专题01 整式及其整式加减（七大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建整式加减专项训练体系，通过特征归纳与方法提炼培养抽象能力、运算能力，实现从概念到复杂问题的能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|2大核心原则|围绕多项式定义、同类项等概念，提炼“定义法列等式”“符号规则”“错解反推”等通法|从基础概念（系数/指数）到运算技巧（去括号/合并同类项），再到综合应用（参数/无关性问题），形成完整认知链| |题型归纳|7题型（每题型含例+变式）|针对多项式求值、同类项参数等7类题型，总结“特征-方法”对应模式|通过典型题夯实解题根基，变式训练强化推理意识与应用能力| |压轴挑战|13道综合题|融合整体思想、分类讨论等高阶思维|衔接中考命题趋势，提升复杂问题解决能力|

专题01 整式及其整式加减 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、多项式系数、指数中字母求值 题型二、已知同类项求指数中参数或代数式的值 题型三、整式加减混合运算 题型四、整式加减运算中先化简再求值 题型五、带有字母的绝对值化简问题 题型六、整式的加减运算中错解复原问题 题型七、整式加减与字母取值无关类题型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程含参数问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕方程定义、根的存在性、根的数量与特征、两根关系四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是一元二次方程二次项系数不为0，二是实数根问题必须验证判别式Δ≥0 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、多项式系数、指数中字母求值 题型模版 1.特征：题干给出多项式次数、项数、常数项、最高次项系数相关限定条件，式子含有待求字母，需要算出字母取值。 2.方法：根据多项式定义，最高次所有字母指数相加为多项式次数，结合系数条件列等式求解字母；求出结果后代回原式核对次数、系数是否符合题干要求。 【例1】若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（　　） A． B． C． D． 【例2】已知是关于的多项式，其中、为整数，且． (1)若该多项式是一个二次二项式，求的值； (2)若该多项式是一个三次三项式，求的值； (3)若该多项式是一个四次三项式，求的值． 【变式1-1】多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【变式1-2】已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为_________． 【变式1-3】已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 题型二、已知同类项求指数中参数或代数式的值 题型模版 1.特征：题目告知两个单项式为同类项，单项式指数带有字母，先求字母参数，再代入含字母的代数式计算最终数值。 2.方法：依据同类项定义，相同字母的指数分别对应相等，列出方程组解出字母；把字母数值代入目标代数式化简计算，计算完成后反向验证单项式确实为同类项。 【例3】已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（ ） A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0 【例4】已知 a ， b 为常数，且三个单项式相加得到的和仍然是单项式．那么 a 和b 的值可能是多少？说明你的理由． 【变式2-1】已知整式与的和是一个单项式，则_____，_________． 【变式2-2】若单项式与的差仍是单项式，则______． 【变式2-3】已知代数式． (1)合并同类项，并按照字母m的降幂排列； (2)若与是同类项，求代数式的值． 题型三、整式加减混合运算 题型模版 1.特征：给出多个多项式相加、相减的混合算式，式子带有多重括号、负号，只要求化简整式，无代入求值步骤。 2.方法：先去括号，括号前是负号时括号内每一项都要变号；再找准同类项，合并同类项时只对系数加减，字母和指数保持不变，最后按降幂顺序整理结果。 【例5】一个多项式加上的2倍等于，求这个多项式． 【例6】以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 【变式3-1】化简： (1)； (2)． 【变式3-2】化简： (1)． (2)． (3)． 【变式3-3】习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 习题2：解方程： 解：原式＝…………第一步 …………第二步 …………第三步 5x＝10…………第四步 …………第五步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)写出习题2正确的解答过程． 题型四、整式加减运算中先化简再求值 题型模版 1.特征：给出带括号的整式加减式子，同时给出式子中字母对应的数值，要求先化简整式，再把数字代入算出最终结果。 2.方法：先去括号、合并同类项，将原式化为最简整式；再把字母数值整体代入，负数、分数代入时添加括号，分步计算避免符号出错，核对计算结果。 【例7】先化简，再求的值，其中单项式与是同类项． 【例8】先化简，再求值：，其中，． 【变式4-1】若，则代数式___________． 【变式4-2】先化简，再求值：已知， 求的值． 【变式4-3】在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择的一个值．求的值． 甲说：“当时．原式．” 乙说：“当时，原式．”     丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 题型五、带有字母的绝对值化简问题 题型模版 1.特征：结合整式加减给出字母取值范围、数轴位置，式子里含有绝对值，需要去掉绝对值符号化简整式。 2.方法：根据已知条件判断绝对值内部代数式正负，正数直接去绝对值，负数去绝对值后整体变号；化简后再合并同类项，全程注意符号变化，不要漏变项。 【例9】当时，化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【例10】已知实数，满足，，则的值为__________． 【变式5-1】已知有理数a，b同号，则的值为（     ） A．0 B． C．或2 D．0或2 【变式5-2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________________． 【变式5-3】若实数，同时满足，，则的值为________． 题型六、整式的加减运算中错解复原问题 题型模版 1.特征：做题人看错运算符号、漏看括号，采用错误式子算出错误结果，已知错误算式与错解，求解原式或正确计算答案。 2.方法：先用错误计算过程和错误结果反推未知整式；再用正确运算符号列出标准算式，重新化简计算，对比正误过程检查符号、括号处理是否存在疏漏。 【例11】某同学做一道数学题，已知两个多项式A，B，其中，试求．这位同学把误看成了，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当x取任意有理数时，的值是一个定值，求y的值． 【例12】小马虎做一道数学题，“已知两个多项式______，，试求．”其中多项式的二次项系数印刷不清楚 （1）小马虎看答案以后知道，请你替小马虎求出系数“______”； （2）在（1）的基础上，小马虎已经将多项式正确求出，老师又给出了一个多项式，要求小马虎求出的结果．小马虎在求解时，误把“”看成“”，结果求出的答案为．请你替小马虎求出“”的正确答案． 【变式6-1】有一道数学题“已知两个多项式A、B，且，求．”小华在做这道题时，误把“”看成了“”，结果得到，则A的表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】小明做一道数学题，“求代数式，当时的值”？由于将式中某一项前的“＋”号看为“﹣”号，误求得代数式的值为7，问小明同学看错了几项前的符号？ 【变式6-3】某同学在计算一个多项式减去时，因误看作加上，得到的答案为，求多项式． 题型七、整式加减与字母取值无关类题型 题型模版 1.特征：整式化简后含有多个字母，题干说明式子的值与某个字母取值无关，根据条件求解式子中的参数。 2.方法：先完整去括号、合并同类项，整理出目标字母的同类项；与字母无关则该字母所有项的系数等于0，列方程求出参数，代回验证该项系数确实为0。 【例13】已知，满足． (1)________________（请用含的代数式表示）； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【例14】已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【变式7-1】如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【变式7-2】已知关于，的方程组． (1)若，求的值； (2)求为何值时，代数式的值与的取值无关，始终是一个定值，并求出该定值． 【变式7-3】二阶行列式指由4个数组成的符号，是一个重要的数学工具，在数学中有广泛的应用，其二阶行列式的定义为，如． (1)若，求x的值； (2)若的值与x无关，求值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知三位数3□2正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若单项式与的和是单项式，则_______． 3．、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 4．如图，数轴上的三个点分别表示有理数，化简_____． 5．已知关于x的整系数的二次三项式，当x分别取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值分别为1，5，25，50，经过验算，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是_______． 6．若实数a，b满足，，则______． 7．若实数同时满足，则的值为__________． 8．已知a，b，c为有理数，且，，，，则______． 9．先化简，再求值：，其中，． 10．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了其中一个多项式，形式如下．试问：老师用手捂住的多项式是什么？ 11．已知：， (1)求的值（结果用化简后含a、b的式子表示）； (2)在（1）的条件下，若是方程的解，求a的值； (3)若的值与a的取值无关，求b的值． 12．有一种计算器，输出规则如下：输入两个关于的整式，，对它们进行整式加法运算，若的结果为单项式，则输出该单项式加1；若的结果为多项式，则输出该多项式的最高次项与最低次项的和．已知输入的整式． (1)若，求输出的结果； (2)若输出结果为，则整式应满足什么条件？写出结论，并说明理由； 13．“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式及其整式加减 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、多项式系数、指数中字母求值 题型二、已知同类项求指数中参数或代数式的值 题型三、整式加减混合运算 题型四、整式加减运算中先化简再求值 题型五、带有字母的绝对值化简问题 题型六、整式的加减运算中错解复原问题 题型七、整式加减与字母取值无关类题型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程含参数问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕方程定义、根的存在性、根的数量与特征、两根关系四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是一元二次方程二次项系数不为0，二是实数根问题必须验证判别式Δ≥0 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、多项式系数、指数中字母求值 题型模版 1.特征：题干给出多项式次数、项数、常数项、最高次项系数相关限定条件，式子含有待求字母，需要算出字母取值。 2.方法：根据多项式定义，最高次所有字母指数相加为多项式次数，结合系数条件列等式求解字母；求出结果后代回原式核对次数、系数是否符合题干要求。 【例1】若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵关于的多项式为二次三项式， ∴，， ∴，， 即多项式为， 当时，二次三项式． 故选：B． 【例2】已知是关于的多项式，其中、为整数，且． (1)若该多项式是一个二次二项式，求的值； (2)若该多项式是一个三次三项式，求的值； (3)若该多项式是一个四次三项式，求的值． 【答案】(1)7或0 (2)或； (3)或． 【分析】 【详解】（1）解：若是一个二次二项式，， 则，，或，， 解得：，或， 所以，或， （2）解：若是一个三次三项式， 则，， 解得：， 当时，解得：，此时，满足题意， 则； 当时，解得：，此时，满足题意； 则， 综上可知，的值为或； （3）解：若是一个四次三项式， 则，，且，或，，且， 解得：，， 当，且时，； 当时，，此时为四次二项式，不符合题意； 当，时，，； 当，时，，，此时为四次二项式，不符合题意； 综上可知，的值为或． 【变式1-1】多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 【变式1-2】已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为_________． 【答案】1 【分析】 【详解】解：∵多项式是按的降幂排列的五次四项式， ∴最高次项的次数为，且， ∴，且，， 又∵m，n为正整数， ∴，， ． 故答案为：1． 【变式1-3】已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为． 题型二、已知同类项求指数中参数或代数式的值 题型模版 1.特征：题目告知两个单项式为同类项，单项式指数带有字母，先求字母参数，再代入含字母的代数式计算最终数值。 2.方法：依据同类项定义，相同字母的指数分别对应相等，列出方程组解出字母；把字母数值代入目标代数式化简计算，计算完成后反向验证单项式确实为同类项。 【例3】已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（ ） A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0 【答案】A 【详解】解：∵ 单项式与可以合并同类项， ∴ 两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， 可得，. 解得，． 【例4】已知 a ， b 为常数，且三个单项式相加得到的和仍然是单项式．那么 a 和b 的值可能是多少？说明你的理由． 【答案】或，理由见解析 【详解】解：或， 理由：∵单项式，，相加得到的和仍然是单项式， ∴其中必有两个单项式是同类项，且这两个同类项的和为0， ∴，是同类项相加等于零或，是同类项相加等于零， ∴或． 【变式2-1】已知整式与的和是一个单项式，则_____，_________． 【答案】 3 2 【详解】∵整式与的和是一个单项式， ∴这两个整式是同类项， ∴，， 解得，． 【变式2-2】若单项式与的差仍是单项式，则______． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵单项式与的差仍是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】已知代数式． (1)合并同类项，并按照字母m的降幂排列； (2)若与是同类项，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： （2）解：∵与是同类项， ∴， ∴ ∴原式 题型三、整式加减混合运算 题型模版 1.特征：给出多个多项式相加、相减的混合算式，式子带有多重括号、负号，只要求化简整式，无代入求值步骤。 2.方法：先去括号，括号前是负号时括号内每一项都要变号；再找准同类项，合并同类项时只对系数加减，字母和指数保持不变，最后按降幂顺序整理结果。 【例5】一个多项式加上的2倍等于，求这个多项式． 【答案】 【详解】解：根据题意，得这个多项式为：， ． 【例6】以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 【答案】(1)一；过程见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：嘉嘉是从第一步开始出错的， 正确解答过程如下： 原式 ． （2）解：当时，原式 ． 【变式3-1】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3-2】化简： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式3-3】习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 习题2：解方程： 解：原式＝…………第一步 …………第二步 …………第三步 5x＝10…………第四步 …………第五步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)写出习题2正确的解答过程． 【答案】(1)习题1第一步，习题2第一步 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：从解题过程可知，习题1第一步开始出现错误，习题2第一步开始出现错误 （2）解：， ， ， ， ， . 题型四、整式加减运算中先化简再求值 题型模版 1.特征：给出带括号的整式加减式子，同时给出式子中字母对应的数值，要求先化简整式，再把数字代入算出最终结果。 2.方法：先去括号、合并同类项，将原式化为最简整式；再把字母数值整体代入，负数、分数代入时添加括号，分步计算避免符号出错，核对计算结果。 【例7】先化简，再求的值，其中单项式与是同类项． 【答案】， 【详解】∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ， 当，时， 原式． 【例8】先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【详解】解： ． 当，时 原式． 【变式4-1】若，则代数式___________． 【答案】4050 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式4-2】先化简，再求值：已知， 求的值． 【答案】，450 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， 把代入，原式． 【变式4-3】在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择的一个值．求的值． 甲说：“当时．原式．” 乙说：“当时，原式．”     丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 【答案】 解：这三位同学的说法都正确，理由如下： ∵ ， ， ， ∴多项式的结果恒等于2026，与a的取值无关， ∴这三位同学的说法都正确． 【详解】略 题型五、带有字母的绝对值化简问题 题型模版 1.特征：结合整式加减给出字母取值范围、数轴位置，式子里含有绝对值，需要去掉绝对值符号化简整式。 2.方法：根据已知条件判断绝对值内部代数式正负，正数直接去绝对值，负数去绝对值后整体变号；化简后再合并同类项，全程注意符号变化，不要漏变项。 【例9】当时，化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， 将代入原式得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此化简结果为． 【例10】已知实数，满足，，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：对于， 当时，原式可化为，解得； 当时，原式可化为，无解； 将代入，得 ， 解得； 当时，； 当时，； 综上所述，． 【变式5-1】已知有理数a，b同号，则的值为（     ） A．0 B． C．或2 D．0或2 【答案】D 【详解】解：∵有理数同号， ∴分两种情况讨论：①当，时，，，， ∴； ②当，时，，，， ∴； 综上，原式的值为或． 【变式5-2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：，， ， . 【变式5-3】若实数，同时满足，，则的值为________． 【答案】6 【详解】解：由移项得， 将代入得， 分两种情况讨论： ①当时，，原方程化为， 整理得，解得，符合， 此时，； ②当时，，原方程化为， 整理得，不符合，舍去该解． 故的值为6． 题型六、整式的加减运算中错解复原问题 题型模版 1.特征：做题人看错运算符号、漏看括号，采用错误式子算出错误结果，已知错误算式与错解，求解原式或正确计算答案。 2.方法：先用错误计算过程和错误结果反推未知整式；再用正确运算符号列出标准算式，重新化简计算，对比正误过程检查符号、括号处理是否存在疏漏。 【例11】某同学做一道数学题，已知两个多项式A，B，其中，试求．这位同学把误看成了，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当x取任意有理数时，的值是一个定值，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴          ； （2）解： ，      ∵当x取任意有理数，的值是一个定值， ∴的值与x的取值无关， ∵， ∴， ∴． 【例12】小马虎做一道数学题，“已知两个多项式______，，试求．”其中多项式的二次项系数印刷不清楚 （1）小马虎看答案以后知道，请你替小马虎求出系数“______”； （2）在（1）的基础上，小马虎已经将多项式正确求出，老师又给出了一个多项式，要求小马虎求出的结果．小马虎在求解时，误把“”看成“”，结果求出的答案为．请你替小马虎求出“”的正确答案． 【答案】（1）-5；（2）-11x2-x+3． 【分析】 【详解】解：（1）因为， 所以A= = = = 所以，系数为：-5， 故答案为：-5； （2）因为A+C=，A=-5x2-4x， 所以C=+5x2+4x， =6x2-3x-3 所以A-C=（-5x2-4x）-（6x2-3x-3） =-5x2-4x-6x2+3x+3 =-11x2-x+3． 答：A-C的结果为-11x2-x+3． 【点睛】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则． 【变式6-1】有一道数学题“已知两个多项式A、B，且，求．”小华在做这道题时，误把“”看成了“”，结果得到，则A的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵ ，且， ∴ 故A的表达式为， 故选：C． 【变式6-2】小明做一道数学题，“求代数式，当时的值”？由于将式中某一项前的“＋”号看为“﹣”号，误求得代数式的值为7，问小明同学看错了几项前的符号？ 【答案】，五次项 【详解】解：把代入，得：， ∵误求得代数式的值为7，比大12， 则， ∴小明同学看错了五次项前的符号． 【点睛】此题主要考查了整式的加减-化简求值问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 【变式6-3】某同学在计算一个多项式减去时，因误看作加上，得到的答案为，求多项式． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意，得． 题型七、整式加减与字母取值无关类题型 题型模版 1.特征：整式化简后含有多个字母，题干说明式子的值与某个字母取值无关，根据条件求解式子中的参数。 2.方法：先完整去括号、合并同类项，整理出目标字母的同类项；与字母无关则该字母所有项的系数等于0，列方程求出参数，代回验证该项系数确实为0。 【例13】已知，满足． (1)________________（请用含的代数式表示）； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ， 代数式的值与的取值无关， ， ． 【例14】已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【答案】 【详解】解： 因为的值不含a的一次项 所以 解得． 【变式7-1】如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【详解】解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 【变式7-2】已知关于，的方程组． (1)若，求的值； (2)求为何值时，代数式的值与的取值无关，始终是一个定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）解：（1）由题意得，， ①，得③， ②-③，得， 把代入①，得， 解得， ∵， ， 解得， （2）解：由（1）知，， ， 的值与无关， ， 解得， ． 【变式7-3】二阶行列式指由4个数组成的符号，是一个重要的数学工具，在数学中有广泛的应用，其二阶行列式的定义为，如． (1)若，求x的值； (2)若的值与x无关，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：根据题目给出的二阶行列式定义​， 对给定行列式展开得：, 展开化简左边：, 即， 解得（或）． （2）解：根据定义展开： , ∵值与x无关， ∴含x的项系数都为0， 即：， 解得，， 代入． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知三位数3□2正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】设□里的数字为，该三位数各位数字之和为，需要是3的倍数， ∵ 当时，，8不是3的倍数，A不符合； 当时，，9是3的倍数，B符合； 当时，，不是3的倍数，C不符合； 当时，，不是3的倍数，D不符合． 2．若单项式与的和是单项式，则_______． 【答案】18 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴且， 解得：，， ∴． 3．、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 【答案】8 【详解】解：， ∵D为线段的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴（）． 故答案为：8． 4．如图，数轴上的三个点分别表示有理数，化简_____． 【答案】 【详解】解：由题中数轴所示，可得， ∴， ∴原式． 5．已知关于x的整系数的二次三项式，当x分别取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值分别为1，5，25，50，经过验算，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是_______． 【答案】25 【详解】解：把x的值分别代入二次三项式得，①，②，③，④， 得：， ∵a和b都是整数， ∴只能是偶数， 故③和④中有一个错误； 得：， ∵a和b都是整数， ∴只能是5的倍数， 故③和①中有一个错误； 综上，故③是错误的． 6．若实数a，b满足，，则______． 【答案】 【详解】解：根据、的正负性分四种情况讨论： 当，时，原方程组变为，方程组无解，该情况不成立； 当，时，原方程组变为， 解得，符合假设条件， 计算得； 当，时，原方程组变为， 解得，与假设矛盾，该情况不成立； 当，时，原方程组变为，方程组无解，该情况不成立； 综上，． 7．若实数同时满足，则的值为__________． 【答案】25 【详解】解：∵，， ∴，可得， 则原等式 可化为； 当时，，则， 将代入得： ， 整理得， 解得， ∴， 代入得； 当时，，则， 将代入得： ， 整理得，等式不成立，此情况无解． 综上所述，的值为． 8．已知a，b，c为有理数，且，，，，则______． 【答案】 【详解】解：∵a，b，c为有理数，且，， ∴a，b，c中有两个负数，一个正数， 不妨设，则，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴． 9．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 10．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了其中一个多项式，形式如下．试问：老师用手捂住的多项式是什么？ 【答案】 【详解】解：老师用手捂住的多项式是． 11．已知：， (1)求的值（结果用化简后含a、b的式子表示）； (2)在（1）的条件下，若是方程的解，求a的值； (3)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， 是方程的解， ， ； （3）， 的值与a的取值无关， ， ． 12．有一种计算器，输出规则如下：输入两个关于的整式，，对它们进行整式加法运算，若的结果为单项式，则输出该单项式加1；若的结果为多项式，则输出该多项式的最高次项与最低次项的和．已知输入的整式． (1)若，求输出的结果； (2)若输出结果为，则整式应满足什么条件？写出结论，并说明理由； 【答案】(1) (2)解：，其中a为任意实数，理由如下： ∵输出结果为，没有项， ∴为多项式， ∵为多项式，输出结果为， ∴的最高次项为，即的最高次项为， 设整式为， ∴， ∵最高次项为，最低次项为x， ∴a为任意实数， 解得， 综上结论：，其中a为任意实数． 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴，为多项式， 最高次项，最低次项， ∴输出结果为； （2）略 13．“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：； （3）解： ， ∵的结果与的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $