第7章 锐角三角函数（高效培优单元测试·强化卷）数学苏科版九年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第7章锐角三角函数（高效培优单元测试强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。) 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=3,则sinB的值为( A号 B c 【答案】B 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=3, .BC=AB2-AC2=4, sin B=AC_3 AB 5' 故选：B 1 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,tanM=2则边4C的长为（） B A.12 B.8 C.45 D.3√5 【答案】D 【详解】解：：∠B=90,AB=6,a4= 2 :BC-1 AB2' BC=4B=3 AC=VAB2+BC2=V62+32=3V5, 故答案选：D. 3.点M(-sin30°，tan45)关于x轴的对称点M'的坐标是() 1/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 【答案】C 【分析】 【详解】解：：sin30°= tan45°=1， 2 点M的坐标为 :关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， :.点M关于x轴的对称点M'的坐标是 故选：C 4.某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直 于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳面AC和AD的长均为2m,∠CAD的度数为140°，则此时“天幕 的宽度CD是() B ① A.4sin70°m B.4c0s70°m C.2sin20°m D.2c0s20°m 【答案】A 【详解】解：设AB,CD交于点E, :AC=AD,AB⊥CD, :CD=2CE,∠CAE=∠CAD= 2 2×140°=70， 在RtAACE中，AC=2, :CE=AC x sin∠CAE=2sin70°， .CD=2CE=4sin70° 故选：A 2/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如图，实线部分是一个正方体展开图，点A,B,C,D,E均在△MBN的边上，则cosM的值为(). M B ----W A 3 A4 B.V5 C.3 D. 5 5 4 【答案】B 【分析】 【详解】解：如图，设过点D与BN垂直的线段与BN的交点为F,过点E作EG⊥MB与MB交于点G,设 DF与EG的交点为点P,设每个小正方形的边长为1， M A F :Rt△DPE中，∠DPE=90°，DP=1,PE=2, 根据勾股定理：DE=VDP2+PE2=V2+22=√5， ·os∠PDE=DP=LV5 DE 55 .∠B=∠DFN=90°， .BM∥DF, ∴∠M=∠PDE, cosM=cos∠PDE=5 故选：B 6.铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六 条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O,AB所在圆的圆心C恰好是△AB0的中心，若AB=√， 则花窗的周长（图中实线部分的长度）为() 3/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.6π B.2π C.3π D.4π 【答案】D 【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥AB于点E, B :六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ·∠A0B=60°，0A=0B, AOB为等边三角形， :圆心C恰好是AOB的内心， ·∠CA0=∠CAE=∠CBE=30°， ∠ACB=1209, AB=3, ·AE=BE= √5 2, 5 AC=- AE 2 os30° =1, 2 ÷AB的长为120°×1x元2 180° 3 :花窗的月长为号×6=红： 故选：D 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分.） 7.计算：2sin45°-2c0s60°=一 【答案】√2-1 【详解】解：2sin45°-2cos60° 4/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2x5-2x 1 2 2 =√2-1. 故答案为：√2-1 8.在ABC中，V3tanA-3+(2-2cosB'=0,则∠C的度数为 【答案】75°/75度 【详解】解：：N5anA-3+V2-2cosB°=0，W5tanA-3≥0，(N2-2cosB≥0， .3 tan 4-3=0,2-2cos B=0, tan4=3,cosB= 2 ∠A=60°，∠B=45°， 在ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=75°， 故答案为：75°. 9.定义一种运算：sin(a+B)=sina cos B+cosa sin B,sin(a-B)=sina cos B-cosa sin阝，则sinl5°的值 为」 【答案】6-V2 4 【详解】解：由题意可得： sin15 =sin(45°-30°) =sin45°c0s30°-c0s45°sin30° -2x521 2X2-2x2 =v6-V2 4 故答案为： V6-√2 4 【点睛】此题考查了三角函数值的计算，解题的关键是理解题意，得到 sin15°=sin45°-30）=sin45°cos30°-cos45°sin30° 10.比较大小：sin41° c0s41°.（填>“=”或“<”） 【答案】< 【分析】 5/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小， sin41°<sin45°= ,c0s41°>c0s45°=V2 2 2 .sin41°< 2 <cos41°，即sin41°<cos41°. 故答案为：< 11.如图，某滑雪爱好者沿着坡比为1：2.4的斜坡笔直滑下52米，那么他下降的高度是」 米 【答案】20 【详解】解：设斜坡的倾角为0，则an9=↓=5 2.412 在直角三角形中，设垂直高度h=5k,水平距离为12k(k>0), 由勾股定理得斜边为V(5k)2+(12k)2=13k, :sin0=5k_5 13k13 h sin = 52 5 h=52x =20 13 故答案为：20. 12.如图，在ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BD=6,CD=3,则 sin∠DBA= D 【答案】05 【详解】解：BD平分∠ABC, ∠CBD=LDBA, .sin/DBA=sin∠CBD, 6/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtaBDC中，sin∠CBD= CD 3 1 BD6-2' 故sin☑DBA=2' 故答案为：2 1 13.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为 【答案】号 【分析】 【详解】解：取格点D,使CD⊥AB, CD=2,AD=4, .'tan 4= CD 2 1 AD42 故答案为：号 14.如图、在边长为1的正方形网格中，点A,B,C都在网格线上，且AD1BC,垂足为点D,则 tan∠BAD=- A B 【答案】 【详解】解：如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C都在网格线上，AD⊥BC,垂足为D, 7/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B :AD⊥BC,AB⊥BE, ∠ADB=∠BEC, 又∠ABD=∠EBC, .△ABD∽△CBE, BD BE AD EC tan∠BAD= BD BE 2 1 AD EC 42' 故答案为：号 15.如图，AB为订书机的托板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的一端点D固定，点E从A向B处滑 ,在滑动的过程中，DE的长度保持不变，若BD=32cm,an☑DEB=,LB=45°，则BE的长度为 cm. 【答案】10 【分析】 【详解】解：如图所示，过点D作DF⊥AB,垂足为F, C A B 在Rt△DBF中，DB=3V2cm,∠B=45°， .DF=BD.sin45°=3cm,BF=BD·cos45°=3cm, ·tan∠DEB三EE=,,DF=3cm: 8/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EF 7cm, .EB=EF BF =7+3 =10cm. 故答案为：10. 16.(湖南2026年“思齐杯”2026年初中学业水平考试模拟数学)如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将 ADE沿AE折叠，点D落在点F处，延长EF交BC于点G,若AD=3DE,则tan_EGC= A D B G 【答案】 【详解】解：如图，连接AG, D B C G 由折叠性质可知，FE=DE,AF=AD,∠AFE=∠D=90°， AB=AF,LAFG=90°， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， (AB=AF AG=AG' .RtAABG≌RtAAFG(HL), .BG=FG, AD =3DE, 设DE=a,则AD=3a, .AD=AF =AB=CD=3a,DE=EF=a, .CE CD-DE =2a, 9/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设BG=x,则FG=x,CG=3a-x,EG=EF+FG=a+x, 在RtAEGC中，EG2=EC2+CG2, .(a+x2=(2a2+(3a-x)2, 3 解得：x=三a, 2 3 .CG=3a-x 2 :tan∠EGc=5C=2a-4 293, CG 3 故答案为手 三、解答题（本题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.计算：(sin30)2+tan60°-(sin45)2+(cos30)2. 【答案】+5 【详解】解：(sin30)2+tan60°-(sin45)2+(cos30)2 s +5-1+3 4 24 5 18.求锐角0： (1)2sin(a+15)=√3： (2)3tan(a-20)-√3=0. 【答案】(1)a=45° (2)a=50° 【分析】 【详解】(1)解：2sina+15)=V3 sin(a+15）= 5 2 a+15°=60°， 10/20 第7章 锐角三角函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，在中，，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 3．点关于轴的对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（    ） A． B． C． D． 5．如图，实线部分是一个正方体展开图，点，，，，均在的边上，则的值为（    ）． A． B． C． D． 6．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，所在圆的圆心恰好是的中心．若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．计算： ． 8．在中，，则的度数为 ． 9．定义一种运算：，，则的值为 ． 10．比较大小： ．（填“>”“=”或“<”） 11．如图，某滑雪爱好者沿着坡比为1的斜坡笔直滑下米，那么他下降的高度是 米． 12．如图，在中，，平分交于点D．若，，则 ．    13．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为 ． 14．如图、在边长为1的正方形网格中，点，，都在网格线上，且，垂足为点，则 ． 15．如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若，，，则的长度为 ． 三、解答题（本题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算：． 18．求锐角： (1)；(2)． 19．如图，定义：在中，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即．根据上述角的余切定义，解下列问题： （1）________； （2）如上图，已知，其中为锐角，则的值为_______． 20．如图，已知扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，，．则一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，共经过了多少路程？ 21．跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到）    (1)求拉皮筋的两个孩子之间的距离； (2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 22．如图，在中，于，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 23．如图，在中，弦的长为，点在延长线上，且，． (1)求的半径； (2)求的正切值． 24．太原古城，尤其是明太原府城，有许多具有悠久历史的城门，下面是首义门复建后的图片．某校数学兴趣小组要测量首义门的高度，如图，他们在点A处测得首义门的最高点C的仰角为，再往前进至点B处，测得首义门的最高点C的仰角为，根据这个兴趣小组测得的数据，计算首义门的高度．（测量工具的高度忽略不计．结果精确到，参考数据：，，．） 25．窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且． (1)猜想的形状，并说明理由． (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留） 26．如图，在矩形中，是对角线，，垂足为，连接，若，求的值． 27．为方便乘客进出，地铁公司计划将某出入口的楼梯通道改造成无障碍通道．如图，在地铁出入口处，原楼梯通道的长度为，倾斜角为，调整后的无障碍通道的倾斜角为． (1)求地铁出入口处距离水平地面的高度； (2)求调整后的无障碍通道在水平方向上延伸的距离． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $