第21章二次函数与反比例函数单元检测卷2026-2027学年数学沪科版九年级上册

**基本信息** 沪科版九年级上册二次函数与反比例函数单元检测卷，立足基础，融合“东方之门”抛物线应用、收纳箱利润计算等现实情境，考查数学抽象与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次函数定义、反比例函数性质|结合图像辨析（如第7题函数图像综合判断）| |填空题|4/20|抛物线平移、k的几何意义|融入文化场景（第11题“东方之门”曲线建模）| |解答题|9/90|二次函数解析式、实际应用与几何综合|突出综合应用（22题收纳箱利润最大化，23题二次函数与几何存在性问题）|

2026-2027学年数学沪科版九年级上册第21章二次函数与反比例函数 单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 2．若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（   ）． A． B． C． D． 3．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 4．已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 6．已知二次函数（为常数）的图象经过点，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的值有关 7．反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足，则销售该文具每天获得的最大利润是（    ） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 10．二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc>0；②4a+2b+c<0；③若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为-3，5；④3a+c=0．上述结论中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．当水平宽（即的长）为40米时，则离地面高为________米． 12．将抛物线向下平移2个单位后所得的抛物线解析式为______． 13．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作两坐标轴的平行线，分别交x轴、y轴于点B，C，连接，若，则k的值为____． 14．如图，二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为__________． 三.（本题共16分） 15．设二次函数的图象过，，且顶点在第四象限． (1)求c的值及的关系式； (2)令，求t的取值范围． 16．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长． (1)若养鸡场面积为，求鸡场长和宽各为多少米？． (2)养鸡场面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由． 四.（本题共16分） 17．求满足下列条件的二次函数的解析式： (1)图象经过，，，求函数解析式； (2)抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式 18．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 五.（本题共20分） 19．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交于点E． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标． 20．已知二次函数的图像经过，两点． (1)求b的值； (2)求证该二次函数的图像与x轴的总有两个公共点； (3)设该函数图像与x轴的两个公共点分别为、．当时，直接写出a的取值范围． 六.（本题共12分） 21．如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式时x的解集． 七.（本题共12分） 22．综合与实践 【问题情境】随着家居收纳需求不断增加，某家居生活馆销售一款环保折叠收纳箱，每个进价为25元．市场规定：销售单价不低于进价，且单个利润不超过进价的．一段时间后，该商家发现这款环保折叠收纳箱的每周销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元/个）之间的关系满足一次函数，其对应关系如下表：    销售单价x/（元／个） 30 32 34 36 38 销售量y/个 200 180 160 140 120 【问题解决】 (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)设每周销售这款环保折叠收纳箱获得的利润为w（单位：元）． ①求w与x的函数关系式． ②若该家居生活馆希望每周销售这款环保折叠收纳箱的利润达到1500元，求这款环保折叠收纳箱的销售单价． (3)当销售单价定为多少元时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大？最大利润是多少元？ 八.（本题共14分） 23．如图，抛物线经过点、、． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大； （3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年数学沪科版九年级上册第21章二次函数与反比例函数单元检测卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D B C B C A B 1．B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵，， ∴该图象也过点， 故选：． 3．C 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质判断各选项的说法，找出错误的选项即可． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，B选项说法正确， 顶点坐标为，不是，C选项说法错误， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，D选项说法正确． 4．D 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：，在反比例函数的图象上，且， ，符号相同， ，符号相同， ． 5．B 【分析】先将给定二次函数整理为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断各选项的说法，即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，选项A错误； ∵ 整理得到的顶点式为， ∴ 图象的对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得， ∴ 抛物线与轴的交点坐标是和，选项C错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 6．C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线，再根据，两点与对称轴的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 二次函数为常数）的对称轴为直线， 因为， 所以，两点关于抛物线的对称轴对称， 所以． 故选：C 7．B 【分析】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质；先根据反比例函数图象确定的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可 【详解】A、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向上，且与轴交于负半轴，故此选项错误； B、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项正确； C、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项错误； D、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误； 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数图象的开口向下，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴ 故选：C． 9．A 【分析】解题思路是根据总利润单件利润销售量列出利润关于销售单价的函数解析式，再结合二次函数的性质和x的取值范围求最大值． 【详解】解：设销售该文具每天获得的利润为元， 根据题意可得， ， ∵，二次函数图象开口向下， ∴当时，取得最大值， 又∵，在的取值范围内， ∴当时，的最大值为元． 10．B 【分析】根据二次函数的图像与性质依次判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴①错误； ∵抛物线经过点，对称轴为， ∴抛物线经过点； ∴当时，， ∴4a+2b+c>0， ∴②错误； ∵抛物线过， ∴点关于对称轴为对称的点也在抛物线上， ∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3，5， ∴③正确； ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， ∴④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，待定系数法，二次函数与坐标轴的交点，利用特殊值代入得到特殊的式子是解题的关键． 11．150 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是建立坐标系． 建立坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，然后求出函数值即可． 【详解】解：根据题意建立坐标系，可假设抛物线顶点坐标为，抛物线解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴离地面高为150米， 故答案为：150． 12． 【分析】本题考查了抛物线的平移．按照“上加下减”的规律即可求得． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位后所得的抛物线解析式为：， 即． 故答案为：． 13．12 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据反比例函数系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵轴，轴， ∴四边形是矩形 ∴ ∵点A是反比例函数图象上一点， ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴． 故答案为：12． 14． 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，得以解决． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵， ∴， 二次函数的图象与轴交于正半轴， ， ，故①正确， ∵， ∴，故②正确， ∵二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， ∴二次函数的图像与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，即，故③正确， ∵， ∴，故④正确， 综上所述，其中正确的个数有4个， 故答案为：． 15．(1)， (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图象和系数的关系是解题的关键． （1）将点，代入解析式中列方程求解即可． （2）根据顶点所在象限，判断系数的符号，再根据，确定的取值范围，最后由不等式的性质求出的范围． 【详解】（1）将点，代入， 得，解得，． （2）由顶点在第四象限， 可得，即， ，即， ，即， ， ， ， 16．(1)养鸡场的长为米，宽为米 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意； （2）设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，再利用根据的判别式，即可得出答案． 【详解】（1）解：设养鸡场的宽为，则长方形的长为，根据题意，得： ， 解得：，， 当时，， 当时，，（不合题意，舍去）， 答：养鸡场的长为米，宽为米． （2）不能，理由如下： 设养鸡场的宽为，则长方形的长为，根据题意，得： ， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式．解题的关键：①找准等量关系，正确列出一元二次方程；②当时，方程无实数根． 17．(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式. （1）根据所经过点的坐标特征，设二次函数表达式为，然后将代入求得a值即可； （2）先设顶点式，再把代入，解方程即可求解，即可求出函数解析式． 【详解】（1）解：二次函数图象经过点， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：由题意设解析式为， 将代入，则， 解得：， 所以函数解析式为． 18．(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； (2)的面积为． 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为． （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ． 19．(1) (2)点D的坐标为或 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，关键是对二次函数性质的应用． （1）根据抛物线解析式求出B，C坐标，再用待定系数法求直线的解析式； （2）设，则，然后根据得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值即可； 【详解】（1）解：令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或． 20．(1)； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查二次函数的性质，包括解析式的求解，根与系数的关系，与轴的交点，以及图形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键， 【详解】（1）解：将点，代入二次函数中，得 两式相减得， ∴． （2）将点，代入二次函数中，得， 将代入方程中，得， ∴ ∴ ∴恒成立， ∴二次函数的图象与轴总有两个公共点． （3）由题得是方程的两个根， ∴根与系数的关系， ∴， 当时，，则，得， 当时，，则，得， 综上所述：的取值范围为：或． 21．(1)， (2)6 (3)或 【分析】（1）把代入求出反比例函数的解析式，可求出点A的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）求出点，根据解答即可； （3）直接观察图象，即可解答． 【详解】（1）解：∵在函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∵经过，， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：∵C是直线与x轴的交点， ∴当时，， ∴点， ∴， ∴； （3）解：不等式时x的解集为或． 22．(1)， (2)①；②这款环保折叠收纳箱的销售单价为35元/个； (3)当销售单价为37元/个时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大，最大利润是1560元． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，并结合题意确定自变量x的取值范围； （2）①根据“利润单个利润 销售量”列出二次函数关系式； ②令利润函数等于，解一元二次方程，并结合自变量取值范围确定解； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，求出利润的最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：根据题意，设y与x的函数关系式为, 将，分别代入中， 得解得 ∴y与x的函数关系式为． ∵，且， ∴； （2）解：①根据题意，得； ②当时， ， 解得，， ∵， ∴， 答：这款环保折叠收纳箱的销售单价为35元/个； （3）解：， ∵， ∴抛物线开口向下． ∵对称轴为直线 ， ∴当时，w随x的增大而增大． ∴当时，w有最大值，最大值为1560． 答：当销售单价为37元/个时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大，最大利润是1560元． 23．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）据题意可设抛物线的解析式为，将点代入解出a，即可求出抛物线的解析式； （2）先求出直线AC的解析式，然后根据当时，点在直线上方，过点P作x轴的垂线与线段相交于点Q，可将分别代入和得，，从而得出PQ的代数式，从而可求出m的值； （3）由题意可得，根据，，可求出，连接，过B作的垂线交抛物线于点D，交于点H，可得，根据，可得与关于的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴对称，即点D与点C关于抛物线的对称轴对称，从而可求出点D的坐标． 【详解】解：（1）据题意可设抛物线的解析式为， 将点代入，可得 ∴抛物线的解析式为； （2）设直线AC的解析式为：， 将、代入得， 解得， ∴直线的解析式：， 当时，点在直线上方， 过点P作x轴的垂线与线段相交于点Q， 将分别代入和得，， ∴ ∵， ∴当且仅当时，取得最大值， 此时最大， ∴； （3）由、、得， ∵，， ∴， 连接，过B作的垂线交抛物线于点D，交于点H， 则， ， ∵， ∴与关于的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴对称， ∴点D与点C关于抛物线的对称轴对称， 又∵， ∴点D的坐标为（-2，3）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的性质，求一次函数解析式，结合题意，正确添加辅助线，灵活运用知识点是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $