第二章一元二次方程暑假预习单元检测卷（一）2026—2027学年九年级数学上册苏科版

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心知识，以题组形式构建“概念-解法-应用-拓展”逻辑链，强化运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与解法|选择1/解答13|配方法、公式法等|从方程形式转化到解法迁移，夯实运算基础| |根的性质|选择2-3/填空9-10|判别式、韦达定理应用|通过参数讨论深化根的存在性与数量关系认知| |实际应用|选择4/解答16-17|增长率、面积、利润问题|建立“问题情境-方程模型-求解验证”思维路径| |拓展探究|选择8/解答18|几何图解、新定义“高关联方程”|融合几何直观与代数推理，发展创新意识|

第二章一元二次方程暑假预习单元检测卷（一）苏科版2026—2027学年九年级上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．将方程化为的形式，n的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列一元二次方程没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 4．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为（     ） A． B． C． D． 5．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 6．设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（     ） A．2 B． C． D． 7．若是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 8．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1的图解法构造图2，在中，，连接，若，则的值是（     ）      A． B． C． D． 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 10．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 11．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 12．已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．解一元二次方程： (1)； (2)． 14．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 15．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 16．为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． (1)的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 17．某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 18．已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 参考答案 1．D 2．C 3．D 4．C 5．A 6．A 7．D 8．D 9． 10． 11． 12． 1 13．【详解】（1）解：， 或， ，； （2）解：，其中，，， 则， 原方程有两个不相等的实数根， ， ，． 14．(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 15．【详解】（1）证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程， ， 任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． （2）解： 方程有两个不相等的正整数根， ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． 16．【详解】（1）解：∵的长为x米， ∴的长为（米）． 由题意可得， 解得， 即x的取值范围为． （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 由（1）有， ∴． 答：的长度为16米． 17．【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； （2）解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 18．【详解】（1）解： 因式分解：， 得． 方程1：， 方程2：， 由： 把代入 因式分解：， 根为． 两个方程只有唯一公共根，满足“有且只有一个相同根”． ，相同根为 （2）解：方程①：， 方程②：， ，即， 只有一个公共根，设公共根为 两式相减： 把代入： 将代入： 化简得 已知，故， 得． 则． 检验： 方程①：，根 方程②：，根 只有唯一公共根，符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 $