第21章 二次函数与反比例函数（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 沪科版八年级下第21章二次函数与反比例函数培优卷，整合阶段检测、模拟及中考真题，题型针对性强、覆盖全面，可量化学生掌握程度，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、反比例函数图像性质、抛物线顶点与对称轴|基础巩固，结合多地阶段检测题，培养抽象能力与几何直观| |填空题|6/18|二次函数最值、反比例函数象限分布、方程解与新定义（k倍界函数）|能力提升，融入新定义问题，发展推理意识与符号意识| |解答题|9/72|函数表达式求解、实际应用（喷水池/拱桥）、综合几何与函数（等和积点、平行四边形存在性）|创新应用，结合生活情境与跨知识综合题，体现模型意识与应用意识，适配中考命题趋势|

第21章 二次函数与反比例函数·培优卷 【新教材沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 2．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 3．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 4．（2026·山西长治·三模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定反比例函数的比例系数符号，再根据x的取值范围判断两点所在象限，结合反比例函数的增减性即可比较与的大小． 【详解】解：将反比例函数整理为的形式，可得． ∵， ∴反比例函数图象在第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． 又∵， ∴点，都位于第四象限，根据增减性可得． 5．（2026·河南三门峡·三模）若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在二次函数的图象上，点到轴的距离小于，可得：，进一步可得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为． ∵点P到y轴的距离小于2， ∴． 当时，； 当时，； 当时，． ∴n的取值范围是． 6．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为，矩形的面积为，由矩形的面积为6建立方程求解即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 四边形是矩形，点、在轴上， 轴，轴，轴， 四边形和四边形均为矩形． 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限， ， ． ， ， ． 7．（2026·山东临沂·二模）将二次函数的图象，向右平移10单位，平移过程中此图象与轴的交点也会跟着变化．假设此图象与轴的交点为，判断在平移过程中，点位置的变化情形是（    ） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 【答案】D 【分析】设向右平移距离为t，则新抛物线方程为，当时，，判断当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，即可求解． 【详解】解：设向右平移距离为t，则新抛物线方程为， 当时，， ∵是t的二次函数，且二次项系数为负， ∴ 开口向下，顶点在处， ∴ 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∴ P点先向上再向下移动． 8．（2026·宁夏固原·三模）已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数开口及顶点判断，的正负，根据反比例函数图象所在象限判断的正负，结合一次函数图象性质即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴， ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限， ∴， 一次函数过一、二、四象限． 9．（2026·江苏泰州·三模）若二次函数()的图象经过，，三点，则的值可能是（     ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】先根据二次函数过和求出对称轴，根据判断开口方向，得到开口向上时点到对称轴的距离越远，函数值越大，再比较、两点的函数值大小，推导得到的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：在二次函数，当时，， ∴二次函数过点， 又∵图象过，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，到对称轴的距离为，计算得， ∴， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵点横坐标为，到对称轴的距离为， ∴，解不等式得，观察选项，只有在该范围内，因此的值可能是． 10．（2026·北京·三模）如图，已知，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，动点在轴的正半轴上，线段交反比例函数图象于、两点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，给出下面三个结论： ①； ②对任意，存在唯一的动点，使四边形是平行四边形； ③当时，的面积有最大值2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】连接，利用角平分线及斜边中线的性质即可判断①；若四边形是平行四边形，则可推出四边形是平行四边形，进而得出，再结合函数的图象可判断②；由可知，确定 的最大值即可判断③． 利用面积关系及三角函数求最值判断. 【详解】解：①如图1，连接， 直线与反比例函数的图象都关于原点对称， 、两点关于原点对称，即． ， 在中，， ， 平分， ， ， ， 故①符合题意； ② 如图2，连接. 若四边形是平行四边形，则，． 由①已知, 四边形是平行四边形， ， 由①已知， . 动点在轴的正半轴上，且是线段与反比例函数图象的交点， 点在点的右侧，且由图象可知随着动点向右运动，的长度是由0开始逐渐增大的， 对任意，一定存在唯一的动点，满足，也就是满足四边形是平行四边形，故②符合题意； ③如图3，过点E作,垂足为. 当时，把与联立，得 解得或， 两点的坐标分别为、． . ， . 在中，． 当时， 取得最大值，最大值为． 故③不符合题意. 综上所述，符合题意的结论是①②. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的最小值是_________． 【答案】-12 【分析】本题主要考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标． 根据二次函数开口向上，最小值在顶点处取得． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，函数有最小值， ∵抛物线的对称轴为直线，将代入函数解析式，得， ∴二次函数的最小值为． 故答案为：． 12．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是________． 【答案】 （答案不唯一，任意满足的实数均可） 【分析】根据反比例函数的图象性质，当图象位于第一、三象限时，比例系数大于0，由此得到关于的不等式，求出的取值范围，再取范围内任意一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ，解不等式得， 因此的取值可以是任意大于的数，可以取（答案不唯一，任意满足的实数均可）． 13．（2026·河南南阳·一模）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 4 5 7 0 则关于的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【分析】先根据表格中y值相等的点求出二次函数的对称轴，再利用对称性得到对应的另一个的值，即可得到一元二次方程的解 【详解】解：根据表格可得，点，都在二次函数的图象上， 二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得，当时，， 点关于对称轴的对称点为， 关于的一元二次方程的解是. 14．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，反比例函数与正比例函数的图像交于点，点，轴于点，轴于点，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数值的几何意义，由题意可得，又，则，从而求出的值，熟练掌握反比例函数系数值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数与正比例函数的交点，轴于点，轴于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（2025·上海闵行·一模）在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________． 【答案】2 【分析】先求得，接着过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，那么，结合点坐标得到，然后解方程算得答案即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， 两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∴， 如图所示：过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，通过构造“型全等”三角形，结合点在抛物线上的坐标关系建立方程求解是关键． 16．（2026·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 【答案】或 【分析】先求出关于x的二次函数图象的对称轴为直线，得到当或时，二次函数的函数值相等，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴关于x的二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当或时，二次函数的函数值相等， 当时，二次函数有最小值为， 在范围内，当或时，有最大值为， ∵二次函数是在范围内的“2倍界”函数， ∴， ∴； 当时，二次函数有最大值为， 在范围内，当或时，有最小值为， ∴， ∴； 综上，或． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． (1)求这个二次函数的表达式： (2)当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)或. 【分析】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，利用函数图象求解不等式，熟记二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时x的值，结合图象即可得到x的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，依题意得： ， 解得： ∴二次函数的表达式为。 （2）解：当时，， 解得：，， 如图， 当函数值小于3时，或. 18．（6分）（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入求出，然后代入求解即可； （2）将代入求出，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ，即 在反比例函数的图象上 ，解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：在反比例函数的图象上 ∴， 解得，即 轴 点的横坐标与点的横坐标相等， 将代入，得，即 ． 19．（6分）（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱．如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系． (1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； (2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离． 【答案】(1)抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为 (2)抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为 【分析】本题考查二次函数的应用，正确审清题意是解题的关键． （1）根据题意求最高点A到地面的距离，即求顶点的纵坐标； （2）根据题意可知，令即可求解． 【详解】（1）解： 配方得， 顶点 答：抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为3m； （2）当时，， 解得，（不符合题意，故舍去）， ，即， 答：抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为3m． 20．（8分）（2026·河南平顶山·三模）定义：如图，在平面直角坐标系中，为第一象限内的任意一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为．若四边形的周长与其面积相等，则称点为平面直角坐标系中的“等和积点”．已知“等和积点”在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)若为上一点，以为边作正方形，若点在反比例函数的图象上，试求出点的坐标，并判断点是否为“等和积点”． 【答案】(1) (2)点D的坐标为，点为“等和积点” 【分析】（）利用等和积点定义求点坐标，代入反比例函数求解析式； （）设纵坐标，利用正方形得坐标，代入反比例函数求值，验证等和积点条件． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设点的纵坐标为， 四边形为正方形， ． 点的横坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， 解得 （负值已舍去）， 点的坐标为， ， 点为“等和积点”． 21．（8分）（25-26九年级上·广东东莞·期末）综合与实践：如图①，是一座抛物线型拱桥，小马学习二次函数后，受到该图的启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴与水平线垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1． (1)请在图②建立合适的平面直角坐标系，并帮小马求出该抛物线的表达式； (2)为更加稳固，小马想在上找一点P，加装拉杆，，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小马找到点P的位置，并求出点P坐标和它们的长度和的最小值． 【答案】(1)建立平面直角坐标系见解析， (2)点P位置见解析，点P的坐标为，它们长度和的最小值是 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值等知识，解题的关键是： （1）如图建立坐标系，设抛物线的解析式为，将代入即可求解； （2）作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接，则，此时拉杆长度之和最短，最小值为的长度，然后求得，再求出直线与y轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：以点D为坐标原点O，所在的直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图②， 设抛物线的解析式为， 由题意，， ， 将代入，得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，点B到对称轴的距离是1， ∴当时，， ， 作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接，如图， 则，， ，此时拉杆长度之和最短，最小值为的长度， 则点P位置如图所示，且； 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 22．（9分）（25-26八年级下·上海嘉定·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 (2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 23．（9分）（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①或；② 【分析】（1）由抛物线顶点为，可得，，进一步可得答案； （2）①由，可得抛物线，直线为：，可得，进一步求解即可； ②由①同理可得：，当时，可得，，函数的对称轴为直线，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：抛物线顶点为， ∴，， ∴；． （2）解：①∵， ∴， 直线为：， ∵， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， 当时， 解得：或， 当时， 此时，方程无解． 综上：或． ②由①同理可得： ， 当时， ∴， 解得：，， ∴函数的对称轴为直线， 如图， 当或时，随的增大而增大， 当或时，随的增大而减少， 当时，， ∴， ∴点P从点运动到点的过程中，增大， 开口向上的抛物线的解析式为：， 开口向下的抛物线的解析式为：， 令，， 把代入， ∴， 解得：， ∵，的长存在最大值， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当点P从点运动到点的过程中，减少， 此时图象不含端点， ∴不存在最大值， 综上：． 24．（10分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为或； ②存在，或或． 理由如下： ∵点P为y轴上一点，反比例函数的图象是否存在一点E， ∴设，， ∵，，以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； ∴存在，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【分析】（1）先把代入求出m，再把点B坐标代入反比例函数解析式，即可得到结论； （2）①解方程得到，在中，令，进而求得，设，由，根据三角形的面积公式列方程求解； ②设，根据平行四边形的对角线中点交于一点列方程组求解，再验证明求得的E点是否在反比例函数上，即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入中得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：①解得或， ∴， 在中，令，则， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； ②略 25．（10分）（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求，的值． (2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）． ①求线段长度的最小值； ②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①线段长度的最小值为；②． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设，求得，利用二次函数的性质求解即可； ②设，，分别求得直线、，的解析式，分别求得点、、的坐标，再求得直线的解析式，求得点的坐标，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得， ∴抛物线的解析式为， 设， ∴， 令，， ∴， ∴当时，线段长度的最小值为； ②设，， 设直线的解析式为， ∴， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， ∵，， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； ∵，， ∴， ∴，的底边相同， ∴， ∴， ∴（舍去正值）， ∴ ∴直线的解析式为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 二次函数与反比例函数·培优卷 【新教材沪科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 3．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 4．（2026·山西长治·三模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河南三门峡·三模）若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山东临沂·二模）将二次函数的图象，向右平移10单位，平移过程中此图象与轴的交点也会跟着变化．假设此图象与轴的交点为，判断在平移过程中，点位置的变化情形是（    ） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 8．（2026·宁夏固原·三模）已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏泰州·三模）若二次函数()的图象经过，，三点，则的值可能是（     ） A． B． C．0 D．3 10．（2026·北京·三模）如图，已知，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，动点在轴的正半轴上，线段交反比例函数图象于、两点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，给出下面三个结论： ①； ②对任意，存在唯一的动点，使四边形是平行四边形； ③当时，的面积有最大值2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的最小值是_________． 12．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是________． 13．（2026·河南南阳·一模）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 4 5 7 0 则关于的一元二次方程的解为_____． 14．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，反比例函数与正比例函数的图像交于点，点，轴于点，轴于点，，则______． 15．（2025·上海闵行·一模）在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________． 16．（2026·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． (1)求这个二次函数的表达式： (2)当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 18．（6分）（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 19．（6分）（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱．如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系． (1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； (2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离． 20．（8分）（2026·河南平顶山·三模）定义：如图，在平面直角坐标系中，为第一象限内的任意一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为．若四边形的周长与其面积相等，则称点为平面直角坐标系中的“等和积点”．已知“等和积点”在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)若为上一点，以为边作正方形，若点在反比例函数的图象上，试求出点的坐标，并判断点是否为“等和积点”． 21．（8分）（25-26九年级上·广东东莞·期末）综合与实践：如图①，是一座抛物线型拱桥，小马学习二次函数后，受到该图的启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴与水平线垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1． (1)请在图②建立合适的平面直角坐标系，并帮小马求出该抛物线的表达式； (2)为更加稳固，小马想在上找一点P，加装拉杆，，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小马找到点P的位置，并求出点P坐标和它们的长度和的最小值． 22．（9分）（25-26八年级下·上海嘉定·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 23．（9分）（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 24．（10分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 25．（10分）（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求，的值． (2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）． ①求线段长度的最小值； ②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $