22.2.3 黄金分割 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦黄金分割的定义、黄金分割点的找法及黄金比计算，通过展示金字塔、自然摄影、芭蕾舞等生活实例导入，引导学生观察美的现象，关联比例线段知识，搭建从生活到数学的学习支架。 特色在于融合数学文化与生活应用，通过毕达哥拉斯发现黄金分割的历史、人体肚脐等黄金点实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维探究黄金比计算，用数学语言解决实际问题（如书籍长宽比计算）。情境创设与合作探究提升学生兴趣，帮助教师高效落实目标，夯实比例应用基础。

第3课时　黄金分割 课题 第3课时　黄金分割 授课人 教 学 目 标 1.知道黄金分割的定义;会找一条线段的黄金分割点;会判断某一点是不是一条线段的黄金分割点. 2.通过找一条线段的黄金分割点,培养学生的理解与动手能力. 3.理解黄金分割的现实意义,并能动手找到黄金分割点,让学生体会数学与人类生活的密切联系. 教学 重点 　　1.了解黄金分割的意义并能运用. 2.找出一条线段的黄金分割点. 教学 难点 　　找出一条线段的黄金分割点,并解决实际问题. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 活动内容:展示课件,欣赏图片. 第一组:神奇的金字塔建筑 图22-2-11 第二组:美丽的大自然摄影 图22-2-12 第三组:迷人的芭蕾舞 图22-2-13 以上图片看上去会感到和谐、平衡、舒适,有一种美的感觉.它们为什么会这么美?其中含有哪些数学知识? 处理方式:通过多媒体展示三组图片,让学生欣赏建筑、摄影、艺术上的实例,感受数学在生活中的美,激发学生学习数学的热情,进而引入新课. 　　通过建筑、摄影、艺术上的实例让学生初步感受黄金分割,体会黄金分割在现实生活中的广泛应用和文化价值. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】黄金分割相关概念 问题:如图22-2-14,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且AB∶AP=AP∶PB.求线段AP的长和的值. 图22-2-14 解:设AP=x,那么PB=a-x. 根据题意,得a∶x=x∶(a-x). 整理,得x2+ax-a2=0. 解方程,得x=a. 因为线段长度不能是负值,所以取x=a, 即AP=a.于是==≈0.618. 概括新知: 把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫作黄金分割,分割点叫作这条线段的黄金分割点,比值叫作黄金数. 教师总结: 从分割的角度看:=⇒较长线段2=全线段×较短线段; 从比值的角度看:=或=. 思考:线段AB上只有一个黄金分割点吗? 图22-2-15 　　师生活动:学生回答,教师对思维活跃、积极参与的学生给予鼓励. 教师总结: 结论:一条线段有两个黄金分割点,它们关于线段中点对称,因此,它还有一个黄金分割点. 图22-2-16 ①=;②BD2=AB·AD; ③=或=. 　　1.通过学生动手操作,度量、计算体会黄金分割是一个特殊的比值,黄金分割点是线段上的一个特殊点. 2.本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流、教师讲解,掌握黄金比的概念.会计算黄金比,为下一步利用黄金比解决问题做铺垫. 【探究2】黄金分割的实际应用 感受文化:早在古希腊,数学家、天文学家欧多克斯(Eudoxus,前408——约前347)曾提出:能否将一条线段AB分成不相等的两部分AP和PB(AP>PB),使AB∶AP=AP∶PB?这就是黄金分割问题. 而发现黄金分割的是古希腊哲学家毕达哥拉斯.一天,毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过,被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引,便站在那里仔细聆听,似乎这声音中隐匿着什么秘密.他走进作坊,拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸,发现它们之间存在着一种十分和谐的关系.回到家里,毕达哥拉斯拿出一根线,想将它分为两段.怎样分才最好呢?经过反复比较,他最后确定0.618∶1的比例截断最优美.后来,意大利著名科学家、艺术家达·芬奇给这个比例冠以“黄金”二字的美名. 天文学家开普勒(Kepler,1571——1630)把这种分割线段的方法称为神圣分割,并指出,“毕达哥拉斯定理(勾股定理)和黄金分割是几何中的双宝,前者好比金矿,后者堪称钻石矿”.而历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是马丁·欧姆(Martin Ohm,1792——1872).19世纪以后,“黄金分割”的说法逐渐流行起来…… 图22-2-17 人体肚脐不但是美化身型的黄金点,有时还是医疗效果的黄金点,许多民间名医都曾通过在肚脐上贴药治好了某些疾病.人体最感舒适的温度是23 ℃,也是正常人体温(37 ℃)的黄金点(23≈37×0.618).这说明医学与0.618有着千丝万缕的联系,相关应用仍尚待开拓研究.人体还有几个黄金点:肚脐以上部分的黄金点在咽喉,肚脐以下部分的黄金点在膝盖,上肢的黄金点在肘关节,上肢与下肢长度之比也近似为0.618. 思考:问题1:如何在实际问题中应用黄金分割原理进行相关计算? 问题2:如何判断某点是线段的黄金分割点? 　　教师让学生感受古代文化和古人的智慧,展示黄金分割在人类生活中的作用,提高学生对数学是来源生活又用于解决生活问题的意识,同时进一步巩固学生对黄金分割的认识. 【应用举例】 例1　在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比例越接近0.618,越给人以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60,她的身高为1.60 m,她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美?(精确到0.001 m)[答案:0.075 m] 例2　(1)已知线段AB=10 cm,P是AB的黄金分割点,且PA>PB,求PA的长. (2)已知线段AB=10 cm,P是AB的黄金分割点,求PA的长. 解:(1)∵P是AB的黄金分割点,且PA>PB, ∴PA=AB=5(-1)=5-5cm. (2)∵P是AB的黄金分割点,但不知道PA>PB还是PA<PB, ∴分类讨论: 若PA>PB,则PA=AB=5(-1)=(5-5)cm. 若PA<PB,则PB=AB=5(-1)=(5-5)cm. ∴PA=AB-PB=10-(5-5)=(15-5)cm. 综上,PA的长为(5-5)cm或(15-5)cm. 师生活动:学生在教师的指导下独立思考,完成解答过程,小组成员之间交流结果,小组代表板书过程,教师点评、归纳总结. 　　通过对例题的探究,进一步巩固黄金数及其相关概念,灵活掌握知识,同时通过小组合作交流,归纳解题方法和思路,培养学生的合作意识及分析问题的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【当堂训练】 1.点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果=,那么下列说法错误的是 ( D ) A.线段AB被点C黄金分割　　　 B.点C叫作AB的黄金分割点 C.AC与AB的比叫作黄金比　　　 D.AC= 2.小明同学发现自己的一本书的宽与长的比为黄金比.已知这本书的长为20 cm,则它的宽约为 ( A ) A.12.36 cm　　B.13.60 cm　　C.32.36 cm　　D.7.64 cm 3.如图22-2-18,乐器上的一根弦AB=40 cm,两个端点A,B固定在板面上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,则CB之间的距离为　(60-20)　cm.  图22-2-18 　　学以致用,当堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每名学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的. 【课堂总结】 通过这节课的学习,你有哪些收获?有何感想?学会了哪些方法?先想一想,再分享给大家. (学生畅谈自己的收获) 1.什么叫作黄金分割?黄金比是多少? 2.一条线段有几个黄金分割点? 3.如何用尺规作线段的黄金分割点和黄金矩形? 4.如何说明一个点是一条线段的黄金分割点? 　　课堂总结是知识沉淀的过程,使学生对本节课所学知识进行梳理,养成总结与反思的习惯,培养自我反馈、自主发展的意识. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境中,通过学生日常生活中容易接触到的情境入手,引导学生测量和计算有关线段的比值,进而得出了这些线段中存在的不为人知的相关关系,由此归纳出黄金分割的概念. ②[讲授效果反思] 注重对学生观察、动手及参与能力的评价.如欣赏各种美丽的图片并观察特点;动手测量并计算线段的比;探讨黄金分割点的作法等. ③[师生互动反思] 教学过程中,学生在教师的问题引导下主动观察、测量计算、发现总结,学习主体参与度高,师生互动良好. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $