第2章 锐角的正弦、余弦、正切（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学锐角三角函数单元复习强化卷，通过10道选择、6道填空、8道解答题（72分），覆盖三角函数定义、解直角三角形及实际应用，融合古算诗词、科技生活情境，梯度设计适配单元培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角函数值计算、解直角三角形基础|第3题古算诗词“争荡秋千”情境，第4题太阳能板倾斜角问题，考查数学眼光与应用意识| |填空题|6/18|坡比、网格三角函数、航海问题|第13题拦水坝坡比计算，第15题港口航行测量，体现模型意识与空间观念| |解答题|8/72|测量高度、图形变换（旋转/翻折）、综合探究|第21题课桌椅设计（空间观念），第24题面积最值探究（推理能力），梯度覆盖基础到创新应用，适配单元培优

第2章 锐角的正弦、余弦、正切（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ ． 2．在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出的值，进而根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 3．古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点处，与地面垂直，踏板离地面的高度尺．当踏板从处绕点运动到处时，踏板离地面的高度尺，则秋千的绳索荡过的的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过作垂线构造直角三角形，利用矩形边长相等求出线段的长度，再结合秋千绳索长度得到斜边，最后根据余弦函数值求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， 由题意，， 四边形是矩形， 尺， 尺， 尺， 尺， 在中： ， ． 4．某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为，为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板的长度为米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】先根据太阳光线与地面夹角为、太阳能板与光线垂直，结合直角三角形两锐角互余，求出太阳能板与地面的夹角；再利用直角三角形的边角关系，将太阳能板顶端离地面的高度转化为太阳能板长度与对应三角函数的乘积，最后对比选项得出结论． 【详解】解：如图，设太阳能板为，太阳光线于，交于点，米，，． ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ 在中，， ∴ （米）， ∴此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为米． 5．如图，在中，，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点、分别作的垂线，垂足为、，由旋转的性质易证是等边三角形，再利用直角三角形，分别得出，，再证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点、分别作的垂线，垂足为、， 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 6．在中，的对边分别为，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】此题主要考查了非负数的性质，等边三角形的判定，特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握非负数的性质，等边三角形的判定，熟记特殊角的锐角三角函数值是解决问题的关键． 根据非负数的性质得且，由，得，则是等腰三角形，由，得锐角，则是等边三角形，由此即可得出答案． 【详解】解：，， 又， 且， 由，得：， 是等腰三角形， 由，得：， 锐角， 又是等腰三角形， 是等边三角形． 故选：C． 7．如图，在中，、分别是、的中点，将沿翻折，点的对应点为，且点恰好落在边上．若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】证明，得到求解即可； 【详解】解：根据折叠的性质，得，是的中点， 故, 故， 故， 故； 8．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则下列选项中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据作图得出，再根据勾股定理得出，然后根据三角函数定义逐项进行判断即可． 【详解】解：根据作图可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ，故D选项正确． 9．如图，在中，，高交于点F，已知，，则长为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据，，，求解即可； 【详解】解：，高交于点F， ，， ，， ，， , 故； 10．利用投影灯测量计算坡比．如图，投影灯的下边缘光线落在坡脚点B处，上边缘光线落在斜坡点C处，此时投影灯O离地面距离为1.5m，离坡角B点水平距离为5m．将投影灯往上平移，上下边缘的光线，，恰好落在斜坡D，C处，此时投影灯向上平移了0.9米，现测得，则斜坡的坡比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】勾股定理求出的长，利用平移的性质，推出，得到，求出的长，延长交的延长线于点，作于点，证明，得到，求出的长，进而得到的长，证明，得到，求出的长，再利用坡度等于，求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 延长交的延长线于点，作于点，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 即：斜坡的坡比为； 故选B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，勾股定理以及平移的性质，本题的难度较大，属于压轴题，解题的关键是构造相似三角形． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算：________． 【答案】/0.25 【分析】先求出，再将进行平方计算即可． 【详解】原式． 12．在中，，的余弦值是，，那么的长为______． 【答案】16 【分析】本题考查余弦定义，熟知在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比是解答的关键．根据余弦的定义得到，代入已知值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：16． 13．如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则水平方向的长度是_______． 【答案】30 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡比，解题关键是掌握坡面与水平面的夹角是坡角，坡度（坡比）等于坡角的正切值．根据迎水坡的坡比是，即可求解． 【详解】解：迎水坡的坡比是， ， 坝高， 水平方向的长度是， 故答案为：． 14．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，利用网格得到线段的长度，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 根据图像可知：， ∴． 15．如图，港口A在观测站O的正东方向，海里，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）是______海里． 【答案】 【分析】作，再根据题意可知,，然后根据直角三角形的性质得海里，接下来根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：过点A作，于点D， 根据题意可知, ∴， ∴． 在中，海里， ∴海里． 在中，， ∴， ∴海里， 根据勾股定理，得海里． 16．如图，在中，，，，则中线的长为______． 【答案】/ 【分析】过点A作于点，得到，然后解，得到，然后根据线段和差以及三角形中线得到，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点， ， ， ， ∵， ， ， ， 是中线， ， ． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． （1）代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）分别计算有理数的乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．如图，为了测量某建筑物的高度，小明在距离建筑物底部D点15米的B点处，测得建筑物顶端C的仰角为，小明的眼睛离地面的高度米．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：） 【答案】建筑物的高度约为12.9米 【分析】过点 A 作，垂足为 E，解求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点 A 作，垂足为 E．则米，米． 在中，，， ∴（米）．   ∴（米）．   答：建筑物的高度约为 12.9 米． 19．在中，，，是边上的中线，，是的高线． (1)求的值． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先解直角三角形求出，然后勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可； （2）解直角三角形求出，进而根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． ∵是边上的中线， ∴，． 在中，， ∴； （2）解：∵是的高线， ∴在中，． ∴． 20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图． (1)在图①中，画出线段，使，且点在格点上； (2)在图②中，画一个，使，且点、均在格点上． 【答案】(1)线段如图所示， (2)如图所示， 【分析】（1）结合勾股定理得出，构建一个直角边分别为1、3的直角三角形，使为斜边，据此即可画图； （2）作出，，且，则，据此即可画图． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 21．某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，． (1)求点到支撑脚的垂直距离．（结果精确到） (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点到点的水平距离为，求背垫旋转的度数．（参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用邻补角的意义求得，再利用正弦求得，从而可求得点到支撑脚的垂直距离； （2）先得出，再求得，然后利用余弦求得，从而可利用邻补角的意义求得，于是可根据没有旋转时，求得背垫旋转的度数． 【详解】（1）解：过点作于点，并延长交于点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴点到支撑脚的垂直距离约为； （2）解：过点作，交的延长线于点， 则， ∵点到点的水平距离为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵没有旋转时， ∴背垫旋转的度数为． 【点睛】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，根据矩形的性质与判定求线段长，解直角三角形的相关计算，其他问题（解直角三角形的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 22．在学习锐角三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． (1)初步尝试： 我们知道：_____________，_____________； 发现结论：_____________（填“=”或“”） (2)操作探究： 如图，已知Rt，， ①利用直尺和圆规：在边上求作一点，使得 ②在①的条件下，若，求的值； (3)迁移应用： 在中，为锐角，，，，则___________． 【答案】(1)；； (2)①见解析② (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用勾股定理进行运算是解决问题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值即可得出答案，根据即可得出答案； （2）①作的垂直平分线，交于点，连接，则； ②过点D作交于点，得是的平分线，根据三角形面积关系得，设，则，设，则，代入比例式，求出，在中，由勾股定理得，求出，得，从而可求出； （3）过点C作于点D，在上截取，连接，则，再证明，得，在中，，可设，则，则，由此得，在中，由勾股定理可求出，然后根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】（1）解：根据特殊角的三角函数值得：，， ∵， ∴； 故答案为：；；； （2）解：①作的垂直平分线，交于点，则； ∴， ∴， 又， ∴， ∴； ②过点D作交于点，如图， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线， 设点到的距离为，则, ，， ∴， ∵， ∴设，则 ∴， ∴设，则， ∴， ∴, ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：过点C作于点D，在上截取，连接，如图所示： ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 23．【证明体验】 (1)如图，正方形中，，分别是边和对角线上的点，，求证：． 【思考探究】 (2)如图，矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长． 【拓展延伸】 (3)如图，菱形中，，对角线，交的延长线于点，，分别是线段和上的点，，，求的长．请直接写出答案 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ； (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质可得，得到，推出，可得结论； （2）连接，交于点，先计算，得到，推出，证明，可得，即可求解； （3）设与交于点，通过证明，可求，由菱形的面积公式可求，由锐角三角函数可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，交于点， 四边形是矩形，，， ，，，， ，，, ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：如图，设与交于点， 四边形是菱形，，， ，，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．（1）如图1，已知，内有一点M，过点M作直线交AP于点C．交PB于点D．使得是等腰三角形，且满足，请你画出符合要求的直线CD，并说明理由． （2）如图2，已知AD是的角平分线，，，若，，请你求出面积的最小值． （3）近几年，“点亮工程”让西安市成为全国著名的打卡城市，西安市的各个小区纷纷点亮了自己的上空．西安市某小区外围护栏形状如图3所示的四边形ABCD，已知，，，米，米，米，米，E点是小区内的观赏亭，且E点恰好在的角平分线上，米．现要过点E架线分别交AB边和AD边于点F和G，再架线CF和CG．小区计划在AF，AG，GF以及GC和CF五条边上都使用LED高效节能照明灯具点亮小区，并将区域作为花灯区．为了在亮化和美化的同时，既不影响居民的正常生活，也不占用过多的活动区域，要求的面积最小．请问，是否存在满足条件的F和G点？如果存在，请你求出所有灯带的长度之和，即的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）面积的最小值为；（3）存在满足条件的和点，所有灯带的长度之和，米． 【分析】（1）先作的角平分线，再过点作的垂线分别交于点，交于点，根据证明即可得，即是等腰三角形； （2）如图2，连接，过点作交于，交于，根据角平分线的性质以及含角的直角三角形的性质得出，可得出，由，可知时，的值最小，解直角三角形求出的值即可求解； （3）由（2）的结果可知，当时，的面积最小，解直角三角形求出的值，再求出的值，即可解答本题． 【详解】解：（1）如图1，作的角平分线，过点作的垂线分别交于点，交于点，垂足为点，直线即符合要求的直线， 理由：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形，且满足； （2）如图2，连接，过点作交于，交于， ，是的角平分线， ， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 当时，的值最小，最小值为，此时，点与点重合，点与点重合， ， 的最小值为， 的最小值为， 即面积的最小值为； （3）由（2）知，当时，的面积最小， ，米，且点恰好在的角平分线上， ∴∠BAC=30°， （米， 连接AC， ∵米，米， ∴,即∠BAC=30°， ∴A、E、C在同一条直线上， 根据勾股定理（米， 又∵（米， ∴（米， ∴（米， （米， 存在满足条件的和点，所有灯带的长度之和，米． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了解直角三角形、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．本题中需注意3小问之间是从易到难的过程，后面的小问需用到前面的结论． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章锐角的正弦、余弦、正切（高效培优单元自测·强化卷) (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 C C A C C C D A B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11.4/0.25 12.16 13.30 1 14.3 15.20V2 69,6 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.225 (2)5 【详解】(1)解：3tan30°-tan45°+2sin60°+2cos60° 3x -1+2x521 -+2× 3 2 2 =√5-1+3+1 =23 3分 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解 -+2an0+5-+ =1+2x分14 =-1+1+1+4 =5.-6分 18.建筑物CD的高度约为12.9米 【详解】解：过点A作AE⊥CD,垂足为E.则AE=BD=15米，ED=AB=1.6米. A B D 在Rt4EC中，∠CAB=3加，am∠CAE=C E .CE=AE.tan37°≈15×0.75=11.25（米）. .CD=CE+ED=11.25+1.6=12.85≈12.9（米）. 答：建筑物CD的高度约为12.9米.6分 19.a25 ag5 【详解】(1)解：·∠B=90°，AB=2,tan∠BAD=1, ∴在RtAABD中，BD=AB·tan∠BAD=2, :AD是BC边上的中线， .'CD=BD=2.BC=2BD=4 在R△ABC中，AC=VAB+BC-V22+4=25 COsC-BC=-4=25 AC 25 5 ；-4分 (2)解：DE是△ADC的高线， 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RIACDE中，CE=CD-cosC=2x25=45 5 :AE=AC-CE=25-45=65 5 8分 20. (1)线段AB如图所示， -4分 B (2)△ACD如图所示， D -8分 图② 21.(1)98.8cm (2)60° 【详解】(1)解：过点G作GH⊥AB于点H,并延长交CD于点I, G B C FI 则∠BHG=∠BHI=90°， .∠AEF=90° .∠HEF=180°-∠AEF=90°， AB∥CD, .∠EFI=∠AEF=90°， 3/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EFI=∠HEF=∠BH=90°， ∴.四边形EFIH是矩形， .HI=EF =40cm, .∠ABG=100° .∠GBH=180°-∠ABG=80°. :GH=BG-sin∠GBH=60xsin80°=60x0.98=58.8cm） Gl=GH+Hl=58.8+40=98.8(cm) 点G到支撑脚CD的垂直距离约为98.8cm;…-5分 (2)解：过点G作GM⊥AB,交AB的延长线于点M, G BE C -D 图(2) 则∠GMB=90°， ,点G到点A的水平距离为l06.5cm, ∴.AB+BM=106.5cm. .AB=50cm. .50+BM=106.5, .BM=56.5cm, :∠GMB=90°， .cos∠GBM BM_56.5≈0.94 BG 60 .∠GBM=20°， .∠GBA=180°-∠GBM=160°， ,没有旋转时∠ABG=100°， 背垫BG旋转的度数为160°-100°=60°.--10分 5 22.(1)5,3:≠ 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①见解析②4 e 【详解)(1)解：根据特殊角的三角函数值得：an60三V3an30°sV5 3 ,tan60°≠2tan30°， tana≠2an20； √3 故答案为：53≠：一-一-3分 2)解：①作B的垂直平分找，交BC于点D则∠B=ADC, ∴.AD=BD, .∠DAB=∠DBA, 又∠ABC=∠DAB+∠DBA, 2∠B=ADC &∠B=)∠ADC: 2 ②过点D作DE‖AB交AC于点E,如图， D B 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CDE=∠B, 2∠B=∠ADC, .∠ADE=∠CDE. .DE是∠ADC的平分线， 设点E到AD的距离为h,则CE=h, 1 ADxh AE xCD S.= AD S.ADE=2 AE S.CDE 1 CDxCE CD, SCDE CExCD CE, 2 2 AE AD CE CD :tan∠B='-AC 3 BC' 设AC=1,则BC=3 tan∠CDE=CE=1 CD 3 ∴设CE=x,则CD=3x, .AE=1-x, .1-x AD ·x3x’ .AD=3(1-x) 在RtAACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2, P+(3x=[30-x, 网 .CD=3x4_4 93, an∠ADc=4C=L_3 CD44-7分 (3)解：过点C作CD⊥AB于点D,在DA上截取DE=DB,连接CE,如图所示： 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C E D B ∴.CD是线段BE的垂直平分线， .'CE=CB, ∴.LB=∠CED ∠CED=∠A+∠ECA,∠B=2∠A, .2∠A=∠A+∠ECA, .∠A=∠ECA, ∴.AE=CE, 在Ra4CD中，anA=CD_！ AD3· 设CD=a,则AD=3a, .'DE AD-AE=3a-AE, .DE DB=3a-AE, .AB=AE+DE+BE=AE+3a-AE+3a-AE =6a-AE, :B-V3 :i店=6a-AE AE=CE=6a-13 :DE=3a-AE=3a-(6a-V)=3-3a 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=CD2+DE2, s(6a-=a2+(-3a, 13a2-3V13a=0 整理得： 313 解得，a 13，a=0(不合题意，舍去)， 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=3/13 13, 13-2. 故答案为：2、一10分 23.(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.∠BDC=45°=∠ABD=∠ACD ∠EDF=45°， ∠EDF=∠BDC, :∠EDB=∠FDC, 又：∠ABD=∠ACD. ADBE△DCF;3分 (2)CF=3 165 (3)5 【详解】(1)略 (2)解：如图2，连接BD,交AC于点O, 图2 四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8, ∴AB=CD=6,BC=AD=8,∠BAD=∠BCD=90°，AO=BO=CO=DO, .∠OAB=∠OBA∠OCD=∠ODC BD=VAB2+AD2=V36+64=10 :AB∥CD, .∠OBA=∠ODC, .∠OAB=∠OBA=∠OCD=∠ODC 8/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :tan∠BDC= BC 4 DC3’ tan∠EDF=4 3 .tan∠BDC=tan∠EDF, ∠BDC=∠EDF, .∠EDB=∠FDC, 又：∠ABO=∠OCD, △BDE∽△CDF, CD CF BDBE· 6 CF 105’ .CF=3,…-7分 (3)解：如图3，设AC与BD交于点O, H 图3 ~四边形ABCD是菱形，AC=6,BC=5, AO=CO=3,AC⊥BD,BO=DO,AB=AD=BC=CD=5,∠ADB=∠CDB .B0=VBC2-C02=V25-9=4 .D0=4,BD=8. tan∠BDC=OC-3 OD=4,an∠EDF=3 .tan∠BDC=tan∠EDF, ·∠BDC=LEDF, ∠BDE=∠CDF, :BH⊥DH, .∠H=90°=∠COD. .∠ADB+∠HBD=90°=∠CDO+∠DCO :∠ADB=∠CDO 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠OCD=∠HBD, .△BDE∽△CDF, CD CF BD BE 51 8 BE BE=8 5, :S形4BC=)AC:BD=AD·BH ∴BH=6x824 2×55 .HE=BH-BE=16 5 :tan∠ADB=tan∠BDC=3_BH 4 DH DH=32 5 1024 ∴DE=√DH+HE2 25616W5 25 25 5. -12分 16V3 24.(1)见解析；(2)△ABC面积的最小值为3；(3)存在满足条件的F和G点，所有灯带的长度 之和， AF+4G+FG+CF+CG=(6002+900W5-90)米. 【详解】解：(1)如图1，作∠APB的角平分线PO,过点M作PO的垂线分别交AP于点C,交PB于点 D,垂足为点O,直线CD即符合要求的直线， 图1 10113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理由：PO平分∠APB, .∠CPO=∠DPO :CD⊥PO ∴.∠COP=∠DOP=90°， 在△POC和△POD中， [∠CPO=∠DPO PO=PO ∠CPO=∠DPO ∴.△POC兰△POD(ASA) ∴PC=PD, ACPD是等腰三角形，且满足CP=DP;--3分 (2)如图2，连接GH,过点B作BEIIGH交AD于F,交AG于E, G 是 的角平分线， 图2 :∠BAC=60°AD△ABC .∠BAD=∠CAD=30° :AD=4,DH⊥AB,DG⊥AC, 0H=DG=4D=2, 5m号4B-H=,Sm4C-G=4C .SMARC =SMBD+SMCD SMBC AB+AC 在RtAADH和RtAADG中， AD=AD DH=DG, 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .Rt△ADH≌Rt△ADG(HL) .AH=AG, :AD是△ABC的角平分线， .AD⊥GH, BE//GH, .AD⊥BE, .AB=AE, .AB+AC=AB+AE+CE. 当CE=O时，AB+AC的值最小，最小值为2AB,此时，点C与点E重合，点D与点F重合， AB=AD 448v5 cos∠BAD cos30°V33, 3 2AB=16V3 ∴AB+AC的最小值为 3, 16V3 ·SAc的最小值为3， 16V3 即△ABC面积的最小值为3；-7分 (3)由(2)知，当AF=AG时，△4FG的面积最小， :∠BAD=60°，AE=(450-150NS)米，且E点恰好在∠B1D的角平分线上， ∴.∠BAC=30°， AF=4G=FG=1c-305-300(米 c0s30° 连接AC, ：.4B=300V5 BC=300米， :m∠BAC=8C=300V6 AB300N33,即∠BAC=30°， ∴A、E、C在同一条直线上， 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G 0 根据勾股定理4C=V4B+BC=600(米)， 又：5G=EF=54F=1505-150(米) CE=4C-AE=1505+150c米3， CF-CG-ECE300 :AF+AG+FG+CF+CG=602+90N5-900(米)， 存在满足条件的F和G点，所有灯带的长度之和，F+1G+FG+CF+CG=(6002+9005-90) 米. …12分 13/13函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章锐角的正弦、余弦、正切（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.2c0s45°的值为() A.2 B.3 C.v② D.1 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,则sinB的值为() B 分 3 万 A.4 C.4 D.5 3.古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶.如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图. 已知秋千的绳索长OA=6尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点A处，OA与地面BD 垂直，踏板离地面的高度AB=1尺，当踏板从A处绕点O运动到C处时，踏板离地面的高度CD=4尺，则 秋千的绳索荡过的∠AOC的大小为() A.30° B.45° C.60° D.75 4.某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为35°，为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为 与太阳光线垂直.已知太阳能板的长度为1.8米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为() 118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.1.8×sin55°米 B.1.8×sin35°米 C.1.8×cos55°米 D,1.8×tan55°米 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=30°，将边AC绕点C顺时针旋转60°得到线段DC,连接BD BE 交AC于点E,则DE的值为() D E B C √5-1 3 2 A.2 B.2 C.3 D.3 6,在△BC中，∠4，∠B,∠C的对边分别为ab,C,若b-c+am1-同=0 则△ABC的形状是() A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形D.等腰三角形 7.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为F,且点 F恰好落在BC边上.若∠B=30,∠C=60°，则sin∠EFC的值为() D A 2 V3 B.2 C.2 D.1 8.如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，与AC交于点D,E,再分别以点D,E为圆 218 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 心，大于DE长为半径作弧，两弧交于点F,作射线BF,交AC于点G:已知BG=6,AG=8,则下 列选项中正确的是() B E A.sin∠BAG=4 B.cos∠ABG= C.tan∠BAG= 4 D.m∠48G-号 9.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，高BD、CE交于点F,己知AE=8,BE=6,则CD长为() A② B.2V2 C.2 D.3 10.利用投影灯测量计算坡比.如图，投影灯的下边缘光线OB落在坡脚点B处，上边缘光线OC落在斜坡 点C处，此时投影灯O离地面距离OA为1.5m,离坡角B点水平距离AB为5m.将投影灯往上平移，上下 边缘的光线OD,OC,恰好落在斜坡D,C处，此时投影打向上平移了09米，现测得CD8C,则斜 5 坡BD的坡比为() D C A.5:8 B.3:5 C.1:2 D.3:10 318 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.计算：sin230°= 12.在A4BC中，∠C=90,∠A的余弦值是4，AC=12,那么AB的长为 13.如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡AB的坡比是1：3，坝高BC=10m,则水平方向AC的长 度是 A 14.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上， 则tan∠ACB的值为 15.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段 距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长） 是 海里. 北 B 一东 60° 15° A C 16如图，在ABC中，B-:BC-3mC-,则中俊D的长为 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.计算： (1)3tan30°-tan45°+2sin60°+2cos60° 1m+20+5-+ 18.如图，为了测量某建筑物CD的高度，小明在距离建筑物底部D点15米的B点处，测得建筑物顶端C 的仰角为37°，小明的眼睛离地面的高度AB=1.6米.求建筑物CD的高度.（结果精确到0.1米.参考数 据：sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75) 19.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是BC边上的中线，tanZBAD=1,DE是△ADC的高线. (1)求cosC的值. (2)求AE的长. 20.图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1， 点A在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图， 图① 图② (①⑩在图O中，画出线段1B,使4B= ,且点B在格点上： (2)在图②中，画一个△ACD,使tan/CAD=3,且点C、D均在格点上. 21.某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题.图①是“躺式”课桌椅的实物图， 5/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图②是上课期间椅子的摆放样式.已知座面AB与支撑脚CD平行，座面AB=50Cm,座面高EF=40cm, 背垫BG=60cm,∠ABG=100° G BE C -D F R 图① 图② 图③ (I)求点G到支撑脚CD的垂直距离.（结果精确到0.lcm) (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为106.5cm,求背垫BG旋转的度数. (参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94). 22.在学习锐角三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角三角函数值具有怎样的关系”这个问 题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究 (1)初步尝试： 我们知道：tan60°= tan30°= 1 发现结论： tan a 2ana(填“=”或“±”) 2 (2)操作探究： 如图，已知RtAABC,∠C=90°， ①利用直尺和园规：在边BC上求作一点D,使得∠B=)∠ADC ②在①的条件下，若an∠B=3,求an∠ADC的值： (3)迁移应用： 在ABC中，∠4为能角，m24-5B=24:AB=3,则5 23.【证明体验】 618 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)如图1，正方形ABCD中，E,F分别是边AB和对角线AC上的点，∠EDF=45°，求证： △DBE∽△DCF. 【思考探究】 ②如图2：矩形ABCD中，B=6:BC=8:E:F分别是边AB和对角线AC上的点，m∠FDF 3 BE=5,求CF的长 【拓展延伸】 (3)如图3，菱形ABCD中，BC=5,对角线AC=6,BH⊥AD交DA的延长线于点H,E,F分别是线 段B和AC上的点，m∠EDr=,CF=1,求DE的长.（请直接写出答案） 24.(1)如图1，已知，∠APB内有一点M,过点M作直线交AP于点C.交PB于点D.使得△CPD是等 腰三角形，且满足CP=DP,请你画出符合要求的直线CD,并说明理由. (2)如图2，已知AD是△ABC的角平分线，DH⊥AB,DG⊥AC,若∠BAC=60°，AD=4,请你求出 △ABC面积的最小值. (③)近几年，“点亮工程”让西安市成为全国著名的打卡城市，西安市的各个小区纷纷点亮了自己的上 空.西安市某小区外围护栏形状如图3所示的四边形ABCD,已知∠BAD=60°，∠D=60°，∠B=90°， 4B=3005米，8c=300米，cD=205米.D=4005 ，E点是小区内的观赏亭，且E点恰好在 ∠B4D的角平分线上，ME=(450-150W)米.现要过点E架线分别交AB边和4D边于点P和G,再架线 CF和CG.小区计划在AF,AG,GF以及GC和CF五条边上都使用LED高效节能照明灯具点亮小区，并 将△AFG区域作为花灯区.为了在亮化和美化的同时，既不影响居民的正常生活，也不占用过多的活动区 域，要求△AFG的面积最小.请问，是否存在满足条件的F和G点？如果存在，请你求出所有灯带的长度 之和，即AF+AG+FG+CF+CG的长；如果不存在，请说明理由. 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A C 4 E B 0 G D 图1 图2 图3 8/8