2.1反比例函数的概念导学案2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“反比例函数的概念”，通过回忆函数及一次函数概念，联系小学反比例关系，结合矩形面积、行程问题等实际情境抽象变量关系，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生建立新旧知识联系。 资料特色在于注重数学建模，通过实际问题抽象函数模型发展抽象能力与模型意识，设计辨析练习区分反比例函数与分式型函数培养推理意识，例题和作业分层设计助力学生理解概念并提升应用能力。

2.1　反比例函数的概念 教学目标： 1. 理解反比例关系、反比例函数的概念，能结合实际情境列出函数表达式，会辨别反比例函数，发展抽象概括与辨析推理的思维能力. 2. 经历从实际问题抽象出函数模型的过程，感悟数学模型思想，学会用函数眼光看待变量问题，发展数学抽象与数学建模核心素养. 教学重点: 理解反比例函数的概念，能根据实际问题写出反比例函数表达式，正确识别反比例函数. 教学难点: 准确辨析反比例关系与反比例函数，区分形如（k≠0）的函数与其他分式型函数，理解自变量的取值限制. 教学设计： 一、情境创设 1.回忆函数的概念. 在一个变化过程中有 个变量 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有 的值与它对应，那么称 是 的函数. 2.一般地，形如 的函数叫作一次函数. 3.在小学里，我们已经知道，如果两个量x，y满足xy=k(k为常数，k≠0)，那么x，y就成 ．例如，速度ｖ时间ｔ与路程ｓ之间满足vt=s，如果路程s一定，那么速度v与时间t就成反比例关系． 二、知识建构 活动一 用铁丝围成一个面积为24 cm²的矩形，矩形相邻的两边长分别为acm 和bcm, 当 a,b变化时，它们满足怎样的规律? 分析：这个矩形的相邻两边长的乘积是一个定值. 如图1,当一边变大时，邻边变 ；当一边变小时，邻边变 .无论边长怎样改变，一定有 . 活动二 在生活中，两个变量的乘积为定值的情境普遍存在.例如： 一辆汽车匀速行驶，行驶60 km所用的时间th 与速度vkm/h 的乘积是定值； 用80元购买大豆，购买的质量ykg 与大豆的价格x 元/kg的乘 积是定值.图1 你还能举出生活中类似的例子吗? 总结：一般地，如果两个变量x和y满足xy=k(k为常数，k≠0), 那么就说这两个变量具 有 关系. 尝试：判断下列问题中的两个变量是否具有反比例关系，并用一个变量表示另一个变量. (1)计划修建一条长为500 km的高速公路，完成该项目的天数y 天与平均工作效率x km/天之间的关系； (2)向容积为2500m³的水池内注水，注满水池所需时间th与注水 平均速度vm³/h之间的关系； (3)两个实数m与n的乘积为-200,m与n之间的关系. 讨论：上述表达两个变量的关系式具有怎样的共同特征? 反比例函数的概念：一般地，形如 的函数叫作反比例函数 (inverse proportional function), 其中x 是自变量，y 是 x 的函数. 反比例函数的自变量x 的取值范围是 . 尝试：下列关系式中的y是x的反比例函数吗?如果是，指出k的值. （1） （2） （3） （4） （5） 三、例题学习 例1 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数. (1)体积为100 cm³的圆锥，高hcm 随底面面积Scm² 的变化而变化； (2)体积为100 cm³ 的圆锥，高hcm 随底面半径r cm的变化而变化. 例2若是反比例函数，求此反比例函数的关系式． ． 例3 (1)已知y是x的反比例函数，且x =2时，y =－3，求y与x的函数关系式． (2)已知y－5与3x+2成反比例，且x=-2时，y=2．求y与x的函数关系式． 四、课堂检测 1.已知函数 . 当m= 　　　 时，它是正比例函数， 当m= 　　　 时，它是反比例函数 2.用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数. (1)三角形的一边长为5,三角形的面积y 随这条边上的高x 的变化而变化； (2)某村有耕地200 hm², 该村人均耕地面积yhm²随人口数x 人的变化而变化； (3)一个物体重120N, 该物体对地面的压强pPa随它与地 面的接触面积Sm² 的变化而变化. (4)用滑轮拉重物，做功1200J, 功率PJ/s 随做功所用时间 ts 的变化而变化. 3. 下列等式中的y是 x的反比例函数吗?如果是，把它写成的形式，并指出k的值. (1) ; (2) . 五、小结与反思 1.怎样判断函数是否为反比例函数？ 2.反比例关系与反比例函数有怎样的区别和联系？ 3.比较反比例函数和一次函数的联系与区别. 六、课后作业设计 1．反比例函数y=的图象经过点(-3，2)，那么k的值为_________． 2．已知函数y=(m+3)是反比例函数，则m的值是 （　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 3．写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数，如果是，指出k的值。 （1）底边为7cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x(cm)的变化而变化； （2）某村有绿化面积80ha，人均占有绿化面积y(ha)随人口数量x（人）的变化而变化； 4．下面哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，k值是多少？ （1） （2） （3）xy+2=0 （4）xy=0 （5） 5.已知y-2与x成反比例，且当x=2时，y=4，求y与x之间的函数关系式． 6.已知函数，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=4；当x=2时，y=5． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x=－2时，求函数y的值． 课后作业参考答案 1. 把点 (-3,2) 代入 y= 2 =，解得 k = -6 答案：-6 2. 反比例函数条件：m²−10 = -1，且 m+3≠0 m²=9，m=±3；m≠-3，所以 m=3 选 A 3. (1) 三角形面积 y =×7・x，y = x 不是反比例函数，是正比例函数。 (2) y = 是反比例函数，k=80。 4. (1) y=x：不是反比例函数 (2) y=，变形 y=：是反比例函数，k= (3) xy+2=0，变形 xy=-2，y=：是反比例函数，k= -2 (4) xy=0：不是反比例函数 (5) x=，变形 y=：是反比例函数，k= 5. y‑2 与 x 成反比例，设 y−2 = x=2，y=4 代入：4−2 = ，2 = ，得 k=4 y−2 = 函数关系式：y = + 2 6. (1) y₁与 x 成正比例，设 y₁ = k₁x y₂与 x 成反比例，设 y₂ = y = k₁x + x=1，y=4：k₁ + k₂ =4 x=2，y=5：2k₁ + =5 联立解得：k₁=2，k₂=2 函数关系式：y = 2x + (2) x=-2 代入 y = 2×(-2)+ 2/(-2) = -4 −1 = -5 答案：y = -5 学科网（北京）股份有限公司 $