答题模板02 函数的性质-奇偶性6题型（专项训练）数学苏教版2019必修第一册

答题模板02：函数的性质-奇偶性 题型01 函数奇偶性的判断 题型02 奇偶函数的图象问题 题型03 利用函数奇偶性求值、求参数值 题型04 利用奇偶性求函数的解析式 题型05 奇偶性、单调性关系的应用 题型06 奇偶性、单调性的综合应用 本节导航 题型01 函数奇偶性的判断 （2025高一上·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ）典例1 A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 四步 内容 理解 题意 条件: 是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数结论:判断抽象函数的奇偶性 思路 探求 利用奇偶性的定义来进行证明并判断 书写 表达 因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 则，所以为奇函数，故A错误； ，所以为偶函数，故B错误； ，则为非奇非偶函数，故C错误； ，故为偶函数，故D正确. 故选：D. 题后 反思 判断抽象函数的奇偶性的方法（公共定义域内）：相同相加减；乘除：同偶异奇；复合：一奇则奇，同偶则偶 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法:根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下: ①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称,则函数f(x)为非奇非偶函数,若对称,则进行下一步. ②验证.f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x). ③下结论.若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数; 若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数; 若f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),则f(x)为非奇非偶函数. (2)图象法:f(x)是奇(偶)函数的等价条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称. 25-26高一上·安徽合肥·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ）变式1 A． B． C． D． （25-26高一上·云南昭通·阶段练习）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（    ）变式2 A． B．为偶函数 C． D．在上是增函数 题型02 奇偶函数的图象问题 （25-26高一上·吉林白城·阶段练习）函数的大致图象为（   ）典例2 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 定义在区间[－5,5]上的函数图像如图；结论:求函数的单调区间 思路 探求 根据奇偶性，正负情况以及增长趋势判断. 书写 表达 函数的定义域为， ，该函数为奇函数，故A错误； 当时，，故D错误； 当时，，且， 当增大时，的值也越来越大，故C错误，故B正确. 故选：B. 题后 反思 通过函数定义域及奇偶性和函数值逐个判断， 正负情况以及增长趋势判断。 1. 巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在(0,+∞)(或(-∞,0))上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0)(或(0,+∞))上对应的函数图象. 2. 图象法求最值的步骤 （2025高一上·广东·专题练习）函数的图象大致为（　　）变式1 A． B． C． D． （24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（    ）变式2 A．  B．  C．  D．   （2025高一上·全国·专题练习，多选）已知函数与的图象如图所示，则（    ）变式3        A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 题型03利用函数奇偶性求值、求参数值 （25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ）典例3 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 已知是定义在上的奇函数，且当时， 结论:求 思路 探求 由奇函数性质可得，再利用计算即可得. 书写 表达 由是定义在上的奇函数，则，则， 则当时，，则. 故选：D. 题后 反思 求由奇偶性求函数值、函数奇偶性的应用 已知函数的某一个自变量值,求对应的函数值时,常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值. （25-26高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，.若，则（   ）变式1 A． B． C． D． （25-26高一上·福建泉州·阶段练习）已知是偶函数，则（    ）变式2 A． B． C． D．或 （2025·全国·模拟预测）已知为奇函数，则（    ）变式3 A．－4 B．2 C．4 D．6 （25-26高一上·天津·阶段练习）已知函数为上的偶函数．则实数a的值是 ．变式4 题型04利用奇偶性求函数的解析式 （四川省绵阳市2025-2026学年高三上学期第一次诊断性考试数学试题）设函数，其中，.典例4 (1)若函数为上的奇函数，求函数的解析式； (2)若，当时，，求实数的取值范围. 四步 内容 理解 题意 条件: 函数，其中，. 结论: (1)若函数为上的奇函数，求函数的解析式； (2)若，当时，，求实数的取值范围. 思路 探求 （1）根据奇函数的定义进行求解即可； （2）把不等式问题转化为两个函数大小问题，利用数形结合思想进行求解即可. 书写 表达 （1）因为函数为上的奇函数， 所以有，即， 又有， 该等式在时恒成立，因此有； （2）因为，所以， 由当时，由， 设函数， 问题转化为当时，， 两个函数在同一直角坐标系的图象如下图所示： 由数形结合思想可知： 两个函数的图象一定有交点， 射线与双曲线的交点横坐标为， 因此要想当时，，只需， 实数的取值范围为. 题后 反思 由奇偶性求函数解析式、函数不等式恒成立问题 利用奇偶性求函数解析式的思路 (1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内. (2)利用已知区间内的解析式代入,求未知区间内的解析式. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x). （25-26高一上·广西河池·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，当时，．变式1 (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． （25-26高一上·广东东莞·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且.变式2 (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求满足不等式的的取值范围. （24-25高一上·江苏南京·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为.变式3 (1)求的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 题型05奇偶性、单调性关系的应用 定义域为R的函数y=f(x)在[0,2]上是增函数,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( )典例5 A. B. C. D. 四步 内容 理解 题意 条件: 定义域为R的函数y=f(x)在[0,2]上是增函数,且函数f(x+2)是偶函数 结论: 比较大小 思路 探求 利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小 书写 表达 选B.因为函数f(x+2)是偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称, 所以，又f(x)在[0,2]上是增函数, 所以，即. 题后 反思 根据函数的奇偶性比较大小,根据奇偶性的对称性质，自变量距离对称轴的距离. 1. 比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上 (1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小; (2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小. 2. 利用函数的奇偶性比较大小时,根据奇偶性的对称性质,常需要比较自变量的绝对值的大小,即自变量距离原点的距离. 角度1 比较大小问题 变式1 设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 ( ) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) （25-26高一上·四川南充·阶段练习）已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（ ）典例6 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 定义在上的偶函数，对有 结论: 关于的不等式的解集 思路 探求 根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，确定函数的定义域，再由已知条件判断函数在定义域内的单调性，最后利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式. 书写 表达 是定义在上的偶函数， ∴根据偶函数的定义域关于原点对称，可得，解得， 的定义域为. 又对有， 在上单调递增，为偶函数，在上单调递减. 由，不等式可化为， 根据偶函数的性质，不等式可化为， 由以上推出的条件可得，解得. 故选：A. 题后 反思 根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 （25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（    ）变式1 A． B． C． D． （25-26高一上·全国·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是 变式2 （25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ）变式3 A． B． C． D． 题型06奇偶性、单调性的综合应用 （25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）函数为定义在上的奇函数， 已知当时，.典例7 (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (3)若，求a的取值范围． 四步 内容 理解 题意 条件: 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. 结论: (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (3)若，求a的取值范围． 思路 探求 （1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. 书写 表达 （1）当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； （2）在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； （3）在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 题后 反思 定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不等式 奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化,利用单调性解决常见不等式问题,在综合性题目中,要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形,适当应用解题技巧,化简求值.解题时,一定要特别注意函数的定义域. （25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数的取值范围为（    ）变式1 A． B． C． D． （25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且满足、，，都有．变式2 (1)求实数的值，并比较与的大小； (2)若，求实数的取值范围． （24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数，且.变式3 (1)判断函数奇偶性并予以证明； (2)判断函数单调性（无需给出理由），求使得成立的的取值范围. 1.（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知函数，是偶函数，则（    ） A．1 B．1或4 C．3 D．4 2.（25-26高一上·广东河源·阶段练习）函数的部分图象大致为（    ） A．B．C．D． 3.（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（   ） A．  B．  C．  D．   4.（25-26高一上·广东河源·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 5．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 6.（上海市虹口区2025-2026学年高三上学期10月阶段性练习数学试题）已知，若，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 7．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·甘肃·期中，多选）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．是函数图象的一个对称中心 D．为偶函数 9．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中，多选）若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的图象关于点中心对称 D．的图象关于直线对称 10．（25-26高三上·广东·阶段练习，多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，用表示不超过的最大整数，例如.已知，则下列说法错误的是（    ） A． B．为奇函数 C．为上的增函数 D．与图象所有交点的横坐标之和为2 11．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数为奇函数，则的值为 . 12．（25-26高三上·河北衡水·阶段练习）若函数在区间内不单调，则实数的取值范围为 . 13．（25-26高一上·广东河源·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 14．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，. (1)求； (2)探究的奇偶性； (3)用定义法证明在区间上单调递增. 15．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数是奇函数． (1)求的值： (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最大值和最小值； (3)若函数满足不等式，求出的范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 答题模板02：函数的性质-奇偶性 题型01 函数奇偶性的判断 题型02 奇偶函数的图象问题 题型03 利用函数奇偶性求值、求参数值 题型04 利用奇偶性求函数的解析式 题型05 奇偶性、单调性关系的应用 题型06 奇偶性、单调性的综合应用 本节导航 题型01 函数奇偶性的判断 （2025高一上·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ）典例1 A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 四步 内容 理解 题意 条件: 是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数结论:判断抽象函数的奇偶性 思路 探求 利用奇偶性的定义来进行证明并判断 书写 表达 因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 则，所以为奇函数，故A错误； ，所以为偶函数，故B错误； ，则为非奇非偶函数，故C错误； ，故为偶函数，故D正确. 故选：D. 题后 反思 判断抽象函数的奇偶性的方法（公共定义域内）：相同相加减；乘除：同偶异奇；复合：一奇则奇，同偶则偶 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法:根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下: ①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称,则函数f(x)为非奇非偶函数,若对称,则进行下一步. ②验证.f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x). ③下结论.若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数; 若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数; 若f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),则f(x)为非奇非偶函数. (2)图象法:f(x)是奇(偶)函数的等价条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称. 25-26高一上·安徽合肥·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ）变式1 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数奇偶性的定义及基础函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A：令，其定义域为，关于原点对称. 因为，所以，且当时，.所以是非奇非偶函数.故选项A不正确； 对于B：令，其定义域为，关于原点对称. 因为，所以是偶函数，故选项B不正确； 对于C：令，其定义域为，关于原点对称. 因为，所以是奇函数. 当时，，且在上单调递增；当时，，且在上单调递增；又，所以在上单调递增；故选项C正确； 对于D：令，其定义域为，且，所以是奇函数. 在和上分别单调递减，且在其定义域上不是严格单调函数，故选项D不正确. 故选：C. （25-26高一上·云南昭通·阶段练习）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（    ）变式2 A． B．为偶函数 C． D．在上是增函数 【答案】C 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】对于A，先令，可得，再令，可判断选项正误；对于B，令，结合定义域可判断选项正误；对于CD，设，令，根据题意比较、的大小即可判断上的单调性，再结合的奇偶性即可判断选项正误． 【详解】对于A，在中，令，得，解得，再令，得，解得，故A正确； 对于B，令，得，所以，又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； 对于CD，设，则，所以， 所以，所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误，D正确． 故选：C． 题型02 奇偶函数的图象问题 （25-26高一上·吉林白城·阶段练习）函数的大致图象为（   ）典例2 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 定义在区间[－5,5]上的函数图像如图；结论:求函数的单调区间 思路 探求 根据奇偶性，正负情况以及增长趋势判断. 书写 表达 函数的定义域为， ，该函数为奇函数，故A错误； 当时，，故D错误； 当时，，且， 当增大时，的值也越来越大，故C错误，故B正确. 故选：B. 题后 反思 通过函数定义域及奇偶性和函数值逐个判断， 正负情况以及增长趋势判断。 1. 巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在(0,+∞)(或(-∞,0))上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0)(或(0,+∞))上对应的函数图象. 2. 图象法求最值的步骤 （2025高一上·广东·专题练习）函数的图象大致为（　　）变式1 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】通过函数定义域及奇偶性和函数值逐个判断即可. 【详解】易知，无解，图像不可能和轴有交点，故排除A， 因为，定义域为 所以， 故为偶函数，排除C， 时，，排除D． 故选：B （24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（    ）变式2 A．  B．  C．  D．   【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． （2025高一上·全国·专题练习，多选）已知函数与的图象如图所示，则（    ）变式3        A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据图像判断函数单调性、复合函数的单调性、抽象函数的值域 【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A；通过举反例排除B；根据复合函数的单调性可判断C； 通过函数的变化趋势可判断D. 【详解】由图象知，定义域为，是偶函数，在上单调递增，在上单调递减； 定义域为，是奇函数，在上单调递增，在上单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，则， ，但，，，故B错误； 对于C，，由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即在上单调递减，故C正确； 对于D，记与x轴交于点，与y轴交于点， 由图可知，当从趋近于0时，的函数值从0趋近于，的函数值从一个定值趋近于， 所以的值从0趋近于，即的值可以取到， 又为奇函数，所以的值域为，故D正确. 故选：ACD 题型03利用函数奇偶性求值、求参数值 （25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ）典例3 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 已知是定义在上的奇函数，且当时， 结论:求 思路 探求 由奇函数性质可得，再利用计算即可得. 书写 表达 由是定义在上的奇函数，则，则， 则当时，，则. 故选：D. 题后 反思 求由奇偶性求函数值、函数奇偶性的应用 已知函数的某一个自变量值,求对应的函数值时,常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值. （25-26高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，.若，则（   ）变式1 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】先根据分段函数及函数值计算求出，再应用奇函数计算求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，所以 故当时，，则. 故选：C. （25-26高一上·福建泉州·阶段练习）已知是偶函数，则（    ）变式2 A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义关于原点对称求得，然后利用偶函数性质列式求得，即可得解. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为0，故，则． 故选：B （2025·全国·模拟预测）已知为奇函数，则（    ）变式3 A．－4 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量、函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据函数是奇函数应用定义列式计算求参. 【详解】因为为奇函数，定义域为， 则， 所以，则， 此时， 则，满足题意 故. 故选：B. （25-26高一上·天津·阶段练习）已知函数为上的偶函数．则实数a的值是 ．变式4 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】借助偶函数定义计算即可得解. 【详解】， 故. 故答案为：. 题型04利用奇偶性求函数的解析式 （四川省绵阳市2025-2026学年高三上学期第一次诊断性考试数学试题）设函数，其中，.典例4 (1)若函数为上的奇函数，求函数的解析式； (2)若，当时，，求实数的取值范围. 四步 内容 理解 题意 条件: 函数，其中，. 结论: (1)若函数为上的奇函数，求函数的解析式； (2)若，当时，，求实数的取值范围. 思路 探求 （1）根据奇函数的定义进行求解即可； （2）把不等式问题转化为两个函数大小问题，利用数形结合思想进行求解即可. 书写 表达 （1）因为函数为上的奇函数， 所以有，即， 又有， 该等式在时恒成立，因此有； （2）因为，所以， 由当时，由， 设函数， 问题转化为当时，， 两个函数在同一直角坐标系的图象如下图所示： 由数形结合思想可知： 两个函数的图象一定有交点， 射线与双曲线的交点横坐标为， 因此要想当时，，只需， 实数的取值范围为. 题后 反思 由奇偶性求函数解析式、函数不等式恒成立问题 利用奇偶性求函数解析式的思路 (1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内. (2)利用已知区间内的解析式代入,求未知区间内的解析式. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x). （25-26高一上·广西河池·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，当时，．变式1 (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由奇偶性求函数解析式、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）利用奇偶性求对称区间的解析式即可； （2）利用作图思想，得到函数的递减区间，然后确定参数满足的不等式组进行求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时，， 所以函数的表达式为； （2）由（1）的解析式，作出的图象如图所示， 可知函数在和上单调递减， 又函数在区间上单调递减，所以或，解得． 所以实数的取值范围是． （25-26高一上·广东东莞·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且.变式2 (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求满足不等式的的取值范围. 【答案】(1)， (2)函数在上的单调递增.证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，结合，求出，，即可得到函数的解析式； （2）任取且，化简，然后判断的符号，即可判断函数的单调性； （3）由题可得，再根据函数在上的单调递增，列不等式，求解即可. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以函数的解析式为，； （2）函数在上的单调递增. 任取，且， 则 因为，则，，，， 所以，所以， 所以函数在上的单调递增； （3）因为是定义在上的奇函数，所以， 由可得， 因为函数在上的单调递增，则，解得. （24-25高一上·江苏南京·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为.变式3 (1)求的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】（1）根据可直接求得结果； （2）设，由可证得结论； （3）当时，，结合奇函数定义可求得在上的解析式，结合可得结果. 【详解】（1）为奇函数，. （2）设， ， ，，，， 在上是减函数. （3）当时，，，； 又为定义在上的奇函数，， . 题型05奇偶性、单调性关系的应用 定义域为R的函数y=f(x)在[0,2]上是增函数,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( )典例5 A. B. C. D. 四步 内容 理解 题意 条件: 定义域为R的函数y=f(x)在[0,2]上是增函数,且函数f(x+2)是偶函数 结论: 比较大小 思路 探求 利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小 书写 表达 选B.因为函数f(x+2)是偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称, 所以，又f(x)在[0,2]上是增函数, 所以，即. 题后 反思 根据函数的奇偶性比较大小,根据奇偶性的对称性质，自变量距离对称轴的距离. 1. 比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上 (1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小; (2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小. 2. 利用函数的奇偶性比较大小时,根据奇偶性的对称性质,常需要比较自变量的绝对值的大小,即自变量距离原点的距离. 角度1 比较大小问题 变式1 设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 ( ) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) 【思路导引】根据偶函数的性质,把f(-2),f(π),f(-3)转化到同一个单调区间[0,+∞)上,再根据函数的单调性比较大小. 【解析】选A.因为函数f(x)为R上的偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2). 又当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,且π>3>2,所以f(π)>f(3)>f(2),故f(π)>f(-3)>f(-2). （25-26高一上·四川南充·阶段练习）已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（ ）典例6 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 定义在上的偶函数，对有 结论: 关于的不等式的解集 思路 探求 根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，确定函数的定义域，再由已知条件判断函数在定义域内的单调性，最后利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式. 书写 表达 是定义在上的偶函数， ∴根据偶函数的定义域关于原点对称，可得，解得， 的定义域为. 又对有， 在上单调递增，为偶函数，在上单调递减. 由，不等式可化为， 根据偶函数的性质，不等式可化为， 由以上推出的条件可得，解得. 故选：A. 题后 反思 根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 （25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（    ）变式1 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】首先利用奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得取值范围即可. 【详解】由题意得是奇函数，故， 又，可得， 因为是增函数，所以有，解得，故D正确. 故选：. （25-26高一上·全国·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是 变式2 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数判断奇偶性及单调性，利用其单调性解不等式即可. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数为R上的奇函数，即， 则，所以函数为偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，则， 当时，即当时， 由可得， 则，解得； 当时，即当时， 由可得， 则，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. （25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ）变式3 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：B. 题型06奇偶性、单调性的综合应用 （25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）函数为定义在上的奇函数， 已知当时，.典例7 (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (3)若，求a的取值范围． 四步 内容 理解 题意 条件: 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. 结论: (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (3)若，求a的取值范围． 思路 探求 （1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. 书写 表达 （1）当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； （2）在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； （3）在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 题后 反思 定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不等式 奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化,利用单调性解决常见不等式问题,在综合性题目中,要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形,适当应用解题技巧,化简求值.解题时,一定要特别注意函数的定义域. （25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数的取值范围为（    ）变式1 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数对称性的应用、由函数奇偶性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】先分析函数的单调性，根据函数单调性把函数不等式转化为代数不等式，再根据分离参数求最值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数满足：对均有，所以在上单调递增， 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式可化为，恒成立， 所以，，即，， 由，，， 由，，， 综上，. 故选：A （25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且满足、，，都有．变式2 (1)求实数的值，并比较与的大小； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式、比较函数值的大小关系 【分析】（1）由偶函数定义域关于原点对称可得出关于实数的等式，可解出的值，然后分析函数在上的单调性，结合偶函数的基本性质可得出与的大小； （2）将所求不等式变形为，结合函数的单调性和定义域可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为是定义在上的偶函数，则，解得， 故函数的定义域为， 、，，都有， 不妨设，则，即， 所以函数在上为减函数，故. （2）因为函数的定义域为，该函数为偶函数，且该函数在上为减函数， 由可得，即， 则有，解得或， 故原不等式的解集为. （24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数，且.变式3 (1)判断函数奇偶性并予以证明； (2)判断函数单调性（无需给出理由），求使得成立的的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，证明见解析. (2)单调递增;. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）由题意易知，利用奇偶性的定义可证明为奇函数； （2）由解析式易知单调递增，由奇偶性可将不等式等价于，再由单调性将不等式等价于，再解分式不等式. 【详解】（1）由题意知， 所以， 为奇函数，证明如下： 定义域为,关于原点对称， ， 所以函数为定义在上的奇函数. （2）函数在上单调递增，理由如下： 由（1）知 且，则 ， 因为，所以， 故， 故，所以， 所以函数在上单调递增. 由（1）知函数为定义在上的奇函数，即， 所以等价于, 所以，所以, 所以的取值范围为. 1.（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知函数，是偶函数，则（    ） A．1 B．1或4 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称及求解即可. 【详解】由题意，，解得，即， 又，则， 则，即，所以. 故选：D 2.（25-26高一上·广东河源·阶段练习）函数的部分图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】利用函数奇偶性和特殊点，排除不符合的选项即可. 【详解】函数的定义域为，， 因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足； 又，所以选项B不满足，A符合题意. 故选：A 3.（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】首先判断函数的奇偶性，再由时函数的符号及排除法，即可得. 【详解】由，且函数的定义域为R，故为奇函数，排除B、C； 当时，恒成立，排除D. 故选：A 4.（25-26高一上·广东河源·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数区间的对称性和函数值的对称性可解. 【详解】∵是定义在上的偶函数， ∴，∴， 又，∴， ∴，， ∴． 故选：D． 5．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】利用函数的奇偶性计算即可. 【详解】化简可得，令， 易知，所以为奇函数， 则. 故选：B 6.（上海市虹口区2025-2026学年高三上学期10月阶段性练习数学试题）已知，若，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用的对称性以及单调性解不等式即得答案. 【详解】由， 得： 关于点 对称. 因为， 所以：， 代入得： 又因为 是上的单调递增的函数， 所以：， 即：， 解得：. 故选：B 7．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，利用是偶函数可得，将不等式转化为，利用当时，单调递减，将转化为，解出此不等式；的定义域为，得到，解出此不等式组，从而得解. 【详解】定义在上的偶函数，，， 当时，单调递减，当时，单调递减， 定义在上的偶函数， ，，， 当时，单调递减， ，，即， 解得或， 的定义域为， ，，， 或和要同时成立，， 关于的不等式的解集为. 故选：C. 8．（25-26高一上·甘肃·期中，多选）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．是函数图象的一个对称中心 D．为偶函数 【答案】BCD 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】由给定等式可得，再利用奇偶函数的性质，结合对称性的意义逐项判断得解. 【详解】由函数的定义域为，，得， 对于A，由函数是定义在上的奇函数，得，令，得，A错误； 对于B，由，且为奇函数，得，B正确； 对于C，由，得，， 因此，是函数图象的一个对称中心，C正确； 对于D，由，得，函数是偶函数， 因此函数为偶函数，D正确. 故选：BCD 9．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中，多选）若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的图象关于点中心对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的应用、判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用 【分析】令，代入计算，可判断A的正误；根据是定义域为的奇函数，可得，对x赋值2和4，计算即可判断B的正误；由条件，分析化简，根据对称性的性质，即可判断C、D的正误；即可得答案. 【详解】选项A：因为，， 令，则，故A正确； 选项B：因为是定义域为的奇函数， 所以，令，得， 令，得， 所以，故B错误； 选项C：因为， 所以， 所以的图象关于点中心对称，故C正确； 选项D：因为，即， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ACD 10．（25-26高三上·广东·阶段练习，多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，用表示不超过的最大整数，例如.已知，则下列说法错误的是（    ） A． B．为奇函数 C．为上的增函数 D．与图象所有交点的横坐标之和为2 【答案】ABD 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、函数新定义 【分析】A选项，由定义计算；B选项，取特殊值可判断，C选项，利用解析式判断单调性；D选项，由函数图象交点的求法，结合函数新定义判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由，， 则函数不是奇函数，故B错误； 对于C，令，则， 由，则，所以， 所以在R上是增函数，故C正确； 对于D，令，即， 又，所以，得， 当时，有，即2为两图象交点的横坐标， 当时，，则，得，即为两图象交点的横坐标， 当时，有，则1不是两图象交点的横坐标， 当时，，则，得，即为两图象交点的横坐标， 综上，两图象所有交点的横坐标之和为，故D错误. 故选：ABD 11．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数为奇函数，则的值为 . 【答案】10 【知识点】求函数值、由奇偶性求参数 【分析】根据函数为奇函数，利用求得或，代入检验可得，则得，计算即可. 【详解】由函数为奇函数，可得，解得或， 当时，，因，符合题意； 当时，，因即，不合题意. 故，. 故答案为：10. 12．（25-26高三上·河北衡水·阶段练习）若函数在区间内不单调，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，结合题意可列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知的定义域为R，满足， 即为偶函数， 当时，， 则此时在上单调递减，在上单调递增， 结合函数为偶函数可知在上单调递减，在上单调递增， 又函数在区间内不单调， 故内至少包含中的一个， 则或或， 解得或或，则， 即实数的取值范围为， 故答案为： 13．（25-26高一上·广东河源·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)； (3). 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）通过对进行赋值，结合奇函数定义即可证明； （2）根据函数单调性的定义，可证明函数在上为减函数，即函数的最大值为，再通过赋值结合函数的奇偶性，即可求解； （3）由题意，对所有的，恒成立，即，根据函数单调性，可得恒成立，再结合一次函数的图像性质即可求解. 【详解】（1）取，则，所以， 取，则， 所以对任意恒成立， 所以为奇函数． （2）任取且，则， 所以，所以， 又为奇函数，所以，所以． 故为上的减函数． 所以在上的最大值为， 因为， 所以， 故在上的最大值为6． （3）因为在上是减函数，所以， 因为，对所有，恒成立． 所以，对所有恒成立， 即，对所有恒成立， 令，则， 即，解得：或． 所以实数的取值范围为． 14．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，. (1)求； (2)探究的奇偶性； (3)用定义法证明在区间上单调递增. 【答案】(1)0； (2)奇函数； (3)证明见解析. 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）根据给定条件，利用赋值法求出目标值； （2）利用奇函数的定义推理判断； （3）利用增函数的定义推理得证. 【详解】（1）对于任意的，均有， 取，得，即得. （2）函数的定义域为，对，令，得， ，因此， 所以函数为奇函数. （3）且，令，则，即, 因，则， 故，即， 则，所以函数在区间上单调递增. 15．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数是奇函数． (1)求的值： (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最大值和最小值； (3)若函数满足不等式，求出的范围． 【答案】(1)； (2)增函数，理由见解析，最大值为，最小值为； (3). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值； （2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为在上是奇函数，则， 即，可得，解得，故. （2）是区间上的增函数，理由如下： 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，， 所以，即， 所以是区间上的增函数， 所以函数的最小值为，最大值为. （3）因为是区间上的增函数，且是奇函数， 由可得， 所以，解得，故实数的取值范围是. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $