暑假预习：判断二次方程根的情况、根据二次方程根的情况求参数、二次方程根与系数的关系专项训练-2026年八升九暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦二次方程根的判别与系数关系，以“概念理解-逆向应用-关系拓展”为逻辑链条，覆盖选择、填空、解答多元题型，适配中考高频考点，培养推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断根的情况|3例+3变式|选择为主，直接应用判别式|从判别式概念出发，判断根的存在性及类型| |求参数范围|5例+5变式|选择填空解答结合，含参数讨论|判别式逆向应用，需考虑二次项系数非零| |根与系数关系|5例+5变式|解答题为主，涉及两根和积计算|基于根的存在性，拓展韦达定理的应用|

暑假预习：判断二次方程根的情况、根据二次方程根的情况求参数、二次方程根与系数的关系专项训练 暑假预习：判断二次方程根的情况、根据二次方程根的情况求参数、二次方程根与系数的关系 专项训练 考点目录 判断二次方程根的情况 根据二次方程根的情况求参数 二次方程根与系数的关系 考点一 判断二次方程根的情况 例1．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根． 变式1．（2026·广东深圳·模拟预测）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 变式2．（2026·广东肇庆·三模）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 变式3．（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知整式． (1)化简； (2)若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 考点二 根据二次方程根的情况求参数 例1．（25-26八年级下·浙江温州·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 例3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）若关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 例4．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 例5．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求 的值． 变式1．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 变式2．（2026·广东清远·三模）若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·山西阳泉·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________． 变式4．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 变式5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根． 考点三 二次方程根与系数的关系 例1．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 例3．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知，是一元二次方程的两根，则的值是________． 例4．（25-26八年级下·浙江温州·期末）已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 例5．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 变式1．（25-26八年级下·安徽六安·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 变式2．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 变式3．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则________． 变式4．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 变式5．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：判断二次方程根的情况、根据二次方程根的情况求参数、二次方程根与系数的关系专项训练 暑假预习：判断二次方程根的情况、根据二次方程根的情况求参数、二次方程根与系数的关系 专项训练 考点目录 判断二次方程根的情况 根据二次方程根的情况求参数 二次方程根与系数的关系 考点一 判断二次方程根的情况 例1．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 例2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程， 根的判别式为， 当时方程有两个相等的实数根，依次计算各选项： A选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； B选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； C选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； D选项：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，符合要求． 例3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根． 【答案】(1) (2)对于一元二次方程， 根的判别式为 将代入得 任意实数的平方是非负数 ，即 此方程至少有一个实数根 【分析】（1）将代入原方程，解一元二次方程即可得到结果； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合已知条件变形配方，证明判别式大于等于0，即可证明结论． 【详解】（1）解： 原方程为 配方得 开方得 解得； （2）略． 变式1．（2026·广东深圳·模拟预测）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用判别式的值判断根的情况，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A、，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、，，，方程没有实数根，不符合题意； C、，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、，，，方程有两个相等的实数根，符合题意． 变式2．（2026·广东肇庆·三模）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：将原方程整理得， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 变式3．（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知整式． (1)化简； (2)若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，得，即可作答． （2）由得，则即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得， 当时，则，， ∴ 此方程有两个不相等的实数根． 考点二 根据二次方程根的情况求参数 例1．（25-26八年级下·浙江温州·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 例2．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 例3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）若关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 【答案】且 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，可得二次项系数不为，且根的判别式大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：， 的取值范围是且． 例4．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，本题二次项系数为1，已经满足一元二次方程二次项系数不为0的要求，只需计算判别式后解不等式即可得到结果． 【详解】解：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 该方程二次项系数为，满足一元二次方程定义，只需满足判别式． 计算判别式： 令，可得． 解得． 例5．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求 的值． 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 变式1．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 变式2．（2026·广东清远·三模）若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需分类讨论方程的类型，结合一元一次方程，一元二次方程根的概念求解，注意一元二次方程中两个相等的实数根仍属于两个根。 【详解】∵ 题目未明确方程为一元二次方程，需对二次项系数分类讨论， 当时，原方程化简为，属于一元一次方程，有且只有一个实数根，符合题意， 当时，原方程是一元二次方程，即使判别式，方程也只有两个相等的实数根，并非一个实数根，不符合题意， ∴ 只有满足条件． 变式3．（25-26八年级下·山西阳泉·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】已知方程为一元二次方程，且有两个不相等的实数根，根据根的判别式的意义，可得根的判别式大于0，据此建立关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得． 变式4．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，根据判别式大于零列出不等式求解即可； （2）根据k 的取值范围和k 为正整数确定的值，代入方程后求解方程的根． 【详解】（1）解：判别式且， 解得且； （2）解：根据题意得，k为最小正整数， 则， 方程为 解得，． 变式5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根． 【答案】(1)见解析 (2)，此时方程的根为 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程； （1）由根的判别式，可证出：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）由关于的方程有两个相等的实数根，可得出根的判别式，解之可得出的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）证明： ， 不论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 将代入原方程得：， 即 解得：， 的值为，此时方程的根为． 考点三 二次方程根与系数的关系 例1．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程 ，若方程的两个实数根为 ，，则 ，． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根． ∴ ，． 例2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 例3．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知，是一元二次方程的两根，则的值是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，最后根据，即可求解． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ． 例4．（25-26八年级下·浙江温州·期末）已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将方程的根代入原方程即可求解； （2）根据根与系数的关系，即可求出c，再利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：将方程的根代入原方程：，解得； （2）设方程的两根为，，若方程的两根之积为3， 则，解得， 即：， 解得，． 例5．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 变式1．（25-26八年级下·安徽六安·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将所求式子变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴，， 又∵ ， ∴ 代入得． 变式2．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 变式3．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义与一元二次方程根与系数的关系得到，，再将所求式子变形，并代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 变式4．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)证明： ， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）计算出根的判别式，再利用完全平方公式变形可得，因此方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系，用表示和，代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得． 变式5．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1)证明：方程中，，，， ∴． ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定即可得证； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，，整体代入已知等式解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：关于的一元二次方程， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $