第3章 圆的基本性质 单元检测 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦圆的基本性质单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，融合《九章算术》古题、俄罗斯方块等情境，检测确定圆的条件、垂径定理等核心知识，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|确定圆的条件（第2题）、圆心角弧弦关系（第6题）|第3题结合旋转平移情境，第5题引用《九章算术》古题| |填空题|6|垂径定理（第12题）、扇形面积（第15题）|第16题以光盘测量为背景，体现应用意识| |综合题|8|圆内接四边形（第13题）、正多边形与圆（第14题）|第19题正方形内接圆证明矩形，第23题结合垂径定理与扇形面积计算，提升推理能力|

第3章 圆的基本性质 单元检测 一、单选题 1.下列说法错误的是（　　） A. 等弧所对的圆心角相等                                       B. 弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数 C. 经过三点可以作一个圆                                       D. 三角形的外心到三角形各顶点距离相等 2.过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（   ） ①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5． A. ①②                                    B. ①②③                                    C. ②③                                    D. ①③ 3.如图，在新型俄罗斯方块游戏中(出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转;向左、向右平移),已拼好的图案如图3所示，现又出现-一个形如“”的方块正向下运动,你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整的图形(   ). A. 顺时针旋转90°,向右平移                                     B. 逆时针旋转90°,向右平移 C. 顺时针旋转90°,向左平移                                     D. 逆时针旋转90°,向左平移 4.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和   的长分别为（   ） A. 2，                           B. 2  ，π                          C. ，                           D. 2 ， 5.《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED=1寸，AB=10寸，求直径CD的长。”则CD为(    ) A. 10寸                                     B. 3寸                                     C. 20寸                                     D. 26寸 6.如图，三角形与⊙O叠合得到三条相等的弦AB、CD、EF，则以下结论正确的是（   ） A. 2∠AOB＝∠AEB                                                  B. ＝ ＝ C. ＝ ＝                                               D. 点O是三角形三条中线的交点 7.如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径， ，∠BAO=37°，则∠AOC的度数是（   ）度. A. 74                                       B. 106                                       C. 117                                       D. 127 8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=140°，则∠BCD等于（    ） A. 140°                                     B. 110°                                     C. 70°                                     D. 20° 9.如图， 中， ， ， ， 分别为边 的中点，将 绕点 顺时针旋转 到 的位置，则整个旋转过程中线段 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（    ） A.                              B.                              C.                              D.  10.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连结BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（   ） A.  cm                                B. cm                                C. 2．5cm                                D. 3cm 二、填空题 11.在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，AC＝2 ， BC＝4，若以点C为圆心，AC为半径作圆，则AB边的中点E与⊙C的位置关系为________． 12.如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM=3，则弦AB的长是    ________ 13.如图，四边形 为 的内接四边形，若四边形 为平行四边形，则 ________． 14.如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为________． 15.某扇形的面积为 ，圆心角为120°，则该扇形的半径是________ ． 16.如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的半径是________cm. 三、综合题 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°. （1）以AB边上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A，C；（保留作图痕迹，不写作法） （2）判断点B与⊙O的位置关系是________.（直接写出答案） 18.如图,在⊙O中, ,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E.求证：AD＝BE. 19.正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧 上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证： （1）四边形EBFD是矩形； （2）DG=BE． 20.如图，已知正△ABC， （1）请用直尺与圆规作正△ABC的外接圆 ，并保留作图痕迹； （2）若点P是正△ABC的外接圆上的一点(不与点B，C重合)，求∠BPC的度数． 21.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1. （1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出相应的△AB1C1； （2）将△AB1C1沿射线AA1平移到△A1B2C2处，画出△A1B2C2； （3）点C在两次变换过程中所经过的路径长为________. 22.如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC于点H，点D在优弧BC上 （1）若∠AOB=50°，求∠ADC的度数； （2）若BC=8，AH=2，求⊙O的半径. 23.如图，已知A、B、C是⊙O上三点，其中 ，过点B画BD⊥OC于点D. （1）求证:AB＝2BD； （2）若AB＝ ，CD＝1，求图中阴影部分的面积. 24.如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE. （1）求证：AE是⊙O的直径； （2）如图2，连接CE，⊙O的半径为5，AC长为4，求阴影部分面积之和.(保留 与根号) . 答案解析部分 一、单选题 1. C 考点：圆心角、弧、弦的关系，确定圆的条件，三角形的外接圆与外心 解：A等弧所对的圆心角相等，故不符合题意； B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故符合题意； D、三角形的外心到三角形各顶点距离相等，故不符合题意； 故答案为：C. 分析：根据同弧或等弧所对的圆心角相等，弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数；经过不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形三边垂直平分线的交点就是该三角形外接圆的圆心，该点到三角形三个顶点的距离相等，从而即可一一判断得出答案. 2. C 考点：确定圆的条件 解：经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆,因为只有C选项中的三点能构成三角形，故答案为：C. 分析：根据经过不在同一直线上的三点可以确定圆可求解。 3. A 考点：生活中的平移现象，生活中的旋转现象 解：由图可知，将又出现的方块顺时针旋转90°，然后向右平移即可落入已经拼好的图案空格处. 故选:A. 分析：如图，在俄罗斯方块中，要使自动消失，要把每行排满，需要利用旋转和平移，通过观察图形即可解答. 4. D 考点：正多边形和圆，弧长的计算 解：连接OB， ∵OB=4， ∴BM=2， ∴OM=2 ， ， 故答案为：D. 分析：连接OB，根据正多边形与圆的关系得出BC的长，再根据垂径定理得出BM的长，进而根据勾股定理算出OM的长，最后再根据弧长的计算公式算出弧BC的长. 5. D 考点：垂径定理的应用 解：连接OA， ∵CD为⊙O的直径，AB⊥DC， ∴AE=AB=5， 设圆的半径为r，则OE=r-1 ∴OE2+AE2=OA2 ∴（r-1）2+52=r2 解之：r=13. ∴圆的直径为13×2=26. 故答案为：D. 分析：连接OA，利用垂径定理求出AE的长，设圆的半径为r，用含r的代数式表示出OE的长，然后利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值，然后求出圆的半径。 6. B 考点：圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，三角形的外接圆与外心 解：∵∠AOB与∠AEB是 所对的圆心角和圆周角， ∴ ，故A错误； ∵在同圆中，弦AB=CD=EF，则 ＝ ＝ ，故B正确； 无法证明 ＝ ＝ ，故C错误； ∵三角形不是圆的内接三角形，则点O不是三角形中线的交点，故D错误； 故答案为：B. 分析：根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及在同圆中，相等的弦所对的弧相等即可一一判断得出答案. 7. D 考点：等腰三角形的性质，圆周角定理 解：连接OB， ∵OA=OB，∠BAO=37°， ∴∠AOB=180°-2×37°=106°， ∵ ， ∴∠AOC=∠BOC= ＝127°， 故答案为：D. 分析：连接OB，进而得出∠AOB的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠AOC的度数. 8. B 考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质 解：∠BOD=140° ， ∴； ∵四边形ABCD内接于圆O， ∴∠BCD=180°-∠A=180°-70°=110°. 故答案为：B. 分析：利用圆周角定理求出∠A的度数，再利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠BCD的度数。 9. C 考点：勾股定理，扇形面积的计算，旋转的性质 解：连接BH，BH1 ， ∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置， ∴△OBH≌△O1BH1 ， 利用勾股定理可求得BH= ， 所以利用扇形面积公式可得 . ． 故答案为：C． 分析：连接BH，BH1 ， 根据旋转的性质可得△OBH≌△O1BH1 ， 利用勾股定理求出BH的长，根据扇形的面积公式即可求出结论. 10. A 考点：勾股定理，垂径定理 解：如图， ∵BD⊥AO ∴BE=BD=4，AB=， ∵OF⊥BC，∴F为BC的中点， ∵O为AC的中点， ∴OF为△ABC的中位线， ∴OF=AB==. 故答案为：A. 分析：连接AB，由垂径定理得BE的长，利用勾股定理求出AB的长，现知O、F分别为AC和BC的中点，则OF是△ABC的中位线，从而得出OF的长. 二、填空题 11. 点E在⊙C外 考点：点与圆的位置关系 解：由勾股定理可得斜边AB是 2 ，则直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，CE= ，因为AC=2， >2，所以点E在⊙C外． 分析：由勾股定理可得斜边AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE的值，与半径AC 的长比较大小，根据点与圆的位置关系即可判断 中点E与⊙C的位置关系为点E在⊙C外。 12. 8 考点：垂径定理 解：如图，连接OA， ∵⊙O的直径为10， ∴OA=5， ∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3， ∴AB=2AM， 在Rt△AMO中，AM， ∴AB=8. 故答案为：8. 分析：根据垂径定理得出AB=2AM，再根据勾股定理算出AM的长度即可解决问题. 13. 30° 考点：平行四边形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质 解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC=180°， ∵四边形ABCO为平行四边形， ∴∠AOC=∠ABC， 由圆周角定理得，∠ADC= ∠AOC， ∴∠ADC+2∠ADC=180°， ∴∠ADC=60°， ∵OA=OC， ∴平行四边形ABCO为菱形， ∴BA=BC， ∴ ， ∴∠ADB= ∠ADC=30°， 故答案是：30°． 分析：根据圆内接三角形的性质得到∠ADC+∠ABC=180°，根据平行四边形的性质的∠AOC=∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC= ∠AOC，计算即可． 14. 考点：正多边形和圆 解：连接OC、OD、OE、OG，作OI⊥EG， ∵正方形ABCD，∴∠COD=90°， ∴OC2+OD2=CD2 ， ∴2OC2=42 ， OC= ， 又等边△EFG，∴∠EOG=120°， ∵OI⊥EG，∴∠OIG=90°，∠IOG=60°， ∴OGI=30°，OI= OG= ， ∴IG= = ， ∴EG=2IG= 。 故答案为： 。 分析：由正方形的中心角是90°结合勾股定理可求出⊙O的半径，再根据正三角形的中心角，利用垂径定理结合勾股定理即可求出EG长，即正三角形的边长。 15. 考点：扇形面积的计算 解：设该扇形的半径是rcm ， 则 ， 解得： ， 故答案为： ． 分析：设该扇形的半径是rcm ， 再根据扇形的面积公式即可得出结论． 16. 5 考点：勾股定理，垂径定理 解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB=8cm，CD=2cm． 连接OC，交AB于D点．连接OA． ∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切， ∴OC⊥AB． ∴AD=4cm． 设半径为Rcm，则R2=42+（R-2）2 ， 解得R=5， ∴该光盘的半径是5cm． 故答案为5 分析：本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解． 三、综合题 17. （1）解：如图，⊙O即为所求. （2）点B在⊙O上 考点：点与圆的位置关系，作图—复杂作图 解：（2）点B在⊙O上. 理由：∵EF垂直平分线段AC， ∴OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠OAC+∠B＝90°，∠OCA+∠BCO＝90°， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， ∴OA＝OC＝OB， ∴点B在⊙O上. 故答案为点B在⊙O上. 分析：（1）作线段AC的垂直平分线EF交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O即为所求.（2）根据OA＝OC＝OB即可判断. 18. 解：连接OC， ∵ ， ∴∠AOC=∠BOC. ∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E， ∴∠CDO=∠CEO=90° 在△COD与△COE中， ∵ ， ∴△COD≌△COE(AAS)， ∴OD=OE， ∵AO=BO， ∴AD=BE 考点：全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系 分析： 连接OC， 根据弧、弦、圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，利用垂直的定义可得∠CDO=∠CEO=90°，根据“AAS”可证△COD≌△COE，可得OD=OE，由AO=BO，利用等式的性质可得结论. 19. （1）解：∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°， 又∵DF∥BE， ∴∠EDF+∠BED=180°， ∴∠EDF=90°， ∴四边形EBFD是矩形 （2）解：∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴ 的度数是90°， ∴∠AFD=45°， 又∵∠GDF=90°， ∴∠DGF=∠DFC=45°， ∴DG=DF， 又∵在矩形EBFD中，BE=DF， ∴BE=DG． 考点：矩形的判定与性质，圆周角定理 分析：（1）根据正方形的性质及同弧所对的圆周角相等得出 ∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°， 根据二直线平行同旁内角互补得出 ∠EDF+∠BED=180°， 故 ∠EDF=90°， 根据三个角是直角的四边形是矩形得出：四边形EBFD是矩形 ； （2）根据正方形的性质得出 的度数是90°， 根据弧所对的圆周角的度数等于弧的度数的一半得出∠AFD=45°， 又根据三角形的内角和得出∠DGF=∠DFC=45°， 根据等角对等边得出DG=DF， 根据矩形的对边相等得出BE=DF， 故BE=DG． 20. （1）解： 作AB，BC的垂直平分线，交于点O 以O为圆心，OA为半径作圆 即圆O就是所求作的图形。 （2）解：①当点P在优弧BAC上时， ∵△ABC是正三角形 ∴∠A=60° ∵弧BC=弧BC ∴∠BPC=∠A=60°； ②当点P在劣弧BC上时 ∵四边形ABPC内接于圆O ∴∠A+∠BPC=180° ∴∠BPC=180°-60°=120° ∴∠BPC的度数为60°或120° 考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，作图—复杂作图 分析：（1）分别作AB，BC的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，OA为半径作圆即可。 （2）分两种情况：当点P在优弧BAC上时；当点P在劣弧BC上时，分别利用圆周角定理及圆内接四边形定理，可求出∠BPC的度数。 21. （1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3） 考点：勾股定理，弧长的计算，作图﹣平移，作图﹣旋转 解：（3）∵AC= = ， C1C2= ∴C在两次变换过程中所经过的路径长＝ + ＝ . 分析：（1）根据旋转三要素找到各点的对应点，顺次连接即可；（2）根据平移前后对应点连线平行且相等，找到B2，C2的位置，顺次连接即可.（3）点C经过的路径是一段弧长和一条线段的长度之和. 22. （1）解：∵半径OA⊥弦BC于点H， ∴ ， ∴∠ADC= ∠AOB， ∵∠AOB=50°， ∴∠ADC=25° （2）解：∵半径OA⊥弦BC于点H， ∴BH= BC， ∵BC=8， ∴BH=4， 设HO=x，则AO=BO=x+2， 在Rt△BHO中，BO2=HO2+BH2 ， ∴（x+2）2=x2+42 ， 解得：x=3， ∴AO=5. 答：⊙O的半径为5. 考点：勾股定理，垂径定理，圆周角定理 分析：（1）根据垂径定理可得 ，再根据圆周角定理可得∠ADC= ∠AOB，进而可得答案；（2）根据垂径定理可得BH=4，设HO=x，则AO=BO=x+2，在Rt△BHO中利用勾股定理可得（x+2）2=x2+42 ， 解方程可得x的值，从而可得答案. 23. （1）证明：如图，延长 交 于点 ， ∵ 于 ， ∴ ，弧BE=2弧BC， ∵弧AB=2弧BC， ∴弧AB=弧BE， ∴ ， ∴ （2）解：如图，连接 ，设 的半径为 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 中， ，解得 ， ∵ ，∴ ， ∴阴影部分的面积为 . 考点：垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，扇形面积的计算 分析：（1）延长Bd交⊙O于点E，由垂径定理可得BE=2BD，而弧AB=2弧BC，于是可得弧AB=弧BE，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦也相等可得AB=BE，则AB=2BD； （2）连接OB，设⊙O的半径为r，结合（1）的结论可得BD=AB，在直角三角形OBD中，用勾股定理可得关于r的方程，解方程可求得r的值；由特殊角的三角函数值可求得∠BOC=60°，则由图形的构成得S阴影=S扇形OBC-S△OBD=-BD.OD可求解。 24. （1）证明：连接CB，AB，CE， ∵点C为劣弧AB上的中点， ∴CB=CA， 又∵CD=CA， ∴AC=CD=BC， ∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D， ∵Rt△斜边上的中线等于斜边的一半， ∴∠ABD=90°， ∴∠ABE=90°， 即弧AE的度数是180°， ∴AE是⊙O的直径； （2）解：∵AE是⊙O的直径， ∴∠ACE=90°， ∵AE=10，AC=4， ∴根据勾股定理得：CE=2 ， ∴S阴影=S半圆-S△ACE=12.5π- ×4×2 = ． 考点：等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，几何图形的面积计算-割补法 分析：（1）连接CB，AB，CE，由点C为劣弧AB上的中点，可得出CB=CA，再根据CD=CA，得△ABD为直角三角形，可得出∠ABE为直角，根据90度的圆周角所对的弦为直径，从而证出AE是⊙O的直径；（2）由（1）得△ACE为直角三角形，根据勾股定理得出CE的长，阴影部分的面积等于半圆面积减去三角形ACE的面积． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $