专题02 解直角三角形（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦解直角三角形核心题型，通过分层突破构建"基础计算-转化应用-构造建模"的递进式训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|15题|含直角三角形计算（3题）、非直角三角形转化（5题）、不规则图形构造（7题）|从直接应用三角函数到作高转化，再到辅助线构造直角三角形，形成"概念-转化-建模"的逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|18题|涵盖选择（8题）、填空（4题）、解答（6题），含实际应用与动态问题|整合勾股定理、相似等知识，突出数学建模与跨情境应用，培养空间观念与创新意识|

专题02解直角三角形 内容概览 目 常考题型·精准突破 题型1解直角三角形相关计算（重） 题型2解非直角三角形（高频） 题型3构造直角三角形解不规则图形的边长和面积（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1解直角三角形相关计算 1.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=6.BC的垂直平分线交BC于点D, 交AC于点E,则DE的长为() A 8.3 c.26 D.4V5 2.如图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方 形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中 按下列要求作图，保留必要的作图痕迹. 试卷第1页，共3页 A B 图① 图② 图③ (1)在图①中，作△ABC的中线AD: 2在图②中，在C上找一点日，连接4E,使得5=25.4c。 (3)在图③中，在AC上找一点P,连接BP,使 n<ABp= 5. 3.如图，已知直线MN与以AB为直径的OO相切于点C,交AB的延长线于点D,过点C 作CE⊥AB于点G,交⊙O于点E,连接EO并延长交MN于点F,连接AC,BC, M (1)写出图中一条与EG相等的线段： (2)求证：∠A=∠DCB: 1 (3)若tanE= 2,求sin∠EFC的值. 4.己知：R△ABC中，∠C=90°，R、G为AC、BC边上的点，且DF⊥AB,EG⊥AB C E B (I)求证：△ADF AGEB, (2)∠B=30°，AB=6,DE=2,△ADF∽aGCF,求AD的长. 试卷第2页，共3页 5.在四边形 BCD中，∠B=0,D=60°，4B=V5BC,MD=CD,点E在BC边上. BE 连接AE,点F为AE的中点，连接FC:当∠CFE=30时，BC=一 D B E ◆题型2解非直角三角形 6.如图。平面直角坐标系中，点1(40)点P为'轴上一个动点，连接P,将△4P0绕 点A顺时针旋转120°得到△AB,点O,P的对应点分别为B,Q,当A0+PB取最小值 时，点P的坐标为()· A.(0,1) c.0 D.(0,5) 7.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=8,BC=7,∠BCA<90°，点D为AB的中点， 在射线AC上有点E,连接DE,且∠ADE=∠ACB,点M,N分别是DE,BC的中点， 连接MN,则MN的长为， D M C 8.在△ABC中，∠A=88°，∠B=50°，AC=7,则点A到BC的距离是() 试卷第3页，共3页 7 A. sin42° B.7c0s42° C.7tan42° D.7sin42 9.在边长相等的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在格点上，那么s∠ACB的值 为() 5 5 25 A.2 B.5 C.5 。 10,如图，己知在。4BC中，B=4C,m∠B 2,将。ABC翻折，使点C与点4重合， BD 折痕DE交边BC于点D,交边AC于点E,那么DC的值为 A ◆题型3构造直角三角形解不规则图形的边长和面积 11.如图，△ABC中，∠ACB=100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点 E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=50°. H (1)求证：AE平分∠CAF: (2)若1C+CD=16,AB=10 且 ，则4ABE S.4CD 24 的面积. 12如图，aM8C中，B-60,B=45,8C=25+4,则4C= 试卷第4页，共3页 13.在△ABC中，AC=4V2,BC=6,∠C为锐角且tanC=1. B (1)求△ABC的面积； (2)求AB的值； (3)求cos∠ABC的值. 14.一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到0.01m2). 30m 50m 160 60° 50m 20m 15.如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm,三角板的外框线和 与其平行的内框线之间的距离均为V2c心，则图中阴影部分的面积为c(结果保留根 号) 试卷第5页，共3页 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.已知在△AB 中，A=60,8=+5.4C=2,则2C=( ) A.45o B.75° C.90° D.105° 之图，在A8C,∠A=0,C=25,m8=9 2,则AB的长为() B A.2+2V5 8.3+5 C.4 D.5 3.图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图.机器人上半身CD与底座AB垂 直，DG为屏幕支撑架，且DG∥AB.已知AC=CD=a,当∠CAB=a时，则支撑架DG 到AB的距离为() G 图1 图2 A.a+asina B.a+acosa C.a+atana D.acosa 4如图，在aC中，B=D,2C-4,cosB= 10,则AC边的长度为() 试卷第6页，共3页 3√2 35 A.2 B.√2 C.2 D.5 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=29°，斜边AB=10,则BC的长为() A.5 B.10sin 29 C.10cos29° D.10tan 29 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,则∠A的正弦值是() 4 3 3 A.3 B.4 c.5 0.5 7.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,E在格点上，点C,D在网格线上.对于 下列两个结论： ①BD平分∠ABC:②DE‖AB B 下列说法正确的是() A.①对，②错B.①错，②对 C.①②都错 D.①②都对 8.人字梯为家庭常用工具.如图，梯子两侧长AB,AC都为2m,∠ABC=0,人字梯顶端 A离地面BC的高度是() 试卷第7页，共3页 B A.2m·cos0 B.m·cos0 C.2m.sine D.m.sin 二、填空题 9.在△ABC中， AB=36,4C=6,∠B=45,则BC= 10.如图，在地面上离旗杆BC底部8米的A处测得旗杆顶端C的仰角为60°，那么旗杆 8C的高度约为米(5≈1.73，精确到01米). B 3,tanc= 11如图，在6BC中，血B- 2,AB=3,则AC的长为—，△ABC 的面积为 B 2.如图，已知菱形BCD,对角线4C,BD交于点O,am☑ACB=,点E为线段C 上一点，连结DE交线段AC于点G.将△DCE沿DE翻折得到△DFE,点C的对应点为 EF F,线段DF交AC于点H·若EF‖AC,则GH的值为一. 试卷第8页，共3页 三、解答题 3.如图，在。MBC中，已知B=3,4C=4sim4s =3,求AABC的面积. B 14.如图，AD是△ABC的中线anB=1 5cosC=② C= B D 求： (1)BC的长： 2)∠ADC的正弦值. 15,在。ABC中，B=6:∠B为锐角且0sB 2,tanC=3√5： A B (1)求∠B的度数， 试卷第9页，共3页 (2)求BC的长. 16.如图，在△MBC中， ∠A=30°，∠B=45°，BC=3V2 A工309 45>B (1)求AC的值. (2)求△ABC的面积（结果保留根号） 17.如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD,其中AB1BC,AB=BC=2m, AD=lm,CD=3m,为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进 行绿化整理. D (1)求证：AD⊥AC (2)求需要绿化的空地ABCD的面积， 18.玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）·玉华山 用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇.某校初三数学兴趣小组 在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学 实践活动，己知三片风叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图 2),当其中一片风叶OC与塔架OD叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D 水平距离为100米的E处，测得塔架顶部0的仰角为37°，风叶0A的端点A的仰角为60°， 点A,B,C,D,E,O,在同-平面内.（参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75， 51.73.) 试卷第10页，共3页 B H D 图1 图2 (1)求塔架OD的长度： (2)求风叶OA的长度.（精确到1米） 试卷第11页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12/12函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02解直角三角形 内容概览 目常考题型精准突破 题型1解直角三角形相关计算（重） 题型2解非直角三角形（高频） 题型3构造直角三角形解不规则图形的边长和面积（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 1.C 2.【详解】(1) (2) (3) H B 3.【详解】(1)解：AB是直径，AB⊥CE, ∴.CG=EG (2)略 (3)解：CE⊥AB, 1/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠0GE=∠0GC=90°， .tanE=OG 1 EG 2' ∴.设0G=a,EG=2a, ∴在RtAOEG中，OE=VOG2+EG2=√5a, ..OC=OB=OE=5a. 由(1)有CG=EG=2a,则CE=CG+EG=4a, :∠CG0=∠DC0=90°，∠C0G=∠D0C, .aCOG∽aDOC. OG CG OC a 2a 5a Co DC0 即5aDc-OD .DC=2V5a,0D=5a, .'DG=OD-OG=5a-a=4a. 连接DE, M D .S.cm -CE.DG-xAaxAa-8a 过点E作EP⊥CD于点P, 5.mCDPE,25ax PE8 1 PE- -a 5 过点C作CQ⊥EF于点Q, ScCE-0G=0E-C四 2 即24aa-v5xce. 1 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Cg=45。 5a. S.cr-1EF-CQ-1FC.EP, 2 即fx45.1 8v5 a, 2 5 ∴EF=2FC, 设FC=x,则EF=2x, .FO=EF-EO=2x-5a, ,MN是切线， ∴.CO⊥MN,即∠OCF=90°， .在Rt△COF中，CF2+CO2=FO2, 2+(5aj=2x-5a, 解得x4 3a,七=0（不合题意，舍去） 3a,EF=8 .FC=4 a, F0=2x-V5a=5 3 a sin∠cf0=C0V5a3 在 中， FO55. 5 -a Rt△COF 3 4,【详解】(1)证明：DF⊥AB,EG⊥AB, ,∠ADF=∠GEB=90°」 :∠C=90°， .∠A+∠B=90°， 在Rt△GEB中，∠B+∠BGE=90°， .∠A=∠BGE, ∴△ADFAGEB: (2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6, ÷4C=号4B=3,∠A=180-90°-30°=60 2 设AD=X,· 3/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DF⊥AB,且∠A=60°， .∠AFD=30°， .AF=2AD =2x, .DF=VAF2-AD2=3x, F在AC边上， .FC=AC-AF=3-2x, △ADF∽aGCF, AD DF GC CF x3x GC-3-2x 解得GC=3-2x √3， 由图可得，BG=BC-GC. .BC=VAB2-AC2=V62-32=3√5， BG=3V5-3-2x 5, 在Rt△BEG中，∠B=30°， .BG=-BE_2V3BE c0s30° 3； 由图可得，BE=AB-AD-DE=6-x-2=4-x, BG=23(4-) 3 35-3-2x-23(4-x) √5 3 9-(3-2x)=2(4-x) 6+2x=8-2x 4x=2 策得片 AD的长为2： 5.4-13 4/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.c 309，L309 10710 8.D 9.c 10.5 11.【详解】(1)证明：作EL⊥AC于点L,EM⊥BA交BA的延长线于点M, F D C H ,点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E,EH⊥BD于点H, ∴.EM=EH,∠CHE=90°」 .∠CEH=50°. .∠DCE=90°-∠CEH=40°， :∠ACB=100° ∴.∠ACD=180°-∠ACB=80° .∠ACE=∠ACD-∠DCE=40°=∠DCE, .CE平分∠ACD, ∴.EL=EH, ∴.EM=EL, 点E在∠CAF的平分线上， ∴AE平分∠CAF; (2解：5m=m+Sm号4CEL+D-1=24,且EL=BH=BM 24C-EM+)CD-EM=24, 1 1 M(4c+cD)=24. .AC+CD=16, 5/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六2x16EM=24, EM=3, AB=10 Sa =4B.EM=x10x3-15, 1 2 ∴，△ABE的面积为15. 12.213 13.【详解】(1)解：过点A作AD⊥BC,垂足为D, B D .∠ADC=∠ADB=90°， :∠C为锐角且tanC=l, .∠C=45°， .∠DAC=90°-∠C=45°， .∠DAC=∠C=45°， .AD=DC, 在Rt△ACD, .sinC=4 AC'AC=42, DC=4D=AC.sinC=4x=4, .BC=6. BC:4D-x6x4-12. 2 .△ABC的面积为12， (2):DC=AD=4,BC=6, .BD=BC-DC=6-4=2, 在Rt△ABD中， 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=VAD2+BD2=4+2=25 ·AB的值为25 (3)在Rt△ABD中，AB=2V5,BD=2, :os∠ABC=BD-2-V5 AB25=5· C.cos∠ABC的值为Y2 14.【详解】解：如图，连接BD,作DE⊥AB于E,作BF⊥CD于F. D 30m 50m 60 60C 50m 20m .∠A=∠C=60°， .DE=30sin60°=15V3≈25.9808m, BF=20sin60°=10√3≈17.3205m, ∴.S四边形HBCD=S。ABD+S,DBC 2AB-DE+CD-BF 1 =2×50×25.9808+2×50x17.3205≈1082.53m2. 15.【详解】解：如图， EF-DG-CH=2, ·含有45°角的直角三角板， ∴.BC=√2，GH=2 .FG=8V2-2-V2=6-2V2, 图中阴影部分的面积为： 8x8:2-(6-2V2)×(6-2√2)÷2 =32-22+12√2 =10+12V2(c2) 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：图中阴影部分的面积为(10+12√2)cm. 故答案为：(10+12√2). C G B HD 【点睛】考查了等腰直角三角形，平行线之间的距离，关键是求出内框直角边长. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 答案 B D A B A C 二、填空题 9.3W3+3或3V3-3 10.13.8 11. 3V2 3 2 12. 45 三、解答题 13. 【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于点D, D B 8/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB=3’ sinA=BD、2 AB 3' BD=2, 1 Sc=21CxBD=2×4x2=4, 2 14.【详解】(1)解：如图，作AH⊥BC于H. B D 在Ra4CH中，csC=2_CH 2AC,AC=√2， .CH=1,AH=AC2-CH2 =1, 在RtsABH中，tanB=-是 BH 5, BH=5. ..BC=BH+CH=6. (2)BD=CD. .CD=3,DH=2,AD=VAH+DH=√5， 在RaAD中，sin∠ADH=4-5 AD 5 ∠ADC的正弦值为3 15.【详解】(1)解：“∠B为锐角且0sB- 2 .∠B=60°： (2)解：过点A作AH⊥BC于H, y B H 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .cos B= 2, BH 1 ·AB2' AB=6, .BH=3, 在Rt△ABH中，AH=√AB2-BH=V6-32=3V5, tan C=3v3, H=35 :.CH 35 即CH 35, 解得CH=1, :.BC=BH+CH=3+1=4 16.【详解】(1)解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. A30 45B D 在RtABCD中，∠B=45°，BC=3V2, BD=BC.c0453x 2 .CD=BD=3. 在RtAACD中， ∠A=30°， .AC=6: (2)解：由(1)知：在RtAACD中，AC=6,CD=3, AD=V62-32=33, .AB=AD+BD=33+3 :5c×ABxCD-95+9 2· 17.【详解】(1)解：：AB⊥BC,AB=BC=2, 10/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AC=VAB2+BC2=2√2， AD=1,CD=3」 :AD2+AC2=1P+22=9,CD=9, .AD2+AC2 CD2, .∠DAC=90°， 即AD⊥AC. (2解：在RABC中.Sx9CABx2x2-2, 在R△ADC中，Sc-分4D-4C-1x25=5. ∴.S四边形ABCD=S。ABc+S。ADc=2+V2 18.【详解】(1)解：根据题意，可知∠ODE=90°，ED=100m,∠0ED=37°， :tam∠06D=O-00=0.75, ED100 .0D=100×0.75=75米. 答：塔架OD的长为75米. (2)解：如图，过点A作AH⊥ED于点H,过点O作OG⊥AH于点G, A B G女 H D 设风叶OA的长度为2xm, .∠OGH=∠GHD=∠ODH=90°， ∴四边形ODHG为矩形， .∠GOD=90°，OD=GH=75m, :∠A0C=120°， .∠AOG=30°， AG=204=*OG=HD=04xc0s30=x :.AH=AG+GH=(x+75)m,EH=ED-HD=(100-3x)m, 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AED=60°， ∴.tan∠AED= H=5, EH x+75 =V3 100-V3x .x+75≈100V3-3x, 解得x≈24.5， .0A=2x=49米， 答：风叶0A的长为49米 12/12 专题02 解直角三角形 常考题型·精准突破 题型1 解直角三角形相关计算（重） 题型2解非直角三角形（高频） 题型3 构造直角三角形解不规则图形的边长和面积（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 解直角三角形相关计算 1．如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，则，根据题意可得，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴． 2．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造矩形，利用矩形性质即可求解； （2）由图知，由平行线分线段成比例定理可知，所以； （3）构造平行四边形，对角线交点即为中点，则，因为，勾股定理可得，则． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 3．如图，已知直线与以为直径的相切于点C，交的延长线于点D，过点C作于点G，交于点E，连接并延长交于点F，连接，． (1)写出图中一条与相等的线段：________； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∴，即． ∵是直径， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据垂径定理可得； （2）连接，根据切线的性质得到，由是直径，得到，从而根据同角的余角相等得到，再由得到，即可得出结论； （3）由，设，，则．证明，根据相似三角形的性质求出，．连接，过点E作于点P，根据的面积求出．过点C作于点Q，根据的面积求出，从而根据的面积得到．设，则，在中，根据勾股定理构造方程，求得，根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵是直径，， ∴． （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴在中，， ∴． 由（1）有，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴． 连接， ∴， 过点E作于点P， ∴，即， ∴． 过点C作于点Q， ∵， 即， ∴． ∵， 即， ∴， 设，则， ∴， ∵是切线， ∴，即， ∵在中，， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴，， ∴ ∴在中，． 4．已知：中，，F、G为、边上的点，且，． (1)求证：； (2)，，，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， 在中，， ， ； (2)的长为 【分析】（1）由、得；在中，在中，由同角的余角相等得，根据两角对应相等，证得； （2）先由、，得，，，设，在中得，，；由的相似比推出的表达式，再结合中的边长关系列方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，， ，， 设， ，且， ， ， ∴， 在边上， ， ， 解得， 由图可得，， ∴， ∴， 在中，， ， 由图可得，， ∴， ∴ 解得， ∴的长为． 5．在四边形中，，，，，点在边上，连接，点为的中点，连接．当时，______． 【答案】 【分析】设，则，．取的中点，连接，．利用三角形中位线定理可得，，结合角度关系推导出，通过构造直角三角形计算，利用建立方程求解． 【详解】解：连接，设． ，， ， ，． 取的中点，连接． 为的中点， 是的中位线， ∴，． 设，则，． ∵， ， ． ∵， ∴． 在中，． ， ． ， ， ． ， ． 过点作于点K， ∵在中，， ， ． ， ． ∵在中，． 在中，． ， 整理得， 解得， ∵点E在线段上，即， ∴， ∴． ◆题型2解非直角三角形 6．如图，平面直角坐标系中，点点为轴上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，当取最小值时，点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据旋转判断出，，，推出，再过点作轴，作点关于轴的对称点，连接、、，推断出当三点共线时，即有最小值，即有最小值，然后根据对称求出点的坐标，根据解直角三角形求出点坐标，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 如图，过点作轴，作点关于轴的对称点，连接、、， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵点与点关于轴的对称，点， ∴点， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴点， ∵设直线的解析式为：， 代入、， 即，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵当时，， ∴点的坐标为． 7．如图，在中，，，，，点为的中点，在射线上有点，连接，且，点，分别是，的中点，连接，则的长为_________． 【答案】/ 【分析】过点B作于点H，则，在中，解直角三角形得到，，根据勾股定理求出，因此．证明，得到，求得，．连接，并延长至点G，使得，连接，证明，得到，，因此．连接，过点G作，交的延长线于点K，在中，解直角三角形得到，，因此，根据勾股定理求出，从而根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：过点B作于点H，则， ∵， ∴在中，， ， ∵， ∴， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 连接，并延长至点G，使得，连接， ∵点N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 连接，过点G作，交的延长线于点K， ∴在中，， ， ∴， ∴在中，， ∵点M是的中点，， ∴． 8．在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作的垂线构造直角三角形，先利用三角形内角和定理求出的度数，再结合锐角三角函数求出点A到的距离． 【详解】解：过点A作，垂足为D，则即为点A到的距离， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴点A到的距离为． 9．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 10．如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． ◆题型3 构造直角三角形解不规则图形的边长和面积 11．如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求证：平分； (2)若，且，则的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解题的关键是掌握以上性质． （1）作于点L，交的延长线于点M，由的平分线交于点E，于点H，得，而，求得，由，求得，则，则，所以，即可证明平分． （2）由，且，得，因为，所以，求得，而，则． 【详解】（1）证明：作于点L，交的延长线于点M， ∵点D在边延长线上，的平分线交于点E，于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为15． 12．如图，中，，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 构造直角三角形，过点作于点，利用特殊角的三角函数值求出、的长，进而求出的长，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ． 故答案为：． 13．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 14．一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）． 【答案】 【分析】把所给四边形构建成几个直角三角形，利用求和的方法来求面积即可． 【详解】解：如图，连接BD，作DE⊥AB于E，作BF⊥CD于F． ∵∠A＝∠C＝60°， ∴DE＝30•sin60°＝15≈25.9808m， BF＝20•sin60°＝10≈17.3205m， ∴ ＝×50×25.9808＋×50×17.3205≈． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，对于一个任意四边形，在求面积时，一般是构建直角三角形，利用求和的方法来求面积，熟练掌握解直角三角形是解题关键． 15．如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为__cm2（结果保留根号）． 【答案】（10+12） 【分析】图中阴影部分的面积＝外框大直角三角板的面积−内框小直角三角板的面积，根据等腰直角三角形的性质求出内框直角边长，再根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图， EF＝DG＝CH=， ∵含有45°角的直角三角板， ∴BC=，GH＝2， ∴FG＝8--2-=6﹣2， ∴图中阴影部分的面积为： 8×8÷2﹣（6﹣2）×（6﹣2）÷2 ＝32﹣22+12 ＝10+12（cm2） 答：图中阴影部分的面积为（10+12）cm2． 故答案为：（10+12）． 【点睛】考查了等腰直角三角形，平行线之间的距离，关键是求出内框直角边长． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 2．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 3．图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点H，，利用锐角三角函数求出的长，再根据可知D到的距离为，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点H， 由已知， ， 在中，、， ， 、， 支撑架到的距离为． 4．如图，在中，，，，则边的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作于点，根据求出，进而求出长，利用勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 5．在中，，，斜边，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用正弦的定义即可推导出BC的表达式，得到答案． 【详解】解：∵ 在中，， 根据锐角正弦的定义，可得， 又∵ ，， ∴ ， ∴ ． 6．在中，，，，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角正弦值的计算，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据锐角正弦的定义计算即可得到结果． 【详解】∵ ，，， ∴ 由勾股定理可得， ∵ 在直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比，的对边为， ∴ ． 7．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E在格点上，点C，D在网格线上．对于下列两个结论： ①平分；②． 下列说法正确的是（   ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对 【答案】A 【详解】解：由图可知： ， ∴， ∴平分，， 故①对②错． 8．人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长都为，，人字梯顶端离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过人字梯顶端作底边的垂线构造直角三角形，结合已知斜边长和底角，利用正弦三角函数的定义计算得到顶端离地面的高度． 【详解】解：过人字梯顶端作于点， 则就是离地面的高度，是直角三角形， ∵，， ∴根据锐角三角函数的定义：在直角三角形中， ∴． 二、填空题 9．在△ABC中，，，，则______________． 【答案】或 【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可． 【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示： 过A点作AH⊥BC于H， ∵∠B=45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴, 在Rt△ACH中，由勾股定理可知：， ∴． 情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示： 由情况一知：，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论． 10．如图，在地面上离旗杆底部8米的A处测得旗杆顶端C的仰角为，那么旗杆的高度约为______米（，精确到米）． 【答案】 【分析】利用正切进行求解． 【详解】解：∵， ∴（米）． 11．如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 12．如图，已知菱形，对角线，交于点，，点为线段上一点，连结交线段于点．将沿翻折得到，点的对应点为，线段交于点．若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据菱形性质和三角函数设，，利用翻折性质和平行线性质证明，通过相似三角形求出与的关系，再利用相似三角形求出与的关系，最后计算比值． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴设，则， 在中，， ∴， 由翻折可知：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，如图： ∵在中，， ， ∴在中，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴，， 过点作交于点，如图： ∵， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题以菱形为载体，结合翻折与相似三角形求解线段比，关键是用参数法设元，利用菱形性质、翻折性质和平行线性质转化线段，再通过相似三角形建立比例关系，结合三角函数简化计算，最终求出比值． 三、解答题 13．如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 14．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 15．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 16．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 17．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 18．玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1)塔架的长为75米； (2)风叶的长为49米． 【分析】（1）解直角三角形即可求解； （2）过点A作于点H，过点O作于点G，分别解直角三角形和直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为75米． （2）解：如图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为， ， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得， 米． 答：风叶的长为49米． 18 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $