2.1等式性质与不等式性质 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过三级分层设计，以基础巩固为起点，逐步提升至综合应用与创新实践，构建“概念理解-运算推理-实际应用”的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础练习|不等式性质、大小比较、范围求解|直接应用性质判断大小（如1-6题），基础证明题（8题），夯实概念理解| |B级拔高提升|综合性质应用、方程与不等式结合、实际情境问题|结合二次函数（9题）、加油经济问题（11题），培养数学思维推理能力| |C级学科素养创新练|跨情境应用、逻辑推理|采光效果分析（14题）、含参数方程综合推理（15题），体现用数学眼光观察现实世界|

2.1等式性质与不等式性质 A级　基础练习 1.(2026宁夏银川阶段练习)已知两个实数a,b,一个大于1,另一个小于1,设M=a+b,N=ab+1,则(　　) A.M>N B.M<N C.M=N D.M与N的大小不确定 2.若y1=3x2-x+1,y2=2x2+x,则y1与y2的大小关系是(　　) A.y1>y2 B.y1≥y2 C.y1<y2 D.y1≤y2 3.(2026广东佛山阶段练习)若0<x<y<1,则(　　) A.0<x-y<1 B.x+y>2 C.>1 D.xy<x 4.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是(　　) A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax 5.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中一定成立的是(　　) A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y| 6.(2026安徽A10联盟阶段练习)(多选题)设a>b>0>c>d,则下列不等式一定成立的是(　　) A.a-b>c-d B.a-d>b-c C.ab>cd D.ad<bc 7.已知实数x,y满足1<x<6,2<y<3,z=x-2y,则实数z的取值范围为　　　　　.  8.(1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc; (2)已知a>b>0,c<d<0,求证:; (3)已知a,b∈R且a,b>0,试比较的大小. B级　拔高提升 9.(2026福建南安期中)互不相等的实数a,b,c满足:c-b=4-4a+a2且a+b2+1=0,则下列关系成立的是(　　) A.b>a>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 10.(多选题)若正实数x,y满足x>y,则有下列结论,其中正确的有(　　) A.xy<y2 B.x2>y2 C.(m>0) D. 11.(2026广东梅州期末)每次去加油站,甲选择加固定金额的油,乙选择加固定体积的油.假设甲、乙两人在同样的时间点加油,在油价的波动情况下,哪种方式更经济呢?(　　) A.加固定金额的方式 B.加固定体积的方式 C.两种方案一样 D.要视具体价格而定 12.已知实数x,y满足<xy2<2,4<<6,求t=的取值范围. 13.(2026河北阶段练习)已知3<x+2y<8,5<x-2y<10. (1)求x的取值范围; (2)求的取值范围; (3)求2x-6y的取值范围. C级　学科素养创新练 14.(2026江苏苏州期中)一般认为,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大,采光效果越好,则(　　) A.若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220 m2,则这所公寓的窗户面积至少应该为22 m2 B.若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了10%,公寓采光效果会变好 C.若同时增加相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果会变好 D.若同时增加窗户面积和地板面积,且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍,公寓采光效果一定会变差 15.设a≥b≥c,且1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,则的取值范围为　　　　　　　.  答案： 1.A　N-M=ab+1-(a+b)=(a-1)(b-1),由题意得a<1<b或b<1<a,此时都有(a-1)(b-1)<0,所以M>N.故选A. 2.B　y1-y2=3x2-x+1-2x2-x=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以y1≥y2,当且仅当x=1时,等号成立.故选B. 3.D　因为0<x<y<1,所以x-y<0,x+y<y+y<1+1=2,,故A,B,C错误; 因为y<1,x>0,所以xy<x,故D正确.故选D. 4.B　∵x<a<0,∴x2>a2.∵x2-ax=x(x-a)>0, ∴x2>ax.又ax-a2=a(x-a)>0,∴ax>a2.∴x2>ax>a2. 5.C　因为x>y>z,x+y+z=0, 所以3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,所以x>0,z<0. 所以由可得xy>xz一定成立. 6.BD　取a=2,b=1,c=-1,d=-3,则a-b<c-d,故A错误;由c>d,得-d>-c,因为a>b,所以a-d>b-c,故B正确;取a=2,b=1,c=-1,d=-3,则ab<cd,故C错误;由0>c>d,得-d>-c>0,因为a>b>0,所以-ad>-bc>0,所以ad<bc,故D正确.故选BD. 7.{z|-5<z<2}　由2<y<3,得-6<-2y<-4. 又1<x<6,所以-5<x-2y<2,即-5<z<2. 8.(1)证明∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc, 又e>f,即f<e,所以f-ac<e-bc. (2)证明∵c<d<0,∴<0,∴->->0. 又a>b>0,∴->-,∴.∴. (3)解 -()= = =≥0, 所以,当且仅当a=b时,等号成立. 9.D　c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,又因为实数a,b,c互不相等,故c-b>0,即c>b. 因为a+b2+1=0,所以a=-1-b2,所以b-a=b2+b+1=(b+)2+>0,故b>a.综上,c>b>a.故选D. 10.BCD　A中,由于x,y为正实数,且x>y,两边乘y得xy>y2,故A选项错误;B中,由于x,y为正实数,且x>y,所以x2>y2,故B选项正确;C中,由于x,y为正实数,且x>y,所以当m>0时,y(x+m)-x(y+m)=m(y-x)<0,则y(x+m)<x(y+m),所以成立,故C选项正确;D中,由于x,y为正实数,且x>y,所以x>x-y>0,取倒数得0<,故D选项正确. 11.A　设两次加油的油价分别为x,y(x,y>0,且x≠y),乙方案每次加油的量为a(a>0),甲方案每次加油的钱数为b(b>0),则乙方案的平均油价为,甲方案的平均油价为. 因为>0,所以,即甲方案更经济.故选A. 12.解 因为<xy2<2,4<<6,所以,16<<36,所以8<<24,故t的取值范围为{t|8<t<24}. 13.解 (1)因为3<x+2y<8,5<x-2y<10,所以8<2x<18,所以4<x<9,故x的取值范围为{x|4<x<9}. (2)由3<x+2y<8,得,可得5×<(x-2y)×<10×,即,故的取值范围为{}. (3)设2x-6y=m(x+2y)+n(x-2y)=(m+n)x+(2m-2n)y,m,n∈R,则解得 故2x-6y=-(x+2y)+(x-2y), 由于3<x+2y<8,5<x-2y<10,故-4<-(x+2y)<-(x-2y)<25, 故-4+<-(x+2y)+(x-2y)<-+25, 即<2x-6y<, 故2x-6y的取值范围是{2x-6y|<2x-6y<}. 14.C　对于A,设该公寓窗户面积为x m2,0<x<220,则地板面积为220-x(m2),由题可得解得20≤x<110,因此这所公寓的窗户面积至少为20 m2,故A错误;对于B,记窗户面积为a,地板面积为b,窗户增加的面积为10%a,地板增加的面积为10%b,而0<a<b,增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为,公寓采光效果不变,故B错误;对于C,记窗户面积为a,地板面积为b,同时增加的面积为c,0<a<b,c>0,增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为,则,而b-a>0,于是>0,即,即同时增加相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果会变好,故C正确;对于D,记窗户面积为a,地板面积为b,窗户增加的面积为c,地板增加的面积为8c,0<a<b,c>0,增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为,则,若b-8a>0,则;若b-8a=0,则;若b-8a<0,则,因此无法判断公寓的采光效果是否变差,故D错误.故选C. 15.{|-2≤≤-}　∵1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,∴a+b+c=0,得b=-a-c. ∵a≥b≥c,∴a≥b,a≥c,∴3a≥a+b+c=0,∴a≥0.由题意知,a≠0,∴a>0.∵b=-a-c,则a≥-a-c≥c,即则不等式等价为即-2≤≤-.综上,的取值范围为{|-2≤≤-}. 1 学科网（北京）股份有限公司 $