第一单元 第 7 课时 有限小数和循环小数（讲义）2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦有限小数和循环小数核心知识点，系统梳理小数分类标准、循环小数意义与循环节、简便记法及大小比较方法，承接前6课时小数乘除法计算基础，为后续分数与小数互化及初中有理数学习筑牢认知根基。 资料以“计算感知—分类归纳—概念建构—应用拓展”为主线，融入分类、推理、模型等数学思想，通过分层练习（基础夯实、能力提升、思维培优）和高频易错预警，培养学生数感、运算能力与推理意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，深化对小数本质的理解。

第 7 课时 有限小数和循环小数 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 2 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：小数的分类（有限小数与无限小数） 3 考点二：循环小数的意义与循环节 5 考点三：循环小数的简便记法 6 考点四：循环小数的大小比较 7 考点五：小数分类的综合应用 9 第三部分 高频易错预警与避坑指南 11 易错点 1：混淆有限与无限的判断标准，把有限小数当成循环小数 11 易错点 2：循环节找错，包含不重复的数字 11 易错点 3：简便写法错误，循环点位置不对 11 易错点 4：循环小数大小比较只看前几位，提前下结论 11 易错点 5：误认为无限小数都是循环小数 12 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 13 一、基础夯实达标练（6 题） 13 二、能力拓展提升练（4 题） 14 三、思维拓展培优练（2 题） 15 四、数学活动拓展解析 16 第五部分 习题精准解析与知识点睛 17 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 2024 版六年级上册第一单元《小数乘法和除法（二）》的概念核心课，承接前 6 课时小数乘除法的计算基础，严格对标《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域数的认识与运算主题要求，是学生从 “有限小数运算” 拓展到 “无限循环小数认知” 的关键节点，也是后续分数与小数互化、初中有理数学习的重要铺垫。本课时核心掌握小数的分类标准、有限小数与无限小数的定义、循环小数的核心概念、循环节的识别方法、循环小数的简便记法、循环小数的大小比较六大核心内容。全课时建立 “计算感知 — 分类归纳 — 概念建构 — 方法应用 — 拓展延伸” 的完整学习路径，围绕数感、运算能力、推理意识、分类思想四条核心素养主线，让学生深刻理解有限小数与循环小数的本质特征，熟练掌握循环节的识别与简便表示方法，能准确进行小数分类与大小比较，为后续小数的综合应用与数系拓展筑牢认知根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 小数的分类 有限小数、无限小数的定义，小数按小数部分位数的分类标准 分类辨析法、定义判断法 混淆分类标准，误认为无限小数都是循环小数 循环小数的概念 循环小数的定义，循环产生的原因，循环小数与无限小数的关系 计算归纳法、概念辨析法 误以为除不尽的都是循环小数，忽略无限不循环小数 循环节的识别 循环节的定义，找循环节的方法，循环节的位置判断 特征识别法、对应标注法 找错循环节，把不重复的数字算进循环节 简便记法 循环小数的简便写法，循环节首尾加点的规则 规范书写法、符号标注法 点标错位置，循环节多位时只点第一个数字 大小比较 循环小数的大小比较方法，多位数展开比较法 展开对齐法、逐位比较法 只比较前几位就下结论，忽略循环节的后续数字 综合应用 小数的综合分类、判断，结合除法计算的应用 综合分析法、计算验证法 分类遗漏，概念边界模糊 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 定义判断法 有限 / 无限小数、循环小数的概念判断题型 ① 回忆定义：小数部分位数有限是有限小数，位数无限是无限小数；② 循环小数是无限小数且小数部分有数字依次不断重复出现；③ 结合定义判断归属；④ 举出反例验证 有限小数位数有限，无限小数位数无限，循环小数重复出现，概念记准好判断 循环节识别法 找循环节、判断循环小数题型 ① 观察小数部分，找到不断重复出现的数字组；② 重复出现的数字必须是从小数部分某一位开始依次连续的；③ 确定最短的重复单元，即为循环节；④ 标注循环节位置 找循环节，看重复，连续依次来出现，最短单元就是它，位置要从小数点后算 简便书写法 循环小数的简便记法题型 ① 找出循环节；② 循环节只有一位，就在这个数字上方点一个点；③ 循环节有多位，就在循环节的首位和末位数字上方各点一个点；④ 检查点的位置是否正确 循环节，简便写，一位数字头上点，多位首尾各一点，中间不用再打点 展开比较法 循环小数大小比较题型 ① 把循环小数展开多写几位循环节；② 相同数位对齐，从高位到低位逐位比较；③ 比出大小后用符号连接；④ 检验数位对齐是否正确 比大小，要展开，相同数位对齐来，从高到低逐位比，比出大小再连接 分类梳理法 小数综合分类题型 ① 先按小数部分位数，分成有限小数和无限小数两类；② 再从无限小数里分出循环小数；③ 逐一归类，不重不漏；④ 检查每一个小数的分类是否正确 小数分类有层次，先分有限和无限，无限里面找循环，不重不漏分清楚 三、课时数学思想与素养提升 1. 分类思想：小数的层级分类逻辑 核心要义：按照 “小数部分位数是否有限” 作为第一层级分类标准，将小数分为有限小数和无限小数；再按照 “小数部分是否有数字依次不断重复出现” 作为第二层级标准，将无限小数分为循环小数和无限不循环小数，形成层级清晰的分类体系，培养分类讨论的数学思想。 典型范式：小数分为有限小数和无限小数，无限小数又分为循环小数和无限不循环小数，循环小数属于无限小数，但无限小数不一定是循环小数，层级分明，逻辑严谨。 2. 推理思想：循环规律的归纳演绎 核心要义：通过计算多个小数除法算式，观察商的特点，归纳出循环小数的共同特征，再用归纳出的概念去判断其他小数是否为循环小数，经历 “计算 — 观察 — 归纳 — 应用” 的推理过程，培养归纳推理与演绎推理能力。 典型范式：计算、、，观察发现它们的小数部分都有数字依次不断重复出现，归纳出循环小数的概念，再用这个概念去判断其他小数。 3. 模型思想：循环小数的表达模型 核心要义：提炼出循环小数的通用表达模型，包括一般写法（省略号形式）和简便写法（循环节加点形式），两种表达形式可以互相转化，形成规范的数学表达模型，培养模型建构与规范表达能力。 典型范式：循环小数一般写法如，简便写法如；简便写法，模型统一，书写规范。 4. 应用思想：循环小数的生活落地 核心要义：循环小数广泛存在于生活中的除法运算场景，比如平均分物品、计算单价、行程问题中的周期现象等，体会循环小数在解决实际问题中的价值，培养用数学眼光观察生活的应用意识。 典型范式：把 1 千克糖平均分给 3 个小朋友，每人分到千克；计算物品单价时出现循环小数，都是生活中的常见应用。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：小数的分类（有限小数与无限小数） 典型例题 1（基础层级）—— 概念分类 题目：把下面的小数填在相应的分类。 3.25、0.333…、8.145145…、0.75、6.333、0.1010010001… 有限小数： 无限小数： 循环小数： 思路点拨: ① 第一步：回忆分类标准。小数部分的位数是有限的，叫作有限小数；小数部分的位数是无限的，叫作无限小数；一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数，循环小数属于无限小数。 ② 第二步：逐个判断有限小数。3.25 小数部分有 2 位，0.75 有 2 位，6.333 有 3 位，位数都是有限的，因此都是有限小数。 ③ 第三步：逐个判断无限小数。0.333…、8.145145…、0.1010010001… 的小数部分位数都是无限的，都有省略号，因此都是无限小数。 ④ 第四步：从无限小数里找循环小数。0.333… 中数字 3 依次不断重复出现，8.145145… 中数字 145 依次不断重复出现，都是循环小数；0.1010010001… 没有依次不断重复的数字，是无限不循环小数，不是循环小数。 ⑤ 第五步：整理归类，检验不重不漏。 【答案】 有限小数： 无限小数： 循环小数： 【知识点睛】小数分类核心要点： 1. 分类层级： · 第一层级：按小数部分位数，小数分为有限小数和无限小数两类； · 第二层级：无限小数又分为循环小数和无限不循环小数两类。 2. 核心定义： · 有限小数：小数部分的位数是有限的； · 无限小数：小数部分的位数是无限的； · 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。 3. 包含关系：循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数；有限小数和无限小数是并列关系，没有交集。 4. 易错提醒：不要看到省略号就认为是循环小数，必须有 “依次不断重复出现” 的数字才是循环小数；不要把 6.333 这种三位小数当成循环小数，它位数有限，是有限小数。 考点二：循环小数的意义与循环节 典型例题 2（核心层级）—— 计算与循环节识别 题目：计算下面各题，观察商的特点，找出循环节。 （1） （2） 思路点拨: ① 第（1）题：计算 · 第一步：列竖式计算，1 除以 3，整数部分商 0，点小数点，补 0 成 10，商 3，余数 1； · 第二步：余数 1 补 0 又成 10，继续商 3，余数又出现 1，不断重复； · 第三步：商是 0.333…，小数部分数字 3 依次不断重复出现，因此循环节是 3。 ② 第（2）题：计算 · 第一步：列竖式计算，2 除以 11，整数部分商 0，点小数点，补 0 成 20，商 1，余数 9； · 第二步：余数 9 补 0 成 90，商 8，余数 2； · 第三步：余数 2 补 0 又成 20，商 1，余数 9，开始重复； · 第四步：商是 0.1818…，小数部分数字 18 依次不断重复出现，因此循环节是 18。 ③ 第五步：检验，余数重复出现时，商就会重复，循环节就是依次不断重复的数字。 【答案】 （1），循环节是； （2），循环节是。 【知识点睛】循环小数与循环节核心要点： 1. 循环小数产生的原因：在小数除法中，当余数不断重复出现时，商也会不断重复出现，就会产生循环小数。 2. 循环节的定义：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 3. 循环节的判断方法： ① 看小数部分，找到从某一位开始不断重复的数字； ② 重复的数字必须是连续的、依次出现的； ③ 最短的重复单元就是循环节，循环节不包含不重复的数字。 4. 易错提醒：循环节必须是小数部分的数字，整数部分不算；必须是 “依次不断重复”，偶尔出现一次重复不算。 考点三：循环小数的简便记法 典型例题 3（核心层级）—— 简便书写 题目：把下面的循环小数写成简便形式。 （1）0.333… （2）0.1818… （3）5.234234… （4）0.12555… 思路点拨: ① 第一步：回忆简便记法规则。写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 ② 第（1）题：0.333…，循环节是 3，只有一位，在 3 上方点一个点，写作。 ③ 第（2）题：0.1818…，循环节是 18，两位，在 1 和 8 上方各点一个点，写作。 ④ 第（3）题：5.234234…，循环节是 234，三位，在 2 和 4 上方各点一个点，写作。 ⑤ 第（4）题：0.12555…，小数部分前两位 12 不重复，从第三位开始 5 重复，循环节是 5，在 5 上方点一个点，写作。 ⑥ 第六步：检验，循环节的首位和末位点正确，中间数字不用点。 【答案】（1）（2）（3）（4） 【知识点睛】循环小数简便记法核心要点： 1. 书写规则： · 只写出第一个循环节，在循环节的首位和末位数字上面各点一个小圆点（循环点）； · 循环节只有 1 位数字时，只在这个数字上方点一个点； · 循环节有多位数字时，只在首尾两个数字上方点，中间数字不点。 2. 特殊情况：循环节不是从小数部分第一位开始的（混循环小数），只在循环节的首尾打点，前面不循环的部分正常写。 3. 易错提醒：循环节多位时，不要每个数字上方都打点，只点首尾；不要把不循环的数字算进循环节里打点。 考点四：循环小数的大小比较 典型例题 4（提升层级）—— 大小比较 题目：比较下面各组数的大小，填 “>”“<” 或 “=”。 （1） ○ 0.333 （2） ○ 0.1818 （3） ○ 思路点拨: ① 第一步：明确比较方法。循环小数比较大小，先把循环小数展开多写几位，相同数位对齐，从高位到低位逐位比较。 ② 第（1）题：，0.333 是有限小数，对齐数位： 0.3333… 0.333 前三位都相同，第四位循环小数是 3，有限小数是 0，因此。 ③ 第（2）题：，0.1818 是有限小数，对齐数位： 0.181818… 0.1818 前四位都相同，第五位循环小数是 1，有限小数是 0，因此。 ④ 第（3）题：，，对齐数位： 1.2333… 1.2323… 整数部分和十分位、百分位都相同，千分位上 3>2，因此。 ⑤ 第五步：检验，展开位数足够，逐位比较准确。 【答案】（1） （2） （3） 【知识点睛】循环小数大小比较核心要点： 1. 通用方法： ① 展开：把循环小数的循环节多展开几位，写出足够多的小数位数； ② 对齐：把要比较的数的小数点对齐，相同数位对齐； ③ 比较：从高位到低位逐位比较，比出大小为止； ④ 检验：确认比较的数位对应正确，没有看错数字。 2. 技巧口诀：循环小数比大小，展开几位对齐了，从高到低逐位看，哪一位大哪个大。 3. 易错提醒：不要只看前两位就下结论，必须比到出现不同的数位为止；不要把循环节的顺序看错，比如是 18 循环，不是 81 循环。 考点五：小数分类的综合应用 典型例题 5（拓展层级）—— 综合分类 题目：将下列小数按要求分类。 0.6、0.456、、3.1415926…、、1.232323、8.1010010001… （1）有限小数有（ ）； （2）无限小数有（ ）； （3）循环小数有（ ）。 思路点拨: ① 第一步：先分有限和无限。小数部分位数有限的是有限小数，位数无限的是无限小数。 有限小数：0.6、0.456、1.232323，小数部分位数分别是 1、3、6，都是有限的。 ② 第二步：剩下的都是无限小数：、3.1415926…、、8.1010010001…，都有省略号或循环点，小数部分位数无限。 ③ 第三步：从无限小数里找循环小数，即有数字依次不断重复的。 ：7 循环，是循环小数； ：45 循环，是循环小数； 3.1415926… 和 8.1010010001… 没有依次重复的数字，是无限不循环小数。 ④ 第四步：整理答案，检查没有重复、没有遗漏。 【答案】 （1）有限小数： （2）无限小数： （3）循环小数： 【知识点睛】小数综合分类核心要点： 1. 分类逻辑：先分有限 / 无限，再从无限里分循环 / 不循环，层级清晰，不重不漏。 2. 判断技巧： · 看有没有省略号或循环点，有就是无限小数，没有就是有限小数； · 无限小数中，有循环节（或依次重复数字）的就是循环小数，否则是无限不循环小数。 3. 易混点区分： · 1.232323 是有限小数，不是循环小数，因为位数有限； · 3.1415926… 是无限不循环小数，不是循环小数，没有重复的循环节。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：混淆有限与无限的判断标准，把有限小数当成循环小数 错误范式：认为 6.333 是循环小数，因为有重复的数字 3，忽略了它小数部分只有 3 位，是有限小数。 成因剖析：对循环小数的定义理解不全，只看到 “重复数字”，忽略了 “小数部分位数无限” 和 “依次不断重复” 两个前提。 避坑方案：牢记：循环小数首先是无限小数，位数必须无限；有限小数不管数字多像循环，都不是循环小数。口诀：循环小数是无限，位数无限是前提，有限小数位数定，再像循环也不算。判断时先看位数是否有限，再看有没有循环。 易错点 2：循环节找错，包含不重复的数字 错误范式：0.12555… 的循环节找成 125，把前面不重复的 1、2 也算进循环节里。 成因剖析：对循环节 “依次不断重复” 的起点判断不清，误以为从小数部分第一位开始才是循环节，或者把不重复的数字包含进去。 避坑方案：牢记：循环节是小数部分中不断重复的最短数字段，不包含前面不重复的数字。口诀：找循环节看重复，最短重复是循环，不重复的不算数，起点找对才正确。先找到开始重复的位置，再确定循环节。 易错点 3：简便写法错误，循环点位置不对 错误范式：循环节是 234，写成，每个数字都打点；或者循环节 18 写成，只点末位不点首位。 成因剖析：对简便记法的规则记忆不清，不知道多位循环节只点首尾，或者首尾漏点。 避坑方案：牢记简便写法规则：一位循环节，头上点一点；多位循环节，首尾各一点。口诀：循环点，点首尾，一位数字点一个，多位首尾各一个，中间数字不用点。写完后检查循环节首尾有没有点，中间有没有多打。 易错点 4：循环小数大小比较只看前几位，提前下结论 错误范式：比较和，只看到前两位都是 23，就认为相等，忽略了千分位的不同。 成因剖析：比较时展开位数不够，只看前几位就下结论，没有比到出现不同数字的数位。 避坑方案：牢记：循环小数比大小，多展开几位再比较，从高到低逐位比，比出不同才停止。口诀：比大小，别着急，展开几位对齐比，高位相同往下比，出现不同定大小。至少展开到能比出大小的数位再判断。 易错点 5：误认为无限小数都是循环小数 错误范式：判断题 “无限小数都是循环小数” 打对号，忽略了无限不循环小数的存在。 成因剖析：对无限小数的分类理解不全，以为无限的就都是循环的，不知道还有无限不循环小数。 避坑方案：牢记：无限小数分两类，循环和不循环，循环只是其中一种，不是所有无限都循环。口诀：无限小数有两种，循环和不循环，循环小数会重复，不循环的没规律。可以举圆周率的例子，是无限不循环小数，不是循环小数。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）小数部分的位数是有限的小数，叫作（ ）；小数部分的位数是无限的小数，叫作（ ）。 （2）一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字（ ）不断（ ）出现，这样的小数叫作循环小数。 （3）循环小数 0.333… 的循环节是（ ），简便写法是（ ）。 （4）的循环节是（ ），展开后是（ ）。 （5）在 3.14、、3.1414、3.1415926… 中，有限小数有（ ），无限小数有（ ），循环小数有（ ）。 2. 判断： （1）循环小数都是无限小数，无限小数都是循环小数。（ ） （2）0.777 是循环小数。（ ） （3）循环节只能是一位数字。（ ） （4）保留两位小数约是 5.09。（ ） （5）0.12323… 的循环节是 23。（ ） 3. 选择： （1）下面的小数中，属于循环小数的是（ ）。 A. 0.125 B. 0.333… C. 1.232323 （2）循环小数的循环节是（ ）。 A. 135 B. 35 C. 5 （3）下面的数中，最大的是（ ）。 A. 0.777 B. C. 0.767 （4）3.1415926… 是（ ）。 A. 有限小数 B. 循环小数 C. 无限不循环小数 4. 计算： 计算下面各题，商是循环小数的用简便形式表示。 （1） （2） （3） 5. 分类题： 把下面的小数填在相应的括号里。 0.8、、2.3131、6.777…、3.14159…、 有限小数：（ ） 无限小数：（ ） 循环小数：（ ） 6. 说理题： 请你说一说，什么是循环小数？什么是循环节？循环小数的简便写法是怎样的？ 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）下面的说法中，正确的是（ ）。 A. 无限小数比有限小数大 B. 循环小数都是无限小数 C. 0.5555 是循环小数 （2）和 1 相比，（ ）。 A. B. C. 二者相等 （3）把 0.303、、按从小到大排列，正确的是（ ）。 A. B. C. 8. 填空： （1）把、1.222、按从大到小排列：（ ）>（ ）>（ ）。 （2）循环小数 0.203203… 的小数部分第 10 位数字是（ ）。 （3）一个循环小数的循环节是三位，小数部分第 1 位、第 4 位、第 7 位…… 的数字（ ）。 9. 解决问题： （1）把 10 千克大米平均分给 7 个家庭，每个家庭分到多少千克？（结果用循环小数表示） （2）小明计算一道除法题，商是循环小数，循环节是 36，已知商的小数部分第 1 位是 2，第 2、3 位是 3、6，写出这个循环小数的简便形式。 10. 探究题： 计算、、…… 你发现了什么规律？根据规律直接写出、的商。 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 循环小数的小数部分第 100 位上的数字是几？前 100 位数字的和是多少？ 12. 一个循环小数是，它的小数部分第 20 位上的数字是几？ 四、数学活动拓展 实践活动：生活中的循环小数大搜索 活动任务： 1. 找一找生活中哪些场景会出现循环小数，比如平均分物品、计算单价、行程问题等，记录 3 个例子； 2. 计算下面的算式，观察商的特点：、、，看看它们的循环节有什么规律； 3. 和同学分享你的发现，讨论循环小数在生活中的应用； 4. 自己写几个循环小数，让同学写出简便形式，互相检验。 要求：通过生活实例和计算探究，深化对循环小数的理解，体会数学与生活的紧密联系，提升探究能力与应用意识。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 （1）有限小数；无限小数 （2）依次；重复 （3）3； （4）27；0.272727… （5）3.14、3.1414；、3.1415926…； 思路点拨: ① 有限小数和无限小数的定义； ② 循环小数的核心定义； ③ 循环节的识别与简便写法； ④ 循环节的展开； ⑤ 小数的综合分类。 【知识点睛】基础概念识记题型，全面覆盖本课时核心定义、循环节、简便写法、分类，夯实概念基础。 2. 【答案】（1）× （2）× （3）× （4）√ （5）√ 思路点拨: ① 无限小数不一定是循环小数，错误； ② 0.777 是有限小数，不是循环小数，错误； ③ 循环节可以是多位数字，错误； ④ ，保留两位小数是 5.09，正确； ⑤ 0.12323… 的循环节是 23，正确。 【知识点睛】概念辨析题型，针对性规避循环小数定义、循环节、近似数等高频易错点，深化概念理解。 3. 【答案】（1）B （2）B （3）B （4）C 思路点拨: ① 0.333… 是循环小数，选 B； ② 的循环节是 35，选 B； ③ 最大，选 B； ④ 3.1415926… 是无限不循环小数，选 C。 【知识点睛】基础选择题型，考查循环小数判断、循环节识别、大小比较、小数分类，训练基础应用能力。 4. 【答案】 （1） （2） （3） 思路点拨: 先列竖式计算，找到循环节，再写成简便形式，注意循环节的位置。 【知识点睛】基础计算题型，巩固循环小数的计算与简便写法，训练规范的计算步骤。 5. 【答案】 有限小数：0.8、2.3131 无限小数：、6.777…、3.14159…、 循环小数：、6.777…、 思路点拨: 先按位数分有限和无限，再从无限里找循环小数，不重不漏。 【知识点睛】分类题型，训练小数分类的方法，巩固分类逻辑。 6. 【答案】 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 简便写法：写循环小数时，只写第一个循环节，在循环节的首位和末位数字上面各点一个圆点；循环节只有一位时，只在这个数字上方点一个点。 思路点拨: 从定义、循环节、简便写法三个维度阐述，逻辑清晰，覆盖核心要点。 【知识点睛】概念归纳题型，培养总结概括能力，深化对循环小数的整体理解。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）B （2）A （3）C 思路点拨: A 选项无限小数不一定比有限小数大，错误；B 选项循环小数都是无限小数，正确；C 选项 0.5555 是有限小数，错误。 （2）比较小数大小先看整数部分，的整数部分是 0，1 的整数部分是 1，0<1，因此。 （3），，，从小到大排列为，选 C。 【知识点睛】循环小数比较大小，仍遵循小数大小比较的基本规则，从高位到低位逐位比较，高位数字大的数整体更大。 8. 【答案】 （1） > > 1.222 （2）2 （3）相同 思路点拨: （1），，1.222，比较得大小顺序； （2）循环节 203，3 位一循环，10÷3=3 组余 1，第 10 位是循环节第一位 （3）循环节为三位，即每 3 个数字为一个完整周期；第 1 位、第 4 位（1+3）、第 7 位（4+3）均对应循环节的第一个位置，因此数字完全相同。 【知识点睛】考查循环小数的周期性规律，循环节的长度就是重复周期，相同余数对应循环节的同一位置，数字一致。 9. （1）【答案】（千克） 答：每个家庭分到千克。 思路点拨： ① 根据平均分的数量关系，总质量 ÷ 家庭数 = 每户分到的质量，列式为； ② 列竖式计算，余数重复出现 3、2、6、4、5、1，商的小数部分 285714 依次不断重复； ③ 确定循环节为 285714，按照简便记法在首位 2 和末位 4 上方各点一个循环点。 【知识点睛】平均分场景的循环小数应用，巩固循环小数的竖式计算与简便写法，体会循环小数在生活中的实际意义。 （2）【答案】 思路点拨： ① 小数部分第 1 位是 2，不属于循环部分；从第 2 位开始，3、6 依次不断重复，因此循环节是 36； ② 按照混循环小数的简便记法，只在循环节的首位 3 和末位 6 上方各点一个循环点，前面不循环的数字 2 正常书写。 【知识点睛】混循环小数的简便写法，明确循环节的起始位置，区分纯循环小数与混循环小数的书写差异。 10. 【答案】 计算结果：，， 规律：一个小于 9 的正整数除以 9，商是纯循环小数，整数部分为 0，循环节与被除数完全相同。 根据规律可得：， 思路点拨： ① 分别列竖式计算 1÷9、2÷9、3÷9，写出商的简便形式； ② 观察对比三组算式，发现被除数是几，循环节就是几，规律具有一致性； ③ 依据归纳出的规律，直接推导 5÷9 和 7÷9 的结果，可通过竖式计算验证规律成立。 【知识点睛】探究 “几除以 9” 的循环规律，培养归纳推理能力，深化对循环小数产生机制的理解，提升数学探究意识。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】小数部分第 100 位上的数字是 7；前 100 位数字的和是 454。 思路点拨： ① 确定周期：循环节是 285714，共 6 位数字，即一个周期包含 6 个数字； ② 定位第 100 位：（组）……4（个），余数为 4，对应循环节的第 4 位数字，即 7； ③ 计算前 100 位数字和：一组循环节的数字和： 16 组完整循环的和： 余下 4 个数字的和： 总和： 【知识点睛】循环小数的周期问题，核心是找准循环节确定周期长度，用有余数的除法定位数位，再分步计算数字和，培养周期问题的解题方法与综合计算能力。 12. 【答案】它的小数部分第 20 位上的数字是 7。 思路点拨： ① 明确循环起点：小数部分前两位 “3、2” 不循环，从第 3 位开始进入循环，循环节是 7（仅 1 位数字）； ② 计算循环部分的总位数：（位），即从第 3 位到第 20 位共 18 位； ③ 周期计算：循环节长度为 1，，无余数，说明第 20 位恰好对应循环节的数字 7。 【知识点睛】混循环小数的数位周期问题，解题关键是先减去不循环的位数，再按周期规律计算，培养细致审题与分步拆解问题的能力。 四、数学活动拓展解析 活动参考过程： 1． 生活搜索：引导学生从平均分、单价计算、周期现象等场景寻找循环小数实例，如 “1 升水平均倒 3 杯”“计算物品单价除不尽” 等，记录 3 个完整例子； 2． 计算探究：分别计算、、，观察到三个算式的循环节均由 1、4、2、8、5、7 六个数字组成，只是起始位置不同，感受循环小数的数字规律； 3． 交流分享：小组内分享生活实例与计算发现，讨论循环小数在实际场景中的处理方式（如取近似值），体会数学与生活的联系； 4． 互动练习：同桌互相编写循环小数，对方写出简便形式并指出循环节，互相批改检验，巩固核心知识点。 【知识点睛】通过真实生活调查与计算探究，整合循环小数的概念、简便记法、数字规律等知识，提升应用意识、实践探究能力与合作交流能力，让学生在真实场景中感受数学的实用价值，落实综合实践课的育人目标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $