2.2.1 直线的点斜式方程专项训练-福建省厦门外国语学校2023-2024学年高二上学期数学练习

厦门外国语学校2025届高二数学练习16: 点斜式与斜截式 班级： 姓名： 座号： 一、单选题 1．方程（ ） A．可以表示任何直线 B．不能表示过原点的直线 C．不能表示与轴垂直的直线 D．不能表示与轴垂直的直线 2．下列不可以表示与轴垂直的直线的方程是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则直线通过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 4．过点(－1，3)且平行于直线y＝ (x＋3)的直线方程为（ ） A．y＋3＝ (x＋1) B．y＋3＝ (x－1) C．y－3＝ (x＋1) D．y－3＝ (x－1) 5．过点且垂直于的直线方程为（ ）． A． B． C． D． 6．若直线经过点，且在轴上的截距的取值范围是（3，5），则其斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．直线不过第二象限，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知过点的直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A，B两点，当最小时，直线l的方程为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线，则下列说法正确的是（ ） A．直线过定点 B．直线一定不与坐标轴垂直 C．直线与直线一定平行 D．直线与直线一定垂直 10．下列说法正确的有（ ） A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限B．任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C．过点斜率为的点斜式方程为 D．直线的斜率越大，倾斜角越大 11．已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是（ ） A．直线l与直线的斜率互为相反数 B．直线l与直线的倾斜角互补 C．直线在y轴上的截距为 D．这样的直线l有两条 12．下列说法错误的是 A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．过，两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 三、填空题 13．不管k为何值，直线必过定点________． 14．已知直线经过原点，且与直线的夹角为，则直线的方程为__________. 15．如图，射线，分别与轴正半轴成和角，过点作直线分别交，于，两点，当的中点恰好落在直线上时，则直线的方程是______． 16．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，点M为△ABC内切圆的圆心，过点M作动直线l与线段AB，AC都相交，将△ABC沿动直线l翻折，使翻折后的点A在平面BCM上的射影P落在直线BC上，点A在直线l上的射影为Q，则的最小值为_____． 四、解答题 17．直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程． 18．已知三角形的三个顶点，，． （1）求线段的垂直平分线所在直线方程； （2）求过边上的高所在的直线方程； 19．求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等； （2）直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半； （3）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求直线MN的方程． 20．在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 厦门外国语学校2025届高二数学练习16: 点斜式与斜截式答案 1．D【详解】因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以不能表示与轴垂直的直线． 2．D【详解】对于A，即表示与轴垂直的直线，故A不符合题意；对于B，表示轴，与轴垂直，故B不符合题意；对于C，即表示与轴垂直的直线，故C不符合题意； 对于D，对于斜率不存在的直线，其方程不能用点斜式表示，故D符合题意. 3．B解：直线化为．∵，，∴，，∴直线通过第一、二、四象限． 4．C【详解】由直线y＝ (x＋3)，得所求直线的斜率为，其方程为y－3＝ (x＋1)，故选C. 5．B【详解】因为的斜率为，所求直线与垂直，所以所求直线的斜率为，由点斜式可得，即， 6．A【详解】设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则3<1－<5，解得所以直线的斜率的取值范围为. 7．C【详解】若，可得，直线的方程为，该直线不过第二象限，合乎题意； 若，可得，直线的斜截式方程为， 若直线不过第二象限，则，解得.综上所述，. 8．B【详解】设，如图： 则，，所以，所以当即时，最小，此时，直线的倾斜角为，斜率，所以直线l的方程为即. 9．AD【详解】对于A:整理为：，恒过定点(-1,0)，故A正确；当时，直线与轴垂直，故B错误；当时，两直线重合，故C错误；因为，故直线与直线一定垂直，故D正确， 10．AC解：对于，若直线经过第一、二、四象限，则，，所以点在第二象限，选项正确；对于，任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾斜角为时斜率不存在，所以选项错误；对于，由点斜式方程知，过点斜率为的点斜式方程为，所以选项正确；对于，在，内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在，时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大；所以选项错误. 11．ABC【详解】如图所示，因为直线l与及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项，A，B均正确；由直线的斜率为，所以直线的斜率为，可得直线l的方程为，因此其在y轴上的截距为，故C选项正确； 结合图象，可得这样的直线l只有一条，故D选项错误． 12．ACD解：对于A．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故A错误， 对于B．直线的斜率，则，即，则，，故B正确， 对于C．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故C错误， 对于D．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D错误， 13．【详解】将直线化为，根据点斜式可知直线必过定点， 14．或解：直线的斜率为，故它的倾斜角为6，由于直线l和它的夹角等于，则直线l倾斜角为30或9，故直线l的斜率为或不存在， 又∵直线l过原点，故直线l的方程为或， 15．【详解】由题意可得，， 所以直线的方程：，直线的方程：，设，，所以的中点，由点在直线上，且三点共线得：解得：，所以又，所以，所以直线的方程是：，即， 16．825【详解】过点M作△ABC的三边的垂线，设⊙M的半径为r，则r2，以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则M（2，2），A（0，8），因为A在平面BCM的射影在直线BC上，所以直线l必存在斜率，过A作AQ⊥l，垂足为Q，交直线BC于P，设直线l的方程为：y＝k（x﹣2）+2，则|AQ|，又直线AQ的方程为：yx+8，则P（8k，0），所以|AP|8，所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8，所以， ①当k＞﹣3时，4（k+3）25≥825， 当且仅当4（k+3），即k3时取等号； ②当k＜﹣3时，则4（k+3）23≥823， 当且仅当﹣4（k+3），即k3时取等号. 故答案为：825 17．或．【详解】当直线l的斜率不存在时，l的方程为，经检验符合题目的要求． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 当时，l的方程为，经检验不符合题意，舍去，当时，令y＝0得，x＝， 由三角形的面积为2，得，解得，可得直线l的方程为，即；综上可知，直线l的方程为或． 18．（1）；（2）.【详解】（1）∵中点为，， ∴的中垂线的斜率为，直线方程为，即； （2） 边上高所在直线的斜率为， 边的高所在直线方程为即． 19．（1）2x－3y＝0或x＋y－5＝0；（2）x－y＋6＝0；（3）5x－2y－5＝0. 【详解】（1）由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝，∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝ (x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0. （2）由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝ (x＋)，即x－y＋6＝0. （3）设C(x0，y0)，则M，N因为点M在y轴上，所以， 所以x0＝－5.因为点N在x轴上，所以，所以y0＝－3，即C(－5，－3)，所以M，N(1，0)，所以直线MN的方程为，即5x－2y－5＝0. 20．（1）（2）（3） 【详解】（1）设，，则的中点为，因为的中点在直线上，所以，即，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）设直线的方程为，联立，得，所以， 联立，得，，所以， 所以，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，此时，直线的方程为，即. （3）由（2）知，，， 所以， 令，则 ，当且仅当，即时，取得最大值，取得最小值，此时直线的方程为，即. 学科网（北京）股份有限公司 $