2026年江苏省苏州市中考数学试卷

**基本信息** 立足苏州地域文化与生活实际，梯度设计覆盖初中数学核心知识，突出创新应用与跨学科融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|相反数、科学记数法、长方体展开图等|结合苏州人口数据（第2题），基础概念与空间观念结合| |填空题|8/24|函数、概率、圆、折叠问题等|苏州园林月洞门（第14题）考查圆的计算，体现文化传承| |解答题|11/82|统计、几何证明、函数综合、新定义等|红色文化活动概率（第20题）、光的反射应用（第24题）、“吸收函数”新定义（第27题），融合应用意识与创新思维|

2026年江苏省苏州市中考数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上。 1．（3分）·【易】﹣2的相反数为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 2．（3分）·【易】根据苏州市统计局公报显示，截止2025年末，苏州市常住人口约1305万人，比上年末增长0.5%，常住人口城镇化率达82.9%，比上年提高0.2个百分点．数据“13050000”用科学记数法可表示为（　　） A．1.305×106 B．13.05×106 C．1.305×107 D．13.05×107 3．（3分）·【易】下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）·【较易】一组数据2，m，3，3，5的平均数为3，则m的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（3分）·【较易】如图，△ABC中，∠A＝55°，∠ACB＝65°，延长BC至D，过C作CE∥AB，则∠DCE的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 6．（3分）·【较易】若（x+4）2﹣1＝（x+m）（x+n），其中m＞n，则m﹣n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（3分）·【中档】《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤＝16两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）·【较易】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是AB边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作CE的垂线交AD边于点F，则AE+AF的最大值是（　　） A． B．3 C． D． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上。 9．（3分）·【较易】若有意义，则x的取值范围是　 　 ． 10．（3分）·【较易】点P（﹣2，a）在一次函数y＝2x+1的图象上，则a的值为　 　 ． 11．（3分）·【较易】一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是　 　 ．（填写一个符合要求的正整数即可） 12．（3分）·【易】若2x+y+2＝0，则代数式的值为　 　 ． 13．（3分）·【中档】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E．过D，E两点作直线，分别交AB，AC于点F，G，连接CF．若CF＝5，则AG＝　 　 ． 14．（3分）·【中档】苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段CD，DE，EA四部分构成，AE，CD分别垂直于地面l．经测量，该月洞门的最高点B到地面的距离为21分米，AE＝CD＝3分米，DE＝12分米，则所在圆的半径为　 　 分米． 15．（3分）·【中档】如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象为抛物线C，直线y＝a与抛物线C交于A，B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N．若四边形ABNM为正方形，则a＝　 　 ． 16．（3分）·【中档】如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AB＝2．将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若点A'恰好落在边BC上，则线段AD长度的最小值为 　 　 ． 三、解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。 17．（5分）·【易】计算：． 18．（5分）·【易】解不等式组． 19．（6分）·【较易】先化简，再求值：（），其中x＝3． 20．（6分）·【中档】为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃•追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示： 项目 主题 A 红色光影——革命事迹影展 B 红色工坊——袖章主题手作 C 红色出发——重走红色五卅 D 红色讲述——苏州解放故事 甲、乙两位同学分别从A、B、C、D四个项目中任意选择一个项目参加． （1）甲同学选择项目C的概率为 　 　 ； （2）求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由） 21．（6分）·【中档】如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形； （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，求▱BFDE的面积． 22．（8分）·【较易】某校为了解八年级学生的课外阅读一周累计时长，随机抽取了该校八年级部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 课外阅读一周累计时长统计表 组别 累计时长（单位：分） 人数 A 0＜t≤60 8 B 60＜t≤120 12 C 120＜t≤180 25 D 180＜t≤240 m E t＞240 6 请根据以上信息，完成下列问题： （1）上述图表中，m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）在扇形统计图中，“C组”所对应的扇形的圆心角为　 　 °； （3）若该校八年级学生一共有1020人，请估计该校八年级课外阅读一周累计时长超过120分钟的学生人数． 23．（8分）·【较难】如图，一次函数y＝ax+b的图象经过点A（﹣4，0），B（0，2），点P在一次函数的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于M，N两点，连接MN． （1）求a，b的值； （2）若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 24．（8分）·【中档】如图①，点O位于竖直墙面l上，平面镜AB与墙面l平行，从点O射出一束激光，经过平面镜AB的反射，在墙面l上形成一个光点C，OC所在直线垂直于水平面．入射光线OP与平面镜AB的夹角∠OPA＝60°．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） （1）求证：△OPC是等边三角形； （2）如图②，将图①中的平面镜AB绕点P顺时针旋转7.5°到A'B'位置，入射光线OP经过平面镜的反射后，在墙面l上形成光点E，点E在直线OC上． ①∠OPE＝　 　 °； ②若OC＝60厘米，求光点向下移动的距离CE的长．（结果保留根号） 25．（10分）·【中档】如图，P是以AB为直径的⊙O外一点，C为⊙O上的一点，PA是⊙O的切线，BC∥OP，D为OB的中点，连接DP交OC于E． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若OA＝2，PA＝4． ①求BC的长； ②求tan∠PEC的值． 26．（10分）·【较易】如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间t（秒）的变化情况如图②所示，例如当t＝10时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计） 请根据上述信息，解决下列问题： （1）甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即t＝0）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； （2）乙驾驶汽车在道路上以速度v（米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即t＝10）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即t≤100）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度v的取值范围； （3）对于匀速行驶的汽车，是否存在速度v（米/秒），使得该车在0～20秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即t≤180）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出v的取值范围；若不存在，请说明理由． （说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．） 27．（10分）·【较难】将一个二次函数y＝ax2+bx+c与一个一次函数y＝mx+n求和，可以得到一个新的二次函数y＝ax2+（b+m）x+（c+n），我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． （1）若二次函数y＝x2对一次函数y＝mx+n“吸收”，所得“吸收函数”的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（4，0），求m，n的值； （2）已知二次函数y＝x2+2x﹣3对一次函数y＝mx+n“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与y＝x2+2x﹣3的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图象顶点为M，且与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点．当△ABM的面积为1时，求m的值． 2026年江苏省苏州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C． B D C B A C 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上。 1．（3分）·【易】﹣2的相反数为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【答案】A 【解析】解：﹣2的相反数为2． 故选：A． 2．（3分）·【易】根据苏州市统计局公报显示，截止2025年末，苏州市常住人口约1305万人，比上年末增长0.5%，常住人口城镇化率达82.9%，比上年提高0.2个百分点．数据“13050000”用科学记数法可表示为（　　） A．1.305×106 B．13.05×106 C．1.305×107 D．13.05×107 【答案】C． 【解析】解：13050000＝1.305×107． 故选：C． 3．（3分）·【易】下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：选项A，C，D都不能折叠成长方体盒子，选项B可以折叠成长方体盒子， 故选：B． 4．（3分）·【较易】一组数据2，m，3，3，5的平均数为3，则m的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】解：∵这组数据共5个，平均数为3， ∴这组数据的总和为5×3＝15， 可得方程2+m+3+3+5＝15， 化简得13+m＝15， 解得m＝2， 故选：D． 5．（3分）·【较易】如图，△ABC中，∠A＝55°，∠ACB＝65°，延长BC至D，过C作CE∥AB，则∠DCE的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】C 【解析】解：∵△ABC中，∠A＝55°，∠ACB＝65°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°， ∵延长BC至D，过C作CE∥AB， ∴∠DCE＝∠B＝60°， 故选：C． 6．（3分）·【较易】若（x+4）2﹣1＝（x+m）（x+n），其中m＞n，则m﹣n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：∵（x+4）2﹣1＝（x+m）（x+n），即（x+5）（x+3）＝（x+m）（x+n），而m＞n， ∴m＝5，n＝3， ∴m﹣n＝5﹣3＝2， 故选：B． 7．（3分）·【中档】《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤＝16两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据题意可得方程组为． 故选：A． 8．（3分）·【较易】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是AB边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作CE的垂线交AD边于点F，则AE+AF的最大值是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】解：设AE＝x，AE+AF＝y， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝2，E是AB边上的动点， ∴BE＝3﹣x，∠A＝∠B＝90°， ∵EF⊥CE交AD于点F， ∴∠CEF＝90°， ∵∠AFE+∠AEF＝90°，∠BEC+∠AEF＝90°， ∴∠AFE＝∠BEC， ∴△AFE∽△BEC， ∴， ∴AFAE•BE， ∴y＝AE+AF＝AEAE•BE＝xx（3﹣x）x2x， ∵yx2x（x）2， ∴当x时，y的值最大，最大值是， ∴AE+AF的最大值是， 故选：C． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上。 9．（3分）·【较易】若有意义，则x的取值范围是x≥3　 ． 【答案】x≥3． 【解析】解：根据题意可知，x﹣3≥0， 解得：x≥3． 故答案为：x≥3． 10．（3分）·【较易】点P（﹣2，a）在一次函数y＝2x+1的图象上，则a的值为　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【解析】解：∵点P（﹣2，a）在一次函数y＝2x+1的图象上，∴a＝2×（﹣2）+1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 11．（3分）·【较易】一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是　1　 ．（填写一个符合要求的正整数即可） 【答案】1． 【解析】解：∵要使摸出红球的可能性最小， ∴红球的个数小于3， 又∵红球的个数是正整数， ∴红球是1个． 故答案为：1． 12．（3分）·【易】若2x+y+2＝0，则代数式的值为　2　 ． 【答案】2． 【解析】解：∵2x+y+2＝0， ∴2x+y＝﹣2， ∴当2x+y＝﹣2时，原式33＝2． 故答案为：2． 13．（3分）·【中档】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E．过D，E两点作直线，分别交AB，AC于点F，G，连接CF．若CF＝5，则AG＝　　 ． 【答案】． 【解析】解：连接BG， 由作图可得DE是AB的垂直平分线， ∴点F是AB的中点，AG＝BG， ∴∠ACB＝90°，CF＝5， ∴AB＝2CF＝10， 在Rt△ABC中，， 设 AG＝BG＝x，则 CG＝AC﹣AG＝8﹣x， 在Rt△BCG 中，BC2+CG2＝BG2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得， ∴． 故答案为：． 14．（3分）·【中档】苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段CD，DE，EA四部分构成，AE，CD分别垂直于地面l．经测量，该月洞门的最高点B到地面的距离为21分米，AE＝CD＝3分米，DE＝12分米，则所在圆的半径为　10　 分米． 【答案】10． 【解析】解：连接AC，过B作BN⊥DE于N，交AC于M，设圆的圆心是O，圆的半径是r分米，连接OC， ∵AE，CD分别垂直于地面l，AE＝CD＝3分米， ∴四边形CDEA是矩形， ∴CA∥DE， ∴OM⊥AC， ∴CMAC12＝6（分米）， ∵该月洞门的最高点B到地面的距离为21分米， ∴BN＝21分米， ∵BM＝BN﹣MN＝21﹣3＝18（分米）， ∴OM＝（18﹣r）分米， 由勾股定理得到：OC2＝OM2+CM2， ∴r2＝（18﹣r）2+62， ∴r＝10， ∴所在圆的半径为10分米． 故答案为：10． 15．（3分）·【中档】如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象为抛物线C，直线y＝a与抛物线C交于A，B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N．若四边形ABNM为正方形，则a＝　5　 ． 【答案】5． 【解析】解：由题知， 因为y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1， 所以抛物线的顶点坐标为（m，1）． 因为点B在直线y＝a上且BN⊥l， 所以BN＝a﹣1． 由x2﹣2mx+m2+1＝a得， x， 所以AB． 因为四边形ABNM为正方形， 所以AB＝BN， 则， 解得a＝1（舍去）或a＝5， 所以a的值为5． 故答案为：5． 16．（3分）·【中档】如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AB＝2．将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若点A'恰好落在边BC上，则线段AD长度的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解析】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示： ∴∠DHB＝∠DHA'＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， 设AD＝x， ∵AB＝2， ∴BD＝AB﹣AD＝2﹣x， 在△DHB中，∠DHB＝90°， ∴sinB， ∴DH＝BD•sinB＝（2﹣x）×sin60°， ∵将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若点A'恰好落在边BC上， ∴AD＝A'D＝x， ∴当A'D为最小时，线段AD的长度为最小， 根据“垂线段最短”得：A'D≥DH， ∴当点A'与点H重合时，A'D为最小，此时AD的长度为最小， ∴， 解得：x， ∴x的最小值为， ∴线段AD长度的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。 17．（5分）·【易】计算：． 【答案】9． 【解析】解： ＝1+3+5 ＝9． 18．（5分）·【易】解不等式组． 【答案】﹣2＜x＜4． 【解析】解：解不等式2x﹣1＞3x﹣5得，x＜4， 解不等式得，x＞﹣2， 所以不等式组的解集为﹣2＜x＜4． 19．（6分）·【较易】先化简，再求值：（），其中x＝3． 【答案】x（x﹣1），6． 【解析】解：（） •x（x+1） ＝x（x﹣1）， 当x＝3时，原式＝3×（3﹣1）＝3×2＝6． 20．（6分）·【中档】为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃•追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示： 项目 主题 A 红色光影——革命事迹影展 B 红色工坊——袖章主题手作 C 红色出发——重走红色五卅 D 红色讲述——苏州解放故事 甲、乙两位同学分别从A、B、C、D四个项目中任意选择一个项目参加． （1）甲同学选择项目C的概率为 　　 ； （2）求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1）； （2）． 【解析】解：（1）甲同学选择项目C的概率为； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同项目的结果数为4， 甲、乙两位同学选择相同项目的概率． 21．（6分）·【中档】如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形； （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，求▱BFDE的面积． 【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵点E，F分别是边AD，BC的中点， ∴DEAD，BFBC， ∴DE＝BF， ∵DE∥BF， ∴四边形BFDE是平行四边形； （2）6． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵点E，F分别是边AD，BC的中点， ∴DEAD，BFBC， ∴DE＝BF， ∵DE∥BF， ∴四边形BFDE是平行四边形； （2）解：过A作AH⊥BC于H， ∴∠AHB＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴AH＝AB•sin60°＝42， ∵BC＝6，F是边BC的中点， ∴CFBC＝3， ∴▱BFDE的面积＝CF•AH＝3×26． 22．（8分）·【较易】某校为了解八年级学生的课外阅读一周累计时长，随机抽取了该校八年级部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 课外阅读一周累计时长统计表 组别 累计时长（单位：分） 人数 A 0＜t≤60 8 B 60＜t≤120 12 C 120＜t≤180 25 D 180＜t≤240 m E t＞240 6 请根据以上信息，完成下列问题： （1）上述图表中，m＝　9　 ，n＝　10　 ； （2）在扇形统计图中，“C组”所对应的扇形的圆心角为　150　 °； （3）若该校八年级学生一共有1020人，请估计该校八年级课外阅读一周累计时长超过120分钟的学生人数． 【答案】（1）9；10； （2）150； （3）680人． 【解析】解：（1）本次调查的总人数为12÷20%＝60（人）， D组人数m＝60﹣8﹣12﹣25﹣6＝9， E组所占百分比为6÷60×100%＝10%，即n＝10， 故答案为：9，10； （2）“C组”所对应的扇形的圆心角为150°， 故答案为：150； （3）10201020680（人）， 答：该校八年级课外阅读一周累计时长超过120分钟的学生人数为680人． 23．（8分）·【较难】如图，一次函数y＝ax+b的图象经过点A（﹣4，0），B（0，2），点P在一次函数的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于M，N两点，连接MN． （1）求a，b的值； （2）若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】（1），b＝2； （2）点P的坐标为（4，4），k＝4． 【解析】解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图像经过点A（﹣4，0），B（0，2）， ∴， 解得； （2）由（1）有，b＝2， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点P的坐标为． ∵△PMN是腰长为3的等腰直角三角形， ∴PM＝PN＝3， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， ∵点M，N在反比例函数的图像上， ∴， 解得t＝4， ∴点P的坐标为（4，4），点M的坐标为（1，4）． ∴k＝4． 24．（8分）·【中档】如图①，点O位于竖直墙面l上，平面镜AB与墙面l平行，从点O射出一束激光，经过平面镜AB的反射，在墙面l上形成一个光点C，OC所在直线垂直于水平面．入射光线OP与平面镜AB的夹角∠OPA＝60°．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） （1）求证：△OPC是等边三角形； （2）如图②，将图①中的平面镜AB绕点P顺时针旋转7.5°到A'B'位置，入射光线OP经过平面镜的反射后，在墙面l上形成光点E，点E在直线OC上． ①∠OPE＝　75　 °； ②若OC＝60厘米，求光点向下移动的距离CE的长．（结果保留根号） 【答案】（1）证明：∵反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角，∠OPA＝60°， ∴∠OPA＝∠BPC＝60°， ∴∠OPC＝180°﹣∠OPA﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵AB∥l， ∴∠POC＝∠OPA＝60°，∠OCP＝∠BPC＝60°， ∴∠OPC＝∠POC＝∠OCP＝60°， ∴OP＝OC＝PC， ∴△OPC是等边三角形； （2）①75； ②光点向下移动的距离CE的长为30（1）厘米． 【解析】（1）证明：∵反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角，∠OPA＝60°， ∴∠OPA＝∠BPC＝60°， ∴∠OPC＝180°﹣∠OPA﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵AB∥l， ∴∠POC＝∠OPA＝60°，∠OCP＝∠BPC＝60°， ∴∠OPC＝∠POC＝∠OCP＝60°， ∴OP＝OC＝PC， ∴△OPC是等边三角形； （2）解：①∵将图①中的平面镜AB绕点P顺时针旋转7.5°到A'B'位置， ∴∠APA'＝7.5°， ∴∠OPA'＝∠OPA﹣∠APA'＝60°﹣7.5°＝52.5°， ∵反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角， ∴∠B'PE＝∠OPA'＝52.5°， ∴∠OPE＝180°﹣∠OPA'﹣∠B'PE＝180°﹣52.5°﹣52.5°＝75， 故答案为：75； ②由（1）知，∠POC＝∠PCO＝60°， 在△OPE中，∠OPE+∠POC+∠PEO＝180°， ∴∠PEO＝180°﹣∠OPE﹣∠POC＝180°﹣75°﹣60°＝45°， 如图②，过点P作PH⊥OC于H， ∴∠PHE＝90°， ∴∠HPE＝90°﹣∠PEO＝45°， ∴∠PEO＝∠HPE， ∴PH＝EH， 由（1）知，△OPC是等边三角形， ∴CHOC＝30厘米， 在Rt△PHC中，∠PCH＝60°，tan∠PCH， ∴PH＝CH•tan∠PCH＝30×tan60°＝30厘米， ∴EH＝30厘米， ∴CE＝EH﹣CH＝3030＝30（1）厘米， ∴光点向下移动的距离CE的长为30（1）厘米． 25．（10分）·【中档】如图，P是以AB为直径的⊙O外一点，C为⊙O上的一点，PA是⊙O的切线，BC∥OP，D为OB的中点，连接DP交OC于E． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若OA＝2，PA＝4． ①求BC的长； ②求tan∠PEC的值． 【答案】（1）如图1所示： ∵AB为⊙O的直径， ∴OB＝OC＝OA， ∴∠B＝∠OCB， ∵PA是⊙O的切线，切点为A， ∴OA⊥PA， ∴∠OAP＝90°， ∵BC∥OP， ∴∠AOP＝∠B，∠COP＝∠OCB， ∴∠COP＝∠AOP， 在△COP和△AOP中， ， ∴△COP≌△AOP（SAS）， ∴∠OCP＝∠OAP＝90°， ∴OC⊥PC， 又∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线； （2）①BC；②tan∠PEC． 【解析】（1）证明：如图1所示： ∵AB为⊙O的直径， ∴OB＝OC＝OA， ∴∠B＝∠OCB， ∵PA是⊙O的切线，切点为A， ∴OA⊥PA， ∴∠OAP＝90°， ∵BC∥OP， ∴∠AOP＝∠B，∠COP＝∠OCB， ∴∠COP＝∠AOP， 在△COP和△AOP中， ， ∴△COP≌△AOP（SAS）， ∴∠OCP＝∠OAP＝90°， ∴OC⊥PC， 又∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线； （2）解：①连接AC，如图2①所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OA＝2， ∴OB＝OC＝OA＝2， ∴AB＝OA+OB＝4， 在△OAP中，∠OAP＝90°，PA＝4， 由勾股定理得：OP， ∴cos∠AOP， ∵∠COP＝∠OCB，∠B＝∠OCB， ∴∠B＝∠COP， ∴cos∠B＝cos∠AOP， 在△ACB中，∠ACB＝90°， ∴cos∠B， ∴BC； ②设OC的中点为F，连接DF，如图2②所示： ∵OB＝OC＝OA＝2， ∴OF＝CF＝1， ∵点D为OB的中点，点F是OC的中点， ∴DF是△OBC的中位线， ∴DFBC，DF∥BC， ∵BC∥OP， ∴DF∥OP， ∴△DEF∽△POE， ∴， ∴OE＝5EF， ∴OF＝OE+EF＝6EF＝1， ∴EF， ∴EC＝EF+CF， ∵△COP≌△AOP，PA＝4， ∴PC＝PA＝4， 在△PCE中，∠OCP＝90°， ∴tan∠PEC． 26．（10分）·【较易】如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间t（秒）的变化情况如图②所示，例如当t＝10时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计） 请根据上述信息，解决下列问题： （1）甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即t＝0）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； （2）乙驾驶汽车在道路上以速度v（米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即t＝10）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即t≤100）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度v的取值范围； （3）对于匀速行驶的汽车，是否存在速度v（米/秒），使得该车在0～20秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即t≤180）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出v的取值范围；若不存在，请说明理由． （说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．） 【答案】（1）能不停车通过B路口，理由如下： 甲到达B路口的时间是600÷15＝40（秒）， 由图②可知，路口B处于绿灯状态， ∴甲驾驶汽车能不停车通过B路口； （2）12≤v≤20； （3）或． 【解析】解：（1）能不停车通过B路口，理由如下： 甲到达B路口的时间是600÷15＝40（秒）， 由图②可知，路口B处于绿灯状态， ∴甲驾驶汽车能不停车通过B路口； （2）设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s， ∴s＝v（t﹣10）． 要使得其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口． ∴且 ∴12≤v≤30且， ∴满足条件的行驶速度v的取值范围为12≤v≤20； （3）当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口， 则， 解得， 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口， 则， 解得15≤v≤25； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足， 当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口， 则， 解得， 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口， 则， 解得， ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足， 综上所述，v的取值范围为或． 27．（10分）·【较难】将一个二次函数y＝ax2+bx+c与一个一次函数y＝mx+n求和，可以得到一个新的二次函数y＝ax2+（b+m）x+（c+n），我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． （1）若二次函数y＝x2对一次函数y＝mx+n“吸收”，所得“吸收函数”的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（4，0），求m，n的值； （2）已知二次函数y＝x2+2x﹣3对一次函数y＝mx+n“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与y＝x2+2x﹣3的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图象顶点为M，且与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点．当△ABM的面积为1时，求m的值． 【答案】（1）m＝﹣2，n＝﹣8； （2）①n≥﹣1；②，，，． 【解析】解：（1）由题意，吸收函数的表达式为y＝x2+mx+n， 根据题意，得， ∴； （2）①∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴y＝x2+2x﹣3的最小值为﹣4． 由题意，吸收函数的表达式为y＝x2+（m+2）x+n﹣3， 根据题意，得． ∴． ∵m≠0， ∴n≥﹣1； ②如图，过点M作y轴平行线l交AB于点N，过点A，B分别作的垂线段，垂足为C，D， 根据题意，列出方程组为 把②代入①得：mx+n＝x2+（m+2）x+n﹣3，即x2+2x﹣3＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣3． ∴点A，B的横坐标分别是x1＝1，xB＝﹣3． ∴|xA﹣xB|＝4， ∵M为“吸收函数”的顶点， ∴， ∵， ∴， ∴△ABM的面积， ∵△ABM的面积为4， ∴， ∴，，，． 声明： 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $