第23章 解直角三角形（复习讲义）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学单元复习讲义通过表格梳理复习要点与重难点，以5个分层知识点系统构建解直角三角形知识体系，涵盖锐角三角函数定义、特殊角值等核心内容，用要点速测强化基础，突出双直角三角形模型重点与“化斜为直”难点的内在联系。 讲义亮点在于8类题型的阶梯式设计，如“网格中求三角函数值”通过构造直角三角形培养几何直观，“仰角俯角问题”结合实际情境发展应用意识。每个题型配备解题要点与迁移练习，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准分层教学。

第23章 解直角三角形 复习要点 1. 锐角三角函数的定义彻底弄清一个锐角的对边、邻边、斜边的对应关系. 2. 特殊角的三角函数值必须刻入脑海的数值． 3. 解直角三角形的基本工具. 4. 三角函数的互余关系. 5. 实际应用的常见概念. 复习重难点 重点：双直角三角形模型的实际应用 难点：非直角三角形的“化斜为直”. 知识点 锐角三角函数 1．正弦的定义：在Rt△ABC(∠C＝90°)中，把锐角A的 与 的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA＝. 2．余弦的定义：在Rt△ABC(∠C＝90°)中把锐角A的 与 的比叫做∠A的余弦，记作cosA.即cosA＝. 3．正切的定义：在Rt△ABC中，把锐角A的 与 的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝. 要点速测 1．中，，下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是_______． 知识点 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 1 60° 要点速测 3．计算：． 4．计算：． 知识点 解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系： ； （2）两锐角关系：∠A+∠B= ；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用 ； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 要点速测 5．如图，在中，，，，则中线的长为______． 6．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点 解直角三角形的应用 1．仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在 的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在 的角叫做俯角． 2．坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的 ，记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度 ，α角越大，坡面越陡． 3．方向角（或方位角） 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋 转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西) 多少度，如图④，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向) 要点速测 7．某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小红站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)请计算台阶的高度． (2)求出孔子雕像的高度． 8．某兴趣小组想利用测角仪测量一古塔的高度.如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．图中所出现的点均在同一平面内.该兴趣小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）． 知识点 解直角三角形实际应用的一般步骤 1.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； 2.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； 3.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； 4.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 要点速测 9．为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板长为，踏板与地面的坡比，支架长为，跑步机手柄为，且，到地面的高度为．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． (1)求到地面距离（结果精确到）； (2)该人身高为1.8米，通过尝试：当是身高0.8倍时，运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 题型1 特殊角函数值混合计算 ▌例1（2026·上海静安·三模）计算：_________． 解题要点 1. 1.熟记公式：特殊角三角函数值、平方差公式（用于分母有理化）。 2.细心运算：注意负指数幂的计算（取倒数），以及去绝对值时的符号判断。 3.化简合并：实数运算最后一步通常是合并同类项，要时刻留意是否有可以抵消的项。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·山东济南·期末）计算：． ▌迁移练1-2（2026·甘肃天水·模拟预测）计算：． ▌迁移练1-3（2026·江苏连云港·二模）计算：． 题型2 网格中求三角函数值 ▌例1（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在的正方形网格中，是正方形网格的格点，连接，则的值是______． 解题要点 1.构造直角三角形（作高法）求的关键是把这个角放在直角三角形中。 2.网格勾股定理计算（求斜边/直边）网格题的基石是单位长度和直角关系。解析中利用网格构建了直角，运用勾股定理求出。这是解决后续比例问题的关键长度。 3.巧用特殊角通过观察网格发现。在直角中，因为，，所以得出该三角形是等腰直角三角形。利用此特性，只需知道 (MC) 就能轻松求出 (CN) 和 (MN)。 ▌迁移练1-1（2026·黑龙江哈尔滨·三模）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，仅利用网格和无刻度的直尺作图，其中点均在格点上． (1)如图1，画出的中点，保留作图痕迹； (2)如图2，请在图2的线段上画点，使，保留作图痕迹； (3)直接写出的正弦值_____________________． ▌迁移练1-2（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为_____． ▌迁移练1-3（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，的顶点都在正方形网格的顶点上，的值为____________． 题型3 仰角与俯角问题 ▌例1（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 解题要点 1.几何转换（内错角相等）：利用“水平视线”与“地面”平行的几何性质，将俯角转化为直角三角形中的内角。如图所示，因为水平视线平行于地面 BC，所以内错角相等，即。 2.寻找直角三角形：确定是直角三角形（高度 AC垂直于地面 BC，即。 3.列三角函数求解：根据已知对边 AC和要求的斜边 AB，选择合适的三角函数关系式： ▌迁移练1-1（2026·湖北武汉·中考真题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． ▌迁移练1-2（2026·河南新乡·三模）暑假期间，小红一家到某生态旅游区登山．如图，他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，，，，在同一平面内． (1)求小红一家步行上升的垂直高度； (2)求缆车的行驶路线的长．（结果精确到．参考数据：，，，） ▌迁移练1-3（2026·广东深圳·模拟预测）深圳前海“湾区之光”摩天轮是深圳的地标性建筑，如图①其轮面与地面垂直，某数学兴趣小组为测量摩天轮的高度，如图②在摩天轮前方的水平地面上选取点，测得摩天轮最高点的仰角为，将点向摩天轮方向移动21.3米到点，此时测得摩天轮最高点的仰角为，摩天轮的高度约为多少米（     ）（结果保留整数，参考数据：，） A．154米 B．150米 C．128米 D．107米 题型4  坡度与坡角问题 ▌例1（2026·陕西西安·模拟预测）小明想测量信号塔的高度，他发现信号塔所在的平台侧面有一斜坡，如图所示．小明在点处测得信号塔顶端点的仰角为，测得斜坡的坡角为，长为30米，长为9米．已知点，，，，，在同一平面内，，．求信号塔的高度．（参考数据：，，） 解题要点 1.作高补全模型:题目中有斜坡（非水平）和信号塔（竖直），为了将已知量转化到同一个直角三角形中，最核心的步骤是作辅助线：过点 D作水平线 CE 的垂线 DG，并将塔 AB 延长与 CE 相交于点 H。这样就得到了两个关键的直角三角形和以及一个矩形BHDG。 2.分步各个击破（从局部到整体） ①解斜坡直角三角形 。 ②求矩形边长并计算总水平距离 CH。 ③解塔顶仰角直角三角形。求最终目标 AB ▌迁移练1-1（2026·陕西西安·模拟预测）某下坡路段，交通部门安装了一套电子测速系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点B处，，米．区间测速的起点为坡面点D处，此时电子眼的俯角为（即），下坡路段的坡比（即），点A、B、C、D、E、F在同一平面内．如果该下坡路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，） ▌迁移练1-2（2026·河北沧州·模拟预测）2026年4月，春季农耕关键时期，河北省沧州市就是立足农业生产实际，积极推广无人机飞防技术，为春季农业提质增效注入科技力量，提高农业生产效率，助力夏粮丰收．如图，技术人员位于山坡上的点控制无人机点进行作业．控制器显示：无人机距离水平地面的竖直高度是，观测点位置的俯角为．已知点距离山脚点A的距离是，山坡的坡度为． (1)求点处距水平地面的竖直高度； (2)求无人机与技术人员之间的距离（结果精确到）．（参考数据：取，取，取） ▌迁移练1-3（2026·江西宜春·模拟预测）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 题型5 方向角问题 ▌例1（2026·广东东莞·三模）机器人竞走比赛是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图，在某次机器人竞走比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行到点B，然后从点B沿南偏西方向直行到点C． 若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离．（结果精确到；参考数据： ， ， ，） 解题要点 1.构造直角三角形（作垂线）因为不是直角三角形，直接求 AC很困难。核心方法是过点B 作 AC所在直线的垂线 BD。这样就构建了和这两个直角三角形。 2.转化方向角为三角形内角第一个方向角,第二个方向角： 3.分步求线段先求 AD、BD，再求 CD 4.线段相减求最终结果这是本题最容易出错的地方。 ▌迁移练1-1（2026·陕西西安·模拟预测）如图，一艘货轮以（是航速单位，表示每小时航行海里）的速度在海面上行驶．当它行驶到处，发现它的南偏西方向有一灯塔，货轮继续沿北偏西方向航行后到达处，发现灯塔在它的南偏东方向，求此时货轮与灯塔的距离．（结果保留根号） ▌迁移练1-2（25-26八年级下·新疆塔城·期末）如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征”号、“和平”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远征”号沿东北方向行驶，“和平”号沿西北方向行驶，“远征”号每小时航行16海里，“和平”号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后分别位于点Q，R处，且相距30海里． (1)求两船行驶多长时间分别位于点Q，R处？ (2)求的长度？ ▌迁移练1-3（2026·重庆·三模）如图，在某海域有，，，四个小岛，在的正东方向，在的北偏东方向，在正北方向，在的北偏西方向距离海里处，且在的西北方向．（参考数据：，） (1)求，两岛之间的距离．（结果保留根号） (2)渔船甲从处出发沿着方向航行且行至处停止，渔船乙从处出发沿着方向航行，甲、乙两船同时出发且速度之比为，在两船行驶过程中，当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，甲船距离处多少海里？（结果保留一位小数） 题型6 双直角三角形模型 ▌例1（2026·北京密云·一模）在中，，，．点是边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接和，取线段的中点，连接． (1)依据题意，补全图形； (2)求证：； (3)连接，直接用等式表示线段、和之间的数量关系． 解题要点 1.抓旋转找全等：由AE 绕点 A逆时针旋转得到 AF可知，是等边三角形 2.倍长中线法。遇到线段中点 H和求证 时，首选辅助线是延长 AH一倍，即延长 AH至 A'，使得 。 3.构造平行四边形：连接 A'B，因为 H是 BF和AA' 的共同中点，所以四边形 ABA'F是平行四边形，证明全等后，。 4.找隐含的直角三角形结合第 (2) 问的证明过程和图形特点通常这种题在证明完 后，会隐含着 的情况），可以直接得出线段 AH, EH, AC)之间的数量关系。 ▌迁移练1-1（2026·西藏拉萨·模拟预测）为了让学生进一步了解拉萨市第六中学旗杆高度，组织九年级某班学生利用综合实践课测量旗杆的高度．列珠同学站在如图所示的旗杆前的平地上点处，测得顶部的仰角为，眼睛距离地面，向旗杆前行，到达点处，测得顶部的仰角为，求旗杆高．（参考数据：，，结果精确到） ▌迁移练1-2（2026·湖北荆州·二模）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度，用测角仪在处测得雕塑顶端点的仰角为，再往雕塑方向前进米至处，测得点的仰角为，该雕塑的高度为多少米？（结果保留小数点后一位，参考数据：． ▌迁移练1-3（2026年天津和平区中招考前模拟数学试卷）综合与实践活动中，要用测角仪测量牌楼的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，点，，依次在同一水平直线上，，，且．在处测得牌楼顶部的仰角为，在处测得牌楼顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算牌楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，． 题型7 与相似三角形、勾股定理结合 ▌例1（25-26九年级下·浙江宁波·自主招生）已知在中，为边上一点，，，作边上的中垂线，交的平行线于，交于，则的最大值为______． 解题要点 1.算底边：作高DG，解 得 BC长。 2.定极值：连接DF，应用三角形不等式 。 3.求中位线：由 D、F 都是中点可知DF是的中位线，。 4.得结论：最大值为。 ▌迁移练1-1（2026·福建莆田·模拟预测）如图，中，点在边上，连接AD，线段绕点逆时针旋转得到，点的对应点在上，连接，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． ▌迁移练1-2（2026·湖南长沙·二模）如图，在正方形中，点E、F分别为边上的点，，，交于点H． (1)求证：； (2)若，求的长． ▌迁移练1-3（2026·吉林白山·二模）如图，在中，，，于点，，过点作，交于点，，交于点．动点从点出发以的速度向终点运动，过点作，交于点，交于点．设点的运动时间为，与四边形重叠部分的面积为． (1) ______， ______； (2)当点与点重合时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 题型8 非直角三角形转化为直角三角形 ▌例1（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，已知，，，求的长． 解题要点 1.“找特殊角”思维：遇到、 等非特殊角时，不要害怕，必须主动拆分。 2.线段相加减的判断：作高后，务必看清垂足是落在所求线段上，还是在其延长线上。 3.利用边长推导边长：不需要算出整个三角形的所有边长，只求出当前直角三角形能推导出的边长，传递给下一个直角三角形即可。 ▌迁移练1-1（25-26九年级上·全国·阶段检测）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． ▌迁移练1-2（2026·河南驻马店·三模）如图，平面直角坐标系中，点点为轴上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，当取最小值时，点的坐标为（     ）． A． B． C． D． ▌迁移练1-3（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，，，，点为的中点，在射线上有点，连接，且，点，分别是，的中点，连接，则的长为_________． 难点一 双直角三角形模型 难点1：并列式（在目标同侧）两观测点A、B和目标底部C在同一直线上，且A、B在C的同一侧。此时，两个直角三角形有水平距离之差。图形特征：从A、B看目标顶端，仰角不同，A点更远。等量关系：两水平距离之差 = AB之间的距离。解法：设目标高为 (h)，则方程恒为（其中，(d)为AB长）。 难点2：分离式（在目标两侧）两观测点A、B位于目标C的两侧。此时，两个直角三角形有水平距离之和。 图形特征：从A、B看目标顶端，分别形成直角三角形，分居目标左右。 等量关系：两水平距离之和 = AB之间的距离。解法：设目标高为 (h)，则方程恒为。 难点精练 1．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为9米，则该校的旗杆高约为______米．（，结果精确到） 2．（2026·河南周口·一模）如图，某数学兴趣小组测量教学楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为，向教学楼前进20米到达点C，测得楼顶A的仰角为，求教学楼的高度．（结果保留根号） 3．（2026·河南周口·模拟预测）某市中央广场有一座直立的雕塑，雕塑旁建有一个长为8米的水平观景台，观景台与地面平行，数学实践小组的同学在观景台两处测量雕塑顶端的仰角，在处测得仰角，在处测得仰角．已知观景台距离地面的高度米，点在同一条直线上，求雕塑的高度（结果精确到0.1米，参考数据：）． 难点二非直角三角形的“化斜为直”转化 难点1：已知两边一角：作高后，先用解直角三角形求出相关边长，再用勾股定理求目标边。 难点2：已知两角一边：过第三个角的顶点作高，设高为 x，用 x 表示被分割的两段线段，利用它们的和或差等于已知边来列方程。 难点精练 1．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的处，测得小山两端的俯角分别是和，此时无人机距直线的垂直距离是米，则小山两端之间的距离是________米． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，小周利用测角仪，在教学楼三楼的点处，测得操场旗杆的顶端的仰角为，测得旗杆的底端的俯角为，已知点到地面的距离为，求旗杆的高度．（精确到）【参考数据：，，】 3．（2025·陕西咸阳·二模）随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张骞塑像也引来很多外地游客参观．某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为，随后操作无人机竖直向上升高到点B处，测得塑像顶部C的俯角为，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内，且，均垂直于地面，求该塑像的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 基础达标 一、单选题 1．计算的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是一块直角三角形的绿化带，，已知，绿化带的斜边长度为米，则绿化带的直角边的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，中，，，，则高约为（   ） （精确到，参考数据：，，） A． B． C． D． 4．某河堤横断面如图所示，斜坡的坡度是，水平距离米，则河堤高为（   ） A．3米 B．米 C．米 D．米 5．在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在直角中，，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．小红沿坡比为的斜坡上走了米，则她实际上升了__________米． 10．如图所示，小明家住在米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午时太阳光线与水平面的夹角为．如果A，B两楼相距米，那么A楼落在B楼上的影子有___________． 11．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，此时，处与处的距离约是________海里．（精确到海里，参考数据：，，） 12．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 __________； （2）若，则 __________． 三、解答题 13．计算： 14．港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度． 15．热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 16．如图，在中，，，中线． (1)求的长； (2)求的值． 17．如图，小明去池塘钓鱼，斜坡长为，其与水平线的夹角为，钓竿长为，其与水平线的夹角为．由于当天的风向，测得钓线与钓竿的夹角为．（参考数据：，，，，，） (1)求点到水平面的距离； (2)求的长． 18．如图1，遵义市余庆县飞龙湖呈现“湖连谷、湖中峡、峡湖相间”的独特风貌，也是“千里乌江画廊”上的核心景观区．某校九年级实践小组为绘制飞龙湖局部平面示意图，现需要测算A，B两岛间的实际距离，小组借助无人机等工具进行探究，所有测点均在同一竖直平面内．如图2，点D位于点A左侧水平岸上，测得为100m，点C为无人机航拍悬停点（在点D正上方），连接． (1)在点C处测得，求的长； (2)在点C处测得，求两岛A，B间的距离． （参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 能力进阶 一、单选题 1．如果把的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的余弦值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的 C．没有改变 D．无法判断是否发生改变 2．的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 3．在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是（   ） A．250米 B．200米 C．150米 D．100米 6．如图，已知，则点A的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 二、填空题 9．计算：________． 10．若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． 11．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 12．如图1为某种水龙头关闭时的状态，其中，，侧面示意图如图2所示，其中，当抬起把手放水时，D，F分别到达点，处，且，则点到的距离约为________．（结果精确到，取0.98，取0.17，取5.7） 三、解答题 13．计算、解方程、解不等式组： (1) (2) (3) 14．如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） 15．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚度（参考数据：，，）． 16．如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上，“前行”号与“远方”号轮船同时从海监局P出发，“前行”号以每小时16海里的速度沿南偏西方向航行，“远方”号以每小时12海里的速度沿固定方向航行，航行半小时后分别位于Q，R处，且相距10海里． (1)求“远方”号的航行方向； (2)若“前行”号继续沿原方向航行7海里到达点M，“远方”号继续沿原方向航行2海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 17．市位于市的正东方，分别从两处测得国家级风景区中心的方位角如图所示，风景区中心位于城市的北偏东方向，位于城市的北偏西方向，，两地相距． (1)求的度数； (2)求两地的距离．（结果保留根号） 18．为践行“以人为本”的服务理念，济南公交集团采购了配有无障碍踏板设施和“侧跪”功能的新型公交车，有效解决了残障人士、老年人等特殊群体的出行难题，如图所示．图为某辆新型公交车未启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧与地面垂直，踏板的倾斜角为30°，踏板顶端A处到地面的距离为41． (1)当该公交车未启动“侧跪”功能停靠时，求踏板底端处到车厢左侧的距离； (2)该公交车到达车站后，为方便轮椅乘客上下车，驾驶员启动“侧跪”功能来降低车门一侧车身的高度．图3为该公交车启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧向站台方向倾斜，踏板顶端A处到地面的距离随之减小，站台表面与地面平行，踏板的倾斜角减小至．若公交站台的高度为，求此时踏板顶端A处到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 解直角三角形 复习要点 1. 锐角三角函数的定义彻底弄清一个锐角的对边、邻边、斜边的对应关系. 2. 特殊角的三角函数值必须刻入脑海的数值． 3. 解直角三角形的基本工具. 4. 三角函数的互余关系. 5. 实际应用的常见概念. 复习重难点 重点：双直角三角形模型的实际应用 难点：非直角三角形的“化斜为直”. 知识点 锐角三角函数 1．正弦的定义：在Rt△ABC(∠C＝90°)中，把锐角A的对边与斜边 的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA＝. 2．余弦的定义：在Rt△ABC(∠C＝90°)中把锐角A的邻边 与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA.即cosA＝. 3．正切的定义：在Rt△ABC中，把锐角A的 对边 与 邻边 的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝. 要点速测 1．中，，下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据锐角三角函数的定义计算各选项的值，即可得到正确结论． 【详解】∵在中，，，， ∴由勾股定理得 ， 根据锐角三角函数定义判断： ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 2．如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是_______． 【答案】 【分析】利用同位角相等把转化为，设小正方形边长为，在直角三角形中按正切定义算出． 【详解】解：如图， 根据题意可知，， 则， 设小正方形的边长为， 则，， ． 知识点 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 要点速测 3．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 4．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 知识点 解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 要点速测 5．如图，在中，，，，则中线的长为______． 【答案】/ 【分析】过点A作于点，得到，然后解，得到，然后根据线段和差以及三角形中线得到，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点， ， ， ， ∵， ， ， ， 是中线， ， ． 6．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ∴， ∴， ，故选项A错误， ，故选项B错误， ，故选项C正确， ，故选项D错误． 知识点 解直角三角形的应用 1．仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2．坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3．方向角（或方位角） 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋 转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西) 多少度，如图④，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向) 要点速测 7．某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小红站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)请计算台阶的高度． (2)求出孔子雕像的高度． 【答案】(1)台阶的高度为 (2)孔子雕像的高度为 【分析】（1）作于，结合可得答案； （2）设，则，表示，，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：作于， 由题意，得，，，，， ∵教学楼门前台阶斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴台阶的高度为． （2）解：设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴孔子雕像的高度为． 8．某兴趣小组想利用测角仪测量一古塔的高度.如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．图中所出现的点均在同一平面内.该兴趣小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质求解即可； （2）过点作交于点，则得到矩形，根据，可设设，，，在中，利用锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：过点作交于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设，则，， 则在中，，解得， 故． 答：塔的高度约为11米． 知识点 解直角三角形实际应用的一般步骤 1.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； 2.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； 3.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； 4.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 要点速测 9．为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板长为，踏板与地面的坡比，支架长为，跑步机手柄为，且，到地面的高度为．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． (1)求到地面距离（结果精确到）； (2)该人身高为1.8米，通过尝试：当是身高0.8倍时，运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 【答案】(1)到地面距离为； (2)此时支架与踏板之间夹角的度数为． 【分析】（1）过C作于G，由坡度坡角的关系求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长交于F，则，求出，由（1）得，然后求出的长即可；由锐角三角函数定义求出，再由（1）得，然后求出的度数即可． 【详解】（1）解：过作于， 踏板与地面的坡比，， ， ， ， 即到地面距离为； （2）解：延长交于， 则， 该人身高为1.8米，通过尝试是身高0.8倍运动起来更加舒服， ， 由（1）得：， ， 在中，， ， 由（1）得：， ． 此时支架与踏板之间夹角的度数为． 题型1 特殊角函数值混合计算 ▌例1（2026·上海静安·三模）计算：_________． 【答案】3解题要点 1. 1.熟记公式：特殊角三角函数值、平方差公式（用于分母有理化）。 2.细心运算：注意负指数幂的计算（取倒数），以及去绝对值时的符号判断。 3.化简合并：实数运算最后一步通常是合并同类项，要时刻留意是否有可以抵消的项。 · 【详解】解：原式 ． ▌迁移练1-1（25-26八年级下·山东济南·期末）计算：． 【答案】1 【详解】解：原式 ▌迁移练1-2（2026·甘肃天水·模拟预测）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． ▌迁移练1-3（2026·江苏连云港·二模）计算：． 【答案】， ， ． 【分析】本题主要考查零指数幂、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值的计算，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂公式，根据规则逐一计算即可． 【详解】略． 题型2 网格中求三角函数值 ▌例1（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在的正方形网格中，是正方形网格的格点，连接，则的值是______． 解题要点 1.构造直角三角形（作高法）求的关键是把这个角放在直角三角形中。 2.网格勾股定理计算（求斜边/直边）网格题的基石是单位长度和直角关系。解析中利用网格构建了直角，运用勾股定理求出。这是解决后续比例问题的关键长度。 3.巧用特殊角通过观察网格发现。在直角中，因为，，所以得出该三角形是等腰直角三角形。利用此特性，只需知道 (MC) 就能轻松求出 (CN) 和 (MN)。 【答案】 【分析】过作于，先求出，最后根据tan求解即可． 【详解】解：过作于， 由网格可得：，， ， ， ． ▌迁移练1-1（2026·黑龙江哈尔滨·三模）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，仅利用网格和无刻度的直尺作图，其中点均在格点上． (1)如图1，画出的中点，保留作图痕迹； (2)如图2，请在图2的线段上画点，使，保留作图痕迹； (3)直接写出的正弦值_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，连接对角线，即可画出的中点． （2）取格点，连接交于点，则点即为所求，连接，，先证明，利用三角形相似即可求得． （3）在（2）的基础之上，取格点，连接，，利用勾股定理可得，进而可得的正弦值． 【详解】（1）略． （2）解：如图，取格点，连接交于点，则点即为所求，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图所示，取格点，连接，， 在中，，， ∴， ∴． ▌迁移练1-2（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，连接，先利用勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据正切函数的定义求解可得． 【详解】解：如图所示，连接， 则、、， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． ▌迁移练1-3（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，的顶点都在正方形网格的顶点上，的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了余弦的定义及勾股定理，过点B作交于点D，利用勾股定理求得的值，进而求得的值． 【详解】解：如图，过点B作交于点D， 在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型3 仰角与俯角问题 ▌例1（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A解题要点 1.几何转换（内错角相等）：利用“水平视线”与“地面”平行的几何性质，将俯角转化为直角三角形中的内角。如图所示，因为水平视线平行于地面 BC，所以内错角相等，即。 2.寻找直角三角形：确定是直角三角形（高度 AC垂直于地面 BC，即。 3.列三角函数求解：根据已知对边 AC和要求的斜边 AB，选择合适的三角函数关系式： 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． ▌迁移练1-1（2026·湖北武汉·中考真题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 龟山电视塔的高度约为． ▌迁移练1-2（2026·河南新乡·三模）暑假期间，小红一家到某生态旅游区登山．如图，他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，，，，在同一平面内． (1)求小红一家步行上升的垂直高度； (2)求缆车的行驶路线的长．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据得到长，即小红一家步行上升的垂直高度； （2）根据矩形的性质和判定，得到四边形为矩形及，从而得到，在中，根据 得到的长． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ． 答：小红一家步行上升的垂直高度约为． （2）如图，过点作于点， ，， ， ∴四边形为矩形， ． ， ． 在中，， ， ． 答：缆车的行驶路线的长约为． ▌迁移练1-3（2026·广东深圳·模拟预测）深圳前海“湾区之光”摩天轮是深圳的地标性建筑，如图①其轮面与地面垂直，某数学兴趣小组为测量摩天轮的高度，如图②在摩天轮前方的水平地面上选取点，测得摩天轮最高点的仰角为，将点向摩天轮方向移动21.3米到点，此时测得摩天轮最高点的仰角为，摩天轮的高度约为多少米（     ）（结果保留整数，参考数据：，） A．154米 B．150米 C．128米 D．107米 【答案】C 【分析】设摩天轮的高度米，证明是等腰直角三角形，则，，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：设摩天轮的高度米， 根据题意可得，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵米， ∴， 在中，，， 代入，得：，即， 解得：， ∴摩天轮高度约为128米． 题型4  坡度与坡角问题 ▌例1（2026·陕西西安·模拟预测）小明想测量信号塔的高度，他发现信号塔所在的平台侧面有一斜坡，如图所示．小明在点处测得信号塔顶端点的仰角为，测得斜坡的坡角为，长为30米，长为9米．已知点，，，，，在同一平面内，，．求信号塔的高度．（参考数据：，，） 解题要点 1.作高补全模型（核心方法）题目中有斜坡（非水平）和信号塔（竖直），为了将已知量转化到同一个直角三角形中，最核心的步骤是作辅助线：过点 D作水平线 CE 的垂线 DG，并将塔 AB 延长与 CE 相交于点 H。这样就得到了两个关键的直角三角形和以及一个矩形BHDG。 2.分步各个击破（从局部到整体） ①解斜坡直角三角形 。 ②求矩形边长并计算总水平距离 CH。 ③解塔顶仰角直角三角形。求最终目标 AB 【答案】26米 【分析】过点作，垂足为点，延长，交于点，根据三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，延长，交于点， 又，， ． ∴四边形是矩形． ∴， 中，， ， ． 中，． ． 故信号塔的高度是26米． ▌迁移练1-1（2026·陕西西安·模拟预测）某下坡路段，交通部门安装了一套电子测速系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点B处，，米．区间测速的起点为坡面点D处，此时电子眼的俯角为（即），下坡路段的坡比（即），点A、B、C、D、E、F在同一平面内．如果该下坡路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】不超速，理由如下： 过D作于F，于G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴ ∴， ∵（米）， ∵， ∴该汽车不超速． 【分析】过D作于F，于G，则四边形是矩形，得出，，，进而求出，设，根据坡比定义求出，，，在中，根据正切的定义得出，求出，然后根据勾股定理求出，即可判断． 【详解】略 ▌迁移练1-2（2026·河北沧州·模拟预测）2026年4月，春季农耕关键时期，河北省沧州市就是立足农业生产实际，积极推广无人机飞防技术，为春季农业提质增效注入科技力量，提高农业生产效率，助力夏粮丰收．如图，技术人员位于山坡上的点控制无人机点进行作业．控制器显示：无人机距离水平地面的竖直高度是，观测点位置的俯角为．已知点距离山脚点A的距离是，山坡的坡度为． (1)求点处距水平地面的竖直高度； (2)求无人机与技术人员之间的距离（结果精确到）．（参考数据：取，取，取） 【答案】(1)点处距水平地面的竖直高度为 (2)无人机与技术人员之间的距离为 【分析】（1）交的延长线于点，根据山坡的坡度为得出，在中，根据勾股定理求得，即可求解； （2）作于点，于点，如图，四边形为矩形，根据题意得出，解，即可求解． 【详解】（1）解：作交的延长线于点，如图， 由题意，得， 设，且， ， 在中，， 即， 解得（负值已舍）， ，即点处距水平地面的竖直高度为； （2）作于点，于点，如图，四边形为矩形， ， ， 无人机观测点位置的俯角为， 点观测点的仰角也是，即， 在中， ， 无人机与技术人员之间的距离为． ▌迁移练1-3（2026·江西宜春·模拟预测）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1)塔架的长为75米； (2)风叶的长为49米． 【分析】（1）解直角三角形即可求解； （2）过点A作于点H，过点O作于点G，分别解直角三角形和直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为75米． （2）解：如图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为， ， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得， 米． 答：风叶的长为49米． 题型5 方向角问题 ▌例1（2026·广东东莞·三模）机器人竞走比赛是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图，在某次机器人竞走比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行到点B，然后从点B沿南偏西方向直行到点C． 若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离．（结果精确到；参考数据： ， ， ，） 解题要点 1.构造直角三角形（作垂线）因为不是直角三角形，直接求 AC很困难。核心方法是过点B 作 AC所在直线的垂线 BD。这样就构建了和这两个直角三角形。 2.转化方向角为三角形内角第一个方向角,第二个方向角： 3.分步求线段先求 AD、BD，再求 CD 4.线段相减求最终结果这是本题最容易出错的地方。 【答案】 【分析】过点 B 作，交的延长线于点 D，求得 作差求解即可； 【详解】解：过点 B 作，交的延长线于点 D， 根据题意，得， 在 中， ； ， 在中，， ． ▌迁移练1-1（2026·陕西西安·模拟预测）如图，一艘货轮以（是航速单位，表示每小时航行海里）的速度在海面上行驶．当它行驶到处，发现它的南偏西方向有一灯塔，货轮继续沿北偏西方向航行后到达处，发现灯塔在它的南偏东方向，求此时货轮与灯塔的距离．（结果保留根号） 【答案】货轮与灯塔的距离为海里 【分析】过点作于点，先由题意求得，，．设，利用正切定义可求得，．同理可得，，由列方程求得x值即可解答． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，． 设， 在中，， ， ， ． 同理可得，， ， ， ， ， 此时货轮与灯塔的距离为海里． ▌迁移练1-2（25-26八年级下·新疆塔城·期末）如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征”号、“和平”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远征”号沿东北方向行驶，“和平”号沿西北方向行驶，“远征”号每小时航行16海里，“和平”号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后分别位于点Q，R处，且相距30海里． (1)求两船行驶多长时间分别位于点Q，R处？ (2)求的长度？ 【答案】(1)小时 (2)海里， 海里 【分析】（1）两船分别沿东北、西北方向行驶，则，，可得为直角三角形，设航行时间为,用含的式子表示两船的航程，即，的长，已知的长，使用勾股定理，可求出值，即可得到两船位于,处的航行时间． （2）用两船的航行速度乘以两船的航行时间的具体值，得到两船航程，即的长度． 【详解】（1）解：两船分别沿东北、西北方向行驶， 则， ∵， ∴为直角三角形， 设航行时间为，可得： 远征号航程： 海里，即， 和平号航程： 海里，即， 已知， 由勾股定理可得： ,即， 解得（舍去）， 所以两船行驶小时后分别位于点Q，R处． （2）解：由第一问可知，两船航行时间为小时， 所以远征号航程： （海里），即海里， 和平号航程： （海里），即海里． ▌迁移练1-3（2026·重庆·三模）如图，在某海域有，，，四个小岛，在的正东方向，在的北偏东方向，在正北方向，在的北偏西方向距离海里处，且在的西北方向．（参考数据：，） (1)求，两岛之间的距离．（结果保留根号） (2)渔船甲从处出发沿着方向航行且行至处停止，渔船乙从处出发沿着方向航行，甲、乙两船同时出发且速度之比为，在两船行驶过程中，当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，甲船距离处多少海里？（结果保留一位小数） 【答案】(1)，两岛之间的距离为海里． (2)当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，甲船距离处海里 【分析】（1）过点作，交延长线于，根据方向角的定义，利用三角函数求出，，利用线段的和差关系即可求出； （2）过点作于，得出四边形是正方形，，利用三角函数求出，，根据平行线的性质得出，得出当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，乙船在上，再根据速度比得出路程比为，设，则，，过点作于，利用三角函数求出，，即可得出，利用勾股定理列方程求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于， 由题意可知，，，，海里， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， ∴（海里）， 答：，两岛之间的距离为海里． （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴（海里）， 由题意得，， ∴，， ∴（海里），（海里）， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，乙船在上， 分别用点、表示甲船、乙船， ∵甲、乙两船同时出发且速度之比为， ∴两船的路程之比为， ∴设，则，， 过点作于， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当时，（舍去）， 当时，（海里），即（海里）， ∴当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，甲船距离处海里． 题型6 双直角三角形模型 ▌例1（2026·北京密云·一模）在中，，，．点是边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接和，取线段的中点，连接． (1)依据题意，补全图形； (2)求证：； (3)连接，直接用等式表示线段、和之间的数量关系． 解题要点 1.抓旋转找全等：由AE 绕点 A逆时针旋转得到 AF可知，是等边三角形 2.倍长中线法。遇到线段中点 H和求证 时，首选辅助线是延长 AH一倍，即延长 AH至 A'，使得 。 3.构造平行四边形：连接 A'B，因为 H是 BF和AA' 的共同中点，所以四边形 ABA'F是平行四边形，证明全等后，。 4.找隐含的直角三角形结合第 (2) 问的证明过程和图形特点通常这种题在证明完 后，会隐含着 的情况），可以直接得出线段 AH, EH, AC)之间的数量关系。 【答案】(1) (2)证明：延长至，使得，连接， ∵， ∴, ∵是线段的中点, ∴ 在中，，，, ∴,, ∵, ∴, 在和中， , ∴， ∴, ∴ (3); 过点作,延长交于点,连接， 在中，，， ∴, 由（2）可知， , ∵， ∴, ∴点在上运动， ∴, ∵，， ∴是等边三角形， ∴, ∴, 在和中， ∴, ∴, ∵是等边三角形， 则, ∴是等腰三角形， ∵， ∴, ∴, 设， ,, ∴, ∴, 在和中， ∴ ∴, ∵ ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, , ∴, ∴ 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）延长至，使得，连接,根据三角形的中位线可知，进而证明即可求解； （3）过点作,延长交于点,连接，根据以及三角形的中位线可知，证明是等边三角形，进一步可知，从而得到是等腰三角形，证明，根据全等三角形的性质可知，，进而根据正切值可转化线段之间的关系 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ▌迁移练1-1（2026·西藏拉萨·模拟预测）为了让学生进一步了解拉萨市第六中学旗杆高度，组织九年级某班学生利用综合实践课测量旗杆的高度．列珠同学站在如图所示的旗杆前的平地上点处，测得顶部的仰角为，眼睛距离地面，向旗杆前行，到达点处，测得顶部的仰角为，求旗杆高．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】旗杆高为 【详解】由题意可得，，，，， 设，在中，， 在中，， ∵， ∴解得， ∴． 答：旗杆高为． ▌迁移练1-2（2026·湖北荆州·二模）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度，用测角仪在处测得雕塑顶端点的仰角为，再往雕塑方向前进米至处，测得点的仰角为，该雕塑的高度为多少米？（结果保留小数点后一位，参考数据：． 【答案】该雕塑的高度约为米 【分析】设米，在中，，利用求解即可. 【详解】解：设米， ， ∴， ∴， 米， ∵在中，米， ， 即， 解得， ， 答：该雕塑的高度约为米． ▌迁移练1-3（2026年天津和平区中招考前模拟数学试卷）综合与实践活动中，要用测角仪测量牌楼的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，点，，依次在同一水平直线上，，，且．在处测得牌楼顶部的仰角为，在处测得牌楼顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算牌楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，． 【答案】 【分析】连接交于点，证明四边形为矩形，结合矩形性质进而证明四边形，为矩形，，进而利用矩形性质与解直角三角形的相关计算推出，，再根据建立方程求出，进而即可求出牌楼的高度． 【详解】解：连接交于点， ，， ，， ， 四边形为矩形， ， ，， ， 四边形，为矩形， ，， ， ， ， ， 即， 解得， ． 题型7 与相似三角形、勾股定理结合 ▌例1（25-26九年级下·浙江宁波·自主招生）已知在中，为边上一点，，，作边上的中垂线，交的平行线于，交于，则的最大值为______． 解题要点 1.算底边：作高DG，解 得 BC长。 2.定极值：连接DF，应用三角形不等式 。 3.求中位线：由 D、F 都是中点可知DF是的中位线，。 4.得结论：最大值为。 【答案】 【分析】过点作于点，根据，求出的长，连接，根据三角形三边关系求出的最大值． 【详解】解：过点作于点， 因为，根据等腰三角形三线合一性质，为中点， 在中，， 设，则， 由勾股定理：， ， ， ， 可得，， 所以， 连接， 因为是的中垂线， 则是的中点， 在中，根据三角形两边之差小于第三边，， 当且仅当、、三点共线时取等号， 又因为， 所以此时是的中位线， ， 因此的最大值为． ▌迁移练1-1（2026·福建莆田·模拟预测）如图，中，点在边上，连接AD，线段绕点逆时针旋转得到，点的对应点在上，连接，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)解：是等边三角形，理由如下： 过点A作于点F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． (2) 【分析】（1）过点A作于点F，根据三角形面积公式，得，得到，继而得到，根据等边三角形的判定求解即可； （2）先证明，再根据三角形外角性质，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）得是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌迁移练1-2（2026·湖南长沙·二模）如图，在正方形中，点E、F分别为边上的点，，，交于点H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）证明，利用垂直的定义证明即可； （2）根据勾股定理，得，继而求得，故解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ▌迁移练1-3（2026·吉林白山·二模）如图，在中，，，于点，，过点作，交于点，，交于点．动点从点出发以的速度向终点运动，过点作，交于点，交于点．设点的运动时间为，与四边形重叠部分的面积为． (1) ______， ______； (2)当点与点重合时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，根据三角函数可求出，，证明四边形是矩形，得到，即可求解； （2）当点与点重合时，，由，，得到，求出，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，则可得，，由图知题目分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：，； （2）解：由（1）知，， 当点与点重合时，， ，， ，， ， ； （3）解：过点作于点，过点作于点，如图1， ，，， ，， ，， ，，， 当时，如图1， 则， ， ， ， ， ； 当时，如图2， 则， ， ， ； 当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； 综上，． 题型8 非直角三角形转化为直角三角形 ▌例1（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，已知，，，求的长． 解题要点 1.“找特殊角”思维：遇到、 等非特殊角时，不要害怕，必须主动拆分。 2.线段相加减的判断：作高后，务必看清垂足是落在所求线段上，还是在其延长线上。 3.利用边长推导边长：不需要算出整个三角形的所有边长，只求出当前直角三角形能推导出的边长，传递给下一个直角三角形即可。 【答案】 【分析】是通过作辅助线将斜三角形转化为两个可解的直角三角形，先利用三角形内角和求出的度数，再分别在两个直角三角形中计算和的长度，最后求和得到的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 过点作于点，如图． 在中，，， ∴， ∴， ∴． 在中，，， ∴． ∴． ▌迁移练1-1（25-26九年级上·全国·阶段检测）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值； （2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ， ， ， 即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，， 设，，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． ▌迁移练1-2（2026·河南驻马店·三模）如图，平面直角坐标系中，点点为轴上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，当取最小值时，点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据旋转判断出，，，推出，再过点作轴，作点关于轴的对称点，连接、、，推断出当三点共线时，即有最小值，即有最小值，然后根据对称求出点的坐标，根据解直角三角形求出点坐标，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 如图，过点作轴，作点关于轴的对称点，连接、、， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵点与点关于轴的对称，点， ∴点， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴点， ∵设直线的解析式为：， 代入、， 即，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵当时，， ∴点的坐标为． ▌迁移练1-3（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，，，，点为的中点，在射线上有点，连接，且，点，分别是，的中点，连接，则的长为_________． 【答案】/ 【分析】过点B作于点H，则，在中，解直角三角形得到，，根据勾股定理求出，因此．证明，得到，求得，．连接，并延长至点G，使得，连接，证明，得到，，因此．连接，过点G作，交的延长线于点K，在中，解直角三角形得到，，因此，根据勾股定理求出，从而根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：过点B作于点H，则， ∵， ∴在中，， ， ∵， ∴， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 连接，并延长至点G，使得，连接， ∵点N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 连接，过点G作，交的延长线于点K， ∴在中，， ， ∴， ∴在中，， ∵点M是的中点，， ∴． 难点一 双直角三角形模型 难点1：并列式（在目标同侧）两观测点A、B和目标底部C在同一直线上，且A、B在C的同一侧。此时，两个直角三角形有水平距离之差。图形特征：从A、B看目标顶端，仰角不同，A点更远。等量关系：两水平距离之差 = AB之间的距离。解法：设目标高为 (h)，则方程恒为（其中，(d)为AB长）。 难点2：分离式（在目标两侧）两观测点A、B位于目标C的两侧。此时，两个直角三角形有水平距离之和。 图形特征：从A、B看目标顶端，分别形成直角三角形，分居目标左右。 等量关系：两水平距离之和 = AB之间的距离。解法：设目标高为 (h)，则方程恒为。 难点精练 1．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为9米，则该校的旗杆高约为______米．（，结果精确到） 【答案】 【分析】在和中，分别解直角三角形求出和，然后根据计算即可． 【详解】解：由题意得：在中， ， (米)． 在中， ． (米)． （米）． 则该校的旗杆高约为米． 2．（2026·河南周口·一模）如图，某数学兴趣小组测量教学楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为，向教学楼前进20米到达点C，测得楼顶A的仰角为，求教学楼的高度．（结果保留根号） 【答案】教学楼的高度为米 【分析】首先求出，得到，解直角三角形得到，然后根据列方程求解． 【详解】解：由已知，可得：，，， ∴， ∴， ∴在中，，即， ， ， 米， 答：教学楼的高度为米． 3．（2026·河南周口·模拟预测）某市中央广场有一座直立的雕塑，雕塑旁建有一个长为8米的水平观景台，观景台与地面平行，数学实践小组的同学在观景台两处测量雕塑顶端的仰角，在处测得仰角，在处测得仰角．已知观景台距离地面的高度米，点在同一条直线上，求雕塑的高度（结果精确到0.1米，参考数据：）． 【答案】米 【分析】根据已知角的正切值可以用表示、的长，再由列方程求解即可. 【详解】解：延长交于点， 依题意得：四边形、四边形是矩形，米， ∴米， 设米，则米， 在中，，， ， 在中，，， ， ∵， ， 解得：（米） 答：雕塑的高度约为米． 难点二非直角三角形的“化斜为直”转化 难点1：已知两边一角：作高后，先用解直角三角形求出相关边长，再用勾股定理求目标边。 难点2：已知两角一边：过第三个角的顶点作高，设高为 x，用 x 表示被分割的两段线段，利用它们的和或差等于已知边来列方程。 难点精练 1．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的处，测得小山两端的俯角分别是和，此时无人机距直线的垂直距离是米，则小山两端之间的距离是________米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是读懂题意，构造直角三角形求解．过作于点，分别求出和，再相加即可． 【详解】解：作辅助线：过作于点， 根据题意，米， 由俯角和平行线内错角相等，得，， 在中：，， ∴米， 在中：，，即， 解得米， ∴米或（米）； 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，小周利用测角仪，在教学楼三楼的点处，测得操场旗杆的顶端的仰角为，测得旗杆的底端的俯角为，已知点到地面的距离为，求旗杆的高度．（精确到）【参考数据：，，】 【答案】旗杆的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，可证明四边形是矩形，得到，解求出的长，再解求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴四边形是矩形， ∴ 在中，，， ． 在中，，， ∴， ∴， 答：旗杆的高度约为． 3．（2025·陕西咸阳·二模）随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张骞塑像也引来很多外地游客参观．某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为，随后操作无人机竖直向上升高到点B处，测得塑像顶部C的俯角为，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内，且，均垂直于地面，求该塑像的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作，垂足为，证明四边形为正方形，在中，利用即可列出方程进行求解．本题主要考查解三角形的应用． 【详解】如图，过点作，垂足为， ，，， 四边形是矩形． ， ， 四边形为正方形， ． 从点测得点的俯角为， ∴根据平行直线的性质可知， ， 在中，， 解得， 该塑像的高度约为． 基础达标 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊三角形的三角函数，解题关键是掌握特殊角的三角函数值． 利用特殊角的三角函数值，，直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2．（2026·云南昆明·二模）如图，是一块直角三角形的绿化带，，已知，绿化带的斜边长度为米，则绿化带的直角边的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握，进行解答，即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 3．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，中，，，，则高约为（   ） （精确到，参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到，在中，利用求解即可． 【详解】解：， 是等腰三角形， 是的高， ， 在中，． 4．（25-26九年级上·四川巴中·期末）某河堤横断面如图所示，斜坡的坡度是，水平距离米，则河堤高为（   ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵斜坡的坡度是， ∴， ∵水平距离米， ∴米， 故选：B． 5．（25-26九年级上·福建泉州·期末）在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切的定义，关键是熟练应用定义表示正切；先利用勾股定理求出的长度，再根据正切的定义计算的值． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得，， ∴． 故答案为：A． 6．（2026·重庆·模拟预测）如图，在直角中，，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，确定的对边和邻边写出比值即可得到结果． 【详解】解：在中，． 7．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先得出是直角三角形，且，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴在中，． 8．（2026·广东肇庆·三模）如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形边长为，则，根据中点的定义得出，利用勾股定理求出，可得，根据正方形的性质得出，可得，进而证明，根据相似三角形的性质求出，，根据正切的定义即可得出答案． 【详解】解：设正方形边长为，则， 是边的中点， ． 在中，， 是的中点， ， 四边形为正方形， ∴ ， ， ， ， ，即， ，， ． 二、填空题 9．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）小红沿坡比为的斜坡上走了米，则她实际上升了__________米． 【答案】65 【分析】本题考查了坡度坡比问题(解直角三角形的应用），勾股定理．根据坡比定义，设上升高度为，水平宽度为，利用勾股定理列式计算求解， 【详解】解：设垂直距离为米，则水平距离为米， 根据勾股定理，得 ， 即， 解得， ∴（负值舍去）， 故实际上升了65米． 故答案为：65． 10．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图所示，小明家住在米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午时太阳光线与水平面的夹角为．如果A，B两楼相距米，那么A楼落在B楼上的影子有___________． 【答案】米 【分析】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，掌握相关知识是解决问题的关键．此题可根据楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过作于， ∴， 由题意， ∴， 米， 米． ∴米． 故答案为：米． 11．（2026·辽宁丹东·一模）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，此时，处与处的距离约是________海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：由题意可知，，，， ， 海里， 海里， 即处与处的距离约是． 12．（25-26九年级上·北京·课堂例题）已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 __________； （2）若，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查了正切函数，掌握正切函数的性质是解题的关键． 根据正切函数的增减性求解即可． 【详解】（1） 解：由正切函数随角增大而增大，得； （2）解：由正切函数随角减小而减小，得； 故答案为：（1）；（2）． 三、解答题 13．（2026·西藏拉萨·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】先化简绝对值，特殊角的三角函数值，立方根，零次幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 14．（25-26九年级上·北京通州·期末）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作于点D，设米，在中，利用三角函数值得，进而得，在中，利用三角函数值得，进而求解即可． 【详解】解：过点A作于点D，设米， 由题意得，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：该主塔的高度为米． 15．（2026·湖北襄阳·模拟预测）热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【详解】解：由题意得，，，， ∴，， ∴这栋高楼的高为． 16．（2025·浙江·二模）如图，在中，，，中线． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）根据正切值的计算得到等腰，，由为中线，得到，由此即可求解； （2）如图，过点作于点，，，根据勾股定理，正弦值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴等腰， ∵等腰中，， ∴， ∵为中线， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵等腰，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 17．（2026·江苏南京·一模）如图，小明去池塘钓鱼，斜坡长为，其与水平线的夹角为，钓竿长为，其与水平线的夹角为．由于当天的风向，测得钓线与钓竿的夹角为．（参考数据：，，，，，） (1)求点到水平面的距离； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）在含角的直角三角形中，直接利用正弦函数求点到水平面的距离； （2）通过延长线段、作垂线构造直角三角形，结合三角函数关系设未知数，列方程求解BC的长． 【详解】（1）解：过点作水平面于点， 在中， ∵ （m）， 故点到水平面的距离为． （2）解：延长BO交水平面于点，过点作于点， ∵钓竿与水平线的夹角为，则， 在中， （m）， （m）， 在中， 设，则，． 在中， 解得， （m）， 答：BC的长为． 18．（2026·贵州遵义·一模）如图1，遵义市余庆县飞龙湖呈现“湖连谷、湖中峡、峡湖相间”的独特风貌，也是“千里乌江画廊”上的核心景观区．某校九年级实践小组为绘制飞龙湖局部平面示意图，现需要测算A，B两岛间的实际距离，小组借助无人机等工具进行探究，所有测点均在同一竖直平面内．如图2，点D位于点A左侧水平岸上，测得为100m，点C为无人机航拍悬停点（在点D正上方），连接． (1)在点C处测得，求的长； (2)在点C处测得，求两岛A，B间的距离． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得为等腰直角三角形，继而可得； （2）根据题意可列，即可得到，继而可得本题答案． 【详解】（1）解：在中，， 依题意， ， 即：的长为100m； （2）解：在中，，， ， ， ， ． 即A、B两岛的距离约为． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如果把的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的余弦值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的 C．没有改变 D．无法判断是否发生改变 【答案】C 【分析】本题考查了余弦的定义，分式的性质，掌握“锐角的余弦值等于的邻边与斜边的比值”是解题关键．余弦值是邻边与斜边的比值，各边长扩大相同倍数后，比值不变． 【详解】解：设原中，的邻边为b，斜边为c，则． ∵ 各边长扩大到原来的4倍， ∴ 新邻边为，新斜边为， ∴， 故锐角A的余弦值没有改变． 故选：C． 2．（2026·天津·一模）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】解： ． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求角的正弦值，在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边与斜边的比值，据此即可求解． 【详解】解：如图所示， 在中，，，， ． 故选：C． 4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据进行计算即可． 【详解】解：在中，，，， 则， 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是（   ） A．250米 B．200米 C．150米 D．100米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题的关键． 利用坡度的定义得出，设，根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵的坡度为， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）． 故选：C． 6．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，已知，则点A的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角函数的应用：过点A作轴于B，设，利用求出，再根据勾股定理求出即可得到点A的坐标． 【详解】过点A作轴于B，设． ∵点在第二象限， ∴点A的坐标是． 故选：B． 7．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，四边形中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理及其逆定理，根据勾股定理可得的长，利用勾股定理的逆定理可证明，据此根据余弦的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（2026·河南三门峡·一模）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 二、填空题 9．（2026·广东河源·一模）计算：________． 【答案】0 【详解】解：原式 ． 10．（2026·广东佛山·一模）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． 【答案】 【分析】作的菱形，作于点，在中，使用三角函数计算出高的长即可． 【详解】解：如图，在菱形中，，作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， 在中，， ∴菱形的高为． 11．（2026·广东·中考真题）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 12．（2026·河北保定·三模）如图1为某种水龙头关闭时的状态，其中，，侧面示意图如图2所示，其中，当抬起把手放水时，D，F分别到达点，处，且，则点到的距离约为________．（结果精确到，取0.98，取0.17，取5.7） 【答案】 【分析】过作于G，根据题意求得的长及，然后，在中，根据的正弦值代入数据计算即可． 【详解】解：如图2，过作于G， ∵，，， ∴， ∴， 根据题意知， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 三、解答题 13．（2026·江苏南通·模拟预测）计算、解方程、解不等式组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 14．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） 【答案】87.7m 【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB． 【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E， 由题意得，∠ADF＝28°，CD＝50m，BC＝60m， 在Rt△DEC中， ∵山坡CD的坡度i＝1：0.75， ∴， 设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x， 又CD＝50，即5x＝50， ∴x＝10， ∴EC＝3x＝30（m），DE＝4x＝40（m）＝FB， ∴BE＝BC＋EC＝60＋30＝90（m）＝DF， 在Rt△ADF中， AF＝tan28°×DF≈0.53×90≈47.7（m）， ∴AB＝AF＋FB＝47.7＋40≈87.7（m）， 即居民楼AB的高度约为87.7m． 【点睛】本题考查了直角三角形的应用，熟练掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是解题的关键． 15．（2026·吉林四平·模拟预测）小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚度（参考数据：，，）． 【答案】档案盒的厚度为5 【分析】因为已知长度和的度数，所以可以利用三角函数求出直角三角形中的边长．明确的长度构成，等于的长加上10个档案盒的总厚度，所以可求出10个档案盒的厚度，进而得到单个档案盒的厚度． 【详解】解：由题意，在中，，，， ， ， ∴档案盒的厚度为． 16．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上，“前行”号与“远方”号轮船同时从海监局P出发，“前行”号以每小时16海里的速度沿南偏西方向航行，“远方”号以每小时12海里的速度沿固定方向航行，航行半小时后分别位于Q，R处，且相距10海里． (1)求“远方”号的航行方向； (2)若“前行”号继续沿原方向航行7海里到达点M，“远方”号继续沿原方向航行2海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】(1)南偏东方向 (2)17海里 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，能够熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）根据题意可以计算出的边长，再利用勾股定理的逆定理即可求解； （2）利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题知，，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且, ∴， 则“远方”号沿南偏东方向航行； （2）解：由题意，得，， 在中，， ∴， ∴此时“前行”号与“远方”号的距离是17海里． 17．（2026·湖南长沙·一模）市位于市的正东方，分别从两处测得国家级风景区中心的方位角如图所示，风景区中心位于城市的北偏东方向，位于城市的北偏西方向，，两地相距． (1)求的度数； (2)求两地的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作底边垂线构造直角，利用正北方向线都垂直于东西方向线，得到多条平行线；再借助平行线内错角相等，把两个方位角转化为内部两个小角，相加即可求出角度． （2）先在含的直角三角形中，利用余弦求出公共高；再在含的直角三角形中，以为已知边，再次利用余弦公式，反向求出斜边的长． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ． 在点和点的正北方向上分别取点和点， ，，， ． 由题意在的北偏东方向，即； 在的北偏西方向，即， ， ； （2）解：在中， ， ． 在中， ， ， 18．（2026·山东济南·二模）为践行“以人为本”的服务理念，济南公交集团采购了配有无障碍踏板设施和“侧跪”功能的新型公交车，有效解决了残障人士、老年人等特殊群体的出行难题，如图所示．图为某辆新型公交车未启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧与地面垂直，踏板的倾斜角为30°，踏板顶端A处到地面的距离为41． (1)当该公交车未启动“侧跪”功能停靠时，求踏板底端处到车厢左侧的距离； (2)该公交车到达车站后，为方便轮椅乘客上下车，驾驶员启动“侧跪”功能来降低车门一侧车身的高度．图3为该公交车启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧向站台方向倾斜，踏板顶端A处到地面的距离随之减小，站台表面与地面平行，踏板的倾斜角减小至．若公交站台的高度为，求此时踏板顶端A处到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)踏板底端处到车厢左侧的距离约为； (2)此时踏板顶端处到地面的距离约为． 【分析】（）过点作地面于点，则，在中，，，，则，再求解即可； （）过点作地面于点，过点作于点，由题意可知踏板长度不变，即，由站台高度，且平行地面，则有，在中，，则，然后再由线段的和与差即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作地面于点，则， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：踏板底端处到车厢左侧的距离约为； （2）解：如图，过点作地面于点，过点作于点， 由题意可知，踏板长度不变，即， ∵站台高度，且平行地面， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：此时踏板顶端处到地面的距离约为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $