暑假综合自测卷2026—2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 2026-2027年人教版九年级数学上册暑假综合自测卷，以剪纸艺术、滇超联赛等真实情境为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查旋转、二次函数等核心知识，融合数学抽象、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题36分|中心对称图形、科学记数法、原点对称、圆内接角、抛物线性质|剪纸艺术（第1题）考查中心对称，体现文化传承与几何直观| |填空题|4题12分|位似、仰角计算、二次函数对称轴、正六边形内切圆|等高线示意图（第14题）结合仰角考查应用意识，关联现实情境| |解答题|7题72分|解方程、相似三角形、图形变换、一元二次方程与菱形/矩形、圆的切线证明、二次函数综合|二次函数与菱形存在性（第23题）融合模型意识与创新意识，梯度设计能力提升|

2026—2027年人教版九年级数学上册暑假综合自测卷（解析版） 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：九年级数学上册 第一部分 选择题(共36分) 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2．根据年月日云南省“高质量完成‘十四五’规划”系列新闻发布会·昭通专场信息，年昭通市经济总量预计突破元．请将“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】先把原数转化为的数确定，再根据原数的整数位数或小数点移动的位数确定，最后匹配选项得到答案． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 对于原数，，， 因此用科学记数法表示为． 3．在平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标规律， 根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”可得答案． 【详解】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， ∴该点坐标为， 故选：A． 4．如图，内接于，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理及三角形的内角和定理，根据等腰的两个底角，三角形的内角和定理求得，然后由圆周角定理求得． 【详解】解：在中， ， ， 又， ， ， （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， ． 故选：D． 5．下列关于抛物线的说法不正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点是（1，3） C．抛物线与y轴的交点是（0，3） D．当x>1时，y随x的增大而增大 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】利用二次函数的性质一一判断即可； 【详解】解：二次函数=x²-2x+4， ∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上;顶点坐标为（1，3）;对称轴是直线x=1，当x>1时，y随x的增大而增大;抛物线与y轴的交点是（0，4）, 故A，B，D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论． 6．如图，在中，，以点A为中心，把逆时针旋转，得到，连接，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得：，，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：由旋转得：，， 是等边三角形， ， 故选：B． 7．下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式、负整数指数幂的定义及二次根式的性质，需逐一判断各选项等式的正误． 【详解】解：A选项：平方差公式为，A选项等式正确，不符合题意； B选项：完全平方和公式为，与选项中的不符，B选项等式错误，符合题意； C选项：负整数指数幂的定义为，C选项等式正确，不符合题意； D选项：二次根式的性质为，D选项等式正确，不符合题意； 故选：B． 8．按一定规律排列的多项式：，，，，，…第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，观察多项式得出含的项的次数是从开始的连续的自然数，含的项的系数是从开始的连续偶数，且两项之间用号连接起来，即可得出答案． 【详解】解：观察多项式可得：含的项的次数是从开始的连续的自然数，含的项的系数是从开始的连续偶数，且两项之间用号连接起来， ∴第个多项式是， 故选：C． 9．若是抛物线与轴交点的横坐标，则代数式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，利用方程根的定义对高次代数式降次是解题关键，通过将m满足的等式变形后代入待求代数式，逐步降次计算即可得到结果． 【详解】解：∵m是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴m是方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 10．若直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则二次函数的大致图象是(　　) A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中一次函数图象，可以得到，，然后根据二次函数的性质，即可得到二次函数的图象的开口方向，对称轴的位置，即可判断二次函数图象． 【详解】解：根据一次函数图象经过一、二、四象限， ，， 二次函数的图象开口向下，二次函数的对称轴为直线，即对称轴在轴右侧， 故选：D． 11．2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 每支参赛球队需与其余支球队各赛一场，支球队初步计算的比赛场数为场，但此时每场比赛被两支球队各统计了一次，存在重复，因此实际总场数需除以2，再结合已知总场数为场，即可列出正确方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需与其他支球队各进行一场比赛， ∴初步统计的比赛场数为场， 又∵每两支球队的交锋仅算一场，上述统计中每场比赛被重复计算了1次， ∴实际总比赛场数为场， ∴可列出方程． 故选：C． 12．如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的内切圆、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，则，由勾股定理逆定理可得，易证四边形是正方形，即；再根据三角形内切圆的性质可得，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵的内切圆与边分别相切于点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 故选A． 第二部分 非选择题 (共84分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点是位似中心，且，若，则点的坐标是_____． 【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键；直接利用位似图形的性质得出相似比，进而得出对应点的坐标． 【详解】解：∵与位似，原点是位似中心，且， ∴相似比为， ∵， ∴点的坐标是，即． 故答案为：． 14．如图是园区内一小山的等高线示意图，小明在处测得处的仰角为30度，小明从山脚处爬山到山顶处需要爬_____． 【答案】100 【知识点】含30度角的直角三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用及直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意画出示意图，再根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半进行解答即可． 【详解】解：作示意图如下： 由题意得，， ∴， 故答案为：100． 15．已知二次函数的、部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为直线_____． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的对称性，中点坐标公式，在表格中找到两个函数值相等的点是解题关键． 根据二次函数的对称性，由函数值相等的点确定对称轴的位置． 【详解】解：由表格数据可知，当和时，函数值均为， 则点和关于二次函数图象的对称轴对称， 故对称轴为直线． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心的坐标是_____． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、求正多边形的中心角 【分析】本题主要考查圆与正多边形、正多边形的中心角、等边三角形的判定和性质、勾股定理等，作出内切圆是解题的关键． 先作出正六边形的内切圆，确定的位置，连接，再根据垂直平分线的性质推出，，，然后证明为等边三角形，根据等边三角形的性质结合勾股定理，求出，即可求解圆心的坐标． 【详解】解：如图，分别作的垂直平分线，的垂直平分线的交点设为点，的垂直平分线与交于点，连接，以点为圆心，为半径作圆，即为正六边形的内切圆， ∵正六边形的边长是4， ∴， ∵的垂直平分线与交于点， ∴，，， ∵正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵在中， 根据勾股定理，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17．解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，关键是熟练应用知识点解题； （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：原方程整理，得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ∴或， ∴，． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号里面的加法，再算除法，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19．如图，线段与相交于点，且，若，，，求的长． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是利用平行线的性质识别成比例的线段，通过建立等式求解未知线段长度． 【详解】解：， ， ，，， ， 解得． 20．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点的中心对称图形； (2)将绕点E逆时针旋转得到，画出； (3)若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画旋转图形、找旋转中心、旋转角、对应点、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 21．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且这两根分别是四边形相邻两边，的长． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据题意得，进一步得，最后解方程即可； （2）由根与系数的关系得，，，进一步得，再根据勾股定理建立方程，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：若四边形为菱形，则， ∴关于的一元二次方程有两个相等实数根， ， 即， 解得 ． 答：的值为． （2）解：由题意可知，，的长为方程的两个实数根， ，， ． 当四边形为矩形时，则有， 即， 解得，或． ，且，, 且， ． 答：的值为． 22．如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ，， ， ， 是的半径，且， 是的切线． (2) 证明：， ， ， ， ． (3) 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质和判定的综合应用 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、同角的余角相等、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）由是的直径，得，由，得，由，，得，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，则； （3）作于点，则，由勾股定理得，则，可求得，所以，即可由，求得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点， ，平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长是． 23．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)Q的坐标为或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据菱形的性质与判定求线段长、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，点B的坐标为，得点A的坐标为，故二次函数解析式为； （2）连接，设，则，得，根据二次函数的性质可得答案； （3）由，得直线解析式为，设，则，，由，知是一组对边；分两种情况：①当为对角线时，的中点重合，且，②当为对角线时，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线，点B的坐标为， 点A的坐标为， 二次函数解析式为； （2）解：连接，如图： 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， 当时，取得最大值，且最大值为； （3）解：在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，则，， ， 当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，是一组对边； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（此时M，N与C重合，舍去）或， ； ②当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或或， 或； 综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027年人教版九年级数学上册暑假综合自测卷（原卷版） 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：九年级数学上册 第一部分 选择题(共36分) 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．根据年月日云南省“高质量完成‘十四五’规划”系列新闻发布会·昭通专场信息，年昭通市经济总量预计突破元．请将“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，内接于，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．下列关于抛物线的说法不正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点是（1，3） C．抛物线与y轴的交点是（0，3） D．当x>1时，y随x的增大而增大 6．如图，在中，，以点A为中心，把逆时针旋转，得到，连接，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 8．按一定规律排列的多项式：，，，，，…第个多项式是（   ） A． B． C． D． 9．若是抛物线与轴交点的横坐标，则代数式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．若直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则二次函数的大致图象是(　　) A． B． C． D． 11．2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 12．如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分 非选择题 (共84分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点是位似中心，且，若，则点的坐标是_____． 14．如图是园区内一小山的等高线示意图，小明在处测得处的仰角为30度，小明从山脚处爬山到山顶处需要爬_____． 15．已知二次函数的、部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为直线_____． 16．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心的坐标是_____． 三、解答题（共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．如图，线段与相交于点，且，若，，，求的长． 20．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点的中心对称图形； (2)将绕点E逆时针旋转得到，画出； (3)若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 21．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且这两根分别是四边形相邻两边，的长． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长为，求的值． 22．如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 23．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $