第23章 解直角三角形全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 以“概念-计算-应用”为逻辑主线，覆盖锐角三角函数全章8类高频题型，通过基础巩固、核心突破到综合应用的层级设计，培养几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|5题型（概念/特殊值/基础解三角形等）|聚焦概念辨析与基础计算|从三角函数定义出发，构建直角三角形基本量关系| |核心提升|3题型（坡比/仰角俯角/方位角）|突出实际情境中的模型转化|将实际问题抽象为解直角三角形模型，强化空间观念| |综合应用|1题型（与面积/周长结合）|考查知识综合运用能力|整合三角函数与几何性质，提升逻辑推理能力|

第23章 解直角三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 锐角三角形概念 题型2 特殊三角函数值 题型3 基础解直角三角形 题型4 非直角三角形的计算 题型5 网格（方格纸）中的锐角三角函数 核心提升：重难题型归纳 题型6 坡比（坡度）与斜面几何问题 题型7 仰角、俯角测高问题 题型8方位角与航海航行问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 锐角三角形概念 1．如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据正弦定义可知，两边同时乘以可得米，所以小旺下降的高度为米． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，米， ， ， 米， 小旺下降的高度为米． 2．如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 3．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 【答案】 【分析】求出的值，可知，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 平分， ， 在中，， ． ◆题型2 特殊三角函数值 4．计算 【答案】 【详解】解： ； 5．计算：． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，完全平方公式等计算即可． 【详解】解：原式 ． 6．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ◆题型3 基础解直角三角形 7．如图，是直角的平分线，，，则________． 【答案】 【分析】首先在直角三角形 中利用余弦定义和勾股定理求出 和 的长，然后利用角平分线的性质，结合三角形面积公式，将面积比转化为边长比进行求解． 【详解】解：在 中， ，， 由勾股定理得： 过点 作 于点 ， 于点 平分 ，， ． 8．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义得到与、的关系，代入已知条件即可求出的长． 【详解】解：∵在中，，根据锐角余弦的定义，得， 又∵，， ∴， ∴ ． 9．如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，在，，根据余弦函数的定义即可求得． 【详解】解：三角形为直角三角形， ， ， ． ◆题型4 非直角三角形的计算 10．如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由已知条件可得，从而求出，的长，过点作的延长线于点，利用角平分线的性质得，再利用即可求出的长． 【详解】解：，是中边上的中线， ，， ， ， ， ，， ， ， 过点作于点， 的外角平分线交的延长线于点，， ， ， ． 11．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 12．如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【分析】是通过作辅助线将斜三角形转化为两个可解的直角三角形，先利用三角形内角和求出的度数，再分别在两个直角三角形中计算和的长度，最后求和得到的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 过点作于点，如图． 在中，，， ∴， ∴， ∴． 在中，，， ∴． ∴． ◆题型5网格（方格纸）中的锐角三角函数 13．如图，的顶点是正方形网格的格点（网格线的交点），则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键．构造直角三角形，根据正切的定义计算得结论． 【详解】解：如图， 在中， ∵，， ∴， 故答案为：． 14．如图所示的网格是边长为1的正方形网格，，，是网格线交点，则____． 【答案】 【分析】作AD⊥BC于D点，在Rt△ABD中根据余弦的定义求解即可． 【详解】如图，作AD⊥BC于D点，则△ABD为直角三角形， 其中，AD=3，BD=4，由勾股定理可得AB=5， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查求余弦值，根据余弦的定义构造合适的直角三角形是解题关键． 15．如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到格点，连接，可得，再根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：连接，如下图： 由题意可得：， 由勾股定理可得：，， ． ◆题型6 坡比（坡度）与斜面几何问题 16．如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，小安从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为________米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据坡度和已知条件即可求出和，再根据勾股定理即可求出和，从而得出结论． 【详解】解：∵扶梯的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∵米，的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∴经过的路程米． 17．如图，太阳能板的斜面长度为2米，斜面的坡度为，支撑杆垂直于地面（），则的长是________米． 【答案】1 【分析】根据正切函数的定义求得，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：∵斜面的坡度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵太阳能板的斜面长度为2米， ∴米． 18．“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意得：，，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 （2）解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． ◆题型7 仰角、俯角测高问题 19．甲乙两栋垂直地面的楼房、，工作人员在A处测得C点俯角，测得D点仰角，已知，求的长．参考数据：，，，，， 【答案】 【分析】过点A作于E，由题意易得四边形为矩形，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点A作于E，如图所示： ∴， ∴四边形为矩形， ， 在中，，， 在中，，． 20．广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔附近有一大厦高，状状在楼底处测得塔顶的仰角为，上到大厦顶处测得塔顶的仰角为，求广州塔的高．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】广州塔的高约为 【分析】过点作于，可得四边形是矩形，得出，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数得，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于， ∴四边形是矩形， ∴，， 根据题意可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：． 答：广州塔的高约为． 21．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】在中，求出，在中，求出，根据即可求出楼的高度． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， 米． ◆题型8方位角与航海航行问题 22．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮所在的B处与灯塔P之间的距离是__________海里．（参考数据：，，，）． 【答案】130 【分析】根据题意得，，，解可得，进而解可得到，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得，，， 在中，，， ∴海里， 在中，，， ∴海里． 23．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【答案】 【分析】在中，通过解直角三角形求解即可． 【详解】解：由题意得海里，，，， ∴， ∴在中，（海里） 即P处与B处的距离约是海里． 24．小明家计划“春假”去郊外游玩，小明爸爸从平面地图上查看四处景点，，，的位置，如图，点在点的北偏东方向上，从点测得点和点分别在北偏东方向和南偏东方向上，已知点在点的正北方向处．小明家计划先从景点到景点游玩，再从景点到景点游玩，请你帮助小明计算小明家游玩路线长．（结果取整数，参考数据：，，） 【答案】小明家游玩路线长约 【分析】作于点，由题意可得，，，先使用三角函数计算出、，进而求出、，计算出后再求出，最后求和即可． 【详解】解：作于点， 由题意知，，， ∴， 在中，，， 在中， ，， ∴， 在中， ， ∴． 答：小明家游玩路线长约． ◆题型9解直角三角形与面积、周长的综合题 25．中学生接受劳动教育不仅关乎个人的全面发展，更关系到社会的和谐与进步．某教育集团准备把一块四边形的空地整理出来作为集团学校的公共劳动教育基地．如图，点在点的南偏东方向上，点在点的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点的正南方向．已知，，求四边形空地的周长．（精确到；参考数据：，） 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点， 在中，解直角三角形即可求出的长；分别在中和中, 求出, 求出四边形的周长． 【详解】解：延长交于点，过点作于点， 由题意，知是矩形，, , , ∴, 在中, ∴， ， 在中， ， 依题意，，， ，, 26．如图，四边形是某校实践基地一块菜地的示意图，，数学兴趣小组在观测点处（，，在一条直线上），测得在的南偏东方向上，，在观测点处（，，在一条直线上），测得，都在的北偏东方向上，．求这块菜地的面积．（结果保留整数，，） 【答案】这块菜地的面积是 【分析】解，求出，得出，分别求出，，根据可求出结论． 【详解】解：在中，， ， ， 由题意得：，， ， ， ， ， . 答：这块菜地的面积是． 27．如图，在四边形中，是斜坡，是水平面，边的坡度． (1)求的长；（结果保留根号） (2)求四边形的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解三角形的应用-坡度，勾股定理、二次根式的混合运用等知识点，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）如图：过点D作于E，连接，由勾股定理可得，再根据坡度解直角三角形可得，再运用勾股定理可得、、，然后根据线段的和差即可解答； （2）根据并结合三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点D作于E，连接， ∵，， ∴， ∵，边的坡度， ∴，即， 在中，由勾股定理：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． （2）解： ． 一、单选题 1．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 2．在中，，，，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角正弦值的计算，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据锐角正弦的定义计算即可得到结果． 【详解】∵ ，，， ∴ 由勾股定理可得， ∵ 在直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比，的对边为， ∴ ． 3．图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点H，，利用锐角三角函数求出的长，再根据可知D到的距离为，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点H， 由已知， ， 在中，、， ， 、， 支撑架到的距离为． 4．如图，在中，，，，则边的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作于点，根据求出，进而求出长，利用勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 5．如图，是的高．若，，则边的长为（   ） A． B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】先利用已知条件求出的长度，再根据的值求出高的长度，最后在中用勾股定理计算的长． 【详解】解：是的高， ． ， ． ， ． 在中， ，， ． 6．如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 7．在中，，，则的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】D 【分析】解题思路是作底边的高，利用锐角正弦定义和勾股定理求出底和高，代入面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴． 8．图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：过C作于G，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及点到直线的距离求解即可． 【详解】解：如图：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵机器人上半身垂直于地面水平线，手臂， ∴该机器人拳头（点）到地面的高度为． 二、填空题 9．比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】< 【分析】本题考查了锐角三角函数的大小比较，根据正弦函数在锐角范围内的单调性，角度越大，正弦值越大． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随角度的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：<． 10．在中，，，，则的长度为______． 【答案】或 【分析】过点A作，交所在直线于D，利用勾股定理求出的长度，再由勾股定理求出，分垂足D在线段上和垂足D在延长线上，两种情况计算． 【详解】解：过点作，交所在直线于点， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，（不符合题意，舍去）， ，， 在中，， 当点在线段上时，如图， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ． 11．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是______ ． 【答案】 【分析】设两条光线分别切皮球于点，交地面于点，由题意可得， ，过点作于点 ，根据平行线的性质，矩形的判定和性质可得，四边形是矩形 ， ，根据太阳光线与地面成的角，余角的性质，求出，利用解直角三角形进行解答，即可． 【详解】解：如图，设两条光线分别切皮球于点，交地面于点， ∴ ， 过点作于点 ， ∵太阳光线是平行的 ， ∴ ， ∵是皮球直径，光线与球相切， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴四边形是矩形 ， ∴ ， ∵太阳光线与地面成的角， ∴ ， ∴， ∴在中，， ∴， ∴皮球的直径是 ． 12．图为一款常见的桌面手机支架，其侧面支撑结构可简化为图．使用时，支撑脚放置于水平桌面，用于支撑手机．若，，，，则点到的距离约为________）．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】 【分析】过点作 ，垂足为，过点作，垂足为，过点作 ，垂足为，构造矩形和两个直角三角形，利用锐角三角函数分别求出和的长，进而求得的长 【详解】解：过点作 ，垂足为，过点作，垂足为，过点作 ，垂足为， ， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 点到的距离约为 ． 三、解答题 13．计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、特殊角的三角函数值并化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： ． 14．如图，为了测量某建筑物的高度，小明在距离建筑物底部D点15米的B点处，测得建筑物顶端C的仰角为，小明的眼睛离地面的高度米．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：） 【答案】建筑物的高度约为12.9米 【分析】过点 A 作，垂足为 E，解求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点 A 作，垂足为 E．则米，米． 在中，，， ∴（米）．   ∴（米）．   答：建筑物的高度约为 12.9 米． 15．如图，中，，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，熟练掌握三角函数的定义，特殊角的三角函数值，是解题的关键． （1）根据三角函数定义求出，根据特殊角的三角函数值，求出结果即可； （2）过点A作于点E，根据三角函数求值，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点E，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．如下图，在中，．已知的面积为．求： (1)的三角函数值． (2)的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）通过平行四边形的面积求出线段，再通过勾股定理求出线段，根据三角函数公式求出的三角函数值； （2）通过特殊角的函数值求出，再通过平行线的性质求出的度数. 【详解】解：（1）， ， ． 在中，， ， ， ． （2）， 【点睛】本题通过题目提供信息考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，读懂题目信息是解题的关键． 17．项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）； (2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 【答案】(1)高椅的实际高度为7米 (2)此时线段的长约为9米 【分析】（1）先解，，求出和，即可求解高椅的实际高度； （2）在图1中，（米），解中，求出，解在，得到，由，求解即可． 【详解】（1）解：在图4中，在中，米，，， ∴（米）． ∵在中，米， ， ∴（米）， ∴高椅的实际高度为（米）． 答：高椅的实际高度为7米． （2）解：在图1中，（米） 在中，，， ∴． 在中，，， ∴， 由， 解得（米）． 答：此时线段的长约为9米． 18．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． (1)求A、两点之间的距离； (2)求长． (结果精确到，参考数据：，，，，) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． （2）过点A作，垂足为G，根据勾股定理即可解决问题 【详解】（1）解：连接，过点作，交的延长线于， ， ． 在中，，， ，， 在中，，， 根据勾股定理，得． （2）解：过点A作，垂足为G， 则四边形为矩形，，， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得． ． 9 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 解直角三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 锐角三角形概念 题型2 特殊三角函数值 题型3 基础解直角三角形 题型4 非直角三角形的计算 题型5 网格（方格纸）中的锐角三角函数 核心提升：重难题型归纳 题型6 坡比（坡度）与斜面几何问题 题型7 仰角、俯角测高问题 题型8方位角与航海航行问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 锐角三角形概念 1．如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． ◆题型2 特殊三角函数值 4．计算 5．计算：． 6．计算： ◆题型3 基础解直角三角形 7．如图，是直角的平分线，，，则________． 8．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． ◆题型4 非直角三角形的计算 10．如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，已知，，，求的长． ◆题型5网格（方格纸）中的锐角三角函数 13．如图，的顶点是正方形网格的格点（网格线的交点），则的值为______． 14．如图所示的网格是边长为1的正方形网格，，，是网格线交点，则____． 15．如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． ◆题型6 坡比（坡度）与斜面几何问题 16．如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，小安从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为________米．（结果保留根号） 17．如图，太阳能板的斜面长度为2米，斜面的坡度为，支撑杆垂直于地面（），则的长是________米． 18．“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． ◆题型7 仰角、俯角测高问题 19．甲乙两栋垂直地面的楼房、，工作人员在A处测得C点俯角，测得D点仰角，已知，求的长．参考数据：，，，，， 20．广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔附近有一大厦高，状状在楼底处测得塔顶的仰角为，上到大厦顶处测得塔顶的仰角为，求广州塔的高．（结果精确到，参考数据：，，） 21．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． ◆题型8方位角与航海航行问题 22．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮所在的B处与灯塔P之间的距离是__________海里．（参考数据：，，，）． 23．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，） 24．小明家计划“春假”去郊外游玩，小明爸爸从平面地图上查看四处景点，，，的位置，如图，点在点的北偏东方向上，从点测得点和点分别在北偏东方向和南偏东方向上，已知点在点的正北方向处．小明家计划先从景点到景点游玩，再从景点到景点游玩，请你帮助小明计算小明家游玩路线长．（结果取整数，参考数据：，，） ◆题型9解直角三角形与面积、周长的综合题 25．中学生接受劳动教育不仅关乎个人的全面发展，更关系到社会的和谐与进步．某教育集团准备把一块四边形的空地整理出来作为集团学校的公共劳动教育基地．如图，点在点的南偏东方向上，点在点的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点的正南方向．已知，，求四边形空地的周长．（精确到；参考数据：，） 26．如图，四边形是某校实践基地一块菜地的示意图，，数学兴趣小组在观测点处（，，在一条直线上），测得在的南偏东方向上，，在观测点处（，，在一条直线上），测得，都在的北偏东方向上，．求这块菜地的面积．（结果保留整数，，） 27．如图，在四边形中，是斜坡，是水平面，边的坡度． (1)求的长；（结果保留根号） (2)求四边形的面积．（结果保留根号） 一、单选题 1．的值等于（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 3．图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则边的长度为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的高．若，，则边的长为（   ） A． B．10 C． D．12 6．如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 7．在中，，，则的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 8．图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）． 10．在中，，，，则的长度为______． 11．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是______ ． 12．图为一款常见的桌面手机支架，其侧面支撑结构可简化为图．使用时，支撑脚放置于水平桌面，用于支撑手机．若，，，，则点到的距离约为________）．（结果精确到，参考数据：，） 三、解答题 13．计算：． 14．如图，为了测量某建筑物的高度，小明在距离建筑物底部D点15米的B点处，测得建筑物顶端C的仰角为，小明的眼睛离地面的高度米．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：） 15．如图，中，，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 16．如下图，在中，．已知的面积为．求： (1)的三角函数值． (2)的度数． 17．项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）； (2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 18．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． (1)求A、两点之间的距离； (2)求长． (结果精确到，参考数据：，，，，) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第23章解直角三角形全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1锐角三角形概念 题型2特殊三角函数值 题型3基础解直角三角形 题型4非直角三角形的计算 题型5网格（方格纸）中的锐角三角函数 目核心提升：重难题型归纳 题型6坡比（坡度）与斜面几何问题 题型7仰角、俯角测高问题 题型8方位角与航海航行问题 目题型专练：高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 1.A 2.A 3.125 4.【详解】解：cos245°+tan60cos30°+cos260°+sin260° 9+9 1313 2244 =2+1 =3: 5.【详解1解：原式=2×++25+-3 2 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =V2+2V2+2+1-3 =3V2. 6【年】解，辰式29465-) =V3+4-2W3+1 =5-5 8.A 9.A 10.B 11.A 12.【详解】解：：在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-75°=60° 过点C作CD⊥AB于点D,如图. B C 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠BAC=60°， .∠ACD=90°-60°=30°， :4D=,4C=x6=3, 21 2 .CD=VAC2-AD2=V6-32=35. 在RtABCD中，∠BDC=90°，∠B=45°， :.BD=CD=33 .'AB=AD+BD=3+33 13. 14.5 15.A 2111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(9+45) 17.1 18.【详解】(1)解：由题意得：PN=15m' tan∠MCW= 3.PM L AM. ∴.∠MCN=30°， .NC=12m, .MW=NC.sin30°=6m, .PM PN+MN =21m: 答：无人机距河面的高度PM的长为21m (2)解：由题意得：∠PBM=52.4°，∠PAM=42.3°， 由(1)可知：PM=21m, 在RtaPMB中，BM= PM 21 tan52.4°1.30 ≈16.2m, 在R△PMH中，AM=,PM2 tan42.3°0.91 ≈23.1m, .AB=AM-BM=6.9≈7m. 答：两艘皮划艇之间的距离AB的长为7m 19. 【详解】解：过点A作AE⊥CD于E,如图所示： A39.8o 126.6 --E B 7777777777777 地面 ∴.∠ABC=∠BCD=∠AEC=∠AED=90° ∴.四边形ABCE为矩形， .CE=AB=14.4m, 医R4CE甲，CE=2669E=CE144 -tan26.6°-0.5 =28.8(m), 连RiA4DE中，DAE=3989,D=在288 cos39.8°0.77 ≈37.4(m) 2O.【详解】解：如图，过点C作CE⊥BD于E, 3111 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C 379 田 645° B .四边形ACEB是矩形， .BE=AC=150m,CE=AB. 根据题意可知，∠DAB=45°， ∴.△ABD是等腰直角三角形， .BD=AB=CE. .DE BD-BE=BD-150. 在Rt△CDE中，∠DCE=37° ∴.DE=CE.tan37°≈0.75BD. .BD-150≈0.75BD. 解得：BD≈600m 答：广州塔BD的高约为600m 21.【详解】解：在RIAABD中，∠BAD=30°，AD=150m, .BD=4D tn ZB4D=150x=505m 在RtAACD中，∠CAD=60°，AD=150m. .CD=AD tan CAD=150v3m. .BC=BD+CD=50N3+150W3=200W3米. 22.130 【分析】根据题意得，∠PAC=65°，∠B=34°，解Rt△APC可得PC=PA.sin∠PAC,进而解Rt△BPC 可得到PB=_PC sin∠B,即可求出答案， 【详解】解：根据题意得，∠PAC=65°，∠B=34°， 在RA4Pc中，∠4CP=90,sm∠PAC=PC PA' 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PC=PA.sin∠PAC=PA.sin65°≈80×0.91=72.8海里， 在Rt△BPC中，∠BCP=900, sin∠B=PC PB' .'PB= PC72.872.8 sin∠Bsin34°≈0.56 =130海里。 23.51.2 24.【详解】解：作CE⊥BD于点E, 北 东 由题意知∠BAD=90°-30°=60°，∠CDB=60°，∠BDA=90°-60°=30°，∠CBD=180°-67°-60°=53°， .∠ABD=180°-60°-30°=90°， 在RIACDE中，CE=CD-sin∠CDE=800×sin60°=400W5(m), DE=CD.cos∠CDE=800×cos60°=400(m), CE 4003 在RtaCBE中，BC= sin∠CBE sin53° ≈500V3(m),BE=BC.cos∠CBE=500W5×cos53°≈300V5(m), :.BD=BE+ED=300N3+400m 300V3+400 400√5 在 中，AB=BD 300+ m Rt△ABD tan∠BAD tan60° 3 ·AB+BC=300+400V 2+500W3≈1397m」 3 答：小明家游玩路线长约1397m 25. 【详解】解：延长BA交SN于点E,过点C作CF⊥SN于点F, 5111 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V D 由题意，知BCFE是矩形，AB=50m,CD=200N2m,∠CDF=45°，∠ADE=60°， .BE=CF, 在RtACDF中， CF=CD-sin∠CDF=2002.sim45°=200N2×5 =200(m) DF=CD.cos∠CDF-2002.cs45°=20V2.V2 =200(m) .'BE =CF=200m, AE=BE-AB=200-50=150(m), 在Rt△ADE中， AE 150 AD= =100W3(m), sin∠ADE sin60° AE 150 依题意，ED= tanADE=tan6os=503(m),4B=50m BC=EF=DE+DF=(503+200)m,CD=2002m AD=1003m .AB+BC+CD+AD =50+50W3+200+200√2+100W5 =250+150W3+200W2 ≈792.6(m) 26、【详解】解：在R1△1BE中，m30= AE' 六4B=AE-tan30=12x5 45(m）, :.AF=BF-4B=(10-43)m 由题意得：∠AFD=45°，∠FAD=∠BAD=90°， 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=AF=10-43)m, CF=BC=0s45°BF=5×10=55(m）. 2 5omc-6=25sm). 5w4F-0-4=74-4w5o。 ·S边形HBm=S△F-SaMr=25-(74-40V5)=40V5-49≈20(m2）. 答：这块菜地的面积是20m2」 27.【详解】(1)解：如图：过点D作DE⊥AB于E,连接BD, A E B .CD L BC,AD=CD=BC=40m, .BD=DC2 BC2 =40v2, :AD=40m,边AD的坡度i=V3:1, 51-9E回pE=54E 在R△ADE中，由勾股定理：AE+DE2=AD, ·AE2+(5AE=402,解得：4E=20, .DE=203, .BE=BD2+BE2 V402-(203=20N5, ∴AB=AE+BE=20+20V5」 (2)解：S四边形ABCD=SHBD+S.BCD ECC -x20+205)-205+号x40x40 7111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =200W3+200W15+800. 题型专练 高频重难特训 一、单选题 题号 2 3 4 6 答案 B C A B B A D D 二、填空题 9.<10. 25+2或2W5-211.11W5 12.1.8 三、解答题 13.【详解】解：V9-2cos30°+1-V5 =3-2x 2+(W5-) =3-5+3-1 =2」 14.【详解】解：过点A作AE⊥CD,垂足为E.则AE=BD=15米，ED=AB=1.6米. E 在Ra4Bc中，∠CAB=37:tam∠CAE=C E, .CE=AE.tan37°≈15×0.75=11.25（米）. .CD=CE+ED=11.25+1.6=12.85≈12.9（米）. 答：建筑物CD的高度约为12.9米. 15.【详解】(1)解：△ABC中，∠BAC=90°，AC=12,AB=4V5, 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :tanB=4C、l2 AB 43 =v3 .∠B=60°： (2)解：过点A作AE⊥BC于点E,如图所示： C E D 则∠AEB=∠AED=90, ∴.∠BAE=90°-∠B=30°， :AB=43, E-4B.sin 4xsin4x =6, ,AD=6N2, ∴cos∠DAB=E=6V2 AD6N2=2' .∠DAE=45°， .∠CAD=90°-30°-45°=15° 16.【详解】解：(1)AB=10W6,AB⊥AC, :.S平衔四边形4BcD=AB.AC=10V6AC=2005,AC=10V2, .BC=AB2+AC2=202 在口ABCD中，∠B=∠D, .sinD=sinB=4C_1 BC-2' cosD=cosB=4B3 tanD=tanB=4C_3 AB=3· (2)cosD= 2∠D=30°， AB‖CD,.∠BAD=180°-∠D=150°. 9111 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ☑【详解】解：在图4中，在ACD中，CD=05米C2379,m∠1CD1D CD' 4D=0.5×sin37°≈0.5×0.6=0.3（米）. 在Rt△E'D'B中，D'E'=0.5米，∠E'D'B=37 cos∠E'D'B'=D'E BD· ..B'D'=_ 0.50.5 os37°0.8 =0.625(米)， 高椅的实际高度为4×(0.5+0.4+0.5)+0.5+0.3+0.625≈7（米）. 答：高椅的实际高度为7米。 (2)解：在图1中，BC=7+0.5×2=8(米) 在RtABD中，∠BAD=30:m∠BAD=D AD BD=AD.t304D 3 在Ra4Cn中，∠C4D=15,tan/CAD-GD AD .CD=AD.tan15=(2-3)AD 解得AD≈9（米） 答：此时线段AD的长约为9米. 18.【详解】(1)解：连接AC,过点A作AH⊥BC,交CB的延长线于H, B 工作台 :∠ABC=143° .∠ABH=180°-∠ABC=37° 10/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Ra1Bh中，sin37°- AB,C0s37°=BH AB· ∴AH=AB.sin37°≈3m,BH=AB.cos37°≈4m 在RtAACH中，AH=3m,CH=BC+BH=6m. 根据勾股定理，得AC=VCH2+AH2=3V5≈6.7m. (2)解：过点A作AG⊥DC,垂足为G, B - 工作台 则四边形AGDO为矩形，GD=AO=1m,AG=OD, ∴.CG=CD-GD=5m, 在Rt△ACG中，AC=3V5m,CG=5m, 根据勾股定理得AG=VAC2-CG2=25≈4.5m. ∴.0D=AG=4.5m 11/11