精品解析：2026年江苏省无锡市中考数学试卷

江苏省无锡市2026年初中学业水平考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如果一辆汽车加油记作，那么消耗油记作（ ） A. B. C. D. 2. 使分式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人．数据602000000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 8，9 B. 9，9 C. 9，8 D. 11，9 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 10. 在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中的横线上） 11. 计算：______． 12. 因式分解：___________． 13. 窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美．如图所示，某个窗棂图案的外框是正六边形，这个正六边形的每一个外角都等于______度． 14. 命题：“若，则．”是______（填“真”或“假”）命题． 15. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离等于1．请写出一个符合条件的点的坐标：______． 16. 在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为的物体，弹簧长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的函数表达式为．若挂物体时弹簧的长度为，则挂物体时弹簧的长度为______． 17. 已知正方形的边长为2，是的中点，是的中点，则______． 18. 在四边形中，，，，，，点在四边形内．如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，则______（填“存在”或“不存在”）点，使得；如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是____． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 按要求完成下列小题： （1）解方程：； （2）计算：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，在矩形中，点，在上，，，的延长线相交于点． （1）求证：； （2）求证：是等腰三角形． 22. 一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． （1）求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； （2）有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 23. 某校积极开展劳动教育，鼓励学生动手实践、磨炼意志．为了解本校学生参加家务劳动情况，现对八年级学生一周参加家务劳动时间（单位：，按整数计）进行抽样调查，并把所得数据进行整理和分析，部分信息如下： 一周参加家务劳动时间的频数分布表 组别 劳动时间 频数 A 3 B C D 18 E 9 一周参加家务劳动时间的扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： （1）________；________； （2）学校建议八年级学生每周参加家务劳动时间不少于．已知该校八年级共有600名学生，请你估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于的人数； （3）请结合数据对该校八年级学生一周参加家务劳动时间的情况作出评价． 24. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的周长（请直接写出答案）． 25. 如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 26. 综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 27. 如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）． （1）若点，，则______． （2）若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． （3）延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 28. 在中，点，分别在，上．若，则称线段是中所对的“等截线”． （1）如图1，已知是中所对的“等截线”，，，求的值（请直接写出答案）． 【概念应用】 （2）如图2，在等腰中，，，，求所对的“等截线”的长度． 【深入探究】 （3）小明探究发现：任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在．如何画出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以为例，画出所对的“等截线”的部分步骤如下． 画法 图形 ①在上适当的位置取点，作直线，交于点 ②在上截取，连接并延长，交于点 ③在上取点，使得 ④作，交于点 … 请你根据以上信息，说明步骤④中的的长度即为所对的“等截线”的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 江苏省无锡市2026年初中学业水平考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题（本大题共10小题每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求) 1.如果一辆汽车加油50L记作+50L,那么消耗油30L记作() A.+80L B.-80L c+30L D.-30L 【答案】D 【解析】 【详解】解：，加油50L记作+50L, ·.消耗油30L记作-30L 1 2.使分式x-1有意义的x的取值范围是() A.t>1 Bx≥1 Cx≠1 【答案】C 【解析】 【详解】解：，分式x-1有意义， .x-1≠0， *1 第1页/共36页 命学科网命组卷网 3.随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎.截至2025 年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人.数据602000000用科学记数法表示为(). A.602×106 B.6.02x106 C6.02x10 D.0.602x10 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为ax10°，需要满足1≤@<10，n为整数.题中数据602000000的小 数点向左移动8位，可以得到a=6.02,此时n=8,即可求解. 【详解】解： 602000000=6.02×108 4.体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8,9,9,10,11.这组数据的众数 和中位数分别是() A.8,9 B.9,9 C.9.8 D.11,9 【答案】B 【解析】 【详解】解：，数据8,9,9,10,11中9出现次数最多， 众数为9 ·将数据从小到大排列后，第3个数据为9， 中位数为9 32 5.分式方程x+1x的解是() A. x=2 B.*=-2 c. =3 【答案】A 【解析】 第2页/共36页 学科网命组卷网 【详解】解：方程两边同乘x(x+),得3x=2(+) 去括号，得3x=2x+2, 移项、合并同类项，得x=2, 检验：当=2时， x(x+1)≠0 ∴x=2是原分式方程的解 y=3x-2 6.将函数 的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为() A.y=3x-4 B.y=3x C.y=5x-2 D.y=x-2 【答案】B 【解析】 【群期】服，为马徽=3-之的用象同上干移个华伦长区，得-3-2+2=江 7.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C',若∠BAC=30°，∠BAC=110°，则旋 转角的度数是() 50° A B600 D80 【答案】D 【解析】 【分析】绕点A旋转，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即∠BAB'或∠CAC'.因为已知 第3页/共36页 6学科网命组卷网 ∠B'AC,∠BAC ∠B'AB 的度数，所以先计算 的度数，即两个角的差。依据旋转角的定义，该差值即 为所求旋转角。 【详解】解：：△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C, ∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是∠BAB'. .∠BAC=30°，∠B'AC=110° :.∠BAB'=∠B'AC-∠BAC=110°-30°=80° 即旋转角为80° 8.《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱.现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡 酒各有多少？设浓酒x斗，淡酒y斗，则下列方程组正确的是() x+y=30 x+y=30 10x+50y=2 50x+10y=2 x+y=2 x+y=2 C.10x+50y=30 D. 50x+10y=30 【答案】D 【解析】 【分析】设浓酒x斗，淡酒)斗，根据“买酒总斗数为2斗，总钱数为30钱”列出方程组即可， 【详解】解：设浓酒x斗，淡酒y斗，根据题意，得 x+y=2 50x+10y=30. 9.如图，二次函数y=+hr+ca>0与一次函数y=mx+m的图象交于A,B两点，己知点 A(-3,-）,点B在y轴上，则不等式r+bx-mr≤0的解集是(） 第4页/共36页 6学科网命组卷网 y=ax2+bx+c y=mx+n A A.x≤-3x≥0 或 B.x≤-1x≥0 或 c-3≤xs0 D.-l≤x≤0 【答案】C 【解析】 【详解】解：“对于二次函数y=r+br+ca>0),令x=0,则y=c, 、二次函数y=r+br+c(a>0)的图象与y轴的交点为(0，c), :对于一次函数y=mx+n,令x=0,则y=n, ·一次函数少=mx+”的图象与y轴的交点为(0，n）, :两个图象交于A,8两点，已知点1(-3，，点8在y轴上， c=n 则不等式r+bx-mr≤0可变形为r+x+c-mr≤n, 即ar'+hx+c≤mr+n ∴由图象可得，它的解集是-3≤x≤0 10在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，4C=2,BC=5.点D在边1B上，将△4CD沿CD 翻折，得到△A'CD.当A'C∥DB时，△ACD与△BCD重叠部分的面积是() 第5页/共36页 命学科网 组卷网 5 2W5 2W5 4v5 A.4 B.3 C.9 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先根据由勾股定理求出AB=3,再由翻折的性质得AC=AC=2,设A'D与BC交于点E, 然后说明△ACEADBE,可得DB={4D= S.ACD=AD=2 3 3，进而得出ScAB3，接下来求出 25 S.ACD 3 ,即可得出答案。 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC=V5 由勾股定理得AB=√AC2+BC2=V2+(52=3, 由翻折的性质得A'C=AC=2,∠A'CD=∠ACD,AD=AD .AC‖DB ∴.∠A'CD=∠ADC ∴.∠ACD=∠ADC ∴.AD=AC=2 ..A'D=2 BD=AB-AD=3-2=1 设A'D与BC交于点E, .AC‖BD ∴.∠A'=∠BDE∠A'CE=∠B 第6页/共36页 6学科网列组卷网 ∴.AACE∽ADBE A'E A'C 2 DEBD1. 3, ,△CDE与△A'CD同高（顶点为C,底边在A'D上）， S.CDE=DE=1 S.CD A'D 3, .△ACD,△ABC C 与 B上）， 同高（顶点为，底边在 ,S4=AD_2 S.ARC AB 3, 8m方4cC-2xw5=5 25 S4m 由翻折得八m=S4an-25 3, 12W52W5 .Scm=2× 339, 2V5 即△A'CD与ABCD重叠部分的面积是9· 第7页/共36页 6学科网 组卷网 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在题中的横线上） 1.计算：卜+V4= 【答案】3 【解析】 【详解】解： 原式=1+2=3 ab2-4a= 12.因式分解： 【答案】 a(b+2)(b-2) 【解析】 【分析】先提取公因式Q，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式 【详解】解：ab2-4a=a(62-4）=a(b2-22）=a(b+2)b-2) 13.窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美.如图所示，某个窗棂图案的外框是 正六边形，这个正六边形的每一个外角都等于度. 【答案】60 【解析】 【分析】根据任意多边形外角和恒为360°，正多边形的所有外角都相等，用外角和除以边数即可得到单 第8页/共36页 6学科网6组卷网 个外角的度数. 【详解】解：：任意多边形的外角和为360°，正六边形的6个外角大小相等， ∴·正六边形的每一个外角度数为360°÷6=60°」 14命愿：“若<1，则<1.”是—（换“真”或“假”）命题 【答案】假 【解析】 【分析】判断命题真假，只需找到满足题设条件但不满足结论的反例即可推出结果， 【详解】解：取x=-2, .x=-2x<1 满足， ∴.x2=(-2)2=4>1 不满足r<1 存在反例说明原命题不成立，原命题是假命题 15.在平面直角坐标系中，点A到原点的距离等于1.请写出一个符合条件的点A的坐标： 【答案】 (1,0) (答案不唯一) 【解析】 【分析】根据点到原点的距离条件，推导出点横纵坐标满足的关系式，任取一组满足关系式的值即可得到 结果 【详解】解：设点A的坐标为x), ,点A到原点的距离等于1， :r+y2=1P=l 令x=1,代入等式得》=0， ，满足条件， 因此符合要求的点A坐标可以为（山，0) 第9页/共36页 命学科网 命组卷网 16.在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量 30 的物体，弹簧长度》（单位：cm)与所挂物体质量x (单位： 8)之间的函数表达式为 =+9 10g 若挂 物体时弹簧的长度为1lcm,则挂 5g 物体时弹 簧的长度为 cm 【答案】12 【解析】 【分】根指已知×=10时=川，代入给定西数式求出系数人，再代入x=15计算对应'的值即可 0g 【详解】解：·挂 物体时弹簧的长度为1lcm ·将x=10y=11 代入函数式，得11=10k+9 解得k=0.2, ·函数表达式为y=0.2x+9(0≤x≤30) 将t1 代入函数式，得'=0.2×15+9=12 即 15g 物体时弹簧长度为 2cm 17.已知正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F是CE的中点，则DF= 3 【答案】2 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出各点坐标，得到中点F的坐标，再利用勾股定理计算DF的长度 【详解】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 第10页/供36页 6学科网命组卷网 B x ,正方形边长为2， A(0,0),B(2,0).C(2,2).D0,2) E是AB的中点， ·B的坐标为(，0)】 :F是CE的中点， C(2,2）E(1,0) 2+13 1, +0 ·F的横坐标为2=2，纵坐标为2 D(0,2) 2 18.在四边形 ABCD中ADI BC∠ABC=90,AD=3,AB=4,BC=5,点P在四边形 中 ABCD内.如图1，PB,PD将该四边形分成两部分，面积分别记作S,,则一（填“存在”或 “不存在”)点P.使得8=8：如图2，将点厂间右平移mm>0 个单位长度，得到点巴（点巴仍在 该四边形内).PB,P吧，OD将该四边形分成两部分，面积分别记作S,S.若存在点P,,使得 S=S,则”的取值范围是一 第11页/共36页 6学科网组卷网 S S2 S2 图1 图2 【答案】 ①.存在 ②0<m<V7 【解析】 【分析】连接BD,过点P作MNIB ,分别交CD,BC于点M.N, ABCD ,求梯形 的面积，可得 三角形BDP的面积，进而确定点P的轨迹并算出点P到BD的距离：通过分析临界情况利用梯形面积公 式根据题意列方程，求解即可得出m的取值范围. 【详解】解：如图，在图1中连接BD,过点P作MW川BD 分别交CD,BC于点M,N, S ABCD AD‖BC∠ABC=90° ,在四边形 中， ∴四边形ABCD是直角梯形， AD=3,AB=4,BC=5, 1 :5形m=2×(6+5)小x4=16 1 2 S梯形ABCD=8 第12页/共36页 命学科网命组卷网 .∠ABC=90°，AB=4,BC=5, 1 :8m=2×3x4=6. 1 当m-2S话形n-S4m=8-6=2 时， 50影0n= 1 S1= 在RIAABD中， BD=√AD2+AB2=5 2S.BDP_4 :点P到BD的距离为BD5, ·存在点P,使得9=8 4 此时点P的轨迹为线段MN(不包括端点)，且MN与BD间的距离为5； .O' 如图，在图2中考虑临界情况，当点P在4B上的点P处，点在CD上的点P处时，设P P'O'=x A 0 S2 老=8，则0+刘4r-5+-例) 解得1P-10+2x 4+x, 第13页/共36页 6学科网6组卷网 :8=2×3+ 10+2x=8 4+x 解得=V17.x=-7 (舍去)， :0<m<17 三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 19.按要求完成下列小题： (1)解方程： x2-3x+1=0 (2)计算：（x+y)+x(x-2y) 【答案】(1)七= 3+5x-3-5 X2= 2, 2x2+y2 (2) 【解析】 【分析】(1)利用公式法解一元二次方程即可； (2)根据整式的混合运算法则计算即可得解. 【小问1详解】 解：：a=1,b=-3,c=1, :b2-4ac=5 :x=3±v5 2 :与3+5 2,36 2· 第14页/供36页 学科网组卷网 【小问2详解】 解：原式=+2y+y2+2-2y =2x2+y2 20.先化简，再求值： m+n,其中m=1,n=2. m2 【答案】 m+n:3 【解析】 (m-n)(m+n)+n2 【详解】解：原式 m+n =m2-n2+n2 m+n m+n. 1 当m=1,n=2时，原式1+23. 21.如图，在矩形ABCD中，点E,F在AD上，AE=DF,BE,CF的延长线相交于点G. △ABE≌△DCF (1)求证： △BCG (2)求证： 是等腰三角形。 第15页/共36页 6学科网 命组卷网 【答案】(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠D=90°AB=DC 在△ABE和△DCF中， .AB=DC∠A=∠DAE=DF ,∴△ABE≌aDCF(SAS) △ABE≌△DCF (2)证明：由(1)知， .∠ABE=∠DCF “四边形 ABCD 是矩形， ∴.∠ABC=∠DCB=90° ∴.∠GBC=90°-∠ABE∠GCB=90°-∠DCF ∴.∠GBC=∠GCB ...GB=GC, ∴.△BCG 是等腰三角形 【解析】 【分析】(1)由矩形的性质，可证得△ABE和△DCF对应的边角边相等，即可得证： △ABE≌△DCF (2)由 可证得对应角相等，再根据等角的余角相等，即可证得结论 【小问1详解】 略 【小问2详解】 第16页/供36页 6学科网命组卷网 略 22.一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同.甲、乙两人玩摸球游戏，甲 先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球. (1)求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）： (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这 个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 2 【答案】(1)3 (2)这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 列表如下： 甲 红1 红2 白 乙 红1 (红1，红1) (红1，红2) (红1，白) 红2 (红2，红1) (红2，红2) (红2，白) 白 (白，红1) (白，红2) (白，白) 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种. 5 4 ∴P(甲胜)9，P(乙胜)9 545、4 ，士 99(或99)， ∴.这个游戏规则对甲、乙双方不公平. 【解析】 【分析】(1)由概率公式即可得出答案： (2)列表得出共有9种等可能的结果，其中摸到颜色相同的结果有5种，摸到不同颜色的结果有4种，通 过对两种情况的概率进行比较，即可得出答案。 【小问1详解】 解：在不透明的袋子中共有3个球，其中红球有2个， 第17页/供36页 6学科网组卷网 .2 P=5 由题意可知，甲摸到红球的概率为3， 【小问2详解】 略 23.某校积极开展劳动教育，鼓励学生动手实践、磨炼意志.为了解本校学生参加家务劳动情况，现对八 年级学生一周参加家务劳动时间（单位：mi,按整数计）进行抽样调查，并把所得数据进行整理和分析， 部分信息如下： 周参加家务劳动时间的频数分布表 组别 劳动时间t/min 频数 A 140≤t<160 3 B 160≤t<180 m C 180≤t<200 n D 200≤t<220 18 ⊙ 220≤t<240 2 5% E A B10% C 40% 一周参加家务劳动时间的扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： (1)m= y= (2)学校建议八年级学生每周参加家务劳动时间不少于3h,已知该校八年级共有600名学生，请你估计 该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3的人数； 第18页/供36页 学科网命组卷网 (3)请结合数据对该校八年级学生一周参加家务劳动时间的情况作出评价， 【答案】(1)6：15% (2)510人 (3)该校八年级学生大多数能够积极地参加家务劳动 【解析】 【分析】(1)先求出样本容量，再结合B组所占百分比得出m,结合E组人数得出y, (2)根据总人数和劳动时间不少于3h的人所占比例即可求出答案： (3)根据所得数据进行分析即可. 【小问1详解】 解：，样本容量为3÷5%=60， .m=60×10%=6: y=9÷60×100%=15% 【小问2详解】 解：600×1-5%-10%)=510（人）. ∴，估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3h的人数为510. 【小问3详解】 解：，该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3小时的人数大约占总人数的85%，人数较多， ∴该校八年级学生大多数能够积极地参加家务劳动 Rt△ABC,∠ACB=90°AC>BC 24如图，在 中， (I)尺规作图：在AC上确定点D,使点D到A,B两点的距离相等：在AB的下方确定点E,使得四 边形AEBD是菱形（不写作法，保留痕迹）； 第19页/供36页 6学科网 命组卷网 (2)在(1)的条件下，若BC=4,AD=3CD,求菱形AEBD的周长（请直接写出答案）· 【答案】(1)如图即为所求作图形： (2) 12√2 【解析】 【分析】(I)根据题意可知作线段AB的垂直平分线，交AC于点D,交AB于点O,在AB下方截取 OE=OD 即可； (2)设CD=x,则AD=3x,根据菱形的性质可得BD=AD=3x,在Rt△BCD中，根据勾股定理列 方程得x值，进而求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设CD=x,则AD=3CD=3x. 四边形AEBD是菱形 ∴.DB=DA=3x 在Rt△BCD中，∠ACB=90°，BC=4, .BC2+CD2 =BD2 则4+=B,解得=5（舍负） 第20页/共36页 6学科网 命组卷网 :BD=32 菱形AEB 的周长为4BD=12V2 25如图，AB是⊙0 是 的直径，4D是O0的张，过点⑧的切线交MD的延长线于点C, C AD=DC=1 B (1)求BC的长： (2)求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)V2 3兀 (2)48 【解析】 【分析】(1)利用切线的性质得到∠ABC=90°，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求 D= -AC=1 得 ,利用直径得∠ADB=∠ADC=90°，勾股定理计算BC. (2)通过转化思想， S形=S#形ODCB一S#形08计算. 【小问1详解】 解：连接BD, 0 第21页/共36页 6学科网组卷网 :AB月⊙0 是 的直径， .∠ADB=90°， .∠BDC=90°， .BC,⊙O 相切于点B, .AB⊥BC, .∠ABC=90°， .AD=CD=1 :D)4c=1 21 ∴在RtABCD中，BC=VCD2+BD2=VP+1P=V2 【小问2详解】 解：连接OD, B AD=CD OA=OB ·OD∥BC, 0c- 2, :∠ABC=90° ∴.∠BOD=90° 第22页/供36页 6学科网命组卷网 2 90π× 2 3π ∴.S阴影=S梯形ODCB一S扇形ODB 360 48 26.综合与实践一丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶 心，则获得游戏奖励 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作 用)· 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为1.5m,出手点与地面目标靶靶心的水平距离为l0m.沙包在距离 出手点的水平距离为3m时达到最高点，最高点距离地面2.请通过计算说明沙包能否正好命中靶心. 10m (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面lm 小红出手高度仍为1.5m,出手点与靶心的水平距离仍为10m.小红调整发力角度，使得沙包距离出手点 的水平距离为4时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心.求沙包达到最高点时距离地面多少米 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： .5m -10m 由题意可知，抛物线的顶点坐标是(3,2），且经过点(0,1.5) 第23页/共36页 6学科网命组卷网 设抛物线的解析式为y=4(x-3+2(4≠0)，其中x>0, 将点(0,1.5)代入得：(0-3a+2=1.5 1 解得4=18， 抛物线作部新式为=x-3+2>0) 当y=0时，18(x-3)}+2=0 解得x=9或x=-3<0(不符合题意，舍去)， :9*10 .沙包不能正好命中靶心. 19 (2)沙包达到最高点时距离地面10米 【解析】 【分析】(1)先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是3,2)，且经过点(0,1.5)，再求出抛 物线的解析式，求出'=0时，广的值，由此即可符， （2)先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点(0,1.5)，(10， ,且它的顶点的横坐标为4，再求出 抛物线的解析式，求出其最大值即可. 【小问1详解】 略。 【小问2详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系： 第24页/供36页 6学科网命组卷网 1.5m 1m -10m 由恩意可知，抛物线经过点(0,1.5)，(10，），且它的顶点的楼坐标为4， 设抛物线的解析式为y=4(x-4+k(4≠0），其中x>0, (0-4)2a2+k=1.5 将点(0,1.5)（10,1)代入得：(10-4)2a+k=1 1 a2= 40 解得 19, k= 10 19 由二次函数的性质可知，当x=4时，y取得最大值，最大值为10， 19 即沙包达到最高点时距离地面10米. 如图，点4在反比例函数广x>勿 的图象上，过A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数 y=三x>0) 购象相文于点，G,过C作x销的平行线，与反比例数y一的图套相交子复 (其中，4为帝数，且4>6>0) 第25页/供36页 6学科网命组卷网 K2 1)若点43,5)，AB=2,则k=」 （)②若点A的横坐标为2，且△1 BCCAD,求4与么之间的数量关系 (3)延长CB,DA相交于点P,当点A在函数图象上运动时，△PCD的面积是否为定值？若是，请求 出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)5(2 、kk2=16 k(k-k2) (3)当点4在函数图象上运动时，APCD的面积为定值，定值是2k2 【解析】 【分析】(1)根据AB川x轴，结合点A坐标，可设B(x,5),再根据AB的长列出方程，解出即可得B k2 的坐标，再把B的坐标代入少 x,即可解得2的值. 〔2)把点的横坐标代入y三x>0) ,即可得点A的坐标，再根据AB川x轴，AC川y轴，CD∥x 轴，即可得点A与点B的纵坐标相等，点A与点C的横坐标相等，点C与点D的纵坐标相等，进一步表 AB AC 示出点B、C、D的坐标，即可求出AB、ACCD,最后根据AABC∽ACAD得CACD,代入数 据计算即可 kk的值， 第26页/供36页 6学科网 命组卷网 a, (3)设点4的坐标为 a, 根据平行线的坐标特点，即可求出点B、C、D的坐标，进一步求出AB、 AB AC、CD,可得CD,根据梯形面积公式求出S梯形，根据题目得AB‖CD,根据平行线性质得 ∠PBA=∠PCD'∠PAB=∠PDC,可证明△PBAn△PCD'根据相似三角形性质得S k 再根据SP=S一S形即可得又m一So=Sm 代入数据解出即可得 APCD k(k-k2) 的面积为定值，定值是2k2。 【小问1详解】 解：：ABx轴， A(3,5) :设B(5) AB=2, .AB=3-x=2,解得：x=1, :B(1,5) k2 :B1,5)在'=的图象上. 5=,解得，3 :的值为5， 第27页/供36页 6学科网6组卷网 【小问2详解】 解：点4的横坐标为2，且点4在反比例函数刀x>0 的图象上， 点4的2). :Bx 轴， ACNy轴， .∴点A与点B的纵坐标相等，点A与点C的横坐标相等， ∴点B的纵坐标为2，点C的横坐标为2， y=- :点B、C在x的图象上， 飞=飞 2xg即： k, CD∥x轴， ∴点C与点D的纵坐标相等， 点D的纵坐标 yn=2, 点D在x的图象上， k-飞 2k ·2,解得：= k2, 第28页/供36页 命学科网组卷网 2(k1-k) C=y=;5.C0=,-2-】 k, 2 k, :△ABC∽△CAD ABAC ·.CACD' 2(k-k2) k-k2 k 2 ·.k-k22(k-k): 2 k2 4_k2 .k4, :6=16 【小问3详解】 解：如图1， A 图1 设点4的坐标为a, MBx轴，1CV轴。 轴， ∴点A与点B的纵坐标相等，点A与点C的横坐标相等， 第29页/共36页 6学科网列组卷网 k ∴点B的纵坐标为a,点C的横坐标为a, y= :点B、C在x的图象上， 飞= ak2 XB=- ∴.axB即： a CD∥x轴， ∴点C与点D的纵坐标相等， k2 yD= .点D的纵坐标为 a, ,点D在x的图象上， k=2 ak xpa,解得： XD k2, :AB=x,-xn=a、AC=yA-e=2,CD=-龙子 _a(k-k2) k, 8-年w四5- 2k k2 ABCD 根据题目条件得： .∠PBA=∠PCD,∠PAB=∠PDC, 第30页/供36页 命学科网命组卷网 △PBA∽△PCD SPB4=S,PCD一S格形ABCD S.pcD SPCD SPD一S棉形ABCD= )2 SPCD k 、SPCD一S梯形HCD=SPCD :S.PCD (K-片)5-k）-Sm 2kk2 解得：5-（医-飞） 2k, k(k-k2) ∴当点A在函数图象上运动时，△PCD的面积为定值，定值是2k2 28.在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上.若BD=DE=EC,则称线段DE是△ABC中∠A所 对的“等截线”. D 图1 图2 (1)如图1，已知DE是△ABC中∠A所对的“等截线”，∠BDE=150°，∠DEC=120°，求tanC的 值（请直接写出答案）， 【概念应用】 (2)如图2，在等腰△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BC=2,求∠A所对的“等截线”的长度. 【深入探究】 (3)小明探究发现：任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在.如何画 第31页/共36页 6学科网命组卷网 出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名菩中受到启发：以△ABC为(1B<4C<2AB),画出 ∠A所对的“等截线”的部分步骤如下. 画法 图形 ①在AB上适当的位置取点P,作直线 PK∥AC,PK交BC于点K ② PK上裁取 O=PB BO ，连接并延长， 交AC于点G O N 年QM=Pg ③在KC上取点M,使得号 ④ CN∥OM,CN交BG于点N 请你根据以上信息，说明步骤④中的CN的长度即为∠A所对的“等截线”的长度， √3+2 【答案】(1)3 2)5-1 (3)解：如图，作ND∥AC交AB于点D,过点D作DE∥CN交AC于点E, D P K M 第32页/供36页 6学科网 命组卷网 ∴，四边形CEDN是平行四边形. :PK∥AC,ND∥AC, .PK∥DN, △BPOABDN B≌-P≌ .BN DN, :CW∥QM △BQM∽ABNC BO OM .BN CN, PO OM .DN CN, .OM=PO .CN=DN, ∴，平行四边形CEDN是菱形 :.CN=CE-DE=DN 又PK∥DN, ∠PQB=∠DNB ·P№=PB :∠POB=∠PBg 第33页/供36页 命学科网组卷网 ∠DNB=∠PBQ .BD=DN. .BD=DE=CE. .DE是∠A所对的“等截线”， .CN 的长度即为 所对的“等截线”的长度。 【解析】 【分析】)先得出∠ADE=30°，∠A=90°，再设1A=a(a>0）,求出DE,AD的长，进而可得 AB AC 的长，然后根据正切的定义求解即可： 《2)设DE是∠A所对的“等截线”，连接BE,设DE=BD=CE=x(x>0),先得出 MD=ME=BE=BC=2,则4B=1C=2+x,再证出△CAB4CB ， 根据相似三角形的性质建立 方程，解方程即可： (3)作ND∥AC交AB于点D,作DE∥CN交AC于点E,得出四边形CEDN是菱形，根据 BP=PO得出BD=DN ,根据菱形的性质即可得。 【小问1详解】 解：：∠BDE=150°， :.∠ADE=180°-∠BDE=30°， .∠DEC=120°， :.∠A=∠DEC-∠ADE=90° 设AE=a(a>0) 第34页/供36页 可学科网命组卷网 AD=_ AE =3a 在Rt△ADE中，DE=2AE=2a, tan∠ADE :DE是△ABC中∠A所对的“等截线”， .BD=DE=CE=2a, :4B=AD+BD=(3+2)a,4C=AE+CE-3a. 在R△ac中，anC=0-(5+2_5+2 AC 3a 3 【小问2详解】 解：如图，设DE是∠A所对的“等截线”，连接BE 设DE=BD=CB=x(x>0）, AB=AC, .AB-BD=AC-CE,AD=AE, .∠A=36°. ,∠ADE=∠AED=∠ABC=∠C=180°-A=72 2 又：DE=BD,∠ABE+∠DEB=∠ADE, .∠ABE=∠DEB=36°. .∠BEC=∠A+∠ABE=72°，∠A=∠ABE, 第35页/供36页 6学科网 命组卷网 .∠BEC=∠C=∠ABC,AE=BE, .BC=BE, .BC=2, .AD=AE=BE=2, .AB=AC=AE+CE=2+x, 在△CMB和△CBE中， 和 ∠ABC=∠BEC ∠C=∠C .△CABACBE, CB CA 2-x+2 ∴.CECB,即x2, 解得=5-1（经检验，是所列方程的解）或=V5-1<0(不符合题意，舍去)， :∠1所对的“等截线”的长度是5-1 【小问3详解】 略。 第36页/共36页