高中数学单元测试——第一章直线与圆（适中版02）

**基本信息** 高中数学直线与圆单元复习卷，以基础巩固为主，融入实际情境与创新应用，适配单元知识检测与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线垂直、圆的圆心、平行直线等|基础概念辨析，注重几何直观| |多选题|3/18|直线性质、直线与圆位置关系|多角度考查，培养推理意识| |填空题|3/15|距离公式、切线方程、最值问题|运算能力与空间观念结合| |解答题|5/77|圆的方程、两圆相交、实际应用（红枫湖）、阿波罗尼斯圆|分层设计，融合实际情境与数学文化，发展模型观念与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第一章 直线与圆（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两条直线垂直关系得直线的斜率，进而可得所求直线的倾斜角. 【详解】由直线，即，所以直线的斜率为. 再由直线与直线垂直，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，，则，. 故选：B. 2．（本题5分）圆的圆心在（    ） A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第二象限 【答案】A 【分析】求得圆心坐标后判断即可求解. 【详解】圆的圆心为，在x轴上. 故选：A 3．（本题5分）已知直线与平行，则a=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由两直线平行的条件求解． 【详解】由两直线平行得,解得， 时，两直线方程分别为和，不重合，满足题意． 故选：C． 4．（本题5分）坐标原点O到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由点到直线的距离公式可得. 故选:C. 5．（本题5分）直线，恒过定点，则的值为（    ） A．-5 B．-4 C．-3 D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式求出定点坐标即得. 【详解】由整理得：， 由，解得， 即直线恒过点，故，所以. 故选：B 6．（本题5分）直线被圆截得的弦长为（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由圆的方程写出圆心及半径，求圆心到直线的距离，然后由垂径定理求得弦长. 【详解】圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故选：B. 7．（本题5分）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出交点坐标，再利用点与圆的位置关系求的范围即可. 【详解】联立与得，， 则两直线交点坐标为， 因两直线的交点在圆的内部，则，得， 故实数的取值范围是. 故选：B 8．（本题5分）已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】过圆心作，由已知求得，再求出圆心到直线的距离，求得的最小值，再由求解. 【详解】由圆，圆心，半径为2， 如图，过圆心作，垂足为，连接，由， 可得， 由，当共线时取等号， 又是的中点，所以此时， 所以， 则此时，即的最小值为2. 故选：C.    二、多选题 9．（本题6分）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线过点 B．直线的斜率为 C．直线在轴上的截距为 D．直线在上的截距为 【答案】BD 【分析】根据直线，对各个选项分析判断即可求出结果. 【详解】选项A，因为，即直线不过点，所以选项A不正确； 又由，得到，所以直线斜率为，在轴上的截距为，所以选项BD正确， 又由直线，令，得到，所以选项C错误， 故选：BD. 10．（本题6分）已知直线l：，圆C：，点，则（    ） A．若M在圆上，直线l与圆C相切 B．若M在圆内，直线l与圆C相离 C．若M在圆外，直线l与圆C相离 D．若M在直线l上，直线l与圆C相切 【答案】ABD 【分析】根据点与圆的位置关系，得的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项. 【详解】圆，圆心，半径. 对于A，若在圆上，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相切，故A正确； 对于B，若在圆内，则，圆心到直线的距离为： ，则直线与圆相离，故B正确； 对于C，若在圆外，则，圆心到直线的距离为：，直线与圆相交，故C错误； 对于D，若在直线上，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相切，故D正确. 故选：ABD. 11．（本题6分）点在圆上，点在圆上，为圆则下列结论中正确的是（    ） A．圆心距 B．的最小值为2 C．的最大值为9 D．圆经过点的最短弦的长为4 【答案】ACD 【分析】求各圆的圆心和半径，进而求，即可判断A；根据圆的性质分析判断BCD. 【详解】由题意可知：圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， 对于选项ABC：圆心距，故A正确； 的最小值为，故B错误； 的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为， 可知点M在圆内，当圆经过点M的弦与垂直时，弦长取最小值， 最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）直线与直线之间的距离是______． 【答案】/ 【分析】根据平行线间距离公式求解. 【详解】直线与直线之间的距离为. 故答案为：. 13．（本题5分）过点作圆的切线，则切线方程为________________. 【答案】 【分析】解：先判断出点在圆上，利用斜率公式求出圆心和连线的斜率，利用两条直线垂直得到过圆上点的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程. 【详解】解：将点代入中，成立， 即点在圆上，圆心和连线的斜率为， 故过圆上点的切线的斜率为， 则切线方程为，即， 故答案为：. 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 【答案】 【分析】求点关于直线的对称点，则当三点共线时最小，将直线与直线的方程联立即可. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，，得，即， 则， 将代入中得，，则. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知直线过点且与直线：垂直． (1)求直线的方程； (2)若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知设出的方程为，代入点的坐标，求出的值，即可得出答案； （2）联立直线与的方程，求解方程组得出交点坐标，然后即可根据两点式方程，求出答案. 【详解】（1）由已知可设直线的方程为. 又直线过点，所以有，解得， 所以，直线的方程为. （2）联立直线与的方程， 可得， 所以，直线与的交点. 又直线l经过， 代入直线的两点式方程可得，， 整理可得. 16．（本题15分）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由斜率关系和中点坐标求出弦的垂直平分线方程，再解出圆心坐标，然后得到圆的标准方程； （2）由两点间距离得到半径，再写出圆的标准方程即可； （3）由圆的一般方程利用待定系数法求解可得. 【详解】（1）由题，所以其垂线斜率，且AB中点为，即， 所以AB的垂直平分线方程为，即， 由圆的垂径定理可知，与轴的交点即为圆心的坐标， 所以圆的半径为 ， 所以圆的标准方程为 （2）圆心为，且经过点， 故圆的半径为， 故圆的标准方程为． （3）设圆的方程为， 则由题意， ∴圆的方程为：，标准方程为. 17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)证明：由题得圆标准方程为， 故圆的圆心是，半径， 圆的标准方程为， 故圆的圆心是，半径． 所以与的距离为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即， 所以圆与圆相交. (2)公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为. 【分析】（1）依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果； （2）将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用垂径定理可求弦长. 【详解】（1）略 （2）将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为, 而，半径，该圆心到公共弦的距离， 故公共弦. 18．（本题17分）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 19．（本题17分）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程； (3)过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据列方程，整理即可得到曲线的方程； （2）根据在曲线上得到，，根据为线段的中点得到，然后解方程得到点，最后求直线方程即可； （3）根据的坐标得到点在直线上运动，然后利用等面积的思路得到当长度最小时，线段的长度最小，最后根据几何知识求最小值即可. 【详解】（1）设，则， 整理得，即， 所以曲线的方程为. （2）设，，则①，②， 因为为线段的中点，所以，即， 将代入②中得③， 联立①③得，则， 所以， 直线的方程为. （3） 由题意得点在直线上运动， 设曲线的圆心为，则， 由题意得，， 则， 所以当长度最小时，线段的长度最小， 当垂直直线时，长度最小， 则， 所以. 【点睛】关键点睛：（3）的解题关键在于通过等面积的方法将求的最小值转化为求的最小值，然后根据垂线段最短求最值即可. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 直线与圆（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）圆的圆心在（    ） A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第二象限 3．（本题5分）已知直线与平行，则a=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（本题5分）坐标原点O到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 5．（本题5分）直线，恒过定点，则的值为（    ） A．-5 B．-4 C．-3 D．3 6．（本题5分）直线被圆截得的弦长为（   ） A．2 B． C．6 D． 7．（本题5分）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 9．（本题6分）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线过点 B．直线的斜率为 C．直线在轴上的截距为 D．直线在上的截距为 10．（本题6分）已知直线l：，圆C：，点，则（    ） A．若M在圆上，直线l与圆C相切 B．若M在圆内，直线l与圆C相离 C．若M在圆外，直线l与圆C相离 D．若M在直线l上，直线l与圆C相切 11．（本题6分）点在圆上，点在圆上，为圆则下列结论中正确的是（    ） A．圆心距 B．的最小值为2 C．的最大值为9 D．圆经过点的最短弦的长为4 三、填空题 12．（本题5分）直线与直线之间的距离是______． 13．（本题5分）过点作圆的切线，则切线方程为________________. 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 四、解答题 15．（本题13分）已知直线过点且与直线：垂直． (1)求直线的方程； (2)若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程． 16．（本题15分）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 18．（本题17分）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 19．（本题17分）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程； (3)过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $