7.5 解直角三角形（题型专练）数学苏科版九年级下册

7.5 解直角三角形 题型一 解直角三角形 1．（2025·姑苏区·校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，AC＝1，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·惠山区·校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由下列条件解直角三角形． （1）； （2）． 3．（2025·工业园区·校级月考）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，，求tanC的值． 4．（2024·建湖县·期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE为BC边上的中线，AB＝5，AD＝3，tanC＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 题型二 设未知数解直角三角形 1．（2025·宿城区·校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，CE⊥AB于点E，若2AE＝BE，则tan∠ACD的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·无锡·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若△AEF的面积为25，sin∠CEF，则BC的长为（　　） A．6 B． C． D．10 3．（2024·泰兴市·期末）在△ABC中，AB＝BC，DA⊥AB交CB延长线于点D，DE⊥CA，垂足为E．若tan∠C＝k，CD＝1，则AD的值为（　　） A．k B． C．k2 D． 4．（2023·东台市·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，∠A＝α，易知，小明同学想求tan2α的值，他在AC上取点D，使得BD＝AD，则tan2α＝　　． 题型三 网格问题 1．（2025·苏州·校级期中）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 2．（2025·淮安区·模拟）在5×10的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则cos∠BAC＝（　　） A． B． C．2 D． 3．（2025·靖江市·期中）如图，点A，B，C在小正方形组成的网格格点上，则tan∠ACB＝　　． 4．（2025·连云港·一模）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为　　． 题型四 先构造直角三角形，再求解 1．（2025·仪征市·三模）如图，在△ABC中，∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝6，则点A到BC的距离是（　　） A．6sin50° B． C．6cos50° D．6tan50° 2．（2025·靖江市·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC，点D是AC上一点，连接BD．若tanA，tan∠ABD，则CD的长是（　　） A． B． C．2 D． 3．（2025·东海县·二模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为3，宽为1的矩形，则tan∠BAC＝（　　） A．2 B． C．3 D． 4．（2025·工业园区·校级月考）在△ABC中，∠B＝135°，AB，BC＝1． （1）求△ABC的面积； （2）求AC的长． 5．（2025·苏州·期中）如图，在三角形ABC中，已知∠C＝60°，tanA，点D为边AC上一点，且∠BDC＝45°，AD＝6，求CD的长． 6．（2025·高港区·校级月考）在△ABC中，． （1）求AB的长； （2）延长BC至点D，使，连接AD，求∠ADB的度数． 7．（2025·玄武区·校级月考）如图，在△ACB中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝8． （1）求AB的长； （2）点P在线段AB上，连接CP，且tan∠APC＝2，直接写出cos∠BCP的值． 题型一 角度的倍半关系与解直角三角形 1．（2024·溧阳市·期末）在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：tan60°＝　　，tan30°＝　　； 发现结论：tanα　　（填“＝”或“≠”）； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求的值； 研究思路：小明想构造包含的直角三角形：于是延长CB至D，使得DB＝AB，连接AD，所以得到，即转化为求∠D的正切值，那么　　； （3）在△ABC中，∠A为锐角，，∠B＝2∠A，．求S△ABC的值． 题型二 圆与解直角三角形 1．（2025·扬州·三模）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的O刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出cos∠AOB的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·宿豫区·一模）如图，⊙O在相同的小正方形组成的网格图中，点O在格点（网格线的交点）上，点A、B、C在⊙O上，且都在格点上，则∠ABC的正弦值是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·江都区·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为直径的圆O分别与AB、AC相交于点E、F，若tan∠EOF，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 题型三 相似与解直角三角形 1．（2025·涟水县·一模）如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC， 若，则tan∠CAD的值（　　） A． B． C． D． 2．（2025·邗江区·校级期中）如图，在Rt△ABC中，延长斜边AB到点D，连接DC．若AC＝6， ，，则BD的长为　　． 3．（2025·南通·真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　　． 4．（2025·苏州·校级期中）四边形ABCD中，AC与BD交于点O，O是AC的中点，BO＝2DO，已知AB＝4，AD＝2，tan∠ACD，则AC的长为　　． 题型四 圆、相似与解直角三角形 1．（2025·无锡·校级二模）如图，AB为圆O的直径，C、D为圆O上不同于A、B的两点，过点C作圆O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E． （1）求证：∠ABD＝2∠CAB； （2）若，且，求BF的长． 题型一 解直角三角形的新定义问题 1．（2025·天宁区·校级月考）如果一个三角形中的两个锐角之和为45°，那么我们称这个三角形为“优三角形”．若△ABC是优三角形，∠A是锐角，且，则sinA＝　　． 2．（2025·惠山区·校级期中）【特例猜想】如图1，在Rt△ABC中，以AB为直径作圆O，设其半径为r，三边长分别为a，b，c，由锐角三角函数定义可得：，，经变形可得：，因此． （1）【推广证明】进一步研究发现，不仅在直角三角形中成立，在任意的三角形中都成立．请你利用图2证明． （2）【实际应用】如图3，在△ABC中，∠B为钝角，r为△ABC的外接圆半径．若，BC＝5，AC＝10，求△ABC的面积． 3．（2024·姑苏区·校级月考）阅读材料解决问题：在锐角△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，，∴AD＝c•sinB，在Rt△ACD中，，∴AD＝b•sinC，即c•sinB＝b•sinC，∴． （1）证明：； （2）如图二，求sin75°（结果保留根号）； （3）如图三，在锐角△ABC中，AC：BC＝7：8，，又CD⊥AB，垂足为D，BD＝8，求AB的长度． 题型二 解直角三角形与几何变换综合 1．（2025·南京·月考）如图（1），已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，tan∠B，tan∠F，且A、B、D、E共线，点B、点E在线段AD上．在射线AB上平移△DEF，平移后得到△D′E′F′，直线E′F′与交BC于点G． （1）如图（2），当E′在线段AB上时，设x，y，求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）． （2）当AB＝2BE时，设以A、C、E′、G为顶点构成的四边形面积为S，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.5 解直角三角形 题型一 解直角三角形 1．（2025·姑苏区·校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，AC＝1，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，AC＝1， ∴， ∴， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠A＝90° ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴． 故选：A． 2．（2025·惠山区·校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由下列条件解直角三角形． （1）； （2）． 【详解】解：（1）由条件可知：∠B＝45°， ∴∠B＝∠A， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， （2）由条件可知：， ∴（负值已舍去）， ∵， ∴， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°． 3．（2025·工业园区·校级月考）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，，求tanC的值． 【详解】解∵AD⊥BC，BC＝14，AD＝12， ∴在Rt△ABD中，， ∴， ∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5， ∴． 4．（2024·建湖县·期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE为BC边上的中线，AB＝5，AD＝3，tanC＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 【详解】解：（1）在Rt△ABD中，BD． 在Rt△ADC中，tanC， ∴DC＝AD＝3， ∴BC＝BD+CD＝4+3＝7； （2）∵AE为BC边上的中线， ∴BE， ∴DE＝BD﹣BE＝4． 在Rt△ADE中，AE， ∴sin∠DAE． 题型二 设未知数解直角三角形 1．（2025·宿城区·校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，CE⊥AB于点E，若2AE＝BE，则tan∠ACD的值为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：由题意可知：令AE＝m，则BE＝2m， ∵∠ACB＝90°，且点D为AB的中点， ∴CD＝AD＝BD， ∴DE， 在Rt△CDE中，CE， ∵CD＝AD， ∴∠ACD＝∠A， 在Rt△ACE中，tanA， ∴tan∠ACD＝tanA． 故选：A． 2．（2025·无锡·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若△AEF的面积为25，sin∠CEF，则BC的长为（　　） A．6 B． C． D．10 【详解】解：如图，连接BF， ∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB， ∴EF是AB的垂直平分线， ∴S△AFE＝S△BFE＝25，∠FBA＝∠A， ∴S△AFB＝50AF•BC， ∵CE＝AE＝BEAB， ∴∠A＝∠FBA＝∠ACE， 又∵∠BCA＝90°＝∠BEF， ∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A， ∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A， ∴∠CEF＝∠FBC， ∴sin∠CEF＝sin∠FBC． 设BF＝AF＝x，则CFx， 又∵BC•AF＝50， ∴BC， 又∵BC2+CF2＝BF2， ∴（）2+（x）2＝x2，解得：x＝5， ∴BC4． 故选：B． 3．（2024·泰兴市·期末）在△ABC中，AB＝BC，DA⊥AB交CB延长线于点D，DE⊥CA，垂足为E．若tan∠C＝k，CD＝1，则AD的值为（　　） A．k B． C．k2 D． 【详解】解：∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠C， 又∵DA⊥AB，DE⊥CA， ∴∠BAD＝∠DEA＝90°， ∴∠BAC+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠BAC＝∠ADE， ∴∠C＝∠ADE， ∴tan∠ADE＝tan∠C＝k， 在Rt△CDE中，tan∠C， ∴令DE＝mk，CE＝m． 又∵CD＝1， ∴m2+m2k2＝12，整理得：m2， 在Rt△ADE中，tan∠ADEk， ∴AE＝mk2， ∴ADk． 故选：A． 4．（2023·东台市·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，∠A＝α，易知，小明同学想求tan2α的值，他在AC上取点D，使得BD＝AD，则tan2α＝　　． 【详解】解：令CD＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x， ∴BD＝AD＝8﹣x， ∵∠C＝90°， ∴BD2＝CD2+BC2， ∴（8﹣x）2＝x2+42，解得：x＝3， ∴CD＝3， ∵AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝α， ∴∠CDB＝∠A+∠ABD＝2α， ∴tan2α． 故答案为：． 题型三 网格问题 1．（2025·苏州·校级期中）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【详解】解：如图，连接BM， 由勾股定理可得：BM，CM，BC， ∴BM2+CM2＝BC2， ∴△BCM是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△BCM中，tan∠ACB． 故选：C． 2．（2025·淮安区·模拟）在5×10的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则cos∠BAC＝（　　） A． B． C．2 D． 【详解】解：如图，连接BC， 由题意可得：BC2＝12+32＝10，AC2＝22+62＝40，AB2＝72+12＝50， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，AC2，AB5， ∴cos∠BAC． 故选：B． 3．（2025·靖江市·期中）如图，点A，B，C在小正方形组成的网格格点上，则tan∠ACB＝　　． 【详解】解：如图，连接BD交AC于点D， 由图可知：AB＝BC，AD＝CD， ∴BD⊥AC， 设每个小正方形的边长为a， CDa，BD2a， ∴tan∠ACB2． 故答案为：2． 4．（2025·连云港·一模）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为　　． 【详解】解：如图，连接BM，AM， 则BM∥DC，∠AMB＝90°， ∴∠ABM＝∠APC， 令正方形网格的边长为a， 则AM，AB， 在Rt△ABM中，sin∠ABM， ∴sin∠APC＝sin∠ABM． 故答案为：． 题型四 先构造直角三角形，再求解 1．（2025·仪征市·三模）如图，在△ABC中，∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝6，则点A到BC的距离是（　　） A．6sin50° B． C．6cos50° D．6tan50° 【详解】解：如图，过点A作BC的垂线，垂足为M， ∵∠C＝42°，∠BAC＝88°， ∴∠B＝50°， 在Rt△ABM中，sinB， ∴AM＝6sin50°． 故选：A． 2．（2025·靖江市·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC，点D是AC上一点，连接BD．若tanA，tan∠ABD，则CD的长是（　　） A． B． C．2 D． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，， ∴， ， 如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∴∠DEA＝∠DEB＝90°， ∵，， ∴，， ∵AE+BE＝AB，即2DE+3DE＝5， ∴DE＝1， ∴AE＝2， ∴， ∴． 故选：A． 3．（2025·东海县·二模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为3，宽为1的矩形，则tan∠BAC＝（　　） A．2 B． C．3 D． 【详解】解：如图，过C作CE⊥AB于E，延长AF交BC于D， 由题意可得：BC＝3，AD＝BD＝2，CD＝1， 在Rt△ADC中，AC， 在Rt△ADB中，AB2， ∵S△ABCAD×BCCE×AB， ∴CE， ∴AE， ∴tan∠BAC3． 故选：C． 4．（2025·工业园区·校级月考）在△ABC中，∠B＝135°，AB，BC＝1． （1）求△ABC的面积； （2）求AC的长． 【详解】解：（1）如图，延长CB，过点A作AD⊥BC， ∵∠ABC＝135°， ∴∠ABD＝45°， 在Rt△ABD中，AB，∠ABD＝45°， ∴AD＝AB×sin45°＝2， ∴△ABC的面积BC×AD＝1； （2）∵∠ABD＝45°，∠D＝90°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∵AD＝2， ∴DB＝2，DC＝DB+BC＝2+1＝3， 在Rt△ACD中，AC． 5．（2025·苏州·期中）如图，在三角形ABC中，已知∠C＝60°，tanA，点D为边AC上一点，且∠BDC＝45°，AD＝6，求CD的长． 【详解】解：如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E． 在Rt△BED中， ∵∠BDC＝45°， ∴∠EBD＝∠BDC＝45°， ∴BE＝ED， 在Rt△BEA中， ∵tanA， ∴AE＝2BE＝2DE， ∵AE＝AD+DE， ∴AD＝DE＝BE＝6， 在Rt△BEC中， ∵∠C＝60°，tanC， ∴CE2， ∴CD＝CE+ED＝26． 6．（2025·高港区·校级月考）在△ABC中，． （1）求AB的长； （2）延长BC至点D，使，连接AD，求∠ADB的度数． 【详解】解：（1）如图，过点A作AK⊥BC于点K， ∵AB＝AC，BC＝6， ∴BK＝CK3， ∵， ∴可设AK＝4x，AB＝5x， 由勾股定理可得：，解得：x＝1， ∴AB＝5，AK＝4； （2）如图， ∵，CK＝3， ∴， ∵AK＝4， ∴， ∴∠ADB＝30°． 7．（2025·玄武区·校级月考）如图，在△ACB中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝8． （1）求AB的长； （2）点P在线段AB上，连接CP，且tan∠APC＝2，直接写出cos∠BCP的值． 【详解】解：（1）如图，作CD⊥AB于点D， 由条件可知：CD＝AC•sinA＝8×sin30°＝4， ∴AD＝AC•cosA＝8×cos30°＝4， 在Rt△BCD中，∠B＝45°， ∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°＝∠B， ∴BD＝CD＝4， ∴AB＝AD+BD＝44； （2）如图，作PE⊥BC于点E，则∠B＝∠EPB＝45°， ∴PE＝BE， 由条件可知：PD＝2， ∴PB＝BD﹣PD＝4﹣2＝2， ∴PE＝PB， ∵sinB， ∴BC4， ∴CE＝BC﹣BE＝3， 在Rt△CDP中，CP2， ∴cos∠BCP． 题型一 角度的倍半关系与解直角三角形 1．（2024·溧阳市·期末）在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：tan60°＝　　，tan30°＝　　； 发现结论：tanα　　（填“＝”或“≠”）； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求的值； 研究思路：小明想构造包含的直角三角形：于是延长CB至D，使得DB＝AB，连接AD，所以得到，即转化为求∠D的正切值，那么　　； （3）在△ABC中，∠A为锐角，，∠B＝2∠A，．求S△ABC的值． 【详解】解：（1）由特殊角的三角函数值可得：tan60°，tan30°， ∵tan60°≠2tan30°， ∴， 故答案为：，，≠； （2）如图1，延长CB至D，使得DB＝AB，连接AD， ∴∠D＝∠BAD， ∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝2∠D， ∴∠D∠ABC， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理可得：AB＝√5， ∴BD＝AB＝5， ∴CD＝BC+BD＝4+5＝9， 在Rt△ACD中，tanD， ∴， 故答案为：； （3）如图2，过点C作CD⊥AB于点D，在DA上截取DE＝DB，连接CE， ∴CD是线段BE的垂直平分线， ∴CE＝CB， ∴∠B＝∠CED， ∵∠CED＝∠A+∠ECA，∠B＝2∠A， ∴2∠A＝∠A+∠ECA， ∴∠A＝∠ECA， ∴AE＝CE， 在Rt△ACD中，tanA， ∴设CD＝a，AD＝3a， ∴DE＝AD﹣AE＝3a﹣AE， ∴DE＝DB＝3a﹣AE， ∴AB＝AE+DE+BE＝AE+3a﹣AE+3a﹣AE＝6a﹣AE， ∵AB， ∴， ∴AE＝CE， ∴DE＝3a﹣AE， 在Rt△CDE中，由勾股定理可得：CE2＝CD2+DE2， ∴， 整理得：，解得：，a＝0（不合题意，舍去）， ∴CD， ∴S△ABCAB•CD6． 题型二 圆与解直角三角形 1．（2025·扬州·三模）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的O刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出cos∠AOB的值是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接AD， ∵OD＝1，OA＝0.8， ∴， ∵∠AOB+∠AOD＝90°，∠AOD+∠ADO＝90°， ∴∠AOB＝∠ADO， ∴． 故选：A． 2．（2025·宿豫区·一模）如图，⊙O在相同的小正方形组成的网格图中，点O在格点（网格线的交点）上，点A、B、C在⊙O上，且都在格点上，则∠ABC的正弦值是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接CD， ∵∠CAD＝90°， ∴CD是⊙O的直径， 在Rt△ACD中，AC＝4，AD＝2， ∴CD2， ∴sin∠ADC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴sin∠ABC＝sin∠ADC． 故选：C． 3．（2025·江都区·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为直径的圆O分别与AB、AC相交于点E、F，若tan∠EOF，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【详解】解：如图，过点E作ED⊥OF， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴， ∴， ∴BE＝CF， ∴AE＝AF， ∴， ∴， ∴EF∥BC， ∵， ∴设ED＝4x，OD＝3x， ∴OE＝OB＝5x，DF＝5x﹣3x＝2x， ∴， ∴． 故选：C． 题型三 相似与解直角三角形 1．（2025·涟水县·一模）如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC， 若，则tan∠CAD的值（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，过点C作CE垂直AD的延长线于E， 在Rt△BAD中，， ∴， 设AB＝3a，AD＝4a， 则BD5a， ∵CE⊥AE，BA⊥AD， ∴△BAD∽△CED， ∴， ∵DCBD， ∴DEAD＝2a，CEABa， ∴在Rt△AEC中，tan∠CAD． 故选：B． 2．（2025·邗江区·校级期中）如图，在Rt△ABC中，延长斜边AB到点D，连接DC．若AC＝6， ，，则BD的长为　　． 【详解】解：∵，AC＝6， ∴，， 如图，过点D作DE⊥CB交CB延长线于点E， ∵∠ACB＝∠BED＝90°，∠ABC＝∠DBE， ∴△DEB∽△ACB， ∴， ∴， 设BD＝x，则，， ∵， ∴，解得：x＝5， ∴BD的长为5． 3．（2025·南通·真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　　． 【详解】解：如图，在图中标注C，D， 设NC＝x， ∵AD∥NB， ∴∠MAD＝∠ANC， ∵∠MDA＝∠ACN， ∴△ANC∽△MAD， ∵AC＝AD＝1， ∴， ∵△BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都为1， ∴S△AMD+S△ANC＝3﹣1＝2， ∴MD×ADNC×AC＝2，即2， ∴x4，解得：x1＝2，x2＝2（舍去）， ∵AN2＝AC2+NC2＝1+4+43＝8+4， ∴AN， ∴sin∠MNB＝sin∠ANC． 4．（2025·苏州·校级期中）四边形ABCD中，AC与BD交于点O，O是AC的中点，BO＝2DO，已知AB＝4，AD＝2，tan∠ACD，则AC的长为　　． 【详解】解：如图，过D作DE⊥AC于E，过B作BF⊥AC于F， ∵∠OED＝∠OFB＝90°，∠DOE＝∠BOC， ∴△ODE∽△OBF，则， 设OE＝x，则OF＝2x，EF＝3x， ∵AB＝4，AD＝2， ∴， ∴， ∵∠AED＝∠AFB＝90°， ∴Rt△AED∽Rt△AFB， ∴， ∴AF＝2AE，即AE＝EF＝3x， ∴AO＝AE+OE＝4x， ∵O是AC的中点， ∴CO＝AO＝4x， ∴CE＝CO+OE＝5x， ∵， ∴， ∴， 在Rt△ADE 中，AD＝2，由勾股定理可得：AE2+DE2＝AD2， 即，解得：， ∴． 故答案为：． 题型四 圆、相似与解直角三角形 1．（2025·无锡·校级二模）如图，AB为圆O的直径，C、D为圆O上不同于A、B的两点，过点C作圆O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E． （1）求证：∠ABD＝2∠CAB； （2）若，且，求BF的长． 【详解】解：（1）如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠1， ∴2∠CAB＝∠2＝∠CAB+∠1， ∵OC是⊙O的半径，CF切⊙O于C， ∴OC⊥CF， ∵DB⊥CF， ∴OC∥DB， ∴∠ABD＝∠2， ∴∠ABD＝2∠CAB； （2）∵∠ACD，∠ABD为所对圆周角， ∴∠ACD＝∠ABD， ∴． 如图，连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴， ∴， ∴， ∴OB＝OC＝3， ∵， ∴设EF＝4x，BE＝3x，则BF＝5x， ∵BE⊥CF，OC⊥CF， ∴OC∥BE， ∴△BEF～△OCF， ∴， ∴，整理得：﹣6x+15x2＝0，解得：， 经检验，是的解， ∴BF＝5x＝2． 题型一 解直角三角形的新定义问题 1．（2025·天宁区·校级月考）如果一个三角形中的两个锐角之和为45°，那么我们称这个三角形为“优三角形”．若△ABC是优三角形，∠A是锐角，且，则sinA＝　　． 【详解】解：∵△ABC是“优三角形”， ∴△ABC中两个锐角之和为45°， 又∵三角形内角和为180°， ∴△ABC的钝角为180°﹣45°＝135°，且∠A是锐角，故钝角为∠B或∠C． 情况1：钝角∠B＝135°， 如图，过点C作CE⊥AB，交AB延长线于点E； 由条件可知：∠CBE＝180°﹣135°＝45°，即△CEB是等腰直角三角形，故CE＝BE， 设CE＝BE＝b，由勾股定理可得：BC2＝CE2+BE2＝2b2，则， 已知，代入得：， 在Rt△ACE中，； 情况2：钝角∠C＝135°， 如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D； 由条件可知：∠BCD＝180°﹣135°＝45°，即△BCD是等腰直角三角形，故BD＝CD， 设BD＝CD＝a，由勾股定理可得：BC2＝BD2+CD2＝2a2，则， 已知，代入得：， ∴AD＝AC+CD＝2a+a＝3a， 由勾股定理可得：， 在Rt△ABD中，． 故答案为：或． 2．（2025·惠山区·校级期中）【特例猜想】如图1，在Rt△ABC中，以AB为直径作圆O，设其半径为r，三边长分别为a，b，c，由锐角三角函数定义可得：，，经变形可得：，因此． （1）【推广证明】进一步研究发现，不仅在直角三角形中成立，在任意的三角形中都成立．请你利用图2证明． （2）【实际应用】如图3，在△ABC中，∠B为钝角，r为△ABC的外接圆半径．若，BC＝5，AC＝10，求△ABC的面积． 【详解】解：（1）结论成立，理由如下： 如图1，连接CO并延长，交⊙O于点D，连接BD， 在Rt△BCD中，， ∴， ∵∠A＝∠D， ∴sinA＝sinD， ∴； （2）如图2，过点B作BE⊥AC， 由（1）可得：， ∴． ∴． ∴， ∵AC＝10， ∴， ∵CE2+BE2＝CB2， ∴（10）2+（AB）2＝52，解得：或， ∵∠B为钝角， ∴AC＝10为最长边， ∴，不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴． 3．（2024·姑苏区·校级月考）阅读材料解决问题：在锐角△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，，∴AD＝c•sinB，在Rt△ACD中，，∴AD＝b•sinC，即c•sinB＝b•sinC，∴． （1）证明：； （2）如图二，求sin75°（结果保留根号）； （3）如图三，在锐角△ABC中，AC：BC＝7：8，，又CD⊥AB，垂足为D，BD＝8，求AB的长度． 【详解】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E， 在△ACE中，sin∠CAE， ∴CE＝b•sinA， 同理，在△BCE中，， ∴CE＝a•sinB， ∴b•sinA＝asinB，即； （2）由（1）可得：， ∴，解得：， 如图，过A作AD⊥BC于点D， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣45°＝75°， 在Rt△ABD中，∠B＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴BD＝1，， 在Rt△ACD中，∠C＝45°， ∴， ∴， ∴，解得：； （3）由AC：BC＝7：8，可设AC＝7x，则BC＝8x（x＞0）， 由题意可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴∠B＝60°， 又∵BD＝8， ∴， ∴BC＝16， ∴AC＝14， ∴AD＝2， ∴AB＝2+8＝10． 题型二 解直角三角形与几何变换综合 1．（2025·南京·月考）如图（1），已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，tan∠B，tan∠F，且A、B、D、E共线，点B、点E在线段AD上．在射线AB上平移△DEF，平移后得到△D′E′F′，直线E′F′与交BC于点G． （1）如图（2），当E′在线段AB上时，设x，y，求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）． （2）当AB＝2BE时，设以A、C、E′、G为顶点构成的四边形面积为S，求的值． 【详解】解：（1）如图，作GH⊥AB，KE′⊥AB，易知AC∥BH∥D′F∥E′K， ∴∠BHE′＝∠D′FE′，， 设BE′＝4m， ∵E′K＝BE′•tan∠ABC4m＝3m， BH＝BE′÷tan∠BHE′＝BE′÷tan∠D′FE′＝4mm， ∴， ∴S△BGE′•S△BE′K•S△BE′KS△BE′K， 由E′K∥AC可得：△ABC∽△E′BK，则， ∴yx2•S△BE′K÷（S△BE′K）x2； （2）为方便表示，图中画出的△DEF即为移动后的位置， 当AB＝2BE时，有两种情况： ①如图，作GH⊥AB，H为垂足，易得AC∥GH∥DF， ∴∠EGH＝∠F， 设BE′＝2n，则AB＝4n，AC＝AB•tanB＝3n，S△ABCAC•AB＝6n2， ∵EH＝GH•tan∠FGH，BH＝GH÷tan∠GBH＝GH÷tan∠ABCGH， ∴EH+BHGHGHGH＝BE＝2n， ∴GHn， ∵S△CBE•S△ABC＝3n2，S△AEGAE•GH（AB+BE）•GHn2， ∴S＝S△ABC+S△CBE+S△AEGn2， ∴n2÷（6n2）； ②由（1）可知：x＝2，4， ∴． 综上，的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $