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____． 26．已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 27．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 28．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 解分式不等式和绝对值不等式题型09 29．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 30．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 32．不等式 的解集为______；不等式 的解集为______. 一元二次不等式的整数解问题题型10 33．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 1．（多选）关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 4．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知函数，下列说法不正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 5．（25-26高一下·安徽·开学考试）已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若不等式的解集是，求不等式的解集_____. 7．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 8．（25-26高一上·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 9．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 10．（24-25高一上·湖南常德·阶段检测）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)解关于的不等式 11．解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 12．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． (1)该店从第几年开始盈利？ (2)若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利盈利总额设备卖出价格） 13．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 1．【新文化题】30．（25-26高一上·四川眉山·期末）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．若，恒成立，则实数a的取值范围为 D．若不等式的解集为，则 2．【新定义问题】（多选）（25-26高一上·江西上饶·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 3．【数学建模】（25-26高一上·江苏扬州·期末）某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． (1)若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； (2)为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 4．【开放题】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知关于的不等式，其中， (1)当变化时，试求不等式的解集； (2)对于不等式的解集，满足.试探究集合能否为有限集，若能，求出使得集合中元素个数最少时的取值范围，并用列举法表示此时的集合；若不能，请说明理由. 1．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $