专题02 整式加减的应用（举一反三专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 聚焦整式加减在11类实际场景中的应用，通过"题型+典例+变式"构建系统性训练，强化代数表达与问题解决的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |出入相补求面积|1例+3变式|图形分割与面积代数化|整式表示图形面积→代入求值→比较大小| |图形周长计算|1例+3变式|组合图形边长关系分析|通过边长关系列代数式→化简周长表达式| |分段方案求收费|1例+3变式|分类讨论与分段函数建模|根据数量范围列分段代数式→计算比较| |方案选择问题|1例+3变式|优惠方案代数式表示与比较|不同方案费用建模→代入求值选优| |月历/数阵问题|各1例+3变式|数表中数字规律探究|用字母表示数阵中数字→推导和差关系| |整除/九宫格/数字问题|各1例+3变式|数的表示与等量关系应用|数的代数表示→利用整除/幻方性质列方程| |数形/数式规律|各1例+3变式|图形与数式变化规律归纳|从特殊到一般抽象代数式→验证规律|

专题02 整式加减的应用（举一反三专项训练） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 出入相补求面积】 1 【题型2 图形周长的计算】 5 【题型3 分段方案求收费】 9 【题型4 方案选择问题】 14 【题型5 月历问题】 20 【题型6 数阵问题】 24 【题型7 整除问题】 29 【题型8 九宫格问题】 35 【题型9 数字问题】 38 【题型10 数形规律】 41 【题型11 数式规律】 44 【题型1 出入相补求面积】 【例1】（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，①②两个正方形的边长分别为． (1)若，求阴影部分的面积； (2)用含的代数式表示阴影部分的面积； (3)阴影部分的面积（记作）和组合图形剩余部分的面积（记作）哪个大？大多少（用含的代数式表示）？ 【答案】(1)； (2) (3)，． 【分析】本题主要考查了正方形与三角形的面积计算及代数式的运算，熟练掌握面积公式和代数式的化简方法是解题的关键． （1）先计算两个正方形的总面积，再减去两个空白三角形的面积得到阴影面积． （2）用含的代数式表示总面积和空白三角形面积，作差得到阴影面积的表达式并带上单位． （3）计算空白面积与阴影面积的差值，根据差值正负判断大小并求出差值． 【详解】（1）解：， ，， ∴； （2）解：，，， ∴ ； （3）解：， ； ， ，． 【变式1-1】（24-25七年级上·河南安阳·阶段检测）如图，两个正方形的边长分别为a，b． (1)根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查列代数式，代数式求值： （1）利用分割法，阴影部分的面积等于两个直角三角形的面积之和，列出代数式即可； （2）把，代入（1）中结果进行计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：； （2）当，时，． 【变式1-2】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）“囧”（jiong）是近时期网络流行语，像一个人脸部郁闷的神情．如图所示，一张边长为10的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y． (1)一个小直角三角形的面积可以表示为______；一个长方形的面积可以表示为______；（请用含有x、y的代数式表示） (2)用含有x、y的代数式表示图中“囧”的面积； (3)当，时，求此时“囧”的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算，列代数式和代数式求值，主要利用了正方形的面积，长方形的面积和三角形的面积公式，准确识图是解题的关键． (1)根据面积公式表示即可； (2)根据图形，用正方形的面积减去两个直角三角形的面积和长方形的面积，列式整理即可； (3) 把x、y的值代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：一个小直角三角形的面积可以表示为；一个长方形的面积可以表示为， 故答案为：，； （2）解：由题意得， （3）解：当，时，此时“囧”的面积为 【变式1-3】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）据调查，很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车身遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．在一次普及“交通安全知识”的综合实践活动中，七年级学生对货车（如图1）的盲区面积进行探究，得到货车盲区的分布图（如图2），盲区1，2的面积相同，都是，盲区3的面积是，盲区4的面积是． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）； (2)若满足，求图中盲区的总面积． 【答案】(1) (2)36 【分析】本题考查了整式的加减的实际应用，代数式的值，绝对值的非负性，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （）根据题意列出算式，进而计算即可； （）根据非负数的性质，求出，，把代入（）所得的结果中计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，盲区的总面积为： ； （2）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴图中盲区的总面积为． 【题型2 图形周长的计算】 【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）将图1中周长为16的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为24的长方形中，则图2中阴影部分的周长为_________． 【答案】20 【分析】本题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为16，求得，根据图2中长方形的周长为24，求得，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为24，可得，， 解得：， 如图， ∵图2中长方形的周长为24， ∴， ∴， 根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ∴ ； 故答案为：20． 【变式2-1】如图，将两张全等的矩形（非正方形）纸片先后放在同一个正方形中，按如图1呈轴对称方式放置，按如图2呈中心对称方式放置，若已知图形⑤的周长，则一定能求出（    ） A．图形①与③的周长和 B．图形②与③的周长差 C．图形①与③的周长差 D．图形②与③的周长和 【答案】D 【分析】根据题意设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a，用字母分别表示出图形①、②、③、⑤的周长，进行计算即可得出正确的选项． 【详解】解：设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a， 图形①的周长为， 图形②的周长， 图形③的周长， 图形⑤的周长为， ∴图形①与图形③的周长和， 故A选项不符合题意； ∴图形②与图形③的周长差， 故选项B不符合题意； 图形①与③的周长差， 故选项C不符合题意； 图形②与③的周长和， 即图形②与③的周长和为图形⑤的周长的2倍， 故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查整式混合运算的应用,还考查了全等图形的性质，解题的关键是用字母表示出各个图形的周长． 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图，将6个大小形状完全相同的小长方形A，B，C，D，E，F放置在一个大长方形内（无重叠），其中G，H为空余部分．设每个小长方形的长为x，宽为y． (1)请用含x，y的代数式分别表示空余部分G，H的周长，直接写出化简后的结果：G的周长为_______，H的周长为_______； (2)将空余部分G，H的周长之和记为m，图形左上方A，B组成的大长方形的周长记为n，则m，n之间有什么数量关系？请计算并加以说明． 【答案】(1)， (2) ，理由是： ， ， ， ． 【分析】本题考查了整式的加减、列代数式、长方形的周长，解题的关键是正确列出代数式． （1）根据题意列得代数式并化简即可； （2）根据题意列得代数式并化简，然后结合（1）中所求结果进行计算即可． 【详解】（1）解：G的周长是：，H的周长是：， 的周长为，H的周长为； （2）略 【变式2-3】（24-25七年级上·广东韶关·阶段检测）项目式学习． 【主题】剪纸． 【素材】一张边长为的正方形纸片、剪刀等． 【操作】从一个边长为的正方形纸片（如图1）上剪去两个相同的小长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3）． 【探究】 (1)求新长方形的周长（用含有，的代数式表示）； (2)求美术字“5”的图案的周长（用含有，的代数式表示）； (3)若，剪去的小长方形的宽为1，求新长方形的周长和美术字“5”的图案的周长． 【答案】(1) (2) (3)新长方形的周长为，美术字“5”的图案的周长 【分析】本题考查了整式运算的应用，熟练掌握列代数式和代数式的求值是解题的关键，注意数形结合思想的应用． （1）根据图1和图2得出：新长方形的长为，宽为，然后再进行计算． （2）根据图形，列式计算即可； （3）根据小长方形的宽为1，可知新长方形的宽为2，所以，再把代入求出b，然后代入（1）（2）所求的周长代数式，计算即可． 【详解】（1）解：∵新长方形的长为，宽为， ∴新长方形的周长； （2）解：美术字“5”的图案的周长为：； （3）解：∵小长方形的宽为1，可知新长方形的宽为2， ∴， ∵，则， ∴， 由（1）可得：新长方形的周长， 由（2）可得：美术字“5”的图案的周长． 【题型3 分段方案求收费】 【例3】某人去水果批发市场采购苹果，他看中了甲、乙两家苹果，这两家苹果品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同． 甲家规定：批发数量不超过1000千克，按零售价的优惠；批发数量超过1000千克，超过部分按零售价的优惠， 乙家的规定如下表： 数量范围（千克） 500以上~1500 1500以上 价格（元） 零售价的 零售价的 零售价的 说明：批发价格分段计算，如：某人批发苹果2000千克， 甲家总费用=； 乙家总费用 （1）若这个人批发800千克苹果，则他在甲家批发需要__________元，在乙家批发需要__________元． （2）若这个人批发x千克苹果（）求他在甲、乙两家批发各需要的总费用．（用含x的代数式表示） （3）若这个人要批发3000千克苹果，请你帮他选择在哪家批发更优惠?请说明理由． 【答案】（1）4320，4380；（2）他在甲家批发需要的总费用为元，在乙家批发需要的总费用为元；（3）他在乙家批发更优惠． 【分析】（1）分别按照甲乙两种计费方式计算即可； （2）分别按照甲乙两种计费方式表示费用并计算即可求解； （3）把x=3000分别代入两种计费方式比较即可求解． 【详解】解：（1）800×6×90%=4320（元）； 500×6×95%+（800-500）×6×85%=4380； 故答案为：4320  ；  4380 （2）甲家：元． 乙家：元． 答：他在甲家批发需要的总费用为元，在乙家批发需要的总费用为元 （3）当时， 甲家：（元） 乙家：（元） ∵， ∴他在乙家批发更优惠． 【点睛】本题考查了根据题意列代数式，求代数式的值，理解两种分段计费方式是解题关键． 【变式3-1】为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 【答案】(1)10月的电费是80元 (2)11月的电费是120元 (3)见详解 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，再结合10月用电量为160度，进行列式计算，即可作答． （2）先理解题意，再结合11月用电量为230度，进行列式计算，即可作答． （3）理解题意，进行分类讨论，根据不同情况进行列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元） ∴10月的电费是80元； （2）解：依题意，（元） ∴11月的电费是120元； （3）解：依题意，当时，则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元． 【变式3-2】某经销商去水产批发市场采购大闸蟹，他看中了A、B两家的某品质相近的大闸蟹，零售价均为60元/千克，批发价各不相同． A家规定：批发数量在100千克以内（含100千克）时，顾客购买的大闸蟹均按零售价的92%优惠：批发数量超过100千克但不超过200千克时，顾客购买的大闸蟹均按零售价的90%优惠；批发数量超过200千克时，顾客购买的大闸蟹均按零售价的88%优惠； B家规定：优惠方案如下表： 数量范围（千克） 0～50部分 50以上～150部分 150以上部分 价格（元） 零售价的95% 零售价的85% 零售价的75% 【表格说明：价格分段计算，如：某人批发大闸蟹180千克，则总费用 】 (1)如果他批发x千克大闸蟹（），求他在A、B两家批发各需要多少元？（用x含的式子表示） (2)如果他批发x千克大闸蟹（），求他在A、B两家批发各需要多少元？（用含x的式子表示） (3)现在他要批发195千克大闸蟹，你能帮他选择在哪家批发更省钱吗？请说明理由． 【答案】(1)在A家需要元，在B家需要元 (2)在A家需要元，在B家需要元 (3)选择在B家批发更省钱，理由见解析 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接进行求解； （3）把代入（2）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时， 在A家需要（元），在B家需要（元）． （2）解：由题意得，当时， 在A家需要（元）， 在B家需要元． （3）解：当时， 在A家需要（元）， 在B家需要（元） 因为 所以选择在B家批发更省钱． 【点睛】本题主要考查整式加减运算的应用，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． 【变式3-3】（25-26七年级上·福建福州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 福州市地铁实行里程分段计价票制，具体票价标准如下： 起步价：5公里（含5公里）以内为2元． 里程价：5~15公里（含15公里），每5公里加收1元（不足5公里按5公里计价）． 15~29公里（含29公里），每7公里加收1元（不足7公里按7公里计价）． 29公里以上，每9公里加收1元（不足9公里按9公里计价）． 备注： ①乘车途中若出站则需重新购票； ②两个地铁站之间里程为两站之间沿地铁的最短线路长度，且往返票价相同． 例如，若某两站之间有两种乘坐线路，长度分别为6公里和16公里，乘车途中没有出站，按票价标准的计费分别为3元和5元，则此两站之间的里程应为6公里，票价定为3元． 素材2 福州市地铁通过多条线路形成高效便捷的交通环线，如图所示，从凤岗里站到城门站就有两条不同的线路形成一条环线．（图中各站点间距离均为近似值，帝封江站，城门站，南门兜站和金山站是不同线路的换乘站，整条环线共有26个站点，其余站点暂不标出） 素材3 中学生持学生卡享5折优惠，其中空卡工本费为28元（卡内金额0元，需充值后使用）；通过“e福州”APP乘车码，可享9折优惠． 问题解决 任务1 小莉乘坐地铁从A站到B站，票价为3元，则A，B两站之间的最长里程是多少公里？ 任务2 小莉从凤岗里站出发，沿路线1（乘坐5号线再换乘4号线）前往城门站游玩，游玩后再从城门站出发沿路线2（依次乘坐1号线，2号线，5号线）返回凤岗里站，小莉在往返两地的途中没有出站．请你根据素材2中的地铁线路长度，分别计算路线1和路线2按票价标准的计费，并通过大小比较思考小莉往返全程的实际地铁票价． 任务3 若小莉沿路线1在凤岗里站和城门站之间往返，设其往返来回为一次里程，总里程数为a次，请你根据素材3的优惠方式分别用含a的代数式表示办学生卡出行和通过“e福州”出行的总花费，并思考当总里程数为8次时，哪种方式出行更合算． 【答案】任务1：10公里；任务2：路线1和2按票价标准的计费分别为4元和6元，小莉往返全程的实际地铁票价为8元；任务3：当总里程数为8次时，通过“e福州”出行更合算 【分析】本题考查了里程分段计费规则的理解与应用，有理数的加减法运算及逻辑推理． 任务1：先明确各里程段计费规则，根据票价判断里程范围，计算超过5公里部分的费用及里程最终计算出A、B两站间的最大里程即可； 任务2：根据地铁线路及各段里程，结合里程分段计价规则，分别计算两条线路的票价即可； 任务3：根据任务2和素材3得到路线1和路线2的里程和票价，再用含a的代数式表示两种出行方式的总花费并比较，分析办学生卡和“e福州”的优惠方式，最终比较出两种出行方式的总花费即可得到结果． 【详解】解：任务1： ∵起步价：5公里（含5公里）以内为2元，里程价：5~15公里（含15公里），每5公里加收1元（不足5公里按5公里计价）， ∴当票价为3元时，A、B两站之间最长里程是（公里）， 即当票价为3元时，A、B两站之间最长里程是10公里； 任务2： ∵路线1地铁线路长度为（公里）， ∴路线1按票价标准的计费为（元）， ∵路线2地铁线路长度为（公里）， ∴路线2按票价标准的计费为（元）， ∵，两个地铁站之间里程为两站之间沿地铁的最短线路长度，且往返票价相同， ∴从凤岗里站到城门站的票价应为4元， ∴小莉往返全程的实际地铁票价为（元）， 即路线1和2按票价标准的计费分别为4元和6元，小莉往返全程的实际地铁票价为8元； 任务3： 由任务2和素材3可知， 办学生卡出行的总花费为：（元）， 通过“e福州”出行的总花费：（元）， 当时， （元）， （元）， ∵， ∴当总里程数为8次时，通过“e福州”出行更合算． 【题型4 方案选择问题】 【例4】（25-26七年级上·河北保定·期末）一元一次方程解决实际问题 某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案： 方案一：买1个足球送1个护腿板； 方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个． (1)方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）； (2)当时，哪种方案更省钱？计算说明理由； (3)当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用． 【答案】(1), (2)方案一更省钱 (3)存在，混合采购方案为：用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，整式加减的应用，解题关键是正确理解题意列出代数式． （1）分别根据方案一和方案二列式计算即可； （2）将代入（1）中代数式求解并判断，即可解题； （3）先用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，计算出结果，再与每一个方案的付款比较大小，选择最合算方案即可． 【详解】（1）解：由题知，方案一的总付款金额为：元， 方案二的总付款金额为元； 故答案为：，； （2）解：当时， 方案一的总付款金额为：（元）， 方案二的总付款金额为：（元）， ， 方案一更省钱； （3）解：存在，用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买， 混合总费用为：（元）， ， 存在更省钱的混合采购方案，方案为用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元． 【变式4-1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）某体育用品商店出售的网球拍和网球的进价、售价如表： 进价 （元） 售价 （元） 网球拍 100元/副 元/副 网球 5 元/个 元/个 某中学计划从该体育用品商店购买20副网球拍，720个网球．“双十一”期间，该商店推出了两种不同的促销方案： 方案一：每购买一副网球拍赠送15个网球； 方案二：每购买120个网球，赠送 1副网球拍． (1)分别按方案一、方案二购买，各需花费多少元？（结果用含a，b的代数式表示） (2)若，则按方案一、方案二购买，各需花费多少元？ (3)在（2）的条件下，若允许两种方案可以同时使用，该中学最少需花费 元． 【答案】(1)方案一：元、方案二：元． (2)6320元和6980元． (3)5920 【分析】本题主要考查了列代数式、整式加减运算的应用，能根据实际问题准确列出代数式，并进行化简、计算是解题的关键． （1）分别按两种方案表示出花费即可； （2）按照两种方案分别表示出各自花的钱数即可； （3）将分别代入方案一，方案二的花费表达式，进行计算比较，再确定方案三的花费最后确定出最省钱的花费． 【详解】（1）解：方案一： 元； 方案二： ． 所以方案一、方案二购买的花费分别为元和元． （2）解：当时， 按方案一的消费为：元； 按方案二的消费为：元． 所以按方案一、方案二购买，花费分别为6320元和6980元． （3）解：若两种方案同时使用，则为方案三：先买480只网球，则送4副球拍，同时再买16副球拍，则送240个网球， 则花费为： ， ∵， ∴两种方案同时购买的花费最省，为5920元． 故答案为：5920． 【变式4-2】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）某商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价200元，茶碗每只定价20元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案， 方案一：买一套茶具送一只茶碗； 方案二，茶具和茶碗都打九五折销售； 现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只． (1)若客户按方案一购买，需要付款 元；若客户按方案二购买，需要付款 元．（用含x的代数式表示） (2)当时，若顾客只能选择其中一种方案购买，试通过计算说明哪种购买方案比较省钱？ (3)若顾客想买30套茶具与50只茶碗，如何购买最节省，需要花费多少元？请写出购买方案． 【答案】(1)， (2)方案一更省钱，见解析 (3)先按方案一购买茶具30套和30只茶碗，余下的20只茶碗按方案二购买，需要花费元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，整式的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意列式子即可； （2）把分别代入方案一，方案二中，计算结果比较即可； （3）先按方案一购买茶具30套和30只茶碗，余下的20只茶碗按方案二购买． 【详解】（1）解：由题意得：方案一：元， 方案二：元； 故答案为：，； （2）方案一更省钱； 若按方案一购买，需花费（元）； 若按方案二购买，需花费（元）； 按方案一购买更省钱． （3）先按方案一购买茶具30套，可得赠送的30只茶碗，余下的20只茶碗按方案二购买，需要花费（元）． 答：先按方案一购买茶具30套和30只茶碗，余下的20只茶碗按方案二购买． 【变式4-3】（25-26七年级上·福建厦门·期末）某水果种植园今年产量丰收，已知水果每千克成本元，现给小华所在的学习实践小组布置了两个任务，进行调查研究学习，具体如下： (1)任务一：水果园计划在7天内，销售2000千克该种水果，现有两种销售方案可供选择：方案一：在每千克成本的基础之上提高标价，然后按照8折进行销售，7天内可以全部售出．方案二：在每千克成本的基础之上提高标价销售，按照市场行情前6天共可以售出1600千克该种水果，最后一天以每千克1元的价格可以把剩余水果全部售出 填空：方案一的利润为_____，方案二的利润为_____． 两种方案的利润_____． （填“方案一多”、“方案二多”、“一样多”、“无法确定”） (2)任务二：若H水果每千克成本为2元，现将10000千克H水果运往外地销售，现有A型货车20辆，B型货车10辆，A货车每辆可装200千克，B货车每辆可装600千克，运出的水果可以全部卖掉，运输方案如表： 目的地 需要货车数量/辆 每辆A型货车运费/元 每辆B型货车运费/元 H水果当地售价/元每千克 甲地 18 200 500 5 乙地 12 100 300 4 预计利润可达18900元（最终利润水果利润运费），请问A，B两种型号货车分别运往甲乙两地各多少辆？ 【答案】(1)，，方案二多 (2)A型货车运往甲地11辆，运往乙地9辆；B型货车运往甲地7辆，运往乙地3辆． 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）分别求出两种方案获得的利润，然后进行比较即可； （2）设A型货车运往甲地y辆，则B型货车运往甲地辆，A型货车运往乙地辆，B型货车运往乙地辆，根据总利润18900元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：方案一： （元）， 方案二： 元， ∵， ∴， ∴方案二获利最多； 故答案为：，，方案二多； （2）解：设A型货车运往甲地y辆，则B型货车运往甲地辆，A型货车运往乙地辆，B型货车运往乙地辆，根据题意得： ， 解得：， （辆），（辆），（辆）， 答：A型货车运往甲地11辆，运往乙地9辆；B型货车运往甲地7辆，运往乙地3辆． 【题型5 月历问题】 【例5】（24-25七年级上·贵州黔南·期末）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为50． 不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，框出的5个数的和可能是 （    ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．120 B．110 C．86 D．63 【答案】B 【分析】此题主要考查了数字的变化规律，整式加减的应用．设中间的数是x，其余四个数字分别为，，，．则这五个数的和是，因而这五个数的和一定是5的倍数． 【详解】解：设中间的数是x，其余四个数字分别为，，，． 则这五个数的和是， 因而这五个数的和一定是5的倍数， ，观察月历，不存在，故选项A不符合题意； ，观察月历，存在，故选项B符合题意； 86，63都不是5的倍数，故选项C、D都不符合题意． 故选：B． 【变式5-1】（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图1是2025年1月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)①任意框出图1某一行中相邻的3个数，若中间的数为，那么右边的数为___________， ②任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，那么下面的数为___________；（用含的式子表示） (2)用图2框出图1中3个数，则这3个数的和最大为多少？ 【答案】(1)①；② (2)这个数的和最大为． 【分析】本题考查整式加减的应用以及列代数式，解题的关键是根据各数位置间的关系，用含x的代数式表示出右边（或下面）的数． （1）①利用右边的数中间的数，即可用含x的代数式表示出右边的数；②利用下面的数中间的数，即可用含x的代数式表示出下面的数； （2）设中间的数为，则另外两个数分别为，，将个数相加，可得出这3个数的和为，对照图1，可得出a的最大值为25，将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：①若中间的数为，那么右边的数为； ②若中间的数为，那么下面的数为． 故答案为：①；②； （2）解：设中间的数为a，则另外两个数分别为，， ∴个数的和为， 观察图可知，的最大值为， ∴， ∴这个数的和最大为． 【变式5-2】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）在月历中有许多奥秘，图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如：________，________； 不难发现，其结果都等于________； (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以说明； (3)在某月历中，“”字型框架框住的5个位置上的数，如果最小数与最大数的和为40，那么中间位上的数________． 【答案】(1)65；50；位置C上的数的5倍 (2)见解析 (3)20 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数加法计算，整式的加减计算： （1）先根据有理数加法计算法则求出两个式子的和，可以发现式子的和都是对应C位置上的数字的5倍； （2）设“”字型框架中位置上的数为，则位置A上的数为，位置B上的数为，位置D上的数为，位置E上的数为，再根据整式的加减计算法则求出这五个数字的和即可证明结论； （3）根据题意可得最小的数为，最大的数为，根据最小数与最大数的和为40，得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∴“”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系为：“”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍， 故答案为：65；50；位置C上的数的5倍； （2）证明：设“”字型框架中位置上的数为，则位置A上的数为，位置B上的数为，位置D上的数为，位置E上的数为， ∵， ∴“”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍； （3）解：∵中间的数为c， ∴最小的数为，最大的数为， ∵最小数与最大数的和为40， ∴， ∴， 故答案为：20． 【变式5-3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【问题背景】 数学活动课上，我们对“月历中的奥秘”进行探索研究．月历中有很多奥秘，下面就让我们一起探索吧！ 如图是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： 【探究一】 （1）图①中带阴影的方框中9个数的和为方框正中心的数的___________倍，如果将带阴影的方框移至图②的位置，9个数的和为方框正中心的数的___________倍； （2）第（1）小题结论对于任何一个月的月历都成立吗？请说明理由；（同样的阴影方框） 【探究二】 （3）仿照上述探究的方法，设图③的“+”形的5个数的和为a，图④中的“H”形的7个数的和为，“+”形和“”形在月历上可以随意移动，当“+”形的正中心数比“”形的正中心数小4，时，求a，b的值． 【答案】（1）9，9； （2）这个结论对任何一个月的月历都成立，理由如下：设正中心的数为n ，则其余的数为， ∴， ∴结论成立； （3） 【分析】本题主要考查一元一次方程月历问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将所有数加起来和正中心数比较即可；将所有数加起来和正中心数比较即可； （2）设正中心的数为n，将其余的数相加验证结论即可； （3）设“+”形的正中心数为x，故“”形的正中心数为，将“+”形和“”形的各个数表示出来进行计算即可． 【详解】（1）解：9个数的和为，其和是正中心数11的9倍， 图②的位置，9个数的和为，， ∴其和是正中心数22的9倍， 故答案为：9；9； （2）略 （3）解：设“+”形的正中心数为x，故“”形的正中心数为， ∴“+”形的各个数为， ∴， ∴“”形的各个数为：， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 【题型6 数阵问题】 【例6】下图的数阵是由全体奇数排成：    (1)图中“工”字形框内的七个数之和与中间的数有什么关系？算一算； (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的“工”字形框，这七个数之和还有这种规律吗？请说出理由． 【答案】(1)图中“工”字形框内的七个数之和是中间的数23的7倍 (2)移动“工”字，其框内七个数之和仍是中间的数的7倍，理由见解析 【分析】本题为数字规律探究题，整式的加减的应用； （1）先算出“工”字形框内7个数之和，继而判断与中间数的关系； （2）中间数为，则其余六个数为：，，，，，，得到这7个数之和即可求证． 【详解】（1）解：图中“工”字形框内的七个数之和是中间的数23的7倍； ， ； （2）解：移动“工”字，其框内七个数之和仍是中间的数的7倍． 理由为：设中间数为，则其余六个数为：，，，，， 则此七个数之和为： 即框内七个数之和仍是中间的数的7倍． 【变式6-1】小明在学习找规律后，把1～100这100个自然数按如图所示的数阵排列，用形如“”的框架框住数阵中的五个数，并计算框架框住的五个数之和，探索其中规律完成下面问题： (1)能被框住的任意五个数之和能否被10整除，请说明理由； (2)现给出以下四个数：①250；②364；③475；④480．其中可能是这个框架框住的五个数之和的是_____________．（填序号） 【答案】(1)当最中间的数为奇数时，能被框住的任意五个数之和不能被10整除，当最中间的数为偶数时，能被框住的任意五个数之和能被10整除，理由见解析 (2)① 【分析】本题考查了整式的加减的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确表示出五个数是解此题的关键． （1）设中间的数为，则另外四个数分别为、、、，求出五个数的和为，再由即可得出结论； （2）分别列出一元一次方程，解方程逐项判断即可得出答案． 【详解】（1）解：设中间的数为，则另外四个数分别为、、、， 这五个数的和是， ， 当最中间的数为奇数时，能被框住的任意五个数之和不能被10整除， 当最中间的数为偶数时，能被框住的任意五个数之和能被10整除； （2）解：当时，解得， 这五个数分别为、、、、，从数阵中可以框出这五个数，故①符合题意； 当时，解得，不为自然数，故②不符合题意； 当时，解得， 这五个数分别为、、、、，不在数阵中，故③不符合题意； 当时，解得， 这五个数分别为、、、、，不在数阵中，故④不符合题意； 可能是这个框架框住的五个数之和的是①， 故答案为：①． 【变式6-2】将连续奇数数1，3，5，7，9，…，排列成如图所示数阵．    (1)框中的九个数字的和与中间数字有什么关系？ (2)若将“框”上下左右移动，能框住的九个数的和仍然有这种关系吗？为什么？ (3)框中九个数字的和能等于1422吗？若能，请写出中间的数；若不能请说明理由． 【答案】(1)这九个数的和是中间数的9倍，见解析 (2)有，见解析 (3)不能，见解析 【分析】（1）将十字框中的9个数相加即可得出结论； （2）结合（1）将25替换成x，则可得出结论； （3）设中间的数为x，其他9个数分别为、、、、、 、，令其相加等于1422，算出x的值，结合数阵数的特点即可得出结论． 【详解】（1）解：这九个数字的和为： ， ， ∴这九个数的和是中间数的9倍； （2）解：有这样的关系；设中间数为x， 则其他数分别为：、、、、、，、， ∴其和为： ， ∴框中的九个数的和依然是中间数的9倍； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∵和不是奇数， ∴和不能为1422． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数字规律探究，有理数加减混合运算的应用，整式加减的应用，解题的关键是根据题意列出方程，准确计算． 【变式6-3】（25-26七年级上·广东广州·期末）某校举办数学节，七年级班的学生设计了如下的数学活动： 在一个的数阵中（如图1），绘制“”、“”两个字样的阴影图案，沿上下左右平行移动这两个图案（可重叠）．设“”型图案覆盖的数字之和为，最中间的数字为（如图2）；“”型图案覆盖的数字之和为，中间的一个数字为（如图3）． (1)请用含的代数式表示▲，__________； (2)为了让图案整齐美观并暗藏班级代码，班长移动这两个图案，使得“”和“”在同一水平高度，且两个图案之间的间隔仅为一列，此时和刚好满足，求的值； (3)分别移动图案“”、“”，能否使得与的和为584？若能，求出对应的和的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，当时，；当时， 【分析】本题考查规律探索，整式的加减运算，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据数阵规律，每行相邻两数差值为1，每列相邻两数差值为8，结合中间数的关系，即可表示▲； （2）根据图案特点可求，，因为两个图案同一水平高度且间隔一列的位置条件，所以，根据解方程并取合理整数解； （3）根据 列出方程得，结合图形中数字为整数的实际情况，判断能否满足条件． 【详解】（1）解：根据数阵规律，每行相邻两数差值为1，每列相邻两数差值为8， ∵中间数， ∴． 故答案为：； （2）解：由图知： ， ∵两个图案同一水平高度且间隔一列的位置条件， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （3）解： ， ∵都为正整数， ∴当时，，此时图案“”和图案“”都放不进数阵，舍去； 当时，，此时图案“”放不进数阵，舍去； 当时，， 当时，， 当时，，此时图案“”放不进数阵，舍去； 当时，，此时图案“”和图案“”放不进数阵，舍去； 综上所述，当时，；当时，； 【题型7 整除问题】 【例7】（25-26七年级上·吉林长春·期中）【提出问题】一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，通常记这个数为，则．下面探究能被9整除的三位数的特征． 【特例探究】写出一个能被9整除的三位数________． 【猜想证明】由特例猜想：如果能被9整除，那么这个三位数能被9整除．下面是小明的部分证明过程，请补充完整： 因为________． 显然能被9整除， 因此如果能被9整除， 那么就能被9整除，所以猜想成立． 【迁移运用】设是一个四位数，如果可以被3整除，那么这个数可以被3整除．为什么？ 【拓展提升】当五位数能被9整除时，直接写出的值． 【答案】【特例探究】999，答案不唯一； 【猜想证明】； 【迁移运用】证明：， ，，是整数， 能被整除， 又能被整除， 能被整除； 【拓展提升】或 【分析】本题主要考查整式加减混合运算，数的整除性问题，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）特例探究：根据题意写出符合要求的数即可； （2）猜想证明：根据题意可得，即可解答； （3）迁移运用：根据题意可得，再由能被3整除，能被3整除，即可解答； （4）拓展提升：根据一个数能被9整除，当且仅当它的各位数字之和能被9整除 ，可进行求解． 【详解】特例探究： 解：能被9整除的三位数为， 故答案为：（答案不唯一）； 猜想证明： 解：因为， 显然能被9整除， 因此如果能被9整除， 那么就能被9整除，所以猜想成立． 故答案为：； 迁移运用： 略 拓展提升： 解：一个数能被9整除，当且仅当它的各位数字之和能被9整除， 五位数的各位数字之和为 能被整除， 是的整数， 或． 【变式7-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）字母表示数将具体的数字抽象为符号，实现了从特殊到一般的飞跃，让数学得以描述普遍规律．小学阶段我们已经了解能被整除的数的规律，现在我们用字母进行一般化地推理． 【验证规律】 不妨以三位数为例，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数可以被整除．推理过程如下： ，显然能被整除，因此，如果可以被整除，那么就能被整除． 【类比迁移】 若是一个三位数，那么三个数位上的数字，，满足什么条件时，能被整除，并说明理由． 【拓展应用】 若是一个三位数，当能被整除时，三个数位上的数字，，、满足的条件可以是________（填序号） ①能被整除  ②能被整除  ③能被整除 【答案】 验证规律：，； 类比迁移：当或时，能被整除； 拓展应用：② 【分析】本题考查了整式的加减，关键是用代数式表示三位数； （1）根据题意拆项填空即可； （2）将表示成，根据整除的性质得出结论； （3）将表示成，根据整除的性质得出结论. 【详解】【验证规律】解：， ， ∵能被整除， ∴若能被整除，则就能被整除； 【类比迁移】答：当或时，能被整除，理由如下： ∵是一个三位数， ∴， ， ∵能被整除， ∴当或时，能被整除； 【拓展应用】解：∵是一个三位数， ∴， ∵能被整除，能被整除； ∴能被整除， 故答案为：. 【变式7-2】（25-26七年级上·广东珠海·期末）【探究背景】我们已经学习了“自然数被3整除的规律”：如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．以两位数的情形为例说明其中的道理： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为． 于是 显然能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 类比上述过程，探究“自然数被9整除的规律”． 【观察猜想】 （1）观察下列能被9整除的数：18、27、36、108、378、567、1386，通过计算这些数所有数位上的数字之和，大胆猜想“自然数被9整除的规律”：___________． 【说明道理】 （2）以三位数的情形为例说明“自然数被9整除的规律”的道理： 【应用拓展】 （3）一个能被9整除的四位数的后两位数字被污渍遮挡，仅能看清前两位数字：“15”，若已知这个数的十位数字是个位数字的2倍，写出这个四位数的所有可能结果___________． 【答案】（1）如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除；（2）见解析；（3）1521或1584 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知能被9整除的数的所有数位上的数字之和能被9整除，据此可得答案； （2）设一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为，一定能被9整除，则当能被9整除时，一定能被9整除； （3）设这个数的个位数字为x，则这个数的十位数字为，则能被9整除，求出的取值范围，进而建立方程求解即可． 【详解】解：（1）， ∴可以猜想如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除； （2）设一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， 则这个三位数为， ∵a、b都是整数， ∴是整数， ∴一定能被9整除， ∴当能被9整除时，一定能被9整除， ∴如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除； （3）设这个数的个位数字为x，则这个数的十位数字为， ∵这个四位数能被9整除， ∴能被9整除， ∵， ∴，且x为整数， ∴，且为整数， ∴或， 解得或， ∴这个四位数为1521或1584． 【变式7-3】（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）综合与探究 【问题情境】一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．比如：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】已知三位数． （1）请用含的代数式表示三位数：___________； （2）小军说：“若能被3整除，则三位数就能被3整除．”请判断他的说法是否正确，并说明理由； 【类比拓展】判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的数与此末位数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除． 比如：三位数去掉末位数字得两位数，再用加上的5倍所得的和为．若能被7整除，则能被7整除． （3）请你对“若能被7整除，则能被7整除”说理． 【答案】（1）；（2）小军的说法正确．理由见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，熟练掌握相关知识并理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得出三位数为百位数字十位数字个位数字，进而得解； （2）首先将三位数变形，然后分析各项与3的整除关系得，得和都能被3整除然后根据整除性质，几个能被3整除的数相加所得的和也能被3整除，即可得出结论． （3）对三位数变形，利用已知条件替换，最后化简式子并判断整除性． 【详解】解：（1）由题意根据数的表示方法，百位上的数字表示个100，即；十位上的数字表示个10，即；个位上的数字表示个1，即． 那么三位数可以表示为这三个部分的和，即． 故答案为：； （2）小军的说法正确． 理由：， ， ∴和均能被3整除， 又因为能被3整除， 所以能被3整除， 即就能被3整除． （3）因为能被7整除， 所以，也能被7整除， 又， 因为和都能被7整除， 所以也能被7整除， 即能被7整除． 【题型8 九宫格问题】 【例8】（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则________．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 设最中间的代数式为P，再根据九宫格的两条对角线上的3个代数式的和都相等列出等式，然后整理即可解答． 【详解】解：设最中间的代数式为P， 由题意可得，， 整理得：． 故答案为：． 【变式8-1】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）如图是一个九宫格（九宫格内的字母均为有理数），九宫格内的每一行，每一列以及每一条对角线上的数字之和相等，则的值为（   ） A．44 B．22 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数减法计算，代数式求值，加减混合运算法则，根据题意得到，计算求出，再整体代入式子计算即可． 【详解】解：根据题意得到， 则， ∴． 故选：D． 【变式8-2】（25-26七年级上·陕西西安·期中）三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（   ） A．5 B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可用含n的代数式表示出a，b，用含m的代数式表示出c，d，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：，，，， ∴． 故选：D． 【变式8-3】（24-25七年级上·江西吉安·期末）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称“洛书”，即现在的三阶幻方，三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等．    (1)图1中，________，________，________； (2)由图1，计算：的值； (3)图2所示是“整式和幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个整式之和均相等，求k的值． 【答案】(1)；， (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，求解代数式的值，整式的加减运算． （1）根据“和幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等列方程即可求字母的值； （2）根据“和幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等求出，整体代入求值即可； （3）根据“和幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等可得，再建立方程即可． 【详解】（1）解：根据“和幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，列方程得，，解得：， ，解得：， ，解得：； ∴； （2）解：根据“和幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等得， ， ∴， ∴． （3）解：根据“和幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等得， ， ∴， ∴， 解得， 【题型9 数字问题】 【例9】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，一元一次方程的应用等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数字为，根据题意，表示出原数和新数，列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：原数为，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， ∵与的差为， 故原数与所得新数的差等于与的差的倍． （2）解：设十位上的数字为， 根据题意可得：原数为，新数为：， 两数之差为：， 根据题意：， ∴． 【变式9-1】（25-26七年级上·甘肃白银·期中）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，把它们对调后得到另一个新的两位数，则原两位数与新两位数的差是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两位数的表示方法及整式的加减运算，原两位数可表示为，新两位数可表示为，计算它们的差并化简即可． 【详解】解：∵原两位数为，新两位数为， ∴差为， 因此，原两位数与新两位数的差是， 故选：B． 【变式9-2】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）阅读材料：对于任意一个两位数 x ，如果 x 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如： ，对调个位数字与十位数字得到新的两位数 32，新两位数与原两位数的和为，和与 11 的商为 ，所以 ．则______；如果一个“迥异数”a 的十位数字是 m ，个位数字是 ，且 ，则“迥异数”a的值为_____． 【答案】 9 39 【分析】本题考查了两位数的表示方法、代数式的运算及一元一次方程的求解，解题的关键是理解“迥异数”的定义（个位与十位数字互不相同且均不为零）和函数的计算规则（新两位数与原两位数的和与11的商）． 计算时，先求出18对调后的两位数，再计算两数之和，最后除以11；求“迥异数”时，先根据十位数字和个位数字表示出原数与对调后的数，利用列方程求解，再结合“迥异数”的定义确定的取值，进而得到的值． 【详解】解：∵为“迥异数”，对调其个位与十位数字得新两位数81， ∴原数与新数的和为， ∴； 设“迥异数”的十位数字为，则个位数字为， ∴原数，对调后新两位数为， ∵， ∴， 化简得，即， 解得， ∴个位数字为，且、、，符合“迥异数”定义， ∴； 故答案为：；39． 【变式9-3】（25-26七年级下·山东青岛·期中）【知识发现】 聪明的小丁和小颖玩神奇的“读心术”游戏： 小丁请小颖在心里想一个任意一个数字，将这个数字先乘以2，再加3，然后乘以5，最后把得到的数减去15，小丁立即猜出小颖心里想的数． 其实运用我们所学的知识就可以解密： 设原数是，可以列代数式：，再除以10就可以知道原数是多少． 【知识应用】 (1)从这9个数字中任意选择三个不同的数字，由这三个数字组成6个不同的两位数（个位数字与十位数字不重复），把这6个两位数相加，然后用所得的和除以这三个数字的和，结果是多少？请用所学的知识解释 【知识拓展】 (2)任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程……你得到了什么结果？ 【答案】(1)22 (2)结果稳定在某一个数上，或者在某几个数之间循环 【分析】（1）设这三个数分别为、、，得到6个不同的两位数，再利用整式的加减运算求和即可得解； （2）任意写下一个三位数，按题中条件作变换，观察结果即可得到规律． 【详解】（1）解：设这三个数分别为、、， 6个不同的两位数分别为，，，，，， ， 所得的和除以这三个数字的和， 即这6个两位数相加所得的和除以这三个数字的和，结果是； （2）解：任写一个三位数，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；…… 任写一个三位数，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；…… 观察发现，结果稳定在某一个数上，或者在某几个数之间循环． 【题型10 数形规律】 【例10】（25-26七年级上·黑龙江·期末）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多20枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律探究，解题的关键是总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚． 总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚，当时，求出所用正方形卡片及等边三角形卡片的数量，再求和即可得到答案． 【详解】解：第1个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第2个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第3个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 当时，所用正方形卡片为：（枚），所用等边三角形卡片为：， 所用两种卡片的总数为：（枚）， 故答案为：． 【变式10-1】如图，相同的小正方形按照某种规律摆放，则第个图形中小正方形的个数比第个图形中小正方形的个数多___________________（用含正整数的式子表示）．    【答案】 【分析】观察图形，找到规律，即可得到答案． 【详解】解：第1个图中小正方形的个数为， 第2个图中小正方形的个数为， 第3个图中小正方形的个数为， …… 第个图形中小正方形的个数为， 第个图中小正方形的个数为， 第个图形中小正方形的个数比第个图形中小正方形的个数多， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，整式的加减，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 【变式10-2】（25-26七年级上·福建福州·期中）如图是用黑色棋子摆放而成的图案，其中第①个图中有3枚棋子，第②个图中有6枚棋子，第③个图中有11枚棋子，第④个图中有18枚棋子，…，按此规律，第个图案黑色棋子的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形中的数字规律，读懂题意，找准规律是解决问题的关键． 先由题中所给的图形逐个分析，得到第个图中棋子个数规律：，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 第一个图，得到棋子个数为； 第二个图，得到棋子个数为； 第三个图，得到棋子个数为； 第四个图，得到棋子个数为； 第个图，得到棋子个数为； 故选：B． 【变式10-3】用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……，若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为______． 【答案】 【分析】总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚，当时，求出所用正方形卡片及等边三角形卡片的数量，再求和即可得到答案．本题考查了图形规律探究，解题的关键是总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚． 【详解】解：第1个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第2个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第3个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 当时，所用正方形卡片为：（枚），所用等边三角形卡片为：， 所用两种卡片的总数为：（枚）， 故答案为：． 【题型11 数式规律】 【例11】观察下列等式：，，，…… （1）根据上面的规律，若，则______，______； （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为______． 【答案】 21 19 【分析】本题考查了数字类规律． （1）观察题干可知，两个连续奇数的平方差等于8的倍数，进而分析出一般规律，即可得到答案； （2）根据（1）所得规律，列式即可． 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … ，所以，， 所以 （2）第n个式子可表示为． 故答案为： 21， 19， ． 【变式11-1】观查下列单项式： ，，，，，… 按此规律，第7个单项式是_________． 第个单项式是______________． 第2000个单项式是____________． 【答案】 【分析】观查单项式，得系数为，字母的次数为，代入数字即可得出答案. 【详解】由题意，得： 单项式符合， ∴第7个单项式是，第个单项式是，第2000个单项式是. 【点睛】本题主要考查单项式的规律问题. 【变式11-2】一组代数式按照一定规律排列：a，b，，，，……，按照这个规律写下去，这组代数式中第6个代数式是______． 【答案】/ 【分析】观察可知，从第3个代数式开始，第n个代数式的结果为第个代数式减去第的结果，据此规律利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：第1个代数式为a， 第2个代数式为b， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， … ∴可以得到规律从第3个代数式开始，第n个代数式的结果为第个代数式减去第的结果， ∴第6个代数式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，代数式有关的规律，正确根据题意找到规律是解题的关键． 【变式11-3】（2025·河北邯郸·三模）嘉嘉和淇淇对5个正整数进行规律探究，嘉嘉写出三个连续偶数：，淇祺写出两个连续奇数：，若，则的值一定能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的加减运算的应用，将三个连续偶数和两个连续奇数用代数式表示，利用已知条件建立方程，化简目标表达式，结合奇偶性分析得出结果. 【详解】解：∵三个连续偶数：，两个连续奇数： 则 ，， ， ∴， ∴， ∴ ， 设，为奇数，则为正奇数， ∴， ∴的值一定能被整除， 故选：B 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式加减的应用（举一反三专项训练） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 出入相补求面积】 1 【题型2 图形周长的计算】 3 【题型3 分段方案求收费】 4 【题型4 方案选择问题】 7 【题型5 月历问题】 9 【题型6 数阵问题】 11 【题型7 整除问题】 12 【题型8 九宫格问题】 14 【题型9 数字问题】 16 【题型10 数形规律】 17 【题型11 数式规律】 18 【题型1 出入相补求面积】 【例1】（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，①②两个正方形的边长分别为． (1)若，求阴影部分的面积； (2)用含的代数式表示阴影部分的面积； (3)阴影部分的面积（记作）和组合图形剩余部分的面积（记作）哪个大？大多少（用含的代数式表示）？ 【变式1-1】（24-25七年级上·河南安阳·阶段检测）如图，两个正方形的边长分别为a，b． (1)根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【变式1-2】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）“囧”（jiong）是近时期网络流行语，像一个人脸部郁闷的神情．如图所示，一张边长为10的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y． (1)一个小直角三角形的面积可以表示为______；一个长方形的面积可以表示为______；（请用含有x、y的代数式表示） (2)用含有x、y的代数式表示图中“囧”的面积； (3)当，时，求此时“囧”的面积． 【变式1-3】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）据调查，很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车身遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．在一次普及“交通安全知识”的综合实践活动中，七年级学生对货车（如图1）的盲区面积进行探究，得到货车盲区的分布图（如图2），盲区1，2的面积相同，都是，盲区3的面积是，盲区4的面积是． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）； (2)若满足，求图中盲区的总面积． 【题型2 图形周长的计算】 【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）将图1中周长为16的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为24的长方形中，则图2中阴影部分的周长为_________． 【变式2-1】如图，将两张全等的矩形（非正方形）纸片先后放在同一个正方形中，按如图1呈轴对称方式放置，按如图2呈中心对称方式放置，若已知图形⑤的周长，则一定能求出（    ） A．图形①与③的周长和 B．图形②与③的周长差 C．图形①与③的周长差 D．图形②与③的周长和 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图，将6个大小形状完全相同的小长方形A，B，C，D，E，F放置在一个大长方形内（无重叠），其中G，H为空余部分．设每个小长方形的长为x，宽为y． (1)请用含x，y的代数式分别表示空余部分G，H的周长，直接写出化简后的结果：G的周长为_______，H的周长为_______； (2)将空余部分G，H的周长之和记为m，图形左上方A，B组成的大长方形的周长记为n，则m，n之间有什么数量关系？请计算并加以说明． 【变式2-3】（24-25七年级上·广东韶关·阶段检测）项目式学习． 【主题】剪纸． 【素材】一张边长为的正方形纸片、剪刀等． 【操作】从一个边长为的正方形纸片（如图1）上剪去两个相同的小长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3）． 【探究】 (1)求新长方形的周长（用含有，的代数式表示）； (2)求美术字“5”的图案的周长（用含有，的代数式表示）； (3)若，剪去的小长方形的宽为1，求新长方形的周长和美术字“5”的图案的周长． 【题型3 分段方案求收费】 【例3】某人去水果批发市场采购苹果，他看中了甲、乙两家苹果，这两家苹果品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同． 甲家规定：批发数量不超过1000千克，按零售价的优惠；批发数量超过1000千克，超过部分按零售价的优惠， 乙家的规定如下表： 数量范围（千克） 500以上~1500 1500以上 价格（元） 零售价的 零售价的 零售价的 说明：批发价格分段计算，如：某人批发苹果2000千克， 甲家总费用=； 乙家总费用 （1）若这个人批发800千克苹果，则他在甲家批发需要__________元，在乙家批发需要__________元． （2）若这个人批发x千克苹果（）求他在甲、乙两家批发各需要的总费用．（用含x的代数式表示） （3）若这个人要批发3000千克苹果，请你帮他选择在哪家批发更优惠?请说明理由． 【变式3-1】为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 【变式3-2】某经销商去水产批发市场采购大闸蟹，他看中了A、B两家的某品质相近的大闸蟹，零售价均为60元/千克，批发价各不相同． A家规定：批发数量在100千克以内（含100千克）时，顾客购买的大闸蟹均按零售价的92%优惠：批发数量超过100千克但不超过200千克时，顾客购买的大闸蟹均按零售价的90%优惠；批发数量超过200千克时，顾客购买的大闸蟹均按零售价的88%优惠； B家规定：优惠方案如下表： 数量范围（千克） 0～50部分 50以上～150部分 150以上部分 价格（元） 零售价的95% 零售价的85% 零售价的75% 【表格说明：价格分段计算，如：某人批发大闸蟹180千克，则总费用 】 (1)如果他批发x千克大闸蟹（），求他在A、B两家批发各需要多少元？（用x含的式子表示） (2)如果他批发x千克大闸蟹（），求他在A、B两家批发各需要多少元？（用含x的式子表示） (3)现在他要批发195千克大闸蟹，你能帮他选择在哪家批发更省钱吗？请说明理由． 【变式3-3】（25-26七年级上·福建福州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 福州市地铁实行里程分段计价票制，具体票价标准如下： 起步价：5公里（含5公里）以内为2元． 里程价：5~15公里（含15公里），每5公里加收1元（不足5公里按5公里计价）． 15~29公里（含29公里），每7公里加收1元（不足7公里按7公里计价）． 29公里以上，每9公里加收1元（不足9公里按9公里计价）． 备注： ①乘车途中若出站则需重新购票； ②两个地铁站之间里程为两站之间沿地铁的最短线路长度，且往返票价相同． 例如，若某两站之间有两种乘坐线路，长度分别为6公里和16公里，乘车途中没有出站，按票价标准的计费分别为3元和5元，则此两站之间的里程应为6公里，票价定为3元． 素材2 福州市地铁通过多条线路形成高效便捷的交通环线，如图所示，从凤岗里站到城门站就有两条不同的线路形成一条环线．（图中各站点间距离均为近似值，帝封江站，城门站，南门兜站和金山站是不同线路的换乘站，整条环线共有26个站点，其余站点暂不标出） 素材3 中学生持学生卡享5折优惠，其中空卡工本费为28元（卡内金额0元，需充值后使用）；通过“e福州”APP乘车码，可享9折优惠． 问题解决 任务1 小莉乘坐地铁从A站到B站，票价为3元，则A，B两站之间的最长里程是多少公里？ 任务2 小莉从凤岗里站出发，沿路线1（乘坐5号线再换乘4号线）前往城门站游玩，游玩后再从城门站出发沿路线2（依次乘坐1号线，2号线，5号线）返回凤岗里站，小莉在往返两地的途中没有出站．请你根据素材2中的地铁线路长度，分别计算路线1和路线2按票价标准的计费，并通过大小比较思考小莉往返全程的实际地铁票价． 任务3 若小莉沿路线1在凤岗里站和城门站之间往返，设其往返来回为一次里程，总里程数为a次，请你根据素材3的优惠方式分别用含a的代数式表示办学生卡出行和通过“e福州”出行的总花费，并思考当总里程数为8次时，哪种方式出行更合算． 【题型4 方案选择问题】 【例4】（25-26七年级上·河北保定·期末）一元一次方程解决实际问题 某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案： 方案一：买1个足球送1个护腿板； 方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个． (1)方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）； (2)当时，哪种方案更省钱？计算说明理由； (3)当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用． 【变式4-1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）某体育用品商店出售的网球拍和网球的进价、售价如表： 进价 （元） 售价 （元） 网球拍 100元/副 元/副 网球 5 元/个 元/个 某中学计划从该体育用品商店购买20副网球拍，720个网球．“双十一”期间，该商店推出了两种不同的促销方案： 方案一：每购买一副网球拍赠送15个网球； 方案二：每购买120个网球，赠送 1副网球拍． (1)分别按方案一、方案二购买，各需花费多少元？（结果用含a，b的代数式表示） (2)若，则按方案一、方案二购买，各需花费多少元？ (3)在（2）的条件下，若允许两种方案可以同时使用，该中学最少需花费 元． 【变式4-2】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）某商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价200元，茶碗每只定价20元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案， 方案一：买一套茶具送一只茶碗； 方案二，茶具和茶碗都打九五折销售； 现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只． (1)若客户按方案一购买，需要付款 元；若客户按方案二购买，需要付款 元．（用含x的代数式表示） (2)当时，若顾客只能选择其中一种方案购买，试通过计算说明哪种购买方案比较省钱？ (3)若顾客想买30套茶具与50只茶碗，如何购买最节省，需要花费多少元？请写出购买方案． 【变式4-3】（25-26七年级上·福建厦门·期末）某水果种植园今年产量丰收，已知水果每千克成本元，现给小华所在的学习实践小组布置了两个任务，进行调查研究学习，具体如下： (1)任务一：水果园计划在7天内，销售2000千克该种水果，现有两种销售方案可供选择：方案一：在每千克成本的基础之上提高标价，然后按照8折进行销售，7天内可以全部售出．方案二：在每千克成本的基础之上提高标价销售，按照市场行情前6天共可以售出1600千克该种水果，最后一天以每千克1元的价格可以把剩余水果全部售出 填空：方案一的利润为_____，方案二的利润为_____． 两种方案的利润_____． （填“方案一多”、“方案二多”、“一样多”、“无法确定”） (2)任务二：若H水果每千克成本为2元，现将10000千克H水果运往外地销售，现有A型货车20辆，B型货车10辆，A货车每辆可装200千克，B货车每辆可装600千克，运出的水果可以全部卖掉，运输方案如表： 目的地 需要货车数量/辆 每辆A型货车运费/元 每辆B型货车运费/元 H水果当地售价/元每千克 甲地 18 200 500 5 乙地 12 100 300 4 预计利润可达18900元（最终利润水果利润运费），请问A，B两种型号货车分别运往甲乙两地各多少辆？ 【题型5 月历问题】 【例5】（24-25七年级上·贵州黔南·期末）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为50． 不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，框出的5个数的和可能是 （    ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．120 B．110 C．86 D．63 【变式5-1】（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图1是2025年1月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)①任意框出图1某一行中相邻的3个数，若中间的数为，那么右边的数为___________， ②任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，那么下面的数为___________；（用含的式子表示） (2)用图2框出图1中3个数，则这3个数的和最大为多少？ 【变式5-2】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）在月历中有许多奥秘，图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如：________，________； 不难发现，其结果都等于________； (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以说明； (3)在某月历中，“”字型框架框住的5个位置上的数，如果最小数与最大数的和为40，那么中间位上的数________． 【变式5-3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【问题背景】 数学活动课上，我们对“月历中的奥秘”进行探索研究．月历中有很多奥秘，下面就让我们一起探索吧！ 如图是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： 【探究一】 （1）图①中带阴影的方框中9个数的和为方框正中心的数的___________倍，如果将带阴影的方框移至图②的位置，9个数的和为方框正中心的数的___________倍； （2）第（1）小题结论对于任何一个月的月历都成立吗？请说明理由；（同样的阴影方框） 【探究二】 （3）仿照上述探究的方法，设图③的“+”形的5个数的和为a，图④中的“H”形的7个数的和为，“+”形和“”形在月历上可以随意移动，当“+”形的正中心数比“”形的正中心数小4，时，求a，b的值． 【题型6 数阵问题】 【例6】下图的数阵是由全体奇数排成：    (1)图中“工”字形框内的七个数之和与中间的数有什么关系？算一算； (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的“工”字形框，这七个数之和还有这种规律吗？请说出理由． 【变式6-1】小明在学习找规律后，把1～100这100个自然数按如图所示的数阵排列，用形如“”的框架框住数阵中的五个数，并计算框架框住的五个数之和，探索其中规律完成下面问题： (1)能被框住的任意五个数之和能否被10整除，请说明理由； (2)现给出以下四个数：①250；②364；③475；④480．其中可能是这个框架框住的五个数之和的是_____________．（填序号） 【变式6-2】将连续奇数数1，3，5，7，9，…，排列成如图所示数阵．    (1)框中的九个数字的和与中间数字有什么关系？ (2)若将“框”上下左右移动，能框住的九个数的和仍然有这种关系吗？为什么？ (3)框中九个数字的和能等于1422吗？若能，请写出中间的数；若不能请说明理由． 【变式6-3】（25-26七年级上·广东广州·期末）某校举办数学节，七年级班的学生设计了如下的数学活动： 在一个的数阵中（如图1），绘制“”、“”两个字样的阴影图案，沿上下左右平行移动这两个图案（可重叠）．设“”型图案覆盖的数字之和为，最中间的数字为（如图2）；“”型图案覆盖的数字之和为，中间的一个数字为（如图3）． (1)请用含的代数式表示▲，__________； (2)为了让图案整齐美观并暗藏班级代码，班长移动这两个图案，使得“”和“”在同一水平高度，且两个图案之间的间隔仅为一列，此时和刚好满足，求的值； (3)分别移动图案“”、“”，能否使得与的和为584？若能，求出对应的和的值；若不能，请说明理由． 【题型7 整除问题】 【例7】（25-26七年级上·吉林长春·期中）【提出问题】一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，通常记这个数为，则．下面探究能被9整除的三位数的特征． 【特例探究】写出一个能被9整除的三位数________． 【猜想证明】由特例猜想：如果能被9整除，那么这个三位数能被9整除．下面是小明的部分证明过程，请补充完整： 因为________． 显然能被9整除， 因此如果能被9整除， 那么就能被9整除，所以猜想成立． 【迁移运用】设是一个四位数，如果可以被3整除，那么这个数可以被3整除．为什么？ 【拓展提升】当五位数能被9整除时，直接写出的值． 【变式7-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）字母表示数将具体的数字抽象为符号，实现了从特殊到一般的飞跃，让数学得以描述普遍规律．小学阶段我们已经了解能被整除的数的规律，现在我们用字母进行一般化地推理． 【验证规律】 不妨以三位数为例，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数可以被整除．推理过程如下： ，显然能被整除，因此，如果可以被整除，那么就能被整除． 【类比迁移】 若是一个三位数，那么三个数位上的数字，，满足什么条件时，能被整除，并说明理由． 【拓展应用】 若是一个三位数，当能被整除时，三个数位上的数字，，、满足的条件可以是________（填序号） ①能被整除  ②能被整除  ③能被整除 【变式7-2】（25-26七年级上·广东珠海·期末）【探究背景】我们已经学习了“自然数被3整除的规律”：如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．以两位数的情形为例说明其中的道理： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为． 于是 显然能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 类比上述过程，探究“自然数被9整除的规律”． 【观察猜想】 （1）观察下列能被9整除的数：18、27、36、108、378、567、1386，通过计算这些数所有数位上的数字之和，大胆猜想“自然数被9整除的规律”：___________． 【说明道理】 （2）以三位数的情形为例说明“自然数被9整除的规律”的道理： 【应用拓展】 （3）一个能被9整除的四位数的后两位数字被污渍遮挡，仅能看清前两位数字：“15”，若已知这个数的十位数字是个位数字的2倍，写出这个四位数的所有可能结果___________． 【变式7-3】（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）综合与探究 【问题情境】一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．比如：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】已知三位数． （1）请用含的代数式表示三位数：___________； （2）小军说：“若能被3整除，则三位数就能被3整除．”请判断他的说法是否正确，并说明理由； 【类比拓展】判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的数与此末位数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除． 比如：三位数去掉末位数字得两位数，再用加上的5倍所得的和为．若能被7整除，则能被7整除． （3）请你对“若能被7整除，则能被7整除”说理． 【题型8 九宫格问题】 【例8】（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则________．（用含有的代数式表示） 【变式8-1】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）如图是一个九宫格（九宫格内的字母均为有理数），九宫格内的每一行，每一列以及每一条对角线上的数字之和相等，则的值为（   ） A．44 B．22 C． D． 【变式8-2】（25-26七年级上·陕西西安·期中）三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（   ） A．5 B． C．1 D．0 【变式8-3】（24-25七年级上·江西吉安·期末）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称“洛书”，即现在的三阶幻方，三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等．    (1)图1中，________，________，________； (2)由图1，计算：的值； (3)图2所示是“整式和幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个整式之和均相等，求k的值． 【题型9 数字问题】 【例9】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【变式9-1】（25-26七年级上·甘肃白银·期中）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，把它们对调后得到另一个新的两位数，则原两位数与新两位数的差是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）阅读材料：对于任意一个两位数 x ，如果 x 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如： ，对调个位数字与十位数字得到新的两位数 32，新两位数与原两位数的和为，和与 11 的商为 ，所以 ．则______；如果一个“迥异数”a 的十位数字是 m ，个位数字是 ，且 ，则“迥异数”a的值为_____． 【变式9-3】（25-26七年级下·山东青岛·期中）【知识发现】 聪明的小丁和小颖玩神奇的“读心术”游戏： 小丁请小颖在心里想一个任意一个数字，将这个数字先乘以2，再加3，然后乘以5，最后把得到的数减去15，小丁立即猜出小颖心里想的数． 其实运用我们所学的知识就可以解密： 设原数是，可以列代数式：，再除以10就可以知道原数是多少． 【知识应用】 (1)从这9个数字中任意选择三个不同的数字，由这三个数字组成6个不同的两位数（个位数字与十位数字不重复），把这6个两位数相加，然后用所得的和除以这三个数字的和，结果是多少？请用所学的知识解释 【知识拓展】 (2)任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程……你得到了什么结果？ 【题型10 数形规律】 【例10】（25-26七年级上·黑龙江·期末）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多20枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为_______． 【变式10-1】如图，相同的小正方形按照某种规律摆放，则第个图形中小正方形的个数比第个图形中小正方形的个数多___________________（用含正整数的式子表示）．    【变式10-2】（25-26七年级上·福建福州·期中）如图是用黑色棋子摆放而成的图案，其中第①个图中有3枚棋子，第②个图中有6枚棋子，第③个图中有11枚棋子，第④个图中有18枚棋子，…，按此规律，第个图案黑色棋子的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……，若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为______． 【题型11 数式规律】 【例11】观察下列等式：，，，…… （1）根据上面的规律，若，则______，______； （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为______． 【变式11-1】观查下列单项式： ，，，，，… 按此规律，第7个单项式是_________． 第个单项式是______________． 第2000个单项式是____________． 【变式11-2】一组代数式按照一定规律排列：a，b，，，，……，按照这个规律写下去，这组代数式中第6个代数式是______． 【变式11-3】（2025·河北邯郸·三模）嘉嘉和淇淇对5个正整数进行规律探究，嘉嘉写出三个连续偶数：，淇祺写出两个连续奇数：，若，则的值一定能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $