2.3 练习2　一元二次不等式的应用 同步练 2026-2027学年 高中数学 高一上学期 人教A版 必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次不等式应用，分层设计从基础概念到复杂建模，梯度合理，强化数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|不等式解集、集合运算|选择考基本解法，如第1题解分式不等式，巩固概念理解| |中档|综合运算与简单应用|应用题结合实际，如第4题刹车距离计算，培养模型意识| |拔高|复杂情境与逻辑推理|几何（第13题矩形扩建）、利润问题（第14题），提升数学建模与推理能力|

2.3 练习2　一元二次不等式的应用 1. (2024·安徽亳州二中高一期中)不等式≤0的解集为(　C　) A. B. C. D. 【解析】由不等式≤0，可得解得－＜x≤1. 2. 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，集合B＝，则A∩B等于(　A　) A. {x|－2＜x＜0} B. {x|1＜x＜2} C. {x|0＜x＜1} D. R 【解析】∵集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，∴A＝{x|－2＜x＜1}，∵集合B＝，∴B＝{x|x＜0，或x＞1}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜0}. 3. 若关于x的不等式ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为(　B　) A. B. C. D. 【解析】∵不等式的解集为{x|－2＜x＜1}，∴a＜0，排除C，D，又函数与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故B正确. 4. 某款汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s＝v＋v2.在一次交通事故中，测得这款车的刹车距离大于40 m，则它刹车前的车速至少为(精确到1 km/h)(　B　) A. 76 km/h B. 77 km/h C. 78 km/h D. 80 km/h 【解析】根据题意，有s＝v＋v2＞40，移项整理，得v2＋8v－40×160＞0，又v＞0，解得v＞－4＋4≈76.1，∴这辆汽车刹车前的速度至少为77 km/h. 5. 若关于x的不等式ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为(　C　) A. {x|x＜－2，或x＞1} B. {x|1＜x＜2} C. {x|x＜－1，或x＞2} D. {x|－1＜x＜2} 【解析】∵ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，∴a＞0，且a＝b，故＞0，等价为(x＋1)·(x－2)＞0，∴x＜－1，或x＞2. 6. 某地每年销售木材约20万立方米，每立方米的价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　B　) A. {t|1≤t≤3} B. {t|3≤t≤5} C. {t|2≤t≤4} D. {t|4≤t≤6} 【解析】设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝ 2 400×t%＝60(8t－t2).令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5. 7. 若关于x的不等式x2＋px＋q＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞2}，则关于x的不等式＞0的解集为(　B　) A. {x|－4＜x＜1，或x＞2} B. {x|－2＜x＜1，或x＞4} C. {x|x＜－2，或1＜x＜4} D. {x|x＜－4，或1＜x＜2} 【解析】∵关于x的不等式x2＋px＋q＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞2}，∴x2＋px＋q＝0的两根是－1或2，由根与系数的关系可得p＝－1，q＝－2，∴＞0可转化为＞0，解得－2＜x＜1，或x＞4，∴原不等式的解集为{x|－2＜x＜1，或x＞4}. 8. (多选)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，若每小时的油耗不超过9 L，则速度x的值可以为(　ABC　) A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【解析】由汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，得＝11.5，解得k＝100，故每小时的油耗为L.由题意得·≤9，解得45≤x≤100，又60≤x≤120， ∴60≤x≤100. 9. (多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－1≤x≤2}，对于系数a，b，c，下列结论中，正确的有(　ABC　) A. a＋b＝0 B. a＋b＋c＞0 C. c＞0 D. b＜0 【解析】根据不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－1≤x≤2}，可得a＜0，且方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为－1，2，由根与系数的关系得－＝－1＋2＝1， ∴b＝－a，b＞0，A正确，D错误；由＝－2，a＜0，得c＞0，C正确；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，函数的零点为－1，2，∴当x＝1时， y＝a＋b＋c＞0，B正确. 10. 不等式≥0的解集为 　.  【解析】由 即得≤x≤2，或x≥3. 11. 若关于x的不等式＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞4}，则实数a＝　4　.  【解析】由题意知，不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞4}，则(x－a)(x＋1)＞0⇔(x＋1)(x－4)＞0，故a＝4. 12. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是　3　.  【解析】要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100≥3 000，整理得5x－14－≥0，又1≤x≤10，∴5x2－14x－3≥0，可得3≤x≤10，故x的最小值是3. 13. 某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示.已知AB＝3 m，AD＝2 m.要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内? 解：设DN的长为x(x＞0)m，则AN的长为(x＋2)m.易知，∴AM＝，∴S矩形AMPN＝AN·AM＝.由S矩形AMPN＞32，得＞32. 又x＞0，∴3x2－20x＋12＞0，解得0＜x＜，或x＞6，即DN的长的取值范围是. 14. (2024·珠海一中高一检测)某商品每件的成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若每件的售价降低x成(1成＝10%)，售出的商品数量就增加x成，但要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围. 解：(1)由题意得y＝100·100. ∵售价不能低于成本价，∴100－80≥0，即0≤x≤2，∴y＝40(10－x)(25＋4x)，0≤x≤2. (2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤，又0≤x≤2， ∴x的取值范围是. 15. (多选)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－8|x|＋a≤0有6个整数解，则a的取值可能为(　CD　) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【解析】由x2－8|x|＋a≤0，得a≤－x2＋8|x|，令y＝－x2＋8|x|＝作出该函数的图象如图所示.由图可知，当12＜a≤15时，a≤－x2＋8|x|恰有6个整数解，分别为－5，－4，－3，3，4，5，又a∈Z，故a的可能取值为13，14，15. 16. (2024·舟山中学高一检测)某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经过多长时间A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间? 解：如图所示，以A市为原点，正东方向为x轴建立平面直角坐标系. ∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心B的坐标为(200，－200)，x h后台风中心B到达点P(200，40x－200)处.由已知，A市受台风影响时，有AP≤350，即(200)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，解不等式得3.75≤x≤6.25，A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)，故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 练习2　一元二次不等式的应用 1. (2024·安徽亳州二中高一期中)不等式≤0的解集为(　 　) A. B. C. D. 2. 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，集合B＝，则A∩B等于(　 　) A. {x|－2＜x＜0} B. {x|1＜x＜2} C. {x|0＜x＜1} D. R 3. 若关于x的不等式ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为(　 　) A. B. C. D. 4. 某款汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s＝v＋v2.在一次交通事故中，测得这款车的刹车距离大于40 m，则它刹车前的车速至少为(精确到1 km/h)(　 　) A. 76 km/h B. 77 km/h C. 78 km/h D. 80 km/h 5. 若关于x的不等式ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为(　 　) A. {x|x＜－2，或x＞1} B. {x|1＜x＜2} C. {x|x＜－1，或x＞2} D. {x|－1＜x＜2} 6. 某地每年销售木材约20万立方米，每立方米的价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　 　) A. {t|1≤t≤3} B. {t|3≤t≤5} C. {t|2≤t≤4} D. {t|4≤t≤6} 7. 若关于x的不等式x2＋px＋q＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞2}，则关于x的不等式＞0的解集为(　 　) A. {x|－4＜x＜1，或x＞2} B. {x|－2＜x＜1，或x＞4} C. {x|x＜－2，或1＜x＜4} D. {x|x＜－4，或1＜x＜2} 8. (多选)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，若每小时的油耗不超过9 L，则速度x的值可以为(　 　) A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 9. (多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－1≤x≤2}，对于系数a，b，c，下列结论中，正确的有(　 　) A. a＋b＝0 B. a＋b＋c＞0 C. c＞0 D. b＜0 10. 不等式≥0的解集为 　.  11. 若关于x的不等式＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞4}，则实数a＝　 　.  12. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是　 　.  13. 某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示.已知AB＝3 m，AD＝2 m.要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内? 14. (2024·珠海一中高一检测)某商品每件的成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若每件的售价降低x成(1成＝10%)，售出的商品数量就增加x成，但要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围. 15. (多选)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－8|x|＋a≤0有6个整数解，则a的取值可能为(　 　) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 16. (2024·舟山中学高一检测)某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经过多长时间A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间? 学科网（北京）股份有限公司 $