2.2 基本不等式同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2.2基本不等式提升版同步练（人教A版必修一），50分钟时长，通过基础应用到综合建模的分层设计，强化运算推理与模型意识，适配新授课知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一不等式直接应用|单选（如正数最值）、填空（等号成立条件），强化“一正二定三相等”基础运算| |能力提升|条件变形与多结论判断|多选（如“1”代换求最值），培养推理能力与批判性思维| |综合应用|实际问题建模与证明|解答题（如无盖水池造价、花园面积优化），体现数学建模与应用意识|

2.2 基本不等式 解析版（提升版） 【人教A版 高中数学必修一】 建议时长：50分钟 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，都是正数， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知，，都是正数，则三数，，（   ） A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 【答案】D 【分析】将，，三数相加，借助于基本不等式即可说明. 【详解】因都是正数， 由， 当且仅当时，等号成立， 所以，，至少有一个不小于2. 3．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 4．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 5．（25-26高一上·福建福州·期末）若且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】应用基本不等式中“1”的妙用求最小值. 【详解】因为且， 所以； 当且仅当 ，即，时取等号. 所以的最小值为. 故选：C. 2、 多选题 6．（25-26高一上·贵州安顺·阶段检测）设正实数满足，则（    ） A．有最小值1 B．有最小值2 C．有最小值7 D．有最小值 【答案】AC 【分析】对于A，利用乘“1”可判断；对于B，直接利用基本不等式判断；对于C，消元配方求解；对于D，利用不等式判断. 【详解】因为正实数满足，所以， 当且仅当时取等号，A正确； ，所以有最大值2，B错误； 正实数满足，则， ，当时，，C正确； 由，可得，当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ） A．11 B．9 C．10 D．8 【答案】BD 【分析】根据题意和基本不等式，求出不等式，即可作答. 【详解】因为，且，所以不等式， 当且仅当，即时，等号成立； 又因为不等式恒成立，所以， 结合选项，可得选项B、D符合题意. 故选：BD. 8．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用基本不等式成立的条件来作出判断即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号，故A正确； 当时，由于在的区间上单调递增，所以，故B错误； 当时，，当且仅当时取等号，故C正确； 当时，的值一定小于，故D错误； 故选：AC 3、 填空题 9．（24-25高一上·上海·课后作业）中等号成立的条件是________． 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式等号成立的条件即可求解． 【详解】解：由式， ， 当且仅当时取等号． 故答案为：． 10．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 【答案】 【详解】，所以， 所以， 若，其值必然小于正数，因此仅需考虑， 根据基本不等式，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 11．（25-26高三上·河南新乡·期中）小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 【答案】 【分析】首先由长方体的体积公式求得底面面积，再用底面的长和宽表示纸的面积，最后用基本不等式，即可求最小值. 【详解】设底面长方形的长和宽分别为和，则， 纸的面积， 当时等号成立， 所以小李所用纸的面积的最小值为. 故答案为： 三、解答题 12．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）证明：因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 从而，当且仅当时，等号成立. （2） 【分析】（1）结合基本不等式证明即可. （2）根据基本不等式及求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 13．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 14．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 解析版（提升版） 【人教A版 高中数学必修一】 建议时长：50分钟 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，都是正数，则三数，，（   ） A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 3．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 4．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 5．（25-26高一上·福建福州·期末）若且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 2、 多选题 6．（25-26高一上·贵州安顺·阶段检测）设正实数满足，则（    ） A．有最小值1 B．有最小值2 C．有最小值7 D．有最小值 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ） A．11 B．9 C．10 D．8 8．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 3、 填空题 9．（24-25高一上·上海中等号成立的条件是________． 10．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 11．（25-26高三上·河南新乡·期中）小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 三、解答题 12．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 13．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 14．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $