精品解析：甘肃省陇南市武都区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024－2025学年第二学期质量监测（二）八年级数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 国际数学教育大会是国际数学联盟指导下的数学界最高级别会议之一，被誉为国际数学教育界的“奥林匹克”．2021年，国际数学教育大会第一次在中国上海召开，下图是大会会标，会标的设计蕴含了丰富的数学文化元素，它的基本思想来自河图．会标中，位于中心的弦图替代了河图中心的五个点，弦图是三国时期的数学家赵爽给出的一个绝妙证明，它解决的数学问题是（ ） A. 三角形内角和定理 B. 勾股定理 C. 三角形全等 D. 轴对称图形 4. 在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为（ ） A B. C. D. 7. 一块边长为 a 的正方形桌布，平铺在直径为 b 的圆桌上，若桌布四角下垂的最大长度相等，则该最大长度为（ ） A. B. C. D. 8. 中国结寓意团圆、美满，在我们甘肃，很多家庭都喜欢用中国结来装饰家居．小南家就有一个菱形中国结装饰，这个中国结的纺织花纹融合了甘肃传统图案特色，像是敦煌壁画中的某些元素等．图示为其简化示意图，测得，，于点，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 10 9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是点 的坐标是 ， 点 是 上 一点， 将 沿折叠，点 恰好落在轴上的点处， 则点 的坐标为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，当长度最小时，的面积是（ ） A. 6 B. C. D. 24 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 化简：_______． 12. 裕固族工匠用银片制作饰品，其中有一个长方形银片的面积为，长为，则该长方形银片的宽为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的六个等边三角形组成的正六边形的中心与原点重合，轴，则点的坐标为___________． 14. 学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③若小明同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线___________． 15. 如图，点O是菱形的对称中心，连接，，，为过点O的一条直线，点E，F分别在，上，则图中阴影部分的面积为_______． 16. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为__________m． 三、解答题：本大题共6小题，共46分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，，求： （1）的值． （2）的值． 19. 如图，在中，对角线，相交于点O，经过点O的直线分别交和于点E，F，求证：． 20. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间（结果保留根号）； （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ 21. 如图，将面积为8正方形和面积为2的正方形拼在一起，点E在边的延长线上，点G在边上，连接．求的面积． 22. 我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”． （1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形； （2）当时，求菱形的“神似度”． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． （1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 24. 在中，对角线与相交点O，过点O分别作和的垂线，垂足分别为H，M． （1）如图1，当时，求证：平行四边形是菱形； （2）如图2，当时，若，求的值． 25. 【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：_____； （2）计算：； （3）已知，，求的值． 26. 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 27. 【课本内容】 如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边BC上的中线． 【尝试应用】 学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围． 反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题处理】 如图3，已知是中边上的中线，F是上的一点，交于点E，，求证：； 【拓展提升】 如图4，在等边中，点E是边上一定点，点D在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第二学期质量监测（二）八年级数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的化简；理解并掌握其概念是解题的关键．最简二次根式：被开方数不含有分母；被开方数不含有能开方的因数或因式；由此即可求解． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A ． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法、二次根式的除法、二次根式的乘法，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 详解】解：A、不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、不能合并，故该选项不符合题意； 故选：C 3. 国际数学教育大会是国际数学联盟指导下的数学界最高级别会议之一，被誉为国际数学教育界的“奥林匹克”．2021年，国际数学教育大会第一次在中国上海召开，下图是大会会标，会标的设计蕴含了丰富的数学文化元素，它的基本思想来自河图．会标中，位于中心的弦图替代了河图中心的五个点，弦图是三国时期的数学家赵爽给出的一个绝妙证明，它解决的数学问题是（ ） A. 三角形内角和定理 B. 勾股定理 C. 三角形全等 D. 轴对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理即可得出． 【详解】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理． 故选：B． 4. 在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理等知识点，根据三角形的内角和定理求出的度数，即可判断选项，根据三角形内角和定理求出和的度数，即可判断选项，选项，根据勾股定理的逆定理判定选项即可，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解决此题的关键． 【详解】解：、由,，则不是直角三角形，故本选项符合题意； 、由,，得,是直角三角形，故本选项不符合题意； 、由,,则,是直角三角形，故本选项不符合题意； 、由,得是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 5. 平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行四边形性质得到，，再结合建立等式求出，即可解题． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ， ， 解得， ； 故选：B． 6. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：分别为的中点，， ， 点距离地面的高度为． 故选：B． 7. 一块边长为 a 的正方形桌布，平铺在直径为 b 的圆桌上，若桌布四角下垂的最大长度相等，则该最大长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】桌布四角下垂的最大长度为正方形的对角线减去圆桌的直径的一半． 【详解】如图， ∵正方形的对角线为a，圆桌的直径为b ∴桌布下垂的最大长度为（a-b）=a−． 故选C． 【点睛】本题主要是将实际问题转化为数学模型，运用数学的思想进行求解． 8. 中国结寓意团圆、美满，在我们甘肃，很多家庭都喜欢用中国结来装饰家居．小南家就有一个菱形中国结装饰，这个中国结的纺织花纹融合了甘肃传统图案特色，像是敦煌壁画中的某些元素等．图示为其简化示意图，测得，，于点，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的性质可得，，再由勾股定理可得的长，再根据，解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是点 的坐标是 ， 点 是 上 一点， 将 沿折叠，点 恰好落在轴上的点处， 则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质．由勾股定理得，由折叠得，，则，由，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 10. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，当长度最小时，的面积是（ ） A. 6 B. C. D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，根据勾股定理求出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：如图所示，由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：； 故答案为： 12. 裕固族工匠用银片制作饰品，其中有一个长方形银片的面积为，长为，则该长方形银片的宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的除法，根据题意，用长方形的面积除以长即可得到宽． 【详解】解：∵长方形银片的面积为，长为， ∴该长方形银片的宽为， 故选：. 13. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的六个等边三角形组成的正六边形的中心与原点重合，轴，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查等边三角形的性质及坐标与图形，根据题意得出，再由等边三角形的性质确定，利用勾股定理求解，结合图形即可得出结果． 【详解】解：如图所示：与y轴交于点H， ∵边长为2的六个等边三角形组成的正六边形的中心与原点重合， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14. 学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③若小明同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键．设风筝下降到点M处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解． 【详解】解：如图，设风筝下降到点M处，连接，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，点O是菱形的对称中心，连接，，，为过点O的一条直线，点E，F分别在，上，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称、菱形，关键是掌握菱形的性质．先算出菱形的面积，再算出四边形的面积，因为阴影部分的面积四边形的面积，求得三角形的面积，可得阴影部分的面积． 【详解】解：连接、， ∵点O是菱形的对称中心， ∴，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∵为过点O的一条直线， ∴四边形的面积四边形的面积菱形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积， ∵阴影部分的面积四边形的面积，， ∴阴影部分的面积， 故答案为：12． 16. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为__________m． 【答案】4600 【解析】 【详解】小敏行走的路程为，则， 小聪行走的路程为 . 连接CG， 在正方形ABCD中，， 在△ADG和△CDG中， ∴， ∴AG=CG. 又∵， ∴四边形GECF是矩形， ∴. 又∵∠=45°， ∴DE=GE， ∴小聪行走的路程为. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形和矩形的判定等知识，正确作出辅助线是解题的关键.. 三、解答题：本大题共6小题，共46分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法进行计算再进行加减计算即可求解； （2）先利用二次根式的乘法和除法计算，再合并，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 18. 已知，，求： （1）的值． （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，平方差公式，二次根式的混合运算． （1）将字母的值代入，即可求解． （2）先计算，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 小问1详解】 解：∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ 19. 如图，在中，对角线，相交于点O，经过点O的直线分别交和于点E，F，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题关键． 由平行四边形可知，，进而证明，即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 20. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间（结果保留根号）； （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据公式，代入计算即可； （2）先根据根，求得高度，再根据公式物体质量高度（），计算能量即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这串钥匙在下落过程中所带能量有． 21. 如图，将面积为8的正方形和面积为2的正方形拼在一起，点E在边的延长线上，点G在边上，连接．求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形的面积，算术平方根的应用，掌握相关知识成为解题的关键．由正方形的性质以及已知条件可得，再根据线段的和差即可求出．根据求解即可． 【详解】解：∵面积为8的正方形和面积为2的正方形拼在一起， ∴， ． ， ， ， ． 22. 我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”． （1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形； （2）当时，求菱形的“神似度”． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质推理是解题的关键． （1）根据正方形的判定得出答案即可； （2）连接和，交于点，根据、菱形的性质，得出、，结合含角的直角三角形的性质、勾股定理，得出，，即可代入计算出菱形的“神似度”． 【小问1详解】 解：∵对角线相等的菱形是正方形， ∴当时，即时，菱形是正方形， ∴当菱形的“神似度”时，菱形就是正方形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接和，交于点O， ∵四边形菱形， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即菱形的“神似度”为． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． （1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵的长为，BM的长为， ∴， ∴， ∴， ∴供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 在中，对角线与相交点O，过点O分别作和的垂线，垂足分别为H，M． （1）如图1，当时，求证：平行四边形是菱形； （2）如图2，当时，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的性质和判定，等边三角形的判定和性质． （1）根据角平分线判定定理证得，根据平行线的性质得到，即可得到，得到，根据菱形的判定定理即可证得结论； （2）证明四边形是矩形得到，进而证得是等边三角形，，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求得，即可求得答案． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形矩形， ∴，， ∴， ∴． 25. 【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：_____； （2）计算：； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）12. 【解析】 【分析】本题考查分母有理数，二次根式的混合运算. （1）根据分母有理化的方法进行求解即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）先进行分母有理化求出的值，进而求出的值，然后代入求值即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 ∵， ， ∴， ∴． 26. 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 27. 【课本内容】 如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边BC上的中线． 【尝试应用】 学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围． 反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题处理】 如图3，已知是中边上的中线，F是上的一点，交于点E，，求证：； 【拓展提升】 如图4，在等边中，点E是边上一定点，点D在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】【尝试应用】见解析，；【问题处理】证明见解析；【拓展提升】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握倍长中线法和截长补短法构造全等三角形是解题的关键： （1）利用证明，进而得到，三角形的三边关系求出的范围，进而求出的范围； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，结合，等边对等角，对顶角相等，得到，即可得证； （3）在上截取，证明，得到，再根据，等量代换即可得出结论． 【详解】解：尝试应用：延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 问题处理：延长至点，使，连接， 同（1）法可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 拓展提升：在上截取， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$